2020年上海市奉贤区高考数学二模试卷(有答案解析)
解析：解：由题意，可将增广矩阵还原成二元一次线性方程组的形式为：
，且方程的解为：
．
将方程的解代入二元一次线性方程组，可得：
，
解得：
．
∴a+c=5． 故答案为：5． 本题可根据增广矩阵的定义将线性方程组还原，然后通过将方程的解代入方程组，可得到参数的值， 即可得到结果． 本题主要考查增广矩阵的定义以及与线性方程组的关系、互相转化等知识，本题属基础题．
似模型如下：
，又已知刚好过 1 小时时测得酒精含量值
为 44.42 毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题： （1）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （2）试计算喝 1 瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）
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20. 已知两点 F1（-2，0），F2（2，0），动点 P 在 y 轴上的射影是 H，且
∴椭圆的方程：
（x≠0）
故选：A． 根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭 圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个 易错题，容易忽略掉不合题意的点．
，
（1）求动点 P 的轨迹方程； （2）设直线 PF1、PF2 的两个斜率存在，分别记为 k1、k2，若 k1k2=1，求点 P 的坐标；
（3）若经过点 N（-1，0）的直线 l 与动点 P 的轨迹有两个交点为 T、Q，当
时，
求直线 l 的方程
21. 统计学中将 n（n≥2，n∈N*）个数 x1、x2、…、xn 的和记作
（1）若 ，求 θ；
（2）求
的值．
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18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥PD，PA=PD，AD 的中点是 E，
PE⊥面 ABCD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，
．
（1）求异面直线 PC 与 AB 所成角的大小；
（2）求面 PDC 与平面 PAB 所成二面角的大小．
5.答案：0
解析：解：行列式
=cos cos -sin
=0．
故答案为：0． 利用二阶行列式展形法则和三角函数的性质直接求解． 本题考查二阶行列式求值，考查二阶行列式展形法则和三角函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．
6.答案：160
解析：解：在
的展开式中的通项公式为 Tr+1= •2r•x6-2r，令 6-2r=0，求得 r=3，
8.答案：（x-2）2+y2=1
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解析：解：根据题意，参数方程
，则有
，
变形可得：（x-2）2+y2=1； 故答案为：（x-2）2+y2=1．
根据题意，将参数方程变形可得
，结合同角三角函数的基本关系式分析可得答案．
本题考查圆的参数方程，关键是掌握圆的参数方程的形式．
9.答案：5
可行域，再由 z=x+3y 得 y=- x+ ，从而求 z 的最小值．
本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．属于中档题．
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11.答案：0＜q＜1
解析：解：由题意可得
，∴
，解得 0＜q＜1，
故答案为：（0，1）．
由题意可得
，即
，由此解得公比 q 的取值范围．
，判断 x1，x2，x3，…，xn 是否为一个等比数列，请说明理由
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：在等差数列 0，0，0，……中，3+4＞1+2，则 a3+a4＞a1+a2 不成立，即充分性不成立， 在等差数列中，ak+al=2a1+（k+l-2）d，ap+ar=2a1+（p+r-2）d， 由 ak+al＞ap+ar 得 2a1+（k+l-2）d＞2a1+（p+r-2）d， 即（k+l-2）d＞（p+r-2）d，当 d＜0 时，k+l-2＜p+r-2，即 k+l＜p+r，即必要性不成立， 即 k+l＞p+r 是 ak+al＞ap+ar 的既不充分也不必要条件， 故选：D． 根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．
19. 国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量 阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百 毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾 车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，该函数近
同理∠OnAn+1Bn+1= ，所以 an+1=∠Bn+1An+1Cn+1=∠OnAn+1Cn+1+∠OnAn+1Bn+1=
=，
∴
，设
，令 k=-2k-π，得，k=- ，
即
，所以{ }是以 为首项，以- 为公比的等比数列．
∴
，所以
=
= ，同理当 n→+∞时，bn，cn
都→ ，
故三角形的极限为等边三角形． 故选：A． 根据相等的圆周角所对的弦长相等，将三角形边的问题转换为内角的问题． 解决本题需要用的圆的性质：相同的圆周角所对的弦长相等，从而把判断边的关系转化为判断交的 关系，在利用构造数列的方法解决问题，本题综合性较强，计算能力的要求较高，属于难题．
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 与原三角形相似
D. 以上均不对
二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）
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5. 计算行列式
=______．
6. 在
的展开式中常数项为______．
7. 设函数 y=f（x）=log2x+c 的图象经过点（2，5），则 y=f（x）的反函数 f-1（x）=______．
8. 参数方程
（θ 为参数，θ∈[0，2π））表示的普通方程为______．
9. 若关于 x、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是
，该方程组的解为 ，则 a+c=______．
10. 若 x、y 满足约束条件
，则 x+3y 的最小值为______．
11. 设等比数列{an}中，首项 a1＜0，若{an}是递增数列，则公比 q 的取值范围是______．
12. 双曲线的右焦点恰好是 y2=4x 的焦点，它的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的标准方程为
______． 13. 已知函数 y=f（x）为定义在 R 上的奇函数，且在[0，+∞）单调递减，当 x+y=2019 时，恒有 f（x）
+f（2019）＞f（y）成立，则 x 的取值范围是______． 14. 随机选取集合{地铁 5 号线，BRT，莘南线}的非空子集 A 和 B 且 A∩B≠∅的概率是______．
4.答案：A
解析：解：设第 n 个内切圆的圆心为 On，第 n 个三角形的内角，∠BnAnCn=an，∠AnBnCn=bn，∠AnCnBn=cn， 在四边形 OnAn+1BnCn+1 中， ∵An+1Cn+1⊥OnBn，OnAn+1⊥BnCn，
∴∠OnAn+1Cn+1=∠An+1BnOn= ，
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15. 实系数一元二次方程 ax2+bx+1=0（ab≠0）的两个虚根 z1、z2，z1 的实部 Re（z1）＜0，则
的模等于 1，则实数 m=______．
16. 设点 P 在以 A 为圆心，半径为 1 的圆弧 上运动（包含 B、C 两个端
点），
，且
，x+y+xy 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分） 17. 已知 sinθ、sinα、cosθ 成等差数列，sinθ、sinβ、cosθ 成等比数列．
宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重
端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，如图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm），
经该鼎青铜密度为 a（单位：kg/cm3），则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量=体
积×密度，单位：kg）（ ）
A. 1250aπ
B. 5000aπ
C. 3750aπ
D. 15000aπ
3. 已知△ABC 的周长为 12，B（0，-2），C（0，2），则顶点 A 的轨迹方程为（ ）
A.
（x≠0）
B.
（y≠0）
C.
（x≠0）
D.
