09组合变形_1斜弯曲_土
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组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
09组合变形-2弯拉弯压-土
tmax
Mz Wz
My Wy
FN A
≤
t
A
FN M
cmax
Mz Wz
My Wy
FN A
≤
c
M
Fy F
Fx
B
l
x
FN
x
三、偏心拉伸
如图，偏心拉伸一般为轴向 拉伸和两个对称弯曲（纯弯 曲）旳组合
l
若偏心拉力 F 作用点旳坐标 为 A ( zF，yF )，则杆件任一 横截面上旳轴力、两个弯矩
MPa，校核强度。
解： 偏心拉伸为弯曲与拉伸 组合
a
F
h
F
e
偏心距: e a 2 5 mm
b
在开槽截面上： 轴力 FN = F、弯矩 M = Fe
MF
F
6Fe
N
163 MPa [ ] 140 MPa
t max
W
z
A h ab bh a2
强度不够，可否补救？ 对面开槽，只产生拉伸，无弯曲，此时
4 15103 N π×1212 106 m2
34.5 MPa 1.3 MPa 35.8 MPa [ t ] 35 MPa
因为
tmax [ t ] 2.3% 5% [ t ]
故立柱符合强度要求 即可取铸铁立柱直径为 121 mm
[例4] 如图，矩形截面杆承受偏心压缩，试问 当偏心压力 F 作用在哪个区域内时，截面上 只出现压应力。
再代入强度条件校核
A 26.1 cm2
M
max Wz
FN A
10103 N m 141106 m3
26103 N 26.1104 m2
80.9106 Pa 80.9 MPa [ ] 100 MPa
最新9组合变形汇总
例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变 形设有四种答案：
（A）平面弯曲变形； （B）斜弯曲变形； （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
F
F
例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如 图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最 大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？
大小有关，而与外力的大小无关；②一般情况下，I y I z 中性轴不与外力作用平面垂直；③对于圆形、正方形和正
多边形，通过形心的轴都是形心主轴，Iy Iz,
此时梁不会发生斜弯曲。
〈四〉强度校核：
对矩形截面，可以直接断定截面的 LmaxYmax必发生在
' '' 具有相同符号的截面角点处。
max
y
zP z iy2
0
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将
ay,0 0, az 代入 k 表达式得：
ay
iZ 2 yP
aZ
iy2 zP
由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该 截面的中性轴。上式表明ay、az 均与yp 、 zp符号相反，所以中性 轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受
曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还 是斜弯曲？
目录
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知 圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt 和最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
YA 4 kN
任 意 横 截 面 x上 的 内 力 :
第 10 章 组合变形
dD=200mm。圆轴的容许应力 100MPa 。试按第四强度理
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
十三 组合变形
例：直径为20 mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力 P=0.2 kN， 已知［σ］=170 MPa，试用第三强度理论确定 a 的许可值。 解：由内力图可知，截面 A 是危险截面。
A
B
轴的抗弯截面系数：
M图
圆轴弯扭组合变形强度条件:
2Pa
（按第三强度理论）
T图
C
Pa Pa
a 的许可值：
中性轴是一条通过截面形心的直线。
中性轴
二、位移计算 斜弯曲的概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法：
中性轴
总挠度 f 与中性轴垂直。源自斜弯曲：梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合。 否则称为平面弯曲。
挠曲线平面 载荷平面
特例： 当
时，梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面
重合，此时发生平面弯曲。比如：
将P分解：
产生轴向拉伸； 产生弯曲变形。
组合变形横截面上的应力：
轴力引起截面上的正应力：
弯矩引起截面上的正应力：
FN
Mz
总应力：
危险截面的应力：
FN
拉(压)弯组合变形强度条件：
Mz
◆ 偏心压缩（以矩形截面为例）：
d c
例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最大压应 力σc；
（1）力作用的独立性原理 即在线弹性、小变形的前提下，任一载荷所引起的变
形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
第一节 组合变形的概念
二、 组合变形
3、组合变形的基本解法
（2）基本步骤： ① 将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几 组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形； ② 分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、 变形； ③ 将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、 变形； ④ 最后作强度或刚度计算。
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
组合变形1,同济大学材料力学课件
z
w
wy
11
对于无棱角的截面如何进行强度计算—— 1、首先确定中性轴的位置；
F A L B
中性轴
y
k
b
z
a
Fz
