2020高考浙江大二轮复习：1.6 概率与统计专项练
=1
2
-2������2
+
2������
+
1 2
=-
������2-������
+
1 4
-
1 2
=-
������-
1 2
2 + 1,p∈(0,1).
2
故当 p 在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.
-12-
10.已知随机变量 ξ 满足 P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若 0<x<23, 则( C )
C
1 6
+C
C
2 9
2 3
=
172,P(X=2)=CC
2 6 2 9
·
(C
1 3
C
1 4
+C32
)
C
2 7
=
2854,P(X=3)=CC6292
·C
C
2 4 2 7
·(C 31 ·C 21 +C 32 )
C
2 5
=
238,P(X=4)=CC
2 6 2 9
·C
C
2 4 2 7
·CC 2252
=
814,
1
新的游戏时,他能够通过两个关卡的概率为 4
,设X表示他
能够通过此游戏的关卡的个数,则随机变量X的数学期望
13
为 12
.
-17-
解析: 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.又 P(X=0)= 1-12 × 1-13
× 1-14 =14,P(X=1)=12× 1-13 × 1-14 + 1-12 ×13× 1-14 + 1-12 × 1-
①若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ②若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
-5-
一、选择题(共10小题,满分40分) 1.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( C )
X
0
2
a
1
1
P
p
6
3
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:
-10-
7.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D )
A.18
B.38
C.58
D.78
解析: 每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周
日中有一天无人参加的基本事件有2个,故周六、周日都有同学参 加公益活动的概率为1-126 = 78.
解析:
由题意,1-
1 2
������
≥ 1156,∴n≥4,∴n 的最小值为 4,故选 A.
3.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学 每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同 学通过测试的概率为( A )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
1 3
×14 = 1214,P(X=2)=
1-12
×13
×
1 4
+
12×
1-13
×14
+
1 2
×
13×
1-14
=1,P(X=3)=1 × 1 × 1 = 1 .所以,随机变量 X 的分布列为
4
2 3 4 24
X
0
1
2
3
1
11
1
1
P
4
24
4
24
随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×1+1×11+2×1+3× 1 = 13.
A.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
解析: ∵随机变量 ξ 满足 P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,∴
核心知识主干整合
-4-
3.离散型随机变量的期望与方差
������
(1)期望(或均值):E(X)=������∑=1xipi;
n
(2)方差:D(X)=i∑=1(xi-E(X))2pi, ������(������)为 X 的标准差.
(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X). (4)两点分布与二项分布的均值与方差
E(ξ)=0×13+1×x+2× 23-x =43-x,
∴D(ξ)= 0- 4-x
3
2×13+
1-
4-x
3
2·x+
2-
4-x
3
2·
2-x
3
=1
3
x-4
3
2+ x-13 2·x+ x+23 2· 23-x =-x2-13x+89=- x+16 2+1112.
∵0<x<23,∴E(ξ)随着 x 的增大而减小,D(ξ)随着 x 的增大而减小,故选
所以 E(X)=49×1+25×2+ 3 ×3+ 1 ×4=65.
84
84
28
84
42
-16-
14.某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏,根据他的游玩经验,每次开
启一个新的游戏,这三个关卡他能够通过的概率分别为
1 2
,
1 3
,
1 4
.(这个
游戏的游戏规则是:如果玩者没有通过上一个关卡,他照样可以玩
下一个关卡,但玩该游戏的得分会有影响).则此人在开启一个这种
到 2 次红球 1 次白球或 2 次白球 1 次红球,据此可得,所求概率为
P=C32
×
1×
2
1 3
2+C32×
1 2
2×1 = 5 .故选 C.
3 12
5.在正方体的8个顶点中任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形
是等腰直角三角形的概率为( C )
A.17
B.27
C.37
D.47
解析: 正方体的 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形
2
则当p在(0,1)内增大时,( D )
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
解析: 由题意可知,E(ξ)=0× 1-������
2
+1×12+2×���2��� = 12+p,
D(ξ)= 0-12-p 2×12-������+ 1-12-p 2×12+ 2-12-p 2×���2���
8.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取
1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( C )
A.158
B.49
C.59
D.79
解析:
2C
1 5
C
1 4
=
5,故选
C.
