离散数学屈婉玲第二章
离散数学第2章(屈)
pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件
例如 这件事张三能做好, 且只有张三能做好。 T 设p: 张三做这件事, q: 这件事做好了。 T 形式化为: p q F P Q PQ
T
F T
T
F F
F
F
T
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实例
例5 求下列复合命题的真值 (1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝5 当且仅当 美国位于非洲.
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实例
例6 公式A=( p1 p2 p3 )(p1 p2)
5
数理逻辑
逻辑是研究人的思维的科学。
辩证逻辑：研究人的思维中的辩证法。
用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
ห้องสมุดไป่ตู้
形式逻辑：研究人的思维的形式和一般规律。
这里我们只关心形式逻辑。
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形式逻辑
人的思维过程： 概念 判断 推理 正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。 人们是通过各种各样的学习(理论学习和从 实践中学习)来掌握许多概念和判断。 而形式逻辑主要是研究推理的。 推理： 是由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
例如 0, p, pq, (pq)(pr), pqr, (pq)r
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公式的赋值
定义2.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中全部的命题变项, 给 p1, p2, … , pn指定一组真值, 称为对A的一个赋值或解释. 使公式为真的赋值称作成真赋值, 使公式为假的赋值称作 成假赋值。 说明: (1) 赋值记作=12…n, i=0或1, 诸i之间不加标点符号 (2) 通常赋值与命题变项之间按下标或字母顺序对应, 即 当A的全部命题变项为p1, p2, … , pn时, 给A赋值12…n 是指p1=1,p2=2,…,pn=n; 当A的全部命题变项为p,q,r,… 时, 给A赋值123…是指p=1, q=2, r=3, …
离散数学第二版屈婉玲版教材
离散数学第二版屈婉玲版教材
离散数学第二版屈婉玲版教材是一本全面而深入的教材，旨在教授离散数学的基本概念和技能，包括逻辑、集合论、图论、代数结构、组合数学等方面。
接下来是本教材的详细内容列表：
1. 逻辑基础
a. 命题逻辑
b. 谓词逻辑
c. 公式的语义和语法
d. 推理规则和证明方法
2. 集合论
a. 基本概念和符号
b. 集合运算
c. 集合关系
d. 经典悖论和公理化集合论
3. 图论
a. 基础概念和符号
b. 图的表示和存储
c. 图的性质和算法
d. 应用案例和扩展
4. 代数结构
a. 半群、幺半群和群
b. 环和域
c. 代数系统的性质和应用
5. 组合数学
a. 组合分析和计数原理
b. 具体应用案例
c. 生成函数和普通 generating function
d. Pólya 计数 and Burnside 引理
总的来说，这本教材简单易读，适用于国内的本科生和初、高中老师，而且注重了实际应用和练习，总推荐给所有学习离散数学的读者。
离散教学大纲
【离散数学】课程教学大纲【课程代码】 04043036【课程类别】专业任选课【学分】 3学分【总学时】 54学时【讲授学时】54学时【实验学时】【先修课程】高等数学、线性代数【适用专业】软件工程、网络工程、计算机科学与技术专业（软件方向）【教学目的】离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术专业重要的一门专业课程。
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维和严密的逻辑推理能力，为进一步学习专业课打好基础，并为学生今后处理离散信息，提高专业理论水平，从事计算机的实际工作提供必备的数学工具。
更重要的是对培养学生的抽象思维和严格的逻辑推理能力有极大作用，对提高学生的分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学的素质有很大的帮助。
【内容提要】本课程的内容分为三部分，即数理逻辑、集合论、图论。
数理逻辑能够培养学生的抽象思维和严格逻辑推理能力，并使学生掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
集合论是整个数学基础之一。
图论虽是一个独立的分支，在本课中可视为集合论的一个应用，它研究在一个有限集合上定义了一个二元关系所组成的系统。
研究任意离散系统，要为它建立数学模型，就要描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事务的运动规律。
集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推力理论，而具有一个二元关系的有限系统用图作为模型是十分自然而有用。
