数学：1.1探索勾股定理(1)课件(北师大版八年级上)
探索勾股定理(第1课时) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
方法二：补
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干 个小正方形，图中两 块红色（或绿色）可 拼成一个小正方形.
归总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
图形语言：
北师大·数学·八上册
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理(第1课时)
创设情境 引入新课
为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从 电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若 这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决 这个问题吗？
探究活动一
(1)观察图2-1，图2-2，完成下表：
课堂练习 3. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5
课堂练习
分类讨论
4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ）
A. 25
B. 14
C. 7
D. 7或25
谈谈你的收获
作业布置
习题1.1第1--2题
如图，以 Rt△ABC 的三边长 为直径分别向外作半圆. 三个 半圆面积分别为S1，S2，S3 。 求证：S1+S2=S3.
制作4个全等的直角三角形，为下节课证明 勾股定理做准备
感谢聆听！
a2＋b2＝c2
探究活动二
下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
SA=
=
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件
c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册《1-1 探索勾股定理(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
北师大版 数学 八年级 上册同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！A B勾股树导入新知素养目标3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.知识点做一做abca 2,b 2,c 2之间关系问题1你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?CAB图1（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.同理:正方形B的面积是个单位面积.999思考1用什么办法能求出图1中A,B的面积?数格子图1分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2 怎样求出C 的面积?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1S 正方形C = 4×12×3×3 =18练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A ,B ,C 中面积各是多少?ABC ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图 1图 2解：正方形A 的面积是4个单位面积，正方形B 的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.（1）观察图3、图4：（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积图3图44 916 9？ABCCBA图3图4做一做（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.图3ABCCBA图4“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形（4）分析填表数据AB CCBA图4图3A的面积B的面积C的面积图3图44 916 91325问题2通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？S A + S B = S C结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.做一做如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数2.4量关系还成立吗？说明你的理由. 1.6问题4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？a2+ b2= c2勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：Rt △ABC 中，∠C =90°, 则a 2 + b 2 = c 2.在西方又称毕达哥拉斯定理a 2 +b 2 =c 2勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，直角三角形中弦斜边称为 .勾2 + 股2 = 弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.趣味小常识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.素养考点 1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC =5厘米,AC =12厘米,求斜边AB 的长度. ab c A C B 解：在Rt △ABC 中根据勾股定理,AC²+BC²=AB²，AC =12，BC =5所以12²+5²=AB²，所以AB ²=12²+5²=169，所以AB =13厘米.答：斜边AB 的长度为13厘米.变式训练求下列图形中未知边的长度：所以x =8.解：由勾股定理得：62+x 2=102 ,所以x 2=64,巩固练习1.寻求图形面积之间的关系素养考点 2利用勾股定理求面积问题方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S 1=S 2+S 3（S 1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S 2和S 3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.例2 如图，以Rt △ABC 的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1+S 2+S 3=16，则S 1的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10探究新知B例3 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，求△ABC 的面积．方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.2.求非直角三角形的面积解：作AD ⊥BC 于D ，在等腰△ABC 中，因为AB =AC =13，BC =10，所以BD =CD =5，所以AD 2=AB 2-BD 2 =132-52 =144，AD =12所以S △ABC =12 BC•AD = 12×10×12=60．探究新知如图，△ABC 中，∠ACB =90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，已知S 1=6，S 2=8，则S 3= ．14变式训练巩固练习连接中考1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A．5 B．6 C．7 D．82.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 ．3A基础巩固题ABC 1.判断题（1）△ABC 的两边AB =5,AC =12,则BC =13. ( )（2）△ABC 的a =6,b =8,则c =10. ( )2.在△ABC 中, ∠C =90°,AC =6,CB =8,则△ABC 面积为_____,斜边为上的高为______.⨯⨯24 4.8基础巩固题15 cm17 cm 64 cm²3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.4312xx 1517所以x =8 .解：由勾股定理得：152+x 2=172 ,所以x 2=64 ,所以x =13 .解：由勾股定理得：x 2= 32 +42+152 ,所以x 2=169 ,基础巩固题5.已知∠ACB =90°,CD ⊥AB ,AC =3,BC =4. 求CD 的长.AD BC 解：因为∠ACB =90°，AC =3，BC =4，所以AB 2=AC 2+BC 2=25，即AB =5.根据三角形面积公式， AC ×BC = AB ×CD.1212所以CD = .152能力提升题如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3的关系是（ ）A.S 1+S 2=S 3B. S 12+S 22=S 32C. S 1+S 2>S 3D. S 1+S 2<S3A拓广探索题如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的（2）2018斜边长是___________．勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2利用勾股定理进行计算课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1探索勾股定理课件北师大版初中数学八年级上册
为“驴桥定理”，
埃及称它为“埃及三角形”等。 但他们发现的时间都比我国要
迟得多。
美国总統的证明 伽菲尔德
1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明， 证法称为“总统”证法
二、新课讲授
1、自主探究 （1）视察图1-1
正方形A中含有 9 个
B
C
三角形三边长度之 间存在什么关系吗？ 与同伴进行交流。
图1-3
A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一
个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
的规律对这个三角形仍然成立吗？
归纳结论
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
B
a2 b2 c2
a
C
c
A
b
即:直角三角形两直角边的 勾 弦 平方和等于斜边的平方。
5、练一练
1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则 c= _1_0__ 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则 a= __5__ 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
三、小结
1、你这节课的主要收获是什么？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
2、做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
（1）视察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C A B 图1-1 A B
S正方形c
C
1 4 3 3 18 2
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A B 图1-1 A B
S正方形c
C
1 62 2
（单位面积） 18
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
勾 弦
股
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
2 2
2
小结
说说这节课你有什么收获？
作业
一、P7 习题1.1 第1、2、3、4题 二、准备4张全等的直角三角形纸片
a
c
b
再见
八年级数学（上册）• 北师版
探索勾股定理
（1）观察图1-1
C A B 图1-1 A B
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。
C
正方形B的面积是
9 个单位面积。
正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。 1 2 3
（2）（3）
A
• • • ••• •• •
B 图1-1
• •• •C • • •••• ••• •• •
A B 图1-2 C
正方形周边上 的格点数a=12
正方形内部的 格点数b=13 所以，正方形C的 面积为：
1 12 13 1 18 2
返回
（单位面积）
1 利用皮克公式 S a b 1 2
（2）你能发现
A B
图1-3
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C
A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
返回
C A B 图1-1 A B
（2）在图1-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
C
图1-2
（3）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么 关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
A B
图1-3
C
C
25
（面积单位）
A
Bபைடு நூலகம்
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
幻灯片 7
（2）三个 正方形A， B，C的面 积之间有什 么关系？
A B
图1-3
C
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 正方形的面积吗？
做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
A B
图1-3
C
C
（1）观察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
幻 灯 片 9
A
B
图1-4 A的面积 B的面积 C的面积 （单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-3
图1-4
16
4
9
9
25
13
S正方形c
1 4 4 3 1 2