（y≠0）
4. 设有△A0B0C0，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角 形△A1B1C1，再作△A1B1C1 的内切圆，得到的三个切点又确定一个 新的三角形△A2B2C2，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到 一个三角形序列△AnBnCn（n=1，2，3，…），它们的尺寸越来越 小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）
2.答案：C
解析：解：由三视图可知，鼎足可看成一个中空圆柱体， 外半径为 10cm，内半径为 5cm， 则其重量为：（100π-25π）×50a=3750a， 故选：C． 根据三视图得到中空圆柱体，容易计算． 此题考查了三视图，圆柱体体积等，属容易题．
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]【答案】C 【解析】 【分析】求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x ≥时，()()()'12xf x x e =---，令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+， ∴ln2m 1≤≤又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e-≤<， ∴1e22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.2．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG，1DQ 则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251． 故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 3．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A B ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.4．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==，所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.5．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅u u u r u u u u r的取值范围为（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】 【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u u u u r u u u u r u v u u u r u u u v u ，结合12AO O B +u u u u v u u u u v的范围即可求解【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u r u u u u r 2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+u u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v 其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=u u u u v u u u u v ，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦u u u r u u u u r .故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题 6．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ． 7．已知三棱锥,2,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ） A ．43π B ．4π C ．323πD ．43π【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】 由题,因为2,1,AC BC AC BC ==⊥,所以223AB AC BC =+=,设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.8．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），求导可得()f m 在()0,+?上单调递增,则()()01f m f >=-,问题转化为()1e 1e x ax x --<-,即()1e 1ex axx -≤-至少有2个正整数解,构造函数()()1e x g x x =-,()1eaxh x =-,通过导数研究单调性,由()0(0)g h =可知，要使得()()g x h x ≤至少有2个正整数解,只需()()22g h ≤即可,代入可求得结果. 【详解】构造函数()()ln 11f m m m =-+-（0m >），则()1111mf m m m '=-=++（0m >），所以()f m 在()0,+?上单调递增，所以()()01f m f >=-，故问题转化为至少存在两个正整数x ，使得()1e 1e x ax x -≤-成立，设()()1e x g x x =-，()1eax h x =-，则()e x g x x '=，当0x >时()0g x ¢>，()g x 单调递增；当0x >时，()h x 单调递增.()()22g h ≤，整理得3e e2a +≥.故选:B. 【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 10．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.11．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C 【解析】 【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.12．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =；当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海各区高三二模分类汇编-5解析几何(教师版)
2020年二模汇编——解析几何一、填空题【奉贤2】已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是【答案】2【解析】考察圆的参数方程, ()2264,2x y r -+==【松江3】已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。
因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =.【闵行3】若直线01=++by ax 的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为_______【答案】4π 【解析】()4,1tan ,1,1πθθ====k【奉贤4】已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为【答案】【解析】考察焦点三角形的面积21tan222P P b c y y θ=⋅⋅⇒=代入若原椭圆方程解得P x =，所以P点坐标为【宝山4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是 。
【答案】y x =±P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)【解析】由题意知by x a=±，a b =，所以y x =±。
【黄浦4】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案】6-【解析】60,6a a +==-【青浦5】双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.【金山6】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12【解析】2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为：x y a =±，12,2x y x a a ===【浦东6】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 ．【答案】相交【解析】直线l 的一般方程是10x y -+=，圆O 的一般方程是221x y +=，圆心到直线距1<，直线l 与圆O 的位置关系是相交【长宁6】直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知直线方程为()122y x =-+-，所以2k =【黄浦7】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+， 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为【答案】221520x y -= 【解析】22222222,5,5255,1520b x yc c a b a a a ===+==⇒=-= 【浦东8】已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】12222=-y x【解析】抛物线x y 42=的焦点为()10，，设双曲线的方程为22x y λ-=，即221x y λλ-=，则1+12λλλ=⇒=，所以双曲线的方程是12222=-y x 【徐汇8】已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 .【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±【杨浦8】已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为15cos 5sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C 5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l 【虹口10】已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >）的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60o的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为【答案】232+【解析】依据题意画出大致图像：因为1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，即等价为1290F MF ︒∠=211tan 3,22M F MF S b y ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得：()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=【嘉定11】设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=【青浦11】已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的ABC ∆的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x.令22212121ABx x k x x x x -==+=-ABC中22313131ACx x k x x x x -==+==-223232325BCx x k x x x x --==+==-由此可得出13210x x x ++=-.【黄浦12】点A是曲线y =（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22； （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+； 其中正确结论的序号是 【答案】①②【解析】（1）由题意可知，曲线22y x =+（2y ≤）是双曲线22122y x -=的上半支，根据双曲线定义可知，正确（2）曲线28x y =的准线2y =-，故正确（3）||||||||||5||5||||522PA AB BC PA AB QB PA AQ ++=++-=+-=+,故错误【奉贤12】在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m = 【答案】51-+，12-，16-【解析】12||2122m AB m pm p m<∴=-∴=∴=Q 抛物线的准线方程为14x m =-由抛物线的定义知1||||4AF m m =+于是条件可转化为12(2)||64m m m-++= 当0m >时, 25481012m m m +-=∴=-+(舍负) 当0m <时, 21128106m m m ++=∴=-或12m =- 【杨浦12】已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二、选择题【宝山13】抛物线24y x =的准线方程是（ ）【A 】2x =- 【B 】1x =- 【C 】18y =-【D 】116y =- 【答案】D【解析】 由24y x =得到214x y =，则其准线方程为116y =-. 【虹口13】已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：4【松江13】若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（ ）【A 】2【B【C 【D 】2 【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==【崇明14】若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）【A 】1- 【B 】1 【C 】2 【D 】13 【答案】B【解析】由()20,2=⇒c F ，所以1432=⇒=+=n n c ，故选B【闵行15】已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于,M N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） 【A 】2- 【B 】12-【C 】1【D 】1- 【答案】D【解析】设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m E y x N y x M my x l 1,0,,,,,1:2211 112114,4044412121221*********-=+⋅--=+-+-=+-==+∴=--⇒⎩⎨⎧=+=y y y y m y m y y m y y y m y y my y xy my x λλ【青浦15】记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=（ ）．【A 】2 【B 】4 【C 】3【D 】【答案】D【解析】令2222cos ,sin 441x ny n θθ==+，2cos ,x y θθ∴==2cos ),x y θθθϕ∴+=+=+lim n n n μ→∞→∞∴==【杨浦15】设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()202020202100520,5,0,5,,y x y x s F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B 三、解答题【宝山20】已知直线:l y kx m =+ 和椭圆22:142x y Γ+=相交于点()()1122,,,A x y B x y .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点)C在Γ上，若0m =，求ABC ∆面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l的距离是3，证明：AOB ∆为直角三角形。