9×8 9
-11-
9.(2018浙江,7)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
1-p
1
p
2
2
0,1,2,3.P(X=k)=C
������ 3
C
3-������ 3
(k=0,1,2,3).∴
C 63
P(X=0)=210,P(X=1)=290,P(X=2)=290,P(X=3)=210,∴
E(X)=0+1× 9 +2× 9 +3× 1 = 3.
20
20
20 2
-15-
13.从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中,不放回地每摸
3
2
33
36
39
6
9
-14-
12.袋中有大小相同的3个红球,2个白球,1个黑球.若不放回摸球,每
9
次1球,摸取3次,则恰有两个红球的概率为 20 球,每次1球,摸取3次,则摸到红球次数X的期望为
;若有放回摸
3
2
.
解析: 若不放回摸球,则恰有两次红球的概率 P=CC32C63 31 = 290.若有放回 地摸球,设摸到红球的次数为 X,则 X 的可能取值为
-7-
4.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个
球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为
111 2,3,6
.从袋中随机摸出1
个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有
黄的概率为( A )
A.356
B.13
C.152
D.12
解析: 若要求取到的颜色中有红有白但没有黄的概率,则只能是取
C.
-13-
二、填空题(共7小题,满分36分)
11.(2018浙江台州高三上期末)已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3Hale Waihona Puke 11Pm
2
3
1
则m= 6
5
,D(X)= 9
.
解析: 由题意,∵12 + 13+m=1,∴m=16,∴E(X)=1×12+2×13+3×16 =
5,D(X)=1× 1-5 2+1× 2-5 2+1× 3-5 2=5,故答案为 m=1,D(X)=5.
是等腰直角三角形只能在各个面上,在每一个面上能组成等腰直角
【2020最新】数学高考(理)二轮专题复习：第一部分专题七概率与统计1-7-3-含答案
教学资料范本【2020最新】数学高考（理）二轮专题复习：第一部分专题七概率与统计1-7-3-含答案编辑：__________________时间：__________________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(20xx·山东烟台模拟)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9解析：选 B.由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．2．(20xx·山东济宁模拟)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大总计男生18927女生81523总计262450 若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05解析：选B.K2＝≈5.059＞5.024，因为P(K2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.3．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为( )A．9 B．3C．17 D．－11解析：选A.设这个数为x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时4＝＋2，x＝－11；若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝＋2，x＝3；若x≥4，则中位数为4,2×4＝＋2，x＝17，所有可能值为－11,3,17，故其和为－11＋3＋17＝9.4．(20xx·广东广州模拟)如图是民航部门统计的20xx年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选 D.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D.5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程＝－4x＋，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A. B.13C. D.23解析：选B.由表中数据得＝6.5，＝80.由(，)在直线＝－4x＋上，得＝106.即线性回归方程为＝－4x＋106.经过计算只有(5,84)和(9,68)在直线的下方，故所求概率为＝.6．(20xx·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个解析：选D.依据给出的雷达图，逐项验证．对于选项A，由图易知各月平均最低气温都在0℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C ，三月和十一月的平均最高气温均为10℃，所以C 正确；对于选项D ，平均最高气温高于20℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D 错误．二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(20xx·山西太原模拟)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y ，z ，依次构成等差数列，且4，y ，z ＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．解析：由题意可得即⎩⎨⎧ y ＝2＋z 2，y2＝4z ＋16，解得z ＝12，或z ＝－4(舍去)，故y ＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为＝.故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.答案：28．如图是我市某小区100户居民20xx 年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小区20xx 年的月平均用水量的中位数的估计值为________．解析：由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15，0.22，0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和：4＋8＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是2＋(2.5－2)×＝2.02.答案：2.029．(20xx·山东潍坊模拟)20xx年11月某校高三20xx名同学参加了一次数学调研测试，利用简单随机抽样从中抽取了部分同学的成绩进行统计分析，由于工作人员的失误，学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程序的破坏，但可见部分信息如图所示，则总体中分数在[80,90)内的人数为________．解析：由茎叶图可知分数在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可知，分数在[50,60)内的频率为10×0.008＝0.08，所以样本容量为n＝＝25.由茎叶图可得，分数在[60,70)内的频数为7，分数在[70,80)内的频数为10.由频率分布直方图可知，分数在[90,100)和[50,60)内的频率相等，所以频数也相等，故分数在[90,100)内的频数为2.所以分数在[80,90)内的频数为25－(2＋7＋10＋2)＝4，对应的频率为＝0.16.所以总体中分数在[80,90)内的人数为2 000×0.16＝320.答案：320三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．(20xx·高考四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，……，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5.所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．11．(20xx·山东潍坊模拟)寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据.日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量(件)白天3933434154 晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，剩余精品可以以进货价退回厂家．(1)画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；(2)从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天的平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其他条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在(2)的条件下，你认为“值得投资”吗？解：(1)由已知得如下茎叶图，中位数为＝44.5.3 3 94 1 2 3 65 0 1 461(2)设明年花市期间下雨天数为X，由题知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且X～B，E(X)＝5×＝1.所以估计明年花市期间，可能有1天为下雨天，4天为非雨天，据此推测花市期间所租档口大约能售出的精品数为1×80＋4×100＝480(件)．(3)解法一：设花市期间所租档品获得的利润为L，则L＝[80X＋100(5－X)]×(12－9)－900＝600－60X，所以由600－60X＞500，得X＜，又X∈N，所以X＝0,1，因为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C＋C＝＞＝0.6，所以在(2)的条件下，可以认为“值得投资”．解法二：设花市期间所租档口获得的利润为L元，由题知L＝3Y－900，则由3Y－900＞500，得Y＞＞＝460.所以利润大于500元时Y可能的取值为480或500.由(2)中法二知P(Y＝480)＋P(Y＝500)＝＋＝＞＝0.6，所以在(2)的条件下，可以认为“值得投资”．12．(20xx·高考全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997 416≈0.959 2，≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B(16,0.002 6)．因此P(X≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09.。