第一章命题逻辑基本概念基本要求1．理解命题和逻辑联结词的基本概念2．掌握公式分类和真值表构造重点难点重点：命题概念；几种重要的逻辑联结词难点：由五个逻辑联结词构成的公式及真值表；求给定公式真值表的方法授课学时4学时第一节命题与联结词掌握：命题的概念；逻辑联结词。
第二节命题公式及其赋值本节主要让学生掌握：命题公式；真值表。
第二章命题逻辑等值演算基本要求1．理解命题等值关系式2．掌握公式的析取范式和合取范式3．了解联结词的完备集重点难点重点：判别公式类型和公式等值变换，用等值演算法求公式的主析取范式和主合取范式难点：求公式的主析取范式和主合取范式授课学时6学时第一节等值式掌握：用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值变换的方法。
离散数学第1讲
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
以上5种最基本、最常用、最重要的联结词可以组 成一个集合{,∨,∧ ,ר,}，成为一个联 结词集，其运算的优先级为：,∨,∧,ר,, 对于同一级者，先出现者先运算。参见课本 第9页，基本复合命题的真值表。 例1.7：令p：北京比天津人口多。 q：2＋2＝4。 r：乌鸦是白色的。 求下列符合命题的真值： (1)((רp∧q)∨(p∧q))r (2)(q∨r)(pרr)
1) 这朵花多好看呀！ 不是命题，感叹句 2) 请你关上门！ 3) 全体立正！
不是命题，祈使句 不是命，祈使句
4) 明天是否开大会？ 不是命题，疑问句
5) 你听懂了吗？
不是命题，疑问句
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：凡是悖论都不是命题。
1) 我正在说谎。
不是命题，悖论
由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论， 都不是命题。
命题的分类
简单/原子命题：由不能再分解为更简单的 陈述句的陈述句构成。 如上例中的命题。 复合命题：由简单命题通过联结词联结而 成的陈述句。 如下例。
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第一章 命题逻辑基本概念——第1讲
例：将下面这段陈述句中所出现的原子命题符号化，并指出 它们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 解：这段陈述句中出现5个原子命题，将它们分别符号化为： p: 是有理数； q：2是素数； r：2是偶数； 2 s：3是素数； t：4是素数。 将原子命题的符号代入上面陈述中： 非p； q并且r； 如果q，则s； q当且仅当s。（半形式 化的语言）。 形式语言：完全由符号所构成的语言。
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)_0
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)离散数学习题解1习题11 . 1 .2 . 1 .3 . 1 .4 . 1 .5 . 1 .6 . 1 .7 . 1 .8 . 1 .9 .|下列命题用符号表示，并给出其真值:(1) 2+2(2) 2+2 = 4的充要条件是3+3？6.(3)2+2？4和3+3 = 6都是必要和充分的条件。
(4)如果2+2？4，然后3+3？6，反之亦然。
(1)p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1。
(2)p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。
(3)？p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。
(4)？p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1.1.13。
用符号表示下列命题，并给出每个命题的真实值:(1)如果今天是星期一，明天就是星期二。
只有今天是星期一。
明天是星期二。
(3)今天是星期一，只有明天是星期二。
(4)如果今天是星期一，明天就是星期三。
订单P:今天是星期一；问:明天是星期二；明天是星期三。
问？？1.(2) q？p？？1.(3) p？问？？1.(4) p？r何时p？？0为真；p？？一小时是假的。
1.14。
象征以下命题。
(1)刘跑得快，跳得高。
老王来自山东或河北。
(3)因为天气寒冷。
所以我穿上了羽绒服。
(4)王欢和李乐组成一个小组。
(5)李欣和李默是兄弟。
(6)王强和刘伟都学过法语。
他一边吃饭一边听音乐。
如果下大雨，他就乘公共汽车去上班。
只有下大雨时，他才乘公共汽车去上班。
除非下大雨。
他刚刚乘公共汽车去上班。
雪很滑，他迟到了。
(12)2和4是质数，这是错误的。
(13)“2或4是质数，这是错误的”是错误的。
离散数学习题解答(1)p？其中，刘跑得快，刘跳得高。
(2)p？其中，p:老王来自山东，q:老王来自河北。
(3)p？问:那里的天气很冷，问:我穿着羽绒服。
(4)p，其中P:王欢和李乐组成一个组，这是一个简单的命题。
离散数学屈婉玲版课后答案
离散数学屈婉玲版课后答案【篇一：离散数学第四版课后答案】xt>第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然??，但是??”、“不仅??，而且??”、“一面??，一面??”、“??和??”、“??与??”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月 13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。