2020届上海市奉贤区高三二模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市奉贤区高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A ．1.5小时B ．1.0小时C ．0.9小时D ．0.6小时答案：C直接利用加权平均数公式求解 解：解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为1(50200.510 1.010 1.55 2.0)0.950⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C 点评：此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题2．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 解： 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 点评：本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.3．设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*n ∈N ，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A ．1B ．aC ．1aD ．1a或a 答案：C由已知可得10na ->，得01a <<，所以lim 0nn a →∞=，从而可求出()lim f n n n a a a→∞+的值 解：解：因为()log (1)xa f x a =-，所以log (1)()1lim lim lim na a f n nn n nn n n a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-==+++， 因为10n a ->，所以01a <<，所以lim 0nn a →∞=， 所以log (1)()11lim lim lim na a f n n n n n n n n a a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-===+++，故选：C 点评：此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题二、填空题4．球的表面积为216cm π，则球的体积为___________.答案：323π解：2343242,6331R R V R ππππ=∴===Q 5．已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是________答案：2化为直角坐标方程可得其圆心和半径 解： 解：由62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得，222(6)2x y -+=，所以此圆的圆心为(6,0)，半径为2 故答案为：2 点评：此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题6．设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =________ 答案：180± 直接代入化简求解 解：解：由2021i z b =+和22029z z ⋅=得2(2021)(2021)2029bi bi +-=， 22220212029b +=所以22220292021(20292021)(20292021)b =-=+-，232400b =，解得180b =±，故答案为：180± 点评：此题考查的是复数的运算，属于基础题7．已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为________答案：若设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，结合椭圆的定义和直角三角形可得，2220242m n am n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，从而可求出0x ，然后将0x 的值代入椭圆方程中可求出0y解：解：曲线22:1412x y Γ+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中2212,4a b ==，则28c =，得23,4,22a b c ===，设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，因为12F PF ∠是直角，所以2220242m n a m n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得02x =，将02x =代入椭圆方程中得，2021412y +=，解得06y =（负根舍去） 所以点的坐标为(2,6)， 故答案为：(2,6) 点评：此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题8．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的最大值是_____． 答案：2作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则OA OM ⋅=-u u u r u u u u rx +y ， 设z ＝﹣x +y ，则y ＝x +z ，平移直线y ＝x +z ，当直线y ＝x +z 经过点A 时，直线y ＝x +z 的截距最大，此时z 最大，由22y x y =⎧⎨+=⎩得02x y =⎧⎨=⎩，得A （0，2），此时z ＝﹣0+2＝2， 故⋅u u u r u u u u rOA OM 的最大值是2， 故答案是：2. 点评：该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.9．从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示） 答案：45从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解 解：解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有3620C =种方法，而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有21244C C =种；第二种2男1女，有122412C C =种，所以所求的概率为2112242436164205C C C C P C +=== 故答案为：45点评：此题考查的是古典概率的求法，属于基础题10．ABC V 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 答案：0,3π⎛⎤⎥⎝⎦由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定。
2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年上海市奉贤区高考数学二模试卷1. 已知集合，，若，则______ .2.已知，，且，i是虚数单位，则______ .3. 的二项展开式中项的系数为______ 用数值回答4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为______.5. 某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量X服从正态分布统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为______ 人.6. 已知两个正数a，b的几何平均值为1，则的最小值为______ .7. 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是______.8. 已知随机变量X的分布为，且，若，则实数______ .9. 设圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为______ .10. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若的面积为，则的度数为______.11. 在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是______ .12. 已知为R上的奇函数，且当时，，则的驻点为______ .13. “”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )A. B. C. D.15. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据…，得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是( )A. B. C. D.16. 设是一个无穷数列的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有，则为和谐数列；②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.以上3个命题中真命题的个数有个.( )A. 0B. 1C. 2D. 317. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列.求的通项公式；计算18. 如图，在四棱锥中，，且证明：平面平面PAD；若，，且四棱锥的体积为，求PB与平面ABCD所成的线面角的大小.19. 设函数的定义域是R，它的导数是若存在常数，使得对一切x恒成立，那么称函数具有性质求证：函数不具有性质；判别函数是否具有性质若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由.20. 某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道.为了简单起见，现作如下假设：假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示.图图3中的相关边、角满足以下条件：直线BA与DE的交点是O，，米.小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭.根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米.假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示.求QC的长；假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作交BC于M，作交DC于沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示.求修建的总路长的最小值；请你对和涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价.21. 已知椭圆C：，，椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于、N是不同的两点.若椭圆C的离心率是，求b的值；设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；若点，满足且，则称点U在点V的左上方.求证：当时，点N在点M的左上方.答案和解析1.【答案】2【解析】解：，，故答案为：根据题意可得出，然后即可求出a的值．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】2【解析】解：，且，，，故答案为：根据可求出x，y的值，进而得出的值．本题考查了时，，，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】40【解析】解：的二项展开式中的系数为：故答案为：根据的二项展开式即可求出的二项展开式中的系数．本题考查了二项展开式公式及二项式定理，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为，所以该圆柱的轴截面面积为，解得，该圆柱的侧面积为故答案为：根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的侧面积．本题考查了圆柱侧面积和轴截面的应用问题，是基础题．5.【答案】200【解析】解：因为数学考试成绩服从正态分布，又，所以，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：利用正态分布的参数的含义和正态分布曲线的对称性，计算此次统考中成绩不低于120分的概率即可得到答案．本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立．故答案为：由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：设“能活到20岁”，“能活到25岁”，则，，而所求概率为，由于，故，于是，所以这个动物能活到25岁的概率是故答案为：根据事件间的保函关系，结合条件概率公式，可得结论．本题考点是条件概率，考查利用条件概率的公式建立方程求概率的能力，对于条件概率的问题，要弄清楚谁在谁的条件下发生，即要清楚了解事件之间的关系，再利用公式建立相关的方程正确求解．8.【答案】【解析】解：随机变量X的分布为，则，，则，解得故答案为：根据已知条件，结合离散型随机变量期望公式，以及期望的线性公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望公式，属于基础题．9.【答案】【解析】解：圆，即圆，表示圆心为，半径为1的圆．设双曲线的渐近线为，即则由圆与双曲线的渐近线相切，可得，求得，故双曲线的渐近线方程为，即故答案为：由题意，求出双曲线的渐近线方程，根据直线和圆相切的性质，点利用到直线的距离公式，求得的值，可得结论．本题主要考查双曲线的渐近线方程，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．10.【答案】【解析】解：由余弦定理可知故答案为：先由余弦定理求得，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得和的关系求得本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．11.【答案】3【解析】解：由题可得满足题意的向量有，，，，以向量为邻边的平行四边形的面积为：，以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：；以，为邻边的平行四边形面积为：，综上可知面积不超过4的平行四边形个数是故答案为：可得出满足题意的向量为：，，，，然后根据三角形面积公式及向量夹角的余弦公式可得出以为邻边的平行四边形的面积为：，然后可分别求出以：，，，中的两个向量为邻边的平行四边形面积，从而可得出答案．本题考查了三角形的面积公式，向量夹角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：根据题意可得：当时，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，在上单调递增，且，又为R上的奇函数，的驻点为故答案为：先求当时的导函数，再设，利用导数可求出，从而可得，从而得在上单调递增，又，从而再根据驻点的概念与函数的性质，即可得解．本题考查利用导数研究函数的驻点，化归转化思想，属中档题．13.【答案】A【解析】解：当时直线的斜率是，直线的斜率是2，满足时直线与垂直，直线与垂直，则，解得，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件．故选：当时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足即可．利用直线的垂直求出a的值，然后判断充要条件即可．本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．14.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．【解答】解：由于的周期为，故A不满足条件；由于的周期为，故B不满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递增，故C满足条件；由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D不满足条件，故选：15.【答案】D【解析】【分析】本题考查回归方程，考查学生的读图识图能力，是基础题．直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】解：由散点图可知，在至之间，发芽率y和温度x所对应的点在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．故选：16.【答案】D【解析】解：对于①，由，可得，则，即，若，则，故①正确；对于②，设等差数列的公差为d，则，则，即为公差为的等差数列，若为和谐数列，即，则，所以关于n的二次函数开口向上，则在上一定存在最小值，故②正确；对于③，取，则，，下面证明，即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列，即证，即证，即证，当，时，上式左边为负数，显然成立；当，时，即证，即证，设，则，即式成立，故③正确．故选：对于①，由，可得，若，易知，即可判断①正确；对于②，由等差数列的性质可知为公差为的等差数列，再结合题意可知关于n的二次函数开口向上，由二次函数的性质可判断②正确；对于③，取，证明，即可判断③正确．本题以新定义为载体，考查数列通项公式与前n项和的综合运用，涉及了利用导数以及函数知识的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题目．17.【答案】解：设等差数列的公差为，则，因为，，成等比数列，所以，即，代入，解得舍去所以，所以的通项公式为；因为，所以数列正整数是以25为首项，为公差的等差数列，所以【解析】设出公差，利用题干条件列出方程，求出公差，进而写成通项公式；在的基础上，得到，即数列正整数为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】证明：在四棱锥中，，，，又，，，平面PAD，平面PAB，平面平面PAD；解：取AD中点O，连结PO，，O为AD的中点，，平面PAD，平面PAD，，，底面ABCD，设，则，，四棱锥的体积为，底面ABCD，，解得，，，底面ABCD，为PB与平面ABCD所成的角，在中，，，故PB与平面ABCD所成的线面角为【解析】根据已知条件，结合线面垂直的判定，推出平面PAD，再结合平面PAB，即可求证；取AD中点O，结合线面垂直的判定，推出底面ABCD，再结合四棱锥的体积公式，推得PA，即可求出PB，再结合为PB与平面ABCD所成的角，即可求解．本题主要考查平面与平面垂直的证明，以及直线与平面所成角的求解，属于中档题．19.【答案】证明：假设具有性质，即对一切x恒成立，，解得，显然不存在实数m使得成立，故假设错误，原命题成立；解：假设具有性质，即对一切x恒成立，即对一切x恒成立，故，即，解得，综上所述，当时，具有性质【解析】根据已知条件，结合假设法，以及性质的定义，即可求解；根据已知条件，结合正弦函数的求导法则，以及性质的定义，即可求解．本题主要考查函数恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：如图，以O原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点Q为弧的中点，，即，又可以计算得，米，的长约为346米；设，则，，，设修建的总路长为，则，，令，则，，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，的最小值为米，修建的总路长的最小值约为651米；涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优短路径；涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷不利于AB段附近居民前往【解析】建系，根据三角函数的定义，两点间距离公式，即可求解；设，从而可构建修建的总路长为y关于的函数模型，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出函数的最值；根据比较设计方案总路径的大小，即可作答．本题考查坐标法的应用，两点间距离公式的应用，函数模型的建立，函数思想的应用，属中档题．21.【答案】解：因为椭圆C的离心率是，当时，，得；当时，，得；所以b的值为1或4；由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM 的方程，设则，直线BN的方程，设，则，由图，，注意到，则又，同理可得，则证明：由题意，直线AM的斜率存在，直线BN的斜率存在，，直线AM的方程，设则，，直线BN的方程，设，则，则，又在椭圆内部，则，故，又根据题意知，所以，所以当时，点N在点M的左上方．【解析】分，两种情况结合离心率计算式可得答案；联立直线AM的方程与椭圆方程可得，联立直线BN的方程与椭圆方程可得结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得，大小，又由题意可得，大小，即可证明结论．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．。