k k
Mz
k
My
M z yk M y z k F Iz Iy
Fy
令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
M z y0 M y z 0 0 Iz Iy
3、最后进行强度计算。
例题图
19
解（一）外力分析
例1图
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁 的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
20
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大 弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
第九章
§9—1 §9—2 § 9－ 3 § 9－ 6 § 9－ 7
组合变形
组合变形概念和工程实例 斜弯曲 轴向拉(压)与弯曲组合 截面核心 弯扭组合变形 偏心拉压
1
§9-1 组合变形概念和工程实例
构件同时发生两种或两种以上的基本变形，如几 种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为组 合变形
工程实例：烟囱，传动轴，吊车梁的立柱
A 解：1、外力分解简化 qz q sin 800 0.447 358 N / m B
L
q y q cos 800 0.894 714 N / m
y
2、内力分析（危险截面为跨中截面）
714 3.32 M z m ax 972 Nm 8 8 q y L2
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[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1 m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
解：梁为斜弯曲
作弯矩图
可见危险截面位于固定
端处，其上铅垂弯矩、
水平弯矩分别为
1.5 kN m
Mz 1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题
基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一种 基本变形彼此独立、互不影响。
基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别计 算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加，确定 构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状态；最 终根据强度理论建立组合变形杆件的强度条件。
4. 确定危险点及其
点。 显然，危险点为 m 点或 n点。
m
z
危险点为单向拉伸(压缩)应力状态，
A
其处最大正应力
n
max
Mz Wz
My Wy
B
F 中性轴
y
l
说明： 1）对于无棱角截面，则需根据中性轴判断危险点。
记中性轴上任一点的坐标为 ( z0 , y0 ) ，由 = 0，得中性轴方程
M
M
2 z
M
2 y
2.5 kN m
故得此时该梁中的最大弯曲正应力为
max
M Wz
2.5103 N m 92.7 MPa π 653 109 m3
32
M z 1.5 kN m M y 2 kN m
2.0 103 31 250 109
96 MPa
若截面改为直径 d = 65 mm 的圆形，再求其最大正应力： 圆形截面梁的截面没有棱角，不能按上述方法计算，因为两个弯矩 引起最大应力点不是同一个点。由于圆为中心对称图形，故只需将 危险截面上的两个弯矩合成后，即可按对称弯曲计算。
危险截面上的合成 弯矩
max
Mz Wz
My Wy
≤[ ]
式中，Mz、My 分别为危险截面上的铅垂弯矩、水平弯矩
[例1] 如图，桥式起重机大梁由 No. 32a工字钢制成，梁长 l = 4 m，
材料的许用应力[ ] = 160 MPa 。吊车行进时载荷的方向偏离铅垂 线一个角度 。已知 =15°、F = 30 kN，试校核大梁强度。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图，可见跨中截面为危
x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为
x
Mz Fy l / 4 29 kN m
My
My
M y Fz l / 4 7.76 kN m
所以，大梁的强度符合要求
max
Mz Wz
My Wy
41.9 MPa 109.6 MPa 151.5 MPa
讨论：若载荷不偏离铅垂线，则有
max
M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
Mz Iz
y0
My Iy
z0
0
中性轴为一条通过截面形心的直线
离中性轴最远的点即为危险点
2）中性轴的斜率
tan y0 Iz tan
z0 I y 若 Iz ≠ Iy，则 ≠ ，即中性轴不垂 直于载荷作用平面，故称为斜弯曲
m
A
n
z
F 中性轴
y
l
5. 根据危险点的应力状态建立强度条件 危险点为单向拉伸(压缩)应力状态，故对于具有棱角截面的斜弯 曲梁，其强度条件为
第二节 斜弯曲
1. 分析载荷，判断变形类型
两个对称弯曲的组合(弯弯组合)
A
2. 作内力图，确定危险截面及其 上内力
危险截面位于固定端 A 处，其上
铅垂弯矩： M z Fl cos 水平弯矩： M y Fl sin
说明： 1）规定使截面上第一象限的点 受拉的弯矩为正。 2）组合变形强度计算时，弯曲内力只 考虑弯矩。
x
Mz
M y 2 kN m
x
2 kN m
My
1
抗弯截面系数
Wz
bh2 6
46875 mm3
2
Wy
hb2 6
31250 mm3
1.5 kN m
x
梁中的最大弯曲正应力发
Mz
生在固定端截面的 1、2
x
两点处， 大小为
2 kN m
My
max
Mz Wz
My Wy
1.5 103 46 875109
Mz 29 kN m
M y 7.76 kN m
查型钢表，No. 32a 工字钢的抗弯截面系数
Wz 692 cm3
Wy 70.8 cm3
根据具有棱角截面的斜弯曲梁的强度条件
max
Mz Wz
My Wy
29103 7.76103 692106 70.8106
41.9 MPa 109.6 MPa 151.5 MPa [ ] 160 MPa
Mz
Mz
My My
z
Fz
B
F Fy
y
l
x x
3. 分析危险截面上的应力
铅垂弯矩 Mz 引起的应力
z
Mz Iz
y
水平弯矩 My 引起的应力
y
My Iy
z
总应力
Mz y My z
Iz
Iy
说明：总应力 的正负由 Mz、My 以
及 y、z 的正负号确定
A
Mz Mz
My My
z
Fz
B
F Fy
y
l
x x