第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
高三总复习数学课件 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
宠物知识竞赛题嘿，朋友们！说起宠物，那可真是咱们生活中的小可爱，能带来无尽的欢乐和陪伴。
可要是参加宠物知识竞赛，您可得有点真本事！先来说说狗狗吧，您知道为什么有的狗狗一见人就摇尾巴，有的却汪汪叫个不停？这就好比人的性格有开朗有内向，狗狗也各有各的脾气呢！比如金毛，那大多是个热情的“大暖男”，见谁都亲；而有些小型犬，可能因为缺乏安全感，就容易对陌生人叫。
您说，这是不是很有趣？再讲讲猫咪。
猫咪为啥总爱舔毛？难道是为了打扮得漂漂亮亮？其实啊，这是它们在自我清洁，就像咱们每天洗脸刷牙一样。
而且猫咪的爪子那么锋利，为啥家里的沙发还总是遭了殃？难道它们不知道主人会生气？哈哈，其实这是它们在磨爪子，标记自己的领地呢！还有那些小兔子，看着软萌软萌的。
您知道怎么分辨它们是高兴还是不高兴吗？要是它们不停地跺脚，那可不一定是在跳舞，说不定是在表示生气呢！养宠物可不只是给口吃的喝的就行，还得了解它们的习性和健康知识。
比如说，宠物突然不爱吃东西了，是生病了还是心情不好？这就跟咱们人有时候没胃口一样，得找找原因。
宠物生病了，您能第一时间发现吗？它们可不会说话告诉您哪儿不舒服。
这就得靠您平时的细心观察啦，就像侦探破案一样，从它们的一举一动中寻找线索。
宠物的品种那么多，每种都有独特的特点。
像哈士奇，那可是个拆家小能手，您要是没点心理准备，家里说不定就被它弄得一团糟。
可您能说它不可爱吗？参加宠物知识竞赛，就得像了解自己的好朋友一样了解宠物。
您要是连宠物的喜好都不清楚，那还怎么赢得比赛呀？总之，宠物知识竞赛可没那么简单，得下功夫去学习和观察。
您要是能在竞赛中脱颖而出，那可真是宠物界的“学霸”啦！。
Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用 理(重点
课时跟踪检测（二十） 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.3.(2018·洛阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D 由图象可知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，故排除A 、C ；把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．4.(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 解析：选 B 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 5．将函数f (x )＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8解析：选 A 易得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π≤2x －π3≤2k π，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即函数g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．当k ＝0时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a 3≤π6，2π3≤2a ＜7π6，解得π3≤a ≤π2. 6．(2018·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝____________.解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 8.(2018·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.答案： 59.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z)，所以ω＝－3k ＋12(k ∈Z)，因为0＜ω＜1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]， 列表如下：10．(2018·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝sin2错误!)＝sin 错误!＝cos 2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x 的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间π2，13π4上的图象，及直线y ＝a .根据图象知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.B 级——拔高题目稳做准做1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.32C.22D ．1解析：选B 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|＜π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 2．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12，令－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z)，故选B.3.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________． 解析：因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 4.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝m cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m >0)，若对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[1,2]．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m >0)的值域为⎣⎢⎡ －3m2＋3，]－m ＋3.∵对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3m 2＋3≥1，－m ＋3≤2，解得1≤m ≤43，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，435.已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1＜x 0＜2， 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6. 由f (x 0)＝32，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.6.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD 是函数y ＝k x (k ＞0)图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin ()ωx ＋φA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]的图象，图象的最高点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，儿童游乐园的面积最大？解：(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象可知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π－＝π6， 将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833代入y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ中，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，故5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π－π3(k ∈Z)． 因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3.故y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，x ∈[4,8]．(2)在y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3中，令x ＝4，得y ＝4，故D (4,4)，从而得OD 对应的函数为y ＝2x (0≤x ≤4)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 24t (0≤t ≤4)． 因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，433时，S ′＞0，S 单调递增；当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫433，4时，S ′＜0，S 单调递减． 所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，433.。
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
限时集训(二十) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
限时集训(二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．93.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则f (x )＝( )A ．4sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2 B ．－4sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4 D ．－2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋44．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋3 B. 3 C.33D ．2－ 35．(2013·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD ―→在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π66．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.9．(2013·苏州模拟)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出所有正确结论的编号)． 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．11．已知函数f (x )＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．12．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝⎛⎭⎫π4＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？限时集训(二十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用答 案1．