2020届上海市奉贤区高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)
上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=______．2．函数y=的定义域是______．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=______．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=______．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为______．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=______．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=______cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为______．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=______．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是______．12．在（x++1）6展开式中的常数项是______（用数值作答）13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取﹣1值范围是______．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．函数y=的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：2n﹣1≥0，解得n的范围即可．【解答】解：根据题意得：2n﹣1≥0，解得：n≥0．∴函数y=的定义域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．注意偶次开方一定非负．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC 的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的各项和，属基础题．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．把极坐标方程ρ=sinθ+cosθ化成直角坐标标准方程是（x﹣）2+（y﹣）2=．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】先在极坐标方程ρ=sinθ+cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【解答】解：∵ρ=sinθ+cosθ，∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ，∴x2+y2=y+x，即x2+y2﹣x﹣y=0．即（x﹣）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．12．在（x++1）6展开式中的常数项是581（用数值作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2kx r﹣2k，令r﹣2k=0，对k，r分类讨论即可得出．【解答】解：T r+1=，（r=0，1，…，6），令的展开式的通项公式T′k+1==2k x r﹣2k，令r﹣2k=0，k=0，r=0时，可得：T1=1．k=1，r=2时，可得：T3=，T′2=，∴=60．k=2，r=4时，可得：T5=，T′3==24，∴×24=360．k=3，r=6时，可得：T7=，T′4==160，∴×160=160．∴（x++1）6展开式中的常数项是1+60+360+160=581．故答案为：581．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故答案为：6．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．14．若数列{a n}前n项和S n满足S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2，n∈N+），且满足a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（2，3）．【考点】数列递推式．【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件，{a n}单调递增，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件S n﹣1+S n=2n2+1（n≥2）得S n+S n+1=2（n+1）2+1，两式相减得a n+1+a n=4n+2，故a n+2+a n+1=4n+6，两式再相减得a n+2﹣a n=4，得{a n+2}是公差d=4的等差数列，由n=2得a1+a2+a1=9，a2=9﹣2x，从而a2n=4n+5﹣2x；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=19，a3=1+2x，从而a2n+1=4n﹣3+2x，由条件得，解得2＜x＜3，故x的取值范围为（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与a n的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．【点评】本题考查了线面角的定义，异面直线所成的角的计算，属于中档题．16．已知log2x，log2y，2成等差数列，则M（x，y）的轨迹的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据等差中项，得到2log2y=2+log2x，继而得到y2=4x，x＞0，y＞0，问题得以解决．【解答】解：∵log2x，log2y，2成等差数列，∴2log2y=2+log2x，∴y2=4x，x＞0，y＞0，∴M（x，y）的轨迹的图象为焦点为（1，0）的抛物线的一部分，x＞0，y＞0，故选：A．【点评】本题考查了等差中项和对数的运算性质，以及抛物线的问题，属于基础题．17．设，那么以|z1|为直径的圆的面积为（）A．πB．4πC．8πD．16π【考点】复数求模．【分析】由已知可得： +4=0，解得=i，即可得出．【解答】解：∵，∴+4=0，解得==i，∴|z1|=|z2||1i|=4，∴以|z1|为直径的圆的面积为22π=4π．故选：B．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有两个负实数解，则b的取值范囤为（）A．（3，5） B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5.25，﹣5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（13分）（2016•奉贤区一模）平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D 做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面PBE 与面ABC所成的锐二面角的大小．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，直线BC即为面PBE与面ABC的交线；理由如下：∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴=，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴V B﹣PADE =S梯形ADEP•AB=（1+2）×1×AB=，解得AB=．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（，0，2），=（0，1，﹣1），设二面角PBE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣，1，1），平面ABC的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞===，∴面PBE与面ABC所成的锐二面角的大小为arccos．【点评】本题考查了平面的性质，二面角的计算，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（13分）（2016•奉贤区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M，N，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，问：直线l是否定向的，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组能求出椭圆C的标准方程．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l不定向．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m，（km≠0），联立，得（1+4k2）x2+4kmx+4（m2﹣1）=0，△=16（4k2﹣m2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，∴=k2，∴﹣+m2=0，∵m≠0，∴k2=，方向向量=（±2，1）．∴直线l不定向．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否定向的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列、椭圆性质的合理运用．21．（14分）（2016•奉贤区一模）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．【点评】本题考查解三角形的数学模型的解法，注意运用余弦定理和同角的平方关系和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2016•奉贤区一模）（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．【点评】本题考查了不等式的证明，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．23．（18分）（2016•奉贤区一模）数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，当n≥2时，求a n的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意可知a n•b n=a n﹣1•b n﹣1=…=a1•b1，故问题得以证明；（2）根据{a n}是递减数列，得到（a1﹣b1）2＞0，a n＞b n，得到a1＞b1恒成立，（3）先判断a n +1＞2，再根据a n +1﹣a n =，得到a n +1﹣a n ＜0，{a n }是递减数列，即可得到a n ﹣a 2＜0，求出a n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴2a n +1=a n +b n ， =，∴b n +1=，∴a n +1b n +1=a n •b n ，∴a n •b n =a n ﹣1•b n ﹣1=…=a 1•b 1，∴{a n •b n }是常数列；（2）{a n }是递减数列，a n +1﹣a n ＜0，∵a 2﹣a 1=（a 1+b 1）﹣a 1=（b 1﹣a 1）＜0∴a 1＞b 1，∵a 3﹣a 2=（b 2﹣a 2）＜0，∴a 2＞b 2，∵（a 1+b 1）＞， ∴（a 1﹣b 1）2＞0，猜想a n +1﹣a n =（b n ﹣a n ）＜0，∴a n ＞b n ，∴a 1＞b 1恒成立，∵a k +2﹣a k +1=（b k +1﹣a k +1）==＜0， ∴a 1＞b 1时，{a n }是递减数列．（3）整理得a n +1=（a n +），a 1=4，∴a 2=，∴a 1＞0⇒a 2＞0⇒a 3＞0⇒…⇒a n ＞0，当n≥2时，a n﹣2=（a n+）﹣2=＞0，+1＞2，∴a n+1﹣a n=（b n﹣a n）==，∴a n+1∵a n＞2，﹣a n＜0，∴a n+1∴{a n}是递减数列，∴a n﹣a2＜0，∴a n∈（2，]【点评】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及a n的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．。
上海市奉贤区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准
崇明区2020届第二次高考模拟考试数学学科参考答案及评分标准一. 填空题 1.323π；2. 2；3. 180±；4. ；5. [0,2]；6. 45；7. (0,]3π；8. 1或5；9.2π；10. (,1)[4,)-∞-+∞U ；11. ；12. 1-+，12-，16-；二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. A三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．解：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立 空间直角坐标系O －xyz ，则D （0，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），B 1（2，2，4） 3分 设E （0，2，t ），∵1(2,0,),(2,0,4),BE t BC =-=--u u u r u u u r114040BE BC BE BC t ⊥∴⋅=+-=u u u r u u u rQ ，1,1t EC ∴==（2）设(,,)n u v w =r是平面BED 的一个法向量. 因为n BE ⊥r u u u r ，n BD ⊥r u u u r ，所以20n BE u w ⋅=-+=r u u u r，022=--=⋅v u BD n可以取得其中的一个法向量得(1,1,2)n =-r4由1(0,2,4)A B =-u u u r， 设直线1A B 与平面BED 所成的角为θ63020610sin =⋅==θ，所以sin arc θ= 所以直线1A B 与平面BED 所成的角的大小为sin 6arc . 3分 第1问7分（3+4），第2问7分（4+3）18．解：（1）1,1,sin a b a b x ==⋅=-r r r r2分()x f =()xxx f sin sin 212--+=λλ 2 分21sin ,2sin sin 221=∴-=--=x x x ，λ 2分⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,65262ππππ或 2分 不写集合扣2分，不写Z k ∈扣1分 （2）()λλλλ2sin 1sin sin 2122+-+=--+==xxxx f()()λ4=-+∴x f x f 2分()()2,21=-+=∴x f x f λ 所以()f x P ∈ 2分 ()()2,21≠-+≠∴x f x f λ 所以()f x P ∉ 2分（注意集合运算符号错扣1分，例如()x f P 这样的是错的） 第1问8分（4+2+2），第2问6分（2+2+2）不写集合扣2分，不写Z k ∈扣1分19．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v300， 全程运输成本为23003003000001000300y bv bv v v v =⋅+⋅=+ 故所求函数()bv vv f y 300300000+==，定义域(]100,0∈v 5+1分（2）依题意知,b v 都为正数，故有1000y bv v=+≥ 当且仅当bv bv v 1000,1000==即时上式中等号成立 2分 若bv b b 1000,101,1001000=≥≤则当时，全程运输成本y 最小 1分 若]100,0(1010,1001000∈<<>v b b 当时，有300000300,(0,100].y bv v v=+∈ ()()()300000100300300030000f v f bv b v -=+-+)10)(100(300bv v v--= 因为1000,10-0,v bv -≥>故有()bv v v f y 300300000+==在(]100,0∈v 上单调递减，所以当且100=v 时等号成立，全程运输成本y 最小 5分⊂≠第一类3分应用基本不等式并指出什么时候取到得3分（1+2） 第二类5分：只有结论不证单调性扣4分 第1问6分（5+1），第2问8分（3+5） 20．