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
创新方案浙江新高考数学理二轮专题突破练习1.6.4新高考中的概率(解答题型)(含答案详析)
第四讲 高考中的概率(解答题型)1．(2013·广东高考)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解：(1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633. 2．(2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15， P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115， 即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．独立重复试验的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．超几何分布的概率一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件(X ＝k )发生的概率为P (x ＝k )＝C k m C n －k N －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )(m ≤M ，m ≤n ，M ≤N )．3．离散型随机变量的均值、方差(1)均值E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ； (2)方差D (X )＝ ni ＝1[x i －E (x )]2·p i . 4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．5．均值与方差的性质 (1)E (ax ＋b )＝aE (x )＋b ； (2)D (ax ＋b )＝a 2D (x )．[例1] (2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．[自主解答] (1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.——————————规律·总结————————————在超几何分布中，随机变量X 取每一个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．1．某学校为了调查本校学生9月份“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及数学期望E (Y )．解：(1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952，P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513，P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.∴Y 的分布列为∴E (Y )＝0×2952＋1×513＋2×352＝12.[例2] (2013·陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． [自主解答] (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415⎝⎛⎭⎫或P (A B )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴X 的分布列为∴X 的数学期望E (X )＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.——————————规律·总结————————————(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．2．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 解：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.∴该选手被淘汰的概率P ＝1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－45×35×25＝101125.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3. 则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×825＋3×1225＝5725.[例3] (2012·辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．[自主解答] (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.——————————规律·总结———————————— 1．注意辨别独立重复试验的基本特征：(1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况； (2)在每次试验中，事件发生的概率相同．2．牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义．3．甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如下：(1)指出学生乙成绩的中位数，并说明如何确定一组数据的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为派哪位学生参加，成绩比较稳定？ (3)若将频率视为概率，对学生甲在今后三次数学竞赛中的成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解：(1)依题意得83＋852＝84，则学生乙成绩的中位数是84.它是这组数据中最中间位置的一个数或最中间位置两个数的平均数，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给数据中．(2)派甲参加比较合适，理由如下：x 甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85.x 乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85.s 2甲＝35.5，s 2乙＝41，∴x 甲＝x 乙，且s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩比较稳定．(3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P (A )＝68＝34.依题意，得ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，34. ∴P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ⎝⎛⎭⎫1－343－k ，k ＝0,1,2,3. ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×164＋1×964＋2×2764＋3×2764＝94.⎝⎛⎭⎫或利用E (ξ)＝3×34＝94[例4] 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[自主解答] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )． (2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望为E (Y )＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )＜D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E (X )＜E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．——————————规律·总结————————————求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．若随机变量服从二项分布，则可以直接使用E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解．4．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为于是，E(Y)＝0×0.3＋D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又因为P(300≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝P(300≤X＜900)P(X≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.。
2019-2020年高考数学二轮复习专题六概率与统计第1讲概率与统计的基本问题练习理
