离散数学第八章
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离散数学第八章 欧拉图与哈密尔顿图
梦想不会辜负每一个努力的人
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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梦想不会辜负每一个努力的人
A B C
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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梦想不会辜负每一个努力的人
A B C
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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梦想不会辜负每一个努力的人
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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梦想不会辜负每一个努力的人
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
- 5/8页 -
梦想不会辜负每一个努力的人
《 第八章 欧拉图与哈密尔力的人
《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
- 7/8页 -
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《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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《 第八章 欧拉图与哈密尔顿图 》
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梦想不会辜负每一个努力的人
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梦想不会辜负每一个努力的人
工科离散数学 第8章 图
[定义8-3：度] 一个图G= <V,E>中，与结点v V关联的边数称作该结点的度（度
数）（degree），记作dG(v) ，或简记为d(v) 。有向图中，射出v的边数称为v的 出度，记作d+(v) ，射入v的边数称为v的入度，记作d-(v) 。
注意：(1)也可用d+(v)表示入度，用 d-(v)作为出度。
图能提供对问题和已知信息的一种清晰和直观的表达。一般认为，图论 （graph theory）作为数学的一个分支，起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七 桥问题的研究，但它的应用几乎遍布于科学研究与生产实践的每个领域。
8.1 图的基本概念
Discrete mathematics
[直观的图] 简单地说，图是由结点和结点之间的连线组成的图形，线长及 结点位置无关紧要。图论关心的是图形的拓扑结构，即研究与大小、形状 无关的点和线之间的关系。
8.1.2 结点的度与握手定理
Discrete mathematics
[定义8-4] 若G为无向图，称 (G)=maxv V{d(v)}为图G的最大度，称 δ(G)=minv V{d(v)}为图G的最小度。有向图G中，分别称
+(G)=maxv V{d+(v)} 、 δ+(G)=minv V{d+(v)}为最大出度和最小出度， -(G)=maxv V{d-(v)} 、 δ-(G)=minv V{d-(v)}为最大入度和最小入度。
01
命题逻辑
02
谓词逻辑
03
集合的概念 与运算
目录
04 05
关系
函数
06
运算与代数系统
07
环、域、格、 布尔代数
08
图论
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
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第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
离散数学-第八章函数
x (5) A B R , f ( x) 2 (x R ) x 1
能构成函数 f：A→B，但不是单射的，也不是满射的， 因为该函数在x=1处取得极大值f(1)=0.5。函数不是 单调的，且ranf ≠R+.
(6) A=B=R×R, f(<x,y>)=<x+y ,x-y> L={y|y∈R∧y=x+1}, 计算f(L). 能构成函数 f：A→B，且f：A→B是双射的. f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=R× {-1}
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
|A|=3，|B|=2，而|BA|=23=8
当A或B中至少有一个集合是空集时，可以分成下面三种情况：