解：（1=2分y =+-=解出Q3分（2）10PF TT⋅=u 所以)F1分 得2216a b =⎪+=⎩，解得2233a b ⎧=⎨=⎩ 2分 所以双曲线的方程是223x y -= 1分 （3）假设存在满足题意的直线l ，设l 为y kx t =+由223y kx t x y =+⎧⎨-=⎩得222(1)230k x ktx t ----=， 此步不得分 ()()222244130k t k t ∆=+-+>得出22330t k +->且21k ≠ 1分 所以22112kktx x -=+ 设11(,)M x y 、22(,)N x y ，线段MN 的中点1212(,)22x x y y H ++， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--t k tk k kt H 2221,1，得22(,)11kt t H k k -- 2分 因为QN QM =，所以1QH k k ⋅=-， 此步不得分得221111tk k kt k +-⋅=--化简得221k t =+ 2分所以6t >或0t <，所以，213k >或201k <<， 找到一条斜率为k 的直线212-+=k kx y ,()()()()+∞--∞-∈,131,00,113,Y Y Y k.（只回答结论没道理不给分） 2分第1问5分（2+3），第2问4分（1+2+1），第3问7分（1+2+2+2）21．解：（1）在{}n c 中，01012n =时，{}n c 有最大值10112022C ， 2分在{}n d 中，01011n =或时01013n =或，{}n d 有最大值10002022C ， 2分所以{}n c 与{}n d 不具有性质 1分（2）令19823nn b =-，则3(13)3319821982+31322n n n T n n -=-=-⋅- 由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩ 即1133331982+31982(1)+3222233331982+31982(1)+32222n n n n n n n n -+⎧-⋅≥--⋅⎪⎪⎨⎪-⋅≥+-⋅⎪⎩得131********n n +⎧≤⎨≥⎩所以331982log log 19823n ≤≤，又*2,n n N ≥∈， 所以6n =时，6max 331982631080022n T =⨯+-⋅= 3分所以{}n S 与{}n T 具有性质P 所以6n =时，max 10800n S =60,70n a t dn t d t d =-∴->-<n a t dn =-是等差数列，所以()666108002t d t d S -+-⨯== 2分,*27360067t d N t d d t d ∈⎧⎪-=⎨⎪<<⎩解出360636134313,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩L 一共102个数列 2分 （3）因为()11n n n n a a b b λ++-=-，n *∈N ,当*2,n n N ≥∈时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11221()()()0n n n n b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+1()0n n b b b λλ=-+=n n a b λ= 1分当1n =时，110a b ==，符合上式所以n n a b λ=，*n N ∈ 1分因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大值假设()0max n n a a =，()0max n n b b '= 1分因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以0000,=n n n n a b '=∴ 1分1λ=时显然成立 1分假设1>λ，则显然()0max n n a a =()0max n n b b'=000n n n b b a >=λ产生矛盾，同法1<λ，也产生矛盾所以1=λ 说理唯一性 1分 第1问5分（2+2+1），第2问7分（3+2+2），第3问6分（3+3）。
上海市奉贤区2020-2021学年数学高考二模卷(详解版2021.04)
2020学年奉贤区学科教学质量调研高三数学（2021.4）（完卷时间120分钟，满分150分）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.经过点(2,4)的抛物线2y ax =焦点坐标是2.把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是厘米3.已知1i1iz -=+（i 是虚数单位）是方程210x ax -+=（a ∈R ）的一个根，则||z a -=4.已知各项为正的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25760a a a +-=，则11S =5.已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为万元家庭年收入（万元）[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10)频率f0.20.20.20.260.070.076.某参考辅导书上有这样的一个题：△ABC 中，tan A 与tan B 是方程2310x x --=的两个根，则tan C 的值为（）A.32-B.32C.12D.12-你对这个题目的评价是（用简短语句回答）7.用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件{A =码中至少有两个1}的概率是8.设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >，对任意的1n ≥，n ∈N 均有14n n S a +≤，则q 的取值为9.函数331x x ay =++在(0,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是10.假如1(n x x -的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1()n x x-二项展开式中系数最小的项是11.函数2()cosf x x nπ=，x ∈Z 的值域由6个实数组成，则非零整数n 的值是12.如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC =uu u r uu u r ，则PC PA ⋅uu u r uu r的值域是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A.PC uu u r 与BD uu ur B.PB uu r 与DA uu u r C.PD uu u r 与ABuu u r D.PA uu r 与CDuu u r 14.下列选项中，y 可表示为x 的函数是（）A.||230y x -= B.23x y= C.sin(arcsin )sin x y= D.2ln y x =15.已知1x 、2x 、1y 、2y 都是非零实数，2222212121122()()()x x y y x y x y +=++成立的充要条件是（）A.212110100110x x y y = B.1122101000y x y x =-C.1122101000y x x y -= D.211210100110x x y y =-16.设点A 的坐标为(,)a b ，O 是坐标原点，向量OA uu r 绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA 'uuu r，则A '的坐标为（）A.(cos sin ,sin cos )a b a b θθθθ-+B.(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-C.(sin cos ,cos sin )a b a b θθθθ+- D.(cos sin ,sin cos )b a b a θθθθ-+三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知M 、N 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的棱11B C 、11C D 的中点，异面直线MN 与1AB 所成角的大小为10arccos10.（1）求证：M 、N 、B 、D 在同一平面上；（2）求二面角1C MN C --的大小.18.设函数()lg(1cos2)cos()f x x x θ=-++，[0,)2πθ∈.（1）讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0θ>，解关于x 的不等式3()()044f x f x ππ+--<.19.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为(170,200,0)，上午10时07分测得飞行机器人T 在(150,80,120)P 处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度113v =米/秒沿单位向量13124(,,131313d =-u r 作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量2121(,222d =--u u r 作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T 最终落在平面xOy 内发出指令让它停止运动，机器人T 近似看成一个点.（1）求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离（精确到米）.20.曲线2211x y a -=与曲线22149x y a +=（0a >）在第一象限的交点为A ，曲线是C 是2211x y a -=（1A x x ≤≤）和22149x y a+=（A x x >）组成的封闭图形，曲线C 与x 轴的左交点为M 、右交点为N .（1）设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=（0a >）具有相同的一个焦点F ，求线段AF的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由；（3）设过原点O 的直线l 与以(,0)D t （0t >）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T ，直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P 、Q ，当22211OT OP OQ+=uu u r uu u r uuu r 对任意直线l 恒成立，求t 的值.21.设数列{}n a 满足：111sin cos n n n n n n nn n a k a a a a a k a a a -+-+>⎧=⎨+<⎩，1n n a a +≠，设1a a =，2a b =.（1）设56b π=，k π=-，若数列的前四项1a 、2a 、3a 、4a 满足1423a a a a =，求a ；（2）已知0k >，4n ≥，n ∈N ，当(0,2a π∈，(0,)2b π∈，a b <时，判断数列{}n a 是否能成等差数列，请说明理由；（3）设4a =，7b =，1k =，求证：对一切的1n ≥，n ∈N ，均有672a π<.2020学年奉贤区学科教学质量调研高三数学（2021.4）（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分.1、经过点(2,4)的抛物线2y ax =焦点坐标是【答案】1(0,)4【解析】因为2y ax =过(2,4)，所以1a =，即2y x =焦点坐标是1(0,)42、把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是厘米【答案】8【解析】由已知得，2416S R ππ==球，即2R =因为圆锥的底面半径与球的半径一样，所以2r R ==因为V V =球圆锥，所以324133R r h ππ=⋅，解得8h =3、已知1i1iz -=+（i 是虚数单位）是方程210()x ax a R -+=∈的一个根，则z a -=【答案】1【解析】由1i1iz -=+得，i z =-，所以i z =，根据题意，由韦达定理可知0=a ，所以1z a -=4、已知各项均为正的等差数列{}n a 的前项和为n S ，若25760a a a +-=，则11S =【答案】22【解析】因为{}n a 为各项均为正的等差数列所以由25760a a a +-=得，26620a a -=即62a =或60a =（舍去）所以1162112S a ==5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为万元家庭年收入（以万元为单位）[)4,5[)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[)9,10频率f 0.20.20.20.260.070.07【答案】6.51【解析】本题考察频率的计算，平均收入=区间范围中点⨯频率由表可知，区间范围中点分别为4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5所以该社区内家庭的平均年收入为：4.50.25.50.26.50.27.50.268.50.079.50.07 6.51⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）6、某参考辅导书上有这样一个题：ABC 中，tan A 与tan B 是方程2310x x --=的两个根，则tan C 的值为（）A.32-B.32C.12D.12-你对这个题目的评价是（用简短语句回答）【答案】错题，A B π+≥不构成三角形【解析】由已知得，()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B+=-+=--由韦达定理易得，3tan tan =+B A 和1tan tan -=B A ，即3tan 2C =-所以C 为钝角又因为tan tan 10A B =-<，所以A 或B 为钝角，有矛盾.故该题目是个错题，不构成三角形7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件{A =码中至少有两个1}的概率是【答案】1116【解析】所有的码长为4的二进制数有1624=个，其中1的个数为0的有1个，1的个数为1的有4个，所以所求概率为1611164116=--=P 8、设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11,1n n S qS S q +=+>，对任意的1,n n N ≥∈均有14n n S a +≤，则q 的取值为【答案】2【解析】由11,1n n S qS S q +=+>—①得，2n ≥时，11n n S qS S -=+—②，由①-②得，()12n n a qa n +=≥因为当1=n 时，211S qS S =+，即21a qa =，满足上式，所以}{n a 为首项为1a ，公比为()1>q q 的等比数列.因为对任意的1,n n N ≥∈均有14n n S a +≤，所以()1111141n n a q a q q+--≤-，即()2121n q q --≤若2≠q ，则()+∞→--212q qn 矛盾，故2=q 9、函数331x xay =++在(0,)+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是【答案】(,4]-∞【解析】【法1】令()31,2,+x t t =+∈∞①当0≤a 时，()2>+=t tat y 为单调递增函数，故由同增异减法则知原函数单调递增；②当0>a 时，因为13+x值域为()∞+，2，所以原函数若为单调递增，则a 应满足2≤a ，即]4,0(∈a 综上，]4,(-∞∈a 【法2】定义法：“任取，作差，定号”转化为恒成立问题易得]4,(-∞∈a 10、假如1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是【答案】126x-【解析】由已知得，31184rr n rr nT C xx x -+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()32,841=--=-r n C rn r，从而有8432=+rr C ，可以证明rr C 32+随着r 增大而增大，又3=r 时满足，故9=n .此时91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中系数最小的项为x x x C 12615459-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、函数2()cos,f x x x Z nπ=∈的值域有6个实数组成，则非零整数n 的值是【答案】10n =±或11±【解析】如图所示，画单位圆2cosx n π在单位圆上，圆心角为2x nπ的点的横坐标，当n 为偶数时，圆上共有10个点，所以10n =±当n 为奇数时，圆上共有11个点，所以11n =±α所以10n =±或11±12、如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点，若2AB BC = ，则PC PA ⋅的值域是【答案】[5-【解析】如图建立坐标系，取AC 中点M ，则M 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆心Q为(0,()()PA PC PM MA PM MC ⋅=+⋅+ 2294PM =--其中min 13||2||22PM MQ =-=-max 3||2PM AM ==所以值域为[5-二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13、如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接,,,,AC BD PB PC PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A.PC 与BDB.PB 与DAC.PD 与ABD.PA 与CD【答案】A【解析】因为ABCD 为矩形，所以BD AC 与不一定垂直，故A 不一定成立14、下列选项中，y 可表示为x 的函数是（）A.