2019-2020年高考数学二轮复习专题六概率与统计第1讲概率与统计的基本问题练习理一、选择题1.(xx·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18C.12D.9解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.答案 B2.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③回归方程＝x＋必过(x，y)；④有一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( )A.0C.2D.3解析一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程＝x＋必过点(x，y)，③正确；因为K2＝13.079>10.828，故有99.9%的把握确认这两个变量有关系，④正确.故选B.答案 B3.(xx·新课标全国Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.58C.38D.78解析 由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78. 答案 D4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772解析 由X ～N (0，1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6， ∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3.∴落在阴影部分中点的个数x 估计值为x 10 000＝S1(古典概型)，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 答案 C5.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）参照附表，得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’ 与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析 由公式可计算K 2的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（45×15－30×10）255×45×75×25≈3.03＞2.706，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C. 答案 C 二、填空题6.(xx·广州模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________.解析 由所有小矩形的面积之和为1，得(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.035)×10＝1，得a ＝0.030.设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组中分别抽取的人数为n 1，n 2，n 3，则n 1∶n 2∶n 3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n 1＋n 2＋n 3＝18，所以n 3＝18×13＋2＋1＝3.答案 0.030 37.设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率是________.解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点，则Δ＝4－4ξ＜0，即ξ＞1.因为ξ～N (1，σ2)，所以该正态曲线的对称轴是x ＝1，根据正态曲线的性质得P (ξ＞1)＝12.答案 128.(xx·江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________. 解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 答案 0.1 三、解答题9.(xx·全国Ⅲ卷)如图是我国xx 年至xx 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码1－7分别对应年份xx ～xx(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测xx 年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：77119.32, 2.646.ii i i i yt y =====≈∑∑参数公式:相关系数，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b ^＝121()(),.()nii i nii tt y b ay bt tt ==--=--∑∑解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得7214,()0.55,i i t t t ==-==∑777111()()40.1749.32 2.89,i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝71721()()2.890.103. 1.3310.10340.92.28()ii i ii tt y y a y bt tt ==--=≈=-≈-⨯≈-∑∑ 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将xx 年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测xx 年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.10.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)1212(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率.解 (1)根据已知数据统计出n 1＝7，n 2＝2； 计算得f 1＝725＝0.28，f 2＝225＝0.08.(2)由于组距为5，用频率组距得各组的纵坐标分别为0.024，0.040，0.064，0.056，0.016.不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下.(3)根据样本频率分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30，35]的频率为0.2，估计其概率为0.2.设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30，35]的人数为ξ，则ξ～B(4，0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率为0.590 4.11.(xx·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.解(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85.所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.。
(通用版)2020高考数学二轮复习规范解答集训(三)概率与统计文
规范解答集训(三) 概率与统计(建议用时：40分钟)1．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．图1(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；图2(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．[解] (1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50，故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x 1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x 2，s 22.x 1＝81＋84＋92＋90＋935＝88，x 2＝79＋89＋84＋86＋875＝85，s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，∵88＞85,11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大，稳定性较差．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人．把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个， ∴P (M )＝315＝15，故这2人两科均获一等奖的概率为15.2．(2019·唐山模拟)最近青少年的视力健康问题引起人们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表：测六年级学生的近视率．附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55.[解] (1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a 1，a 2，b 1，b 2，c ，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，c )，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，(b 1，b 2，c )，共10种，设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 包含的基本事件为(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，共4种，故P (A )＝410＝25.(2)由题中表格数据得x ＝3，y ＝0.15,5x y ＝2.25,5x 2＝45，且由参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55，得b ^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a ^＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为y ^＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ^＝0.051×6－0.003＝0.303， 所以六年级学生的近视率在0.303左右．3．(2019·昆明模拟)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．[解] (1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A1，A2，A3，其余的3个分别记为B1，B2，B3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15种，其中2个成绩都低于80秒的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P＝315＝1 5.(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，其中x甲＝85(秒)，x乙＝84(秒)，s2甲＝50.2，s2乙＝54.答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x甲＞x乙，乙选手平均用时更短．答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然x甲＞x乙，但两者相差不大，水平相当，s2甲＜s2乙，表明甲选手的发挥更稳定．