高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(3) 沪教

9.4（1）三阶行列式

一、教学内容分析

三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．

二、教学目标设计

经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．

三、教学重点及难点

三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．

四、教学用具准备

可以计算三阶行列式值的计算器

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1．观察

(1)观察二阶行列式的符号特征：

1325

023

1

-

612

711

-

a b c d

(2)观察二阶行列式的展开式特征：

13112321=⨯-⨯

02013(2)3

1-=⨯-⨯-

6

12

6(11)712711

=⨯--⨯-

a b a d c b c d

=⨯-⨯

2．思考

(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？

(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明]

(1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．

(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面：

① 观察二阶行列式的展开式有几项？

② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？

③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？

二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】

结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：

问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？

问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？

(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了

一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)

问题三，二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我

们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c 按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？

(3个．这3个可以相乘的元素应该位于不同行不同列．)

问题四，三阶行列式的展开式的项中有哪些元素的乘积？二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．那么，请你猜测一下在三阶行列式的展开式中，每个元素应该出现几次呢？你猜测的依据是什么？ [说明]

二阶行列式与三阶行列式有必然的内在联系，上述各个问题的探讨可以帮助学生学习三阶行列式的概念，并能意识到三阶行列式的展开式中必然会出现123a b c ，321a b c ，231a b c ，

312a b c ，213a b c ，132a b c ．至于展开式中各项符号的确定，可以组织学生通过以下实验尝试解

决．

【实验探究】

【工作1】

请你对1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 分别赋值：

1a =______，2a =______，3a =______，1b =______，2b =______，3b =______，1c =______，2c =______，3c =______，

利用计算器，计算得：1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c =____________．

【工作2】 填写下表：

【工作3】

由上述计算结果，可以发现三阶行列式按对角线展开后展开式应该是：

111

2223

3

3

a b c a b c a b c =____________________________________．

[说明]

(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历猜想预测、实验检验、获得新知的过程；

(2)为了便于研究，教师应该提示学生在完成工作(1)时，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，

2c ，3c 应该分别赋不同的值，而且不要赋为0；

(3)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结；

(4)通过上述研究，可以引导学生发现：

111

2221232313123212131323

3

3

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---； (5) 三元一次方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++3333

22221

111d

z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 经消元后，得：

⎪⎩⎪

⎨⎧---++=---++---++=---++---++=---++)

()()()()

()(2313121232131323212313121232131323

21231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321d b a d b a d b a d b a d b a d b a z c b a c b a c b a c b a c b a c b a c d a c d a c d a c d a c d a c d a y c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c b d c b d c b d x c b a c b a c b a c b a c b a c b a 因而发现是符合引入该记号的实际意义的。