||230y x -= B.23x y=C.sin(arcsin )sin x y= D.2ln y x=M【答案】D【解析】A.当3=x 时，2±=y ；B.当1=x 时，1±=y C.当0=x 时，()Z k k y ∈=π；D.y 可唯一表示为2x e y =故选D15、已知1212x x y y 、、、都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是（）1112221121222112101101.00.00110101101.00.000110A x xB y x y x y yC y xD x x x y y y -==--==-【答案】C【解析】由条件展开化简2222121212212x x y y x y x y =+，即1221y x y x =，分别展开四个选项验证知C 成立16、设点A 的坐标为(,)a b ，O 是坐标原点，向量OA绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA ' ，则A '的坐标为（）A.(cos sin ,sin cos )a b a b θθθθ-+B.(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-C.(sin cos ,cos sin )a b a b θθθθ+-D.(cos sin ,sin cos )b a b a θθθθ-+【答案】B【解析】【法1】引入：【复数逆时针旋转θ公式：()()cos isin z θθ+⎡⎤⎣⎦；顺时针旋转θ公式：()()cos isin z θθ-+-⎡⎤⎣⎦】因为向量OA绕着O 点顺时针旋转θ后得到OA ' ，设A 对应的复数为(),z a bi a b R =+∈，A '对应的复数为z '，则()()()()cos isin i cos isin z z a b θθθθ'=-+-=+-⎡⎤⎣⎦()()cos sin sin cos ia b a b θθθθ=++-+所以A '为(cos sin ,cos sin )a b b a θθθθ+-故选B【法2】记R OA =||，终边为OA 的角（之一）记为α，则根据三角比的定义可知：ααsin ,cos R b R a ==.经过旋转后，终边为'OA 的角可表示为θα-，故再根据三角比定义知'A 坐标为()()()θαθα--sin ,cos R R =()θθθθsin cos ,sin cos a b b a -+，故选B 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知M 、N 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的棱11B C 、11C D 的中点，异面直线MN 与1AB 所成角的大小为10arccos 10.（1）求证：M 、N 、B 、D 在同一平面上；（2）求二面角1C MN C --的大小.【答案】（1）证明略；（2）33arccos 33.18．设函数()lg(1cos2)cos()f x x x θ=-++，[0,)2πθ∈.（1）讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）设0θ>，解关于x 的不等式3()()044f x f x ππ+--<.【答案】（1）当0θ=时，()f x 为偶函数；当(0,)2πθ∈时，()f x 为非奇非偶函数；（2）3(2,2)(2,2)22x k k k k ππππππππ∈++++U ，k ∈Z .19.假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为(170,200,0)，上午10时07分测得飞行机器人T 在(150,80,120)P 处，并对飞行机器人T 发出指令：以速度113v =米/秒沿单位向量13124(,,131313d =-u r 作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量2121(,222d =--u u r 作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T 最终落在平面xOy 内发出指令让它停止运动，机器人T 近似看成一个点.（1）求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离（精确到米）.【答案】（1）(212,200T -；（2）最近距离约为81米.20.曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=（0a >）在第一象限的交点为A ，曲线是C 是2211x y a -=（1A x x ≤≤）和22149x y a+=（A x x >）组成的封闭图形，曲线C 与x 轴的左交点为M 、右交点为N .（1）设曲线2211x y a -=与曲线22149x y a+=（0a >）具有相同的一个焦点F ，求线段AF 的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C 上存在多少个点S ，使得NS NF =，请说明理由；（3）设过原点O 的直线l 与以(,0)D t （0t >）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T ，直线l 与曲线C 在第一象限的两个交点为P 、Q ，当22211OT OP OQ+=uu u r uu u r uuu r 对任意直线l 恒成立，求t 的值.【答案】（1）724,,24,55A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）2NS =，2个S ；（3）1t =（3）1t =21.设数列{}n a 满足：111sin cos n nn n n n n n n a k a a a a a k a a a -+-+>⎧=⎨+<⎩，1n n a a +≠，设1a a =，2a b =.（1）设56b π=，k π=-，若数列的前四项1a 、2a 、3a 、4a 满足1423a a a a =，求a ；（2）已知0k >，4n ≥，n ∈N ，当(0,2a π∈，(0,2b π∈，a b <时，判断数列{}n a 是否能成等差数列，请说明理由；（3）设4a =，7b =，1k =，求证：对一切的1n ≥，n ∈N ，均有672a π<.【答案】（1）53π-；（2）；（3）；。
上海市奉贤区2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，113QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B．(2⎤⎦C．12⎛⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m的取值范围,进而求得()222422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ；由11QF PF ≥,1m n≤<,由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得()222mn a c=-②,由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m ,令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦,即()2224232c a c <≤-,所以()222223a c c a c -<≤-,所以()222113e e e -<≤-,所以2142e <≤-解得12e <≤. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A ．7B ．7C ．12D ．19【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即1sin sin sin cos sin sin 22A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =，sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得b===由正弦定理sin sinc bC B=，因此，1sinsin7c BCb===.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量OZuuu r绕原点O按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（）A．12-+B．122i-+C．122--D．122i--【答案】A【解析】【分析】由复数z求得点Z的坐标，得到向量OZuuu r的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OBuuu r的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），∴OZuuu r＝(0，1)，将OZuuu r绕原点O逆时针旋转6π得到OBuuu r，设OBuuu r＝(a，b)，0,0a b<>，则cos6OZ OB b OZ OBπ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r，即b=，又221a b+=，解得：1,2a b=-=，∴1,22OB⎛=-⎝⎭u u u r，对应复数为122-+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.4．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （ ）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b+r r 的夹角为4π， 说明以向量a r ，b r为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．故选：D ． 【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．5．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9-【答案】D 【解析】 【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +…，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A B C ．4- D ．2【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】()()()221cos 138f x x m x m m =+-+++-Q ，则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()24cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象如下图所示：此时，函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；②当2m =时，()cos 11x +≤Q ，()()()212cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBMV -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．9．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题10．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C11．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m 的取值范围. 【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++ 121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 12．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A．B ．4C．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市奉贤区2020年高中数学高考二模卷(逐题详解版)
上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1. 若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm2. 已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是3. 设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =4. 已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围为6. 从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是 （结果用数值表示）7. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是 8. 已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是10. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a的取值范围是11. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n+++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解；丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当x = 时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值12. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时14. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（ ）A .B .C .D .15. 设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 16. 已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为1，且公比1q ≠，若存在数对(,)k t ，*,N k t ∈，使得k t a b =，称这样的数对(,)k t 为{}n a 与{}n b 相关数对，则这样的数对(,)k t 最多有（ ）对 A. 2 B. 3C. 4D. 5三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.18. 已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，Z k ∈），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.19. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元. （1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.21. 两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*N n ∈. （1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），N k ∈，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n-的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*N n ∈，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷答案解析版一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.球的表面积为216cm π，则球的体积为___________.【答案】323π【解析】【详解】2343242,6331R R V R ππππ=∴===2.已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是________【答案】2 【解析】 【分析】化为直角坐标方程可得其圆心和半径【详解】解：由62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩得，222(6)2x y -+=，所以此圆的圆心为(6,0)，半径为2 故答案为：2【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题3.设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =________ 【答案】180±【解析】 【分析】 直接代入化简求解【详解】解：由2021i z b =+和22029z z ⋅=得2(2021)(2021)2029bi bi +-=， 22220212029b +=所以22220292021(20292021)(20292021)b =-=+-，232400b =，解得180b =±，故答案为：180±【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题4.