答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x乙＜x甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，s2乙＞s2甲，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一)4．(2019·昆明模拟)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：况；(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；②经计算求得y 与x 之间的回归方程为y ^＝1.382x －2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x 值精确到0.01)．相关公式：r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2.参考数据：∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝66，∑5i ＝1(x i －x )2∑5i ＝1(y i －y )2≈77.[解] (1)由题可知x ＝5＋2＋9＋8＋115＝7(百单)，y ＝2＋3＋10＋5＋155＝7(百单)．外卖甲的日接单量的方差s 2甲＝10，外卖乙的日接单量的方差s 2乙＝23.6，因为x ＝y ，s 2甲＜s 2乙，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．(2)①计算可得，相关系数r ＝6677≈0.857＞0.75，所以可认为y 与x 之间有较强的线性相关关系． ②令y≥25，得1.382x －2.674≥25，解得x ≥20.02， 又20.02×100×3＝6 006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元. 5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ^＝a ^＋b ^ x 与y ^＝c ^＋d ^x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β^＝∑ni ＝1(u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . [解] (1)由散点图可以判断，y ^＝c ^＋d ^x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
2020版高考数学大二轮培优文科通用版大题专项练：(四) 概率与统计 Word版含解析
大题专项练(四) 概率与统计A 组 基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为A i ,高二学生记为B i ,高三学生记为C i ,i=1,2,3…).①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2;高三:24×7=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A 1,高二2人记为B 1、B 2,高三4人记为C 1、C 2、C 3、C 4,①从中抽取两人,所有可能的结果为:A 1B 1、A 1B 2、A 1C 1、A 1C 2、A 1C 3、A 1C 4、B 1B 2、B 1C 1、B 1C 2、B 1C 3、B 1C 4、B 2C 1、B 2C 2、B 2C 3、B 2C 4、C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共21种.②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A ,B 两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A 校样本数据条形图B校样本数据统计表(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为x A=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3=6,60A校样本数据的方差为s A2=1×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-606)2]=1.5.从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为x B=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6,60×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9-B校样本数据的方差为s B2=1606)2]=1.8.因为x A =x B ,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又s A 2<s B 2,所以A 校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B 校好.(2)依题意,从A 校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×12=4,分别设为a ,b ,c ,d ;从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e ;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为f.所有基本事件有ab ,ac ,ad ,ae ,af ,bc ,bd ,be ,bf ,cd ,ce ,cf ,de ,df ,ef ,共15个, 其中满足条件的基本事件有ae ,af ,be ,bf ,ce ,cf ,de ,df ,ef ,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=9=3.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x (分钟)与乘客等候人数y (人)之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ^,再求y ^与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A ,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P (A )=1-515=23.(2)后面4组数据是:因为x =12+13+14+154=13.5,y =26+29+28+314=28.5, ∑i=14x i y i =1 546,∑i=14x i 2=734,所以b ^=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx2=1 546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4,a ^=y −b ^x =28.5-1.4×13.5=9.6,所以y ^=1.4x+9.6.当x=10时,y ^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1;当x=11时,y ^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.4x+9.6≤35,得x ≤1817,故间隔时间最多可设置为18分钟.4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47. 可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97, 99),(99,99),共15个.事件A包含的基本事件有10个,∴P(A)=10=2.(2)列表∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人),女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30×1=2(人),女生人数为45×1=3(人).设两名男生为A 1,A 2,三名女生为B 1,B 2,B 3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},共7个.所以P (C )=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B 组 能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1表1附:临界值表2(参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d )设各组的频率为f i(i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后四组的频数成等差数列,所以后四组频数依次为27,24,21,18,则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18,视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×82=820(人).设100名学生视力的中位数为x,则有(0.15+0.35+1.35)×0.2+(x-4.6)×(0.24÷0.2)=0.5,x≈4.7.(2)K2的观测值k=100(42×16-34×8)250×50×76×24=20057≈3.509<3.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间[200,500](单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为7.(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55 000个,∴收益为45 000×2+55 000×3=255 000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000.于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5000)×7÷1 000=248 150(元),∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.。
(新高考)2020高考数学二轮复习大题考法专训(四)概率与统计(最新整理)
大题考法专训(四）概率与统计A级-—中档题保分练1．(2019·全国卷Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5。
5”，根据直方图得到P(C）的估计值为0.70。