A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.⎣⎡⎦⎤－32，3 8.9π109.①③ 10．解：(1)∵由题意可得A ＝2，T2＝2π，即T ＝4π，∴2πω＝4π，∴ω＝12. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.由图象经过点(0,1)得， f (0)＝2sin φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.又f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6＝2， ∴12x 0＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z )，根据图象可得x 0是最小的正数， ∴x 0＝2π3.(2)由(1)知，f (4θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos θ＝13， ∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝469－79＝46－79. 11．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.12．解：(1)∵由f (0)＝32， 得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1.∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π12＋k π，712π＋k π(k ∈Z )． (3)∵f (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴奇函数y ＝sin 2x 的图象左移π6个单位，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。
《3.4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 学案
由∠MNP∈(0，π)，得 sin∠MNP＝
课堂运用 【基础】 1．(2012· 浙江高考)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
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π 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0，0<φ<2)的图象如图所示，则 f(x)＝( x π A．4sin2＋4＋2 x π B．－4sin2－4＋2 x π C．2sin2＋4＋4 x π D．－2sin2＋4＋4
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知横坐标分别为－1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上，求 sin∠MNP 的值．
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【解析】(1)由图可知， 2π π 最小正周期 T＝4× 2＝8，所以 T＝ ω ＝8，ω＝4. π π π 又 f(1)＝sin4＋φ＝1，且－2＜φ＜2， π π 3π π π π π 所以－4＜4＋φ＜ 4 ，所以4＋φ＝2，φ＝4.所以 f(x)＝sin4(x＋1)． π (2)因为 f(－1)＝sin4(－1＋1)＝0， π π f(1)＝sin4(1＋1)＝1，f(5)＝sin4(5＋1)＝－1， 所以 M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝ 5，|MP|＝ 37，|PN|＝ 20， 从而 cos∠MNP＝ 5＋20－37 2 5× 20 3 ＝－5， 4 1－cos2∠MNP＝ . 5
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课程小结
1.确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝ φ 由特殊点确定． 2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的 |φ| 量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 ω (ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值． M－m M＋m 2π ， k ＝ ， ω 由周期 T 确定，即由 2 2 ω ＝T 求出，
人教版数学必修第一册期末复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：
!
“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：
向左平移 个单位长度而非φ个单位长度．
典例剖析
考点 1 五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
2
3
11
12
π
6
2
π
3
2
2π
13
6
1
2
0
－2
0
1
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，把
3
所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
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象．则以下结论正确的是(
高考数学一轮复习专题4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(讲)(202
（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用（讲）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用（讲））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第05节 函数y ＝Asin （ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数 y ＝A sin （ωx ＋φ） 的物理意义，掌握 y ＝A sin （ωx ＋φ) 的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响。
2013浙江文6理4；2014浙江文4，理4;2016浙江文11，理10。
1.“五点法”作图; 2。
函数图象的变换；3。
三角函数模型的应用问题.4。
往往将恒等变换与图象和性质结合考查 5。
备考重点：（1）掌握函数图象的变换；(2） 掌握三角函数模型的应用。
【知识清单】1.求三角函数解析式（1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念()sin y A x ωϕ=+()0,0A ω>>， [)0,x ∈+∞表示一个振动量时振幅 周期 频率相位 初相A2T πω=12f T ωπ==x ωϕ+ ϕ (2)()sin y A x =+用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示：xϕω-2ϕπωω-+πϕω- 32ϕπωω-+2πϕω-x ωϕ+2π π 32π 2π ()sin y A x ωϕ=+ 0A－A（3)由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． （4)利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍（0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+。
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)AT= f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编] 若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间0, π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .4.[教材改编] 已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度.6.设ω>0,若函数f (x )=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin (ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= .8.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2 课堂考点探究探究点一 函数y=Asin (ωx+φ)的图像变换1 (1)将函数y=2sin 2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3(2)函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为( )A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6)(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=√2cos 3x的图像( )A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π4个单位长度个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A (2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2为图像的一个最高点),B-5,0,则函数f(x)=.2图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.,1式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且Aπ2,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三 函数y=Asin (ωx+φ)的图像与性质3 (1)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P (0,1),则函数f (x )=sin (ωx+φ) ( ) A.在区间[-π6,π3]上单调递减 B.在区间[-π6,π3]上单调递增 C.在区间[-π3,π6]上单调递减 D.在区间[-π3,π6]上单调递增(2) 函数y=cos (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A ,B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2√2,则该函数图像的一条对称轴为 ( )图3-19-6A.x=π2B.x=-π2C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=Asin (ωx+φ)+B (A>0,ω>0)的解析式的一般步骤. (1)求A ,B.