已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为________【答案】 【解析】 【分析】若设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==，结合椭圆的定义和直角三角形可得，2220242m n a m n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，从而可求出0x ，然后将0x 的值代入椭圆方程中可求出0y 【详解】解：曲线22:1412x y Γ+=是焦点在y 轴上的椭圆，其中2212,4a b ==，则28c =，得4,a b c ===0000(,)(0,0)P x y x y >>，12,PF m PF n ==， 因为12F PF ∠是直角，所以2220242m n am n c mn cx+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得0x =0x 2021412y +=，解得0y =（负根舍去）所以点的坐标为，故答案为：【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题5.已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则OA OM⋅=-x+y，设z＝﹣x+y，则y＝x+z，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，由22yx y=⎧⎨+=⎩得2xy=⎧⎨=⎩，得A（0，2），此时z＝﹣0+2＝2，故⋅OA OM的最大值是2，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）【答案】4 5【解析】【分析】从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有3620C =种方法，而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有21244C C =种；第二种2男1女，有122412C C =种，所以所求的概率为2112242436164205C C C C P C +=== 故答案为：45【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题7.ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______．【答案】0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论可求2221cos 22b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．【详解】因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．所以2221cos 22b c a A bc +-=≥ ，因为A 0π∈（，），所以A 0]3π∈（，．【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a bA B R R==，将角化为边．8.已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是________ 【答案】1或5 【解析】 【分析】由3a 、13a 、63a 成等比数列，列方程找出1,a d ，从而可求出公比 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因3a 、13a 、63a 成等比数列，所以213363a a a =⋅，即2111(12)(2)(62)a d a d a d +=++，化简得，212d a d =0d =或12d a =当0d =时，等差数列的每一项都相等，所以3a 、13a 、63a 成等比数列时的公比为1当12d a =时，311131125,1225a a d a a a d a =+==+=，所以1335a a =， 所以等比数列的公比为1或5 故答案为：1或5【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．【答案】2π【解析】【详解】试题分析：分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2DA =，则()()()112,0,2,0,1,0,2,1,2A M A M =--， ()()()()1112,1,20,2,10,2,1,0,2,1cos ,0A M DN N DN AM DN A M DNA M DN--⋅=∴〈〉===1AM DN ⊥，即异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是2π考点：异面直线所成的角10.集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若AB =∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(,1)[4,)-∞-+∞【解析】 【分析】先分别求出集合,A B ，再由AB =∅列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：由22024x x -≤-得，(22)(24)0x x --≤且(24)0x -≠，解得12x ≤<，所以集合{}12A x x =≤<，由||2x a -≤得，22a x a -≤≤+，所以集合{}22B x a x a =-≤≤+， 因为AB =∅，所以21a +<或22a -≥， 解得1a <-或4a ≥ 故答案为：(,1)[4,)-∞-+∞【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 11.三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n +++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值【解析】【分析】由22(100)100x x +-=得，221001100100x x -+=，然后利用丙的思路求解即可【详解】解：因为22(100)100x x +-=，010x <<，0a >所以221001100100x x -+=所以222221100100100100a x x y x x ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 2222221(100)100100100(100)a x a x x x +-=++-21100a +≥+212100100a a+=+当且仅当22222(100)100100(100)x a x x x -=-时，取等号即当x =221100a a ++【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题12.在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =________【答案】1-+，12-，16-【解析】 【分析】由点(,1)A m -在抛物线22y px =上，所以将点A 坐标代入抛物线方程中，可得到m 与p 的关系，由22y px =可得点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，所以2p AF m =+，而2AB m =-，由2||||6AB AF +=列方程可求出m 的值【详解】解：因为点A 在抛物线22y px =上，所以12pm =，得12p m=， 因为抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-所以124p AF m m m=+=+， 因为(,1)A m -，(2,1)B -，2m <， 所以2AB m =-，因为2||||6AB AF +=，所以12(2)64m m m-++=， 所以12204m m m+=+≥， 所以1224m m m +=+或1224m m m+=--化简得24810m m +-=或212810m m ++=，解得25m -±=或12m =-或16m =-，因为12m -≤<，所以252m -+=，12m =-，16m =-，故答案：512-+，12-，16-【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A .1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时【答案】C 【解析】 【分析】直接利用加权平均数公式求解【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为1(50200.510 1.010 1.55 2.0)0.950⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题14.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.15.设函数()log (1)xa f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*n ∈N ，则()lim f n n n a a a→∞=+（ ）A. 1B. aC.1aD.1a或a 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得10na ->，得01a <<，所以lim 0n n a →∞=，从而可求出()lim f n n n a a a→∞+的值【详解】解：因为()log (1)xa f x a =-，所以log (1)()1lim lim lim na a f n nn n nn n n a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-==+++， 因为10n a ->，所以01a <<，所以lim 0nn a →∞=， 所以log (1)()11lim lim lim na a f n n n n n n n n a a a a a a a a a a-→∞→∞→∞-===+++，故选：C【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）16.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .（1）求EC 的长；（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.【答案】（1）1；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由1BE B C ⊥，可得BCE ∆∽11CC B ∆，从而得111CC BC CE C B =，再将已知的数据代入可得EC 的长；（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面BED 的法向量，然后利用向量的夹角公式求出1A B 与平面BED 所成的线面角【详解】解：因为1BE B C ⊥，所以190EBC BCB ∠+∠=， 因为11190C CB BCB ∠+∠=︒，所以11EBC C CB ∠=∠， 因为1190BCE CC B ∠=∠=︒，所以BCE ∆∽11CC B ∆，所以111CC BC CE C B =又因为1112,4BC B C CC ===，所以242CE = 解得1CE =（2）如图，以D 为坐标原点，分别以射线1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,1),(2,0,4)D B E A所以1(2,2,0),(0,2,1),(0,2,4)DB DE BA ===-， 设平面BED 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,2x z =-=-所以(1,1,2)m =--，设1A B 与平面BED 所成的角为θ，则111sin cos ,66m BA m BA m BA θ⋅=<===所以30arcsin6θ= 所以1A B 与平面BED 所成的线面角为【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题 17.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.【答案】（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ； （2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【解析】 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可； （2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin x f x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=，所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】（1）1000300()y bv v=+，(]0,100v ∈；（2）当110b ≥时，v =，10,10b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，100v =时最小. 【解析】 【分析】(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为(]0,100v ∈; (2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论 【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本23001000(1000)300()y bv bv v v=+=+，(]0,100v ∈ （2）因为0,0b v >>所以1000300()y bv v =+≥=当且仅当1000bv v =时取等号，即v =① 100≤时，即110b ≥时v =时，y 最小② 100>时，即1010b <<时，y 在(0,100]上单调递减则100v =时，y 最小【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题19.直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果.【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ，因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍，所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b-=， 由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->，化简得22330m k -+>，由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k +-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 20.两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为ka （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为k b （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}n c 与{}n d 是否具有性质P ，请说明理由； （2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，1λ=. 【解析】 【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n nn T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ， 所以00n n a b =，从而可1λ=【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C =故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉， 所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得131********n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ， 所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<， 因n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列； （3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项， 设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾 同理，1λ<也矛盾， 所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.。
2020-2021年上海市奉贤区高三数学二模试卷含答案