（1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值;（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解:(1）由已知得0.70＝a＋0。
20＋0.15，解得a＝0.35,所以b＝1－0。
05－0。
15－0。
70＝0。
10。
(2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0。
15＋3×0。
20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0。
10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0。
10＋5×0.15＋6×0。
35＋7×0.20＋8×0。
15＝6。
00.2．（2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为错误!，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2",求事件M发生的概率．解：（1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B错误!,从而P（X＝k)＝C错误!错误!k错误!3－k，k＝0,1,2,3。
2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第5讲统计、概率和成对数据的统计分析
∴P(X＞4)＝P(X＜0)＝0.158 7，
∴P(0≤X≤4)＝1－P(X＞4)－P(X＜0)＝1－0.158 7－0.158 7＝0.682
6.
故选C.
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高考二轮总复习 • 数学
5．(2022·萍乡三模)具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据(xi，
yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是^y＝b^x＋18，若 x1＋x2＋x3＋…＋x8
个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在
一个253
D．16
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【解析】 从 24 个节气中任选 2 个节气，这 2 个节气恰好在一个季 节的事件总数为：4C26 ＝60，
从 24 个节气中选取两个节气的事件总数有：C224 ＝276， ∴P＝26706＝253， 故选 C.
的平均数为2＋2 3＝2.5，
故选 D.
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3．(2022·青岛二模)二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中
的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句
诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬
小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这
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6．(2022·浦东新区二模)甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月
的产品生产产量(单位：件)情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：
60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是
浙江高考考前三个月数学文二轮专题复习训练7概率与统计(含答案详析)
专题七 概率与统计1． 基本事件的定义一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型(1)古典概型我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .3． 互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )． 4． 随机抽样抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值． 5． 总体分布的估计在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．1． (2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11B ．12C ．13D ．14答案 B 解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12(人)． 2． (2013·重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7424已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8D ．8,8答案 C解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.3． (2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120答案 B解析 少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)， ∴不少于60分的学生人数为480人．4． 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案 19解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.5． 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．答案 25解析 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25.6．则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2 解析 x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90， x乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.题型一 古典概型例1 (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．(2)设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，取出含有3个元素的子集的概率是( )A.310 B.112 C.4564D.15128审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解；(2)利用集合知识求出P 的全部子集个数和含3个元素的子集个数．答案 (1)2063(2)D解析 (1)P ＝4×57×9＝2063.(2)集合P 的全部子集个数为210＝1 024，含三个元素的子集个数为10×9×86.∴P ＝10×9×86×210＝15128.反思归纳 古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P (A )＝mn 求出事件的概率，解题关键是求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件个数．变式训练1 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共 9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种． 从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.题型二 互斥事件、对立事件的概率例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．审题破题 “不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥事件的和．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.反思归纳 运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解． 变式训练2 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解 方法一 (1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，而任取1球共有12种取法．∴任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法， ∴任取1球是红球或黑球或白球的概率 P 2＝5＋4＋212＝1112.方法二 记事件A ＝{任取1球为红球}， B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}， D ＝{任取1球为绿球}， 则P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.(或P 2＝1－P (D )＝1－112＝1112)．题型三 用样本估计总体例3 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比审题破题 (1)根据样本频率之和为1，求出参数a 的值；(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值；(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解．解 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．反思归纳 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小．变式训练3 (1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x甲<x乙，m甲<m乙C.x甲>x乙，m甲>m乙D.x甲>x乙，m甲<m乙答案 B解析由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显x甲＜x乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲＜m乙．