1. A= 且 B= ，则BA= ={}。 2. A= 且 B≠ ，则BA=B ={}。 3. A≠ 且 B= ，则BA= A= 。
定义8.5 设函数f：A→B，A1 A， B1 B。 (1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。 特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。 f(A1) B (2) 令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f
离散数学 第八章 代数结构
第8章 代数结构
8.1
定理8.1
二元运算及其性质
设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有
关于运算*的左么元el和右么元er，则el=er=e，且A中的么元是 唯一的。 定义8.8 设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个 元素θl∈A，对于任意的元素x∈A都有θl*x=θl，则称θl为A 中关于运算 * 的左零元；如果有一个元素θr∈A,对于任意的元 素x∈A，都有x*θr=θr,则称θr为A中关于运算 * 的右零元；如 果A中的一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中 关于运算 * 的零元。显然，对于任一元素a∈A，有 θ*a=a*θ=θ。
第8章 代数结构
8.1 二元运算及其性质
定义8.6 设*，#是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如
果对于任意的a，b∈A，都有
a*（a#b）=a
a#（a*b）=a
则称运算*和运算#满足吸收律。
第8章 代数结构
8.1 二元运算及其性质
定义8.7 设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个 元素el∈A，对于任意的元素x∈A，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算 * 的左么元；如果有一个元素er∈A，对于任意的元 素x∈A都有x*er=x，则称er为A中关于运算 * 的右么元；如果A 中的某一个元素e，它既是左么元又是右么元，则称e为A中关 于运算*的么元。显然，对于任意元素x∈A，有el*x=x*er=x。
<x，y>*<1/x，-y>=<x*(1/x)，y+(-y)>=<1，0> 故，当x≠0时，<1/x，-y>为元素<x，y>的逆元，当x=0时，任 何元素和0相乘都等于0，因此，没有逆元。
广东工业大学《离散数学》课件 PPT 第8章 函数
2021/5/4
例8.2.4 解
（1）因为对任意y∈B，都存在x∈B，使得 <x,y>∈f，所以f是满射函数； （2）因为A中不同的元素对应不同的象，所以f是 单射函数； （3）因为f既是单射函数，又是满射函数，所以f 是双射函数。又因为A=B，所以f还是变换。
2021/5/4
设A，B为有限集合，f是从A到B的函数，则： f是单射的必要条件为|A|≤|B|； f是满射的必要条件为|B|≤|A|； f是双射的必要条件为|A|＝|B|。
2021/5/4
函数与关系的差别
函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较具备 如下差别：
1) 从A到B的不同的关系有2|A||B|个；但从A到B的
不同的函数却仅有|B||A|个。 (个数差别)
2) 关系的第一个元素可以相同；函数的第一元素
一定是互不相同的。
(集合元素的第一个元素存在差别)
3) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关
函数定义的示意图见图8.2.1。
图8.2.1
2021/5/4
结论
（1）<x,y>∈fy=f(x)； （2）<x,y>∈f∧<x,z>∈fy=z； （3）|f|=|A|；
（4）f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因 此f≠f(x)。
如果关系f具备下列两种情况之一，那么f就不 是函数：
（1）存在元素a∈A，在B中没有象；
从R1A1到={<Ba的,1不>,同<a的,2函>,数<b仅,1>有},2R21=24=个{<。a,1分>,别<a如,2下>,：<b,2>}, fRR1=1135{==<{{a<<,aa1,,>11,>>,,<<<bba,,,112>>>},,,<<fbb2,,=21{>><},a,<,Rb1,14>2=,>{}<<。ba,,22>>,}<,b,1>,<b,2>}, f3={<a,2>,<b,1>},f4={<a,2>,<b,2>}。
例8.2.4 解
（1）因为对任意y∈B，都存在x∈B，使得 <x,y>∈f，所以f是满射函数； （2）因为A中不同的元素对应不同的象，所以f是 单射函数； （3）因为f既是单射函数，又是满射函数，所以f 是双射函数。又因为A=B，所以f还是变换。
2021/5/4
设A，B为有限集合，f是从A到B的函数，则： f是单射的必要条件为|A|≤|B|； f是满射的必要条件为|B|≤|A|； f是双射的必要条件为|A|＝|B|。