2020学年奉贤区学科教学质量调研高三数学（2021.4）（完卷时间120分钟，满分150分）一．填空题(本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分, 7-12题每个空格填对得5分) 1、 经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________．2、把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是__________厘米．3、 已知11i z i-=+（i 是虚数单位）是方程210x ax -+=()a R ∈的一个根，则z a -=__________．4、 已知各项为正的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25760a a a +-=，则11S =_______．5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为__________万元． 家庭年收入（以万元为单位） [)4,5[)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[)9,10频率f0.20.20.20.260.070.076、某参考辅导书上有这样的一个题：你对这个题目的评价是________________________________________．（用简短语句回答） 7、用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件}{1A =码中至少有两个的概率是__________．8、设n S 为正数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS S +=+，1q >,对任意的1n ≥，n N ∈均有+14n n S a ≤，则q 的取值为__________．9、函数331xx ay =++在()0,+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 10、假如1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________．11、函数()2cosf x x nπ=(x Z ∈)的值域有6个实数组成， 则非零整数n 的值是_________． 12、如图，已知P 是半径为2圆心角为3π的一段圆弧AB 上的一点， 若2AB BC =，则PA PC ⋅的值域是__________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13、如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与AB D ．PA 与CD 14、下列选项中，y 可表示为x 的函数是（ ）A ．230y x -= B ．23x y =C ．()sin arcsin sin x y =D ．2ln y x =15、已知1x 、2x 、1y 、2y 都是非零实数，()()()2222212121122x x y y x y xy +=++成立的充要条件是（ ）A ．212110100110x x y y =B ．1122101000y x y x =-C ．1122101000y x x y -= D ．211210100110x x y y =-16、设点A 的坐标为()b a ,，O 是坐标原点，向量OA 绕着O 点顺时针旋转θ后得到A O '，则A '的坐标为（ ）A ．()cos sin sin cos a b a b θθθθ-+，B ．()cos sin s a b bcos a in θθθθ+-，C ．()sin cos cos s a b a b in θθθθ+-，D ．()cos s sin cos b a in b a θθθθ-+，题图12题图13三．解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分） 17、已知M 、N 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的棱11B C 、11C D 的中点 异面直线MN 与1AB所成角的大小为 （1）、求证：M 、N 、B 、D 在同一平面上； （2）、求二面角 1C MN C --的大小．18、设函数()()()lg 1cos2cos f x x x θ=-++，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭（1）、讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）、设0θ>，解关于x 的不等式3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19、假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O xyz -中，平面xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人T 的控制台A ，A 的位置为()0,200,170．上午10时07分测得飞行机器人T 在()120,80,150P 处,并对飞行机器人T 发出指令:以速度113v =米/秒沿单位向量13124131313d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q 点，再发出指令让机器人在Q 点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量211222d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T 最终落在平面xOy 内发出指令让它停止运动．机器人T 近似看成一个点． （1）、求从P 点开始出发20秒后飞行机器人T 的位置； （2）、求在整个飞行过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离（精确到米）．z x y APO 题图1920、曲线221 1x ya-=与曲线22149x ya+=()0a>在第一象限的交点为A．曲线C是2211x ya-=（1Ax x≤≤）和22149x ya+=（Ax x≥）组成的封闭图形．曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N．（1）、设曲线2211x ya-=与曲线22149x ya+=()0a>具有相同的一个焦点F，求线段AF 的方程；（2）、在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NS NF=，请说明理由．（3）、设过原点O的直线l与以(),0D t()0>t为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T．直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q．当22211+=OTOP OQ对任意直线l恒成立，求t的值．21、设数列{}n a满足，()()111sincosn n n nnn n n na k a a aaa k a a a-+-⎧+>⎪=⎨+<⎪⎩，1n na a+≠，设1a a=，2a b=．（1）、设5=6bπ，kπ=-，若数列的前四项1a、2a、3a、4a满足1423a a a a=，求a；（2）、已知0k>，4n≥，n N∈，当02aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，02bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，a b<时，判断数列{}n a是否能成等差数列，请说明理由；（3）、设4a=，=7b，1k=，求证：对一切的1n≥，n N∈，均有72naπ<．2020届高三数学二模参考答案一、填空1、10,4⎛⎫⎪⎝⎭2、83、14、225、6.516、无正确选择支，条件自相矛盾，是错题，无解（意思对即可）7、1116 8、2 9、(],4-∞ 10、126x - 11、10,11±±、 12、5213,0⎡⎤-⎣⎦二、选择题13、A 14、D 15、C 16、B 三、解答题17（1）画出图 连接MN 、DB 、11D BM 是棱11B C 的中点、N 是棱的11C D 的中点， MN 平行11D BDB 平行11D B所以MN 平行DB M 、N 、B 、D 确定一个平面 即M 、N 、B 、D 在同一平面上（2）、由（1）可知11AB D ∠（或其补角）是异面直线MN 与1AB 所成的角 设底面ABCD 的边长为a ，正四棱柱高h221AB a h =+，221AD a h =+，112B D a =， 22222112210cos 1022AB D a h a∠==+⋅，解得2h a =取MN 的中点O ，因为CM CN =，11C M C N =，则1,CO MN C O MN ⊥⊥，1COC ∠是二面角 1C MN C --的平面角124C O a =，1Rt COC ∆中，111tan 4224CC COC OC a ∠=== 二面角 1C MN C --的大小为arctan 4218（1）根据对数有意义，得1cos20x ->，cos21x ∴≠()x k k Z π≠∈定义域关于原点对称，当函数是偶函数，那么有()()f x f x -=，()()()()lg 1cos 2cos log 1cos 2cos x x x x θθ--+-+=-++⎡⎤⎣⎦()()cos cos x x θθ-+=+展开整理得2sin sin 0x θ=对一切()x k k Z π≠∈恒成立，O0,02πθθ⎡⎫∈∴=⎪⎢⎣⎭当函数是奇函数，那么任意定义域内0x 有()()000=-+x f x f ，例如40π=x ，044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，lg 1cos()cos cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ lg 1cos cos =cos 4244f ππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭044f f ππ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，推得cos 0θ=显然这样02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是不存在的， 所以当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时既不是奇函数又不是偶函数 说明假命题只能举反例 （2）3044f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入得 33lg 1cos 2cos lg 1cos 2cos 04444x x x x ππππθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++-----+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦这一步没有分()()3lg 1sin2cos lg 1sin2cos 044x x x x ππθθ⎛⎫⎛⎫++++-+--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简cos cos 044x x ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+++<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得2cos cos 04x πθ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0θ∴>，所以cos 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭1122cos 04,434x x k k Z k Z x k πππππ⎧⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴+≠∈∈⎨⎪⎪-≠⎪⎩， 所以不等式解集为3352,22,2,4444m m m m m Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭19、（1）设飞行时间为t 秒，T 的位置()x y z ，，当010t ≤≤时，13v =11,13PT d t λλ==，()3124150,80,12013,,131313x y z t ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭当010t ≤≤时，所以150380121204x t y tz t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩10t =得()180200,80Q ，当1012t <≤时()180200,80Q ，当1232t <≤时()22,812QT d t λλ==-，()()11180,200,80812,222x y z t ⎛⎫---=--- ⎪ ⎪⎝⎭所以())()180412132420012200804121284x t t y t z t t=+-=+⎧⎪⎪=--=+⎨⎪=--=-⎪⎩20t =秒后飞行机器人T的位置()212,20048-（2）当010t ≤≤时(150AT =169AT=定义域内单调递减min 10,81tAT AQ ∴===≈当1012t <≤时min81AT AQ ==≈ 当1232t <≤时()1324200,1284T t t++-，(132AT =(4AT =64AT =64AT ==min 16.375,73t AT ∴==答：在整个行驶过程中飞行机器人T 与控制台A 的最近距离73米．20、（1）线段AF 的方程42075335y x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭724,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0F -，线段AF 的方程()375545y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭（2）方法一：()7,0N ，2NF =假设点S 在曲线221124x y -=上 715SN x ⎫===≤≤⎪⎭单调递增6SN ∴≥所以点S 不可能在曲线221124x y -=上所以点S 只可能在曲线2214924x y +=上，根据NF NS =得()22227414924x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩可以得到16148,2525S ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 当F 左焦点，12NF =,同样这样的S 使得NF NS =不存在所以这样的点S 一共2个（3）设直线方程y kx =，圆方程为()()22201x t y r r -+=<<r=1222222+=-==k t DT OD OT OT22221P y kx a x y a k x a =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()()222221111P a k k x k a OP -==++ 22224949149Q y kx a x x y a k a =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，()()2222211491491Q a k k x k a OQ +==++ ()()22222211491491a k a k k a k a OP OQ-++=+++()()222214950491491a k a k a a k k⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭根据22211+=OT OPOQ得到25049t t =∴=补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a的影响，蕴含着如下关系，22504912001,117649r k ar T Ta ==<<<≤+当，存在否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C 有两个交点的大前提，当共焦点时 ()0,1r ⎛∈⊂ ⎝⎭存在275=t 1r ⎫∈⎪⎪⎣⎭不存在 21、（1）当a b <时，3225sin 623a a a ππππ=-=-=，433cos 326a a a ππππ=-=-=-根据条件得142353a a a a a π=∴=-当a b >时，(32255cos 66a a a πππ+=-=+=， 06)335(sin 34>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-ππa a所以34a a >，341aa∴<根据条件得31423224,a a a a a a a a a =∴=⋅<与a b >不符合，舍去 所以53a π=-（2）假设数列{}n a 成等差数列，设公差为d因为a b <，所以2102d a a b a π⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，，则{}n a 是单调递增的正数列因此1sin n n n d a a k a +=-=，211sin n n n d a a k a +++=-=所以1sin sin n n a a +=得到Z m m m a a n n ∈≥+=+,0,21π（舍去）或者12,0,n n a a m m m Z ππ++=+≥∈ 从而122,0,,n n a a l l l Z l m ππ+++=+≥∈>推得()()2=22,n n a a l m d d l m πππ+--=∴=-≥与102n n d a a π+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，矛盾所以数列不可能成等差数列．（3）设4a =，=7b ，1k =得到37=7+sin7<82a π<得到()4337=+sin =7+sin7+sin 7+sin792a a a π<<假设数列{}n a 中有不小于72π的项，设k a 是第一个不小于72π的项，(4,k k N ≥∈)，即172k k a a π-<≤． 根据运算性质可以得()()111sin cos n n n n n n n n a a a a a a a a -+-⎧>⎪-=⎨<⎪⎩，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此1773122k a πππ-<-≤<，即173,2k a ππ-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而在这个区间中11sin 0,cos 0k k a a --<<，从而()()1121112sin 0cos k k k k k k k k a a a a a a a a -------⎧>⎪-=<⎨<⎪⎩， 得到173,2k k a a ππ-⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭产生矛盾 所以对一切的n N ∈，均有72n a π<．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。