(2)某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案75%71解析及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.典例(14分)(2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[7分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.[10分]因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]评分细则 (1)x ，y 计算正确得2分；若只有x ，y 的值而无计算过程得1分；(2)将事件A 正确拆分得1分；P (A 1)、P (A 2)、P (A 3)少一个扣1分；(3)没有指明A 1、A 2、A 3互斥扣1分．阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；(2)事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；(3)求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．1． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13答案 C 解析 e ＝ 1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况：当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．所以概率为66×6＝16.3． 盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3、2、1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红、黑球各一个 答案 D解析 红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．4． (2012·山东)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．5． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析 红色球分别用A 1，A 2，A 3表示，黄色球分别用B 1，B 2表示．从中随机取出2个球：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(A 1，A 2)，(A 2，A 3)，(A 1，A 3)共10种取法.2个球颜色不同共6种，故所求概率为610＝35.6． (2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20， 五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4. 由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.专题限时规范训练一、选择题1． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2． 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( )A.13 B.16125 C.18125D.19125答案 D解析 个位数字依次为1,2,3,4,5时，前两位数字之和依次为8,7,6,5,4，且依次有3,4,5,4,3种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P (A )＝3＋4＋5＋4＋3125＝19125.3． 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100 B.350 C.3100D.29答案 A解析 任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100.4． (2013·湖南)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 答案 D解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样． 5． 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32答案 D解析 摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.6． 任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( )A.2536 B.16 C.14D.112答案 D解析 P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，∴P ＝36×6＝112.7． 如图是2013年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则一定有( )甲 乙 0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7m93A.a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2大小与m 的值有关答案 B解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.8． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是 ( )A.29B.13C.89D ．1 答案 C解析 有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有 ①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅； ②(2,1)，此时B ＝{1}； ③(3,2)，此时B ＝{1,2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.二、填空题9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中xy为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12.10．(2013·山东改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为________．答案 367解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 11．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．答案 9解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.12．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．答案 24 23解析 x 甲＝110×(19＋18＋20＋21＋23＋22＋20＋31＋31＋35)＝24.x 乙＝110×(19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋30)＝23.三、解答题13．(2013·安徽)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由已知条件30n＝0.05，则n ＝600.在甲校高三年级抽取的30名学生中成绩在60分及60分以上的人数为25，因此甲校高三年级这次联考的及格率大约是2530＝56＝83.3%.(2)x 1＝[(7＋13＋24＋26＋22＋2)＋40＋50×4＋60×9＋70×9＋80×5＋90×2]÷30＝1 04215； x 2＝[(5＋14＋17＋33＋20)＋40＋50×3＋60×10＋70×10＋80×5＋90]÷30＝2 06930.x 1－x 2＝2 08430－2 06930＝12.14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.。
2020高考二轮复习概率与统计
专题四概率与统计第1讲概率、随机变量与其分布列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019古典概型·T6互斥事件、独立事件、离散型随机变量·T18独立重复试验的概率·T15随机变量的分布列、等比数列·T212018几何概型·T10古典概型·T8相互独立事件与二项分布·T8二项分布、导数的应用与变量的数学期望、决策性问题·T202017数学文化、有关面积的几何概型·T2二项分布的方差·T13频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18正态分布、二项分布的性质与概率、方差·T19(1)概率、随机变量与其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题或填空题和一道解答题．(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．考点一古典概型与几何概型1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.11162．(2019·市模拟考试)2019年1月1日，轨道交通1号线试运行，轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过地铁APP 抢票，小抢到了三体验票，准备从四位朋友小王、小、小、小中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小至多一人被选中的概率为( )A.16 B.13 C.23 D.563.(2019·市质量检测)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O ，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A.4π－6 3B.1－332πC.π－332D.332π4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34考点二 互斥事件、相互独立事件的概率1．(2019·市调研测试)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.292．(2019·市模拟(一))袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.16B.13 C.12 D.153．