确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=M -m 2,B=M+m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-7所示,若f (0)=√3,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图像,求函数g (x )在区间0,π2上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四 三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m 的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O 距离水面2 m ,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P 从水中浮现(即到达图中点P 0)时开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h (m )表示为时间t (s )的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.课时作业一、填空题1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________.2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y＝sin(2x＋π2) ②y＝cos(2x＋π2) ③y＝sin(x＋π2) ④y＝cos(x＋π2)4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.①ω＝1，φ＝2π3②ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π36．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．13．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．★备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点．2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P59知识点二、例题分析：（一）“五点法”作图例1．（1）《名师一号》P60 高频考点例1（2）12已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .注意:【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出3一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象．变式：用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0,]π上的图象注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是图中的()ABC D4解析 当x ＝0时，y ＝－32，可排除B 、D. 当x ＝π6时，y ＝0，可排除C.注意: 知式选图的策略关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、 极值点、特殊点、特征直线等（二）三角函数的图象变换 例1．《名师一号》P60 高频考点 例1（3）已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：方法1：先平移后伸缩把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，5即可得到y ＝2sin ⎝2x ＋3的图象． 方法2：先伸缩后平移将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．注意：《名师一号》P60 问题探究 问题1在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？可以看出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．6变式：y ＝2sin ⎝ ⎭2x ＋3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．★注意： 图像变换（1）关注哪个函数是初始函数!（2）图象变换只能在同名函数之间进行！ （利用诱导公式进行正、余互化） （3）注意 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别《计时双基练》P249 第7题注意:逆向还原练习1：8月月考第6题为了得到函数2sin(2)6yx π=-的图像，可以将2sin(2)6y x π=+的图像（ ）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 sin sin()y x y x ωϕ=→=+7C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位变式：为了得到函数2sin(2)6y x π=-的图像，可以将2(2cos )6π=+y x 的图像向 平移 个单位答案：右；练习2：函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后 与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x答案：B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位 即得()y f x =的图象，56π即()sin2()sin(2)cos[(2)]6323cos(2)cos(2)66ππππππ=+=+=-+=-+=-f x x x xx x（三）据函数sin()=++y A x bωϕ的图象求解析式例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________；φ＝__________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.例1．（2）（补充）如图所示某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为______，最小用电量为______；(2)这段曲线的函数解析式为________．89解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40，∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (x ∈[8,14])．答案：(1)50万度 30万度(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (8≤x ≤14)注意：《名师一号》P60 问题探究 问题2确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的 步骤是什么？(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：10①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰”点)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. ★特别注意：①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别 ②求得的ϕ有无数个，结合题目条件取其中一个即可（四）三角函数图象与性质的综合 例1．《名师一号》P60 高频考点 例2(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．11解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0.所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π612＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.《计时双基练》P247 第5题例2．《名师一号》P61 特色专题 典例 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.13 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，----关于m 、n 的方程组即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)． 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.14所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【名师点评】 在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．（五）三角函数模型的应用例1．《名师一号》P61高频考点 例3如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．15解：(1)由条件，得A ＝2，T 4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6. ∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4. (2)由(1)可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在圆弧DE ︵上，故OP ＝ 6.“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，S 取得最大值．【规律方法】 本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．课后作业一、计时双基练P249 基础1-9；课本P60变式思考1二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4课本P60变式思考2、3; P62对应训练预习第六节16。
高中-第二节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
振幅 周期 频率 相位 初相
A
T＝2ωπ
f＝T1＝2ωπ
ωx＋ φ
φ
2.用五点法画函数 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
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用五点法画函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内
的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 22πx Nhomakorabea－ωφ 2πω－ωφ
π－φ ω
第四节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
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1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)
[小题查验基础]
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一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后
平移”中平移的长度一致．
(× )
(2)把函数 y＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原
来的12，所得图象对应的函数解析式为 y＝sin12x.
(× )
(3)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两
个相邻对称中心之间的距离为T2.
(√ )
(4)由图象求函数解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象
中最高点的值与最低点的值确定的．
( √)
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二、选填题
1．函数 y＝2sin2x＋π4的振幅、频率和初相分别为