2021/5/4
函数与关系的差别
函数是一种特殊的关系，它与一般关系比较具备 如下差别：
1) 从A到B的不同的关系有2|A||B|个；但从A到B的
不同的函数却仅有|B||A|个。 (个数差别)
2) 关系的第一个元素可以相同；函数的第一元素
一定是互不相同的。
(集合元素的第一个元素存在差别)
3) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关
函数定义的示意图见图8.2.1。
图8.2.1
2021/5/4
结论
（1）<x,y>∈fy=f(x)； （2）<x,y>∈f∧<x,z>∈fy=z； （3）|f|=|A|；
（4）f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因 此f≠f(x)。
如果关系f具备下列两种情况之一，那么f就不 是函数：
（1）存在元素a∈A，在B中没有象；
从R1A1到={<Ba的,1不>,同<a的,2函>,数<b仅,1>有},2R21=24=个{<。a,1分>,别<a如,2下>,：<b,2>}, fRR1=1135{==<{{a<<,aa1,,>11,>>,,<<<bba,,,112>>>},,,<<fbb2,,=21{>><},a,<,Rb1,14>2=,>{}<<。ba,,22>>,}<,b,1>,<b,2>}, f3={<a,2>,<b,1>},f4={<a,2>,<b,2>}。
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第8章答案
(P147) 2，32. 一房子的平面图如图。
问能否从前门进去，最后从后门出去，走过所有的门且每扇门只经过一次？解：建立无向图图模型如下：顶点表示房间和前后门区域，边表示房间(区域)之间的门。
原问题等价于如下的问题：在表示前门区域和后门区域的顶点之间，是否存在欧拉通路？答案是：存在，因为这个图是连通图，且这两顶点的度为奇数，而其余顶点的度均为偶数（图需重画）3. 对于有16个扇区和4个探测器的磁鼓，给出一种合理的0-1赋值。
解：00001001101011115. 说明下图不是哈密顿图。
解：从图中删除所标记的6个顶点， 所得到的图由7个孤立点组成，有7个连通分量。
所以，该图不满足哈密顿图的必要条件，因而不是哈密顿图（图需改，怎么改请看解答）*补充：为了测试计算机网络上的所有连接和设备，可以在网络上发一个诊断消息。
为了测试所有的连接，应当使用什么种类的通路？为了测试所有的设备呢？解：测试连接：欧拉通路；测试设备：哈密顿通路*13. 证明任意竞赛图都有有向哈密顿通路。
证明：考虑竞争图的某条长度最大的有向基本通路l，证明l含有所有的顶点，从而l是有向哈密顿通路。
采用反证法，假定存在不在l上的顶点。
不妨设顶点v不在l上，l=v1v2…v k-1v k。
v和v k之间的有向边必从v指向v k，否则l将不是最长的基本通路。
类似地，v和v1之间的有向边必从v1指向v。
从v2开始，顺着l找到第1个顶点v i，v和v i之间的有向边从v指向v i，（这样的顶点一定存在，因为v k就是这样的顶点）。
显然，v1v2…v i-1vv i…v k-1v k是基本通路，长度大于l。
这与l是长度最大的基本通路矛盾。
于是，l含有所有的顶点。
（需加图，请看证明）14. 设简单连通图G有n个顶点、e条边。
若G是平面图，则e≤3n-6。
证明：简单图任何回路的长度均不小于3，故简单平面图每个面的次数均大于等于3，所以e≤3(n-2)/(3-2)=3n-6（欧拉公式的推论）17. 若简单连通图G有n个顶点、e条边，则G的厚度至少为⎡e/(3n-6)⎤。
离散数学第八章
例.
数
学
第 八 章
一
些
特
殊
的 图
图中(1)(2)(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
离 8.2 欧拉图(即一笔画问题)
散 数
例.
学
第 八 章
一
些
特
殊
的 图
图1是欧拉图;
图2不是欧拉图, 但存在欧拉通路;
图3既不是欧拉图, 也不存在欧拉通路.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
离
散 有向图的欧拉回路判定定理
特
殊
的
图
8.4 平面图
例
K5, K3,3是极小非平面图, K5任意删除一条边后所得图 是极大平面图
离 8.4 平面图
散 数
8.4.1 平面图的基本概念
学 极大平面图、极小非平面图
定义8.8 设G为一个简单平面图, 如果在G中任意不相邻的
两个顶点之间再加一条边, 所得图为非平面图, 则称G为
第 八
极大平面图.
章 ➢若在非平面图G中任意删除一条边, 所得图为平面图, 则
一 些
称G为极小非平面图.
在3种情况下作二部图分别记为g满足t2的t条件所以存在从v的完备匹配图中粗边所示的匹配就是其中的一个即选张为物理组组长李为化学组组长不满足t条件但满足相异性条件因而也存在完备匹配图中粗边所示匹配就是其中的一个完备匹配
第八章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
八
p(C-V1)= r≤V1
章
一 些
一般说来,V1中的顶点在C上既有相邻的, 又有不相邻的, 因 而总有 p(C-V1)≤ V1.
特 又因为C是G的生成子图, 故