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．4．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．考点三随机变量的分布列、均值与方差题型一超几何分布与其均值与方差[例1](2019·模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)．(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．题型二相互独立事件的概率与均值与方差[例2](2019·市模拟(一))商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天无法售出，则食品过期作废，且两天的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(2)以两天该食品所获得的利润期望为决策依据，商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？题型三二项分布与其均值与方差[例3](2019·模拟)前不久，省社科院发布了2017年度“城市居民幸福排行榜”，市成为本年度“最幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数.(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列与数学期望．(2019·市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表．设备改造前样本的频率分布直方图设备改造后样本的频数分布表质量指标[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45) 值频数218481416 2(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据上表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．考点四正态分布[例4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)与X 的数学期望；(2)一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95用样本平均数x —作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.1，P(X≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800，1 200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)．考点五概率问题中的交汇与创新[例5](2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．1.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为13，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1＞0的解集为R的概率．2.某网络广告公司计划从甲、乙两个中选择一个拓展公司的广告业务，为此该公司随机抽取了甲、乙两个某月中10天的日访问量(单位：万次)，整理后得到如图所示的茎叶图.(1)请说明该公司应该选择哪个；(2)根据双方规定，该公司将根据所选的日访问量进行付费，付费标准如下：日访问量n (单位：万次) n <25 25≤n ≤35n >35 付费标准(单位：元/日)5007001 000哪个？【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·省适应性考试)在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为( )A.14B.13C.12D.232.(2019·八所重点中学联考)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.173．小、小钱、小、小到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.594．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )6．(2019·市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A.34B.58 C.716 D.916二、填空题7．(2019·市模拟(一))已知实数x ∈[0，10]，则x 满足不等式x 2－4x ＋3≤0的概率为________．8．我国数学家景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．9．(2019·期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.96)三、解答题10．(2019·模拟)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223，228](单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：微信群数量0至5个6至10个11至15个16至20个20个以上合计频数09090x 15300频率00.30.3y z 1(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X的分布列、数学期望和方差．12．(2019·市第二次质量检测)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年维修的次数，得下表：以这50X表示这2台机器超过质保期后延保的2年共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金与维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？B组1．(2019·市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．2．(2019·市质量检测)某地区为贯彻总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？3．(2019·市高三模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数5 6频数6040以200以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列与数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5，6}，以该客户的净水系统在使用期购买各级滤芯所需总费用的期望为决策依据，试确定m，n的值．4．(2019·四大名校模拟)超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡．某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1)．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.(ⅰ)试运用概率统计的知识，若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；(ⅱ)若p＝1－13e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.第2讲统计、统计案例[全国卷3年考情分析](1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以与变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．(2)统计与统计案例在解答题中多出现在第18或19题位置，考查茎叶图、直方图、数字特征与统计案例，多以计算为主．考点一抽样方法1．福利彩票“双色球”中红球的可以从01，02，03，…，32，33这33个两位中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球为()A.12B.33C.06D.16解析：选C被选中的红色球依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73 B.78 C ．77D.76解析：选B 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A.25，25，25，25B.48，72，64，16C.20，40，30，10D.24，36，32，84．某班共有学生56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．考点二用样本估计总体[例1](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数2358 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170 B.160，180C．160，170 D.180，1602．(2019·模拟)如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说确的是()A．该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高B．该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势C．该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D．该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元3．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 频数(2)求参赛选手初赛成绩的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？考点三 统计案例题型一 回归分析在实际问题中的应用[例2] (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例3](2019·市调研测试)2019年，在庆祝中华人民国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以某高校为了在学生中更广泛地推介普与军运会相关知识容，特在网络上组织了一次“我所知晓的军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1。