草鱼捕捞最佳优化

水库捕鱼方案

摘要

本文研究水库养鱼最佳效益问题，经过合理分析，建立数学模型，并运用MATLAB、LINGO软件对数学模型进行求解。通过对草鱼销售收益以及捕捞成本的分析，考虑综合因素，做出合理假设，找到收益最高、捕捞成本最低的目标函数，以求得水库养鱼效益的最大值。

针对问题一，分析问题，对草鱼繁殖、市场竞争、损失等方面进行合理假设。根据供应量的变化，价格随之相应改变，建立销售收益随供应量变化的分段数学模型，并运用MATLAB软件绘出销售收益随供应量变化的图像。

针对问题二，在自然放水的情况下，水位随时间变化呈线性关系即一次函数关系。结合实际，着重讨论一次函数、二次函数关系，经分析最终确定捕捞成本随水位变化呈线性关系即一次函数。运用MATLAB软件绘制水位-时间、捕捞成本-水位关系的图象。因此在建立捕捞成本与时间的函数模型中，经分析合理近似得出草鱼捕捞成本随时间变化成线性关系。

针对问题三，讨论损失率与水位关系，在已知一点（2,20%）时，对损失率与水位的函数图象的变化趋势进行假设，假设为线性和非线性，并在水位10米时对损失率作出为0%或趋近于0%合理假设。在对草鱼损失率假设的基础上着重对一次函数、一元二次函数以及反比例函数合理的进一步图象假设，并通过MATLAB软件作图，比较各个函数图象，经与实际情况分析，最终确定损失率与时间关系为反比例函数关系。因自然放水，水位与时间呈线性关系，并不影响草鱼损失率与水位的函数关系图象的变化趋势。因此草鱼损失率随时间变化为反比例函数关系。

针对问题四，在考虑捕捞和鲜活草鱼投放市场两方面，达到效益最佳。通过建立总销售收益与捕捞成本差值的数学模型，并运用LINGO数学软件计算出可达到的效益最佳。如果在超过饱和值的情况下，把鲜活草鱼冻起来，同时考虑冻鱼与鲜活草鱼的价格变动以及冻鱼的贮存费用两方面因素，假设捕捞时间为20天，总的草鱼捕捞量严格小于两万公斤，冻鱼在超过饱和值当日出售且当日全部售完，建立销售效益与供应量的数学模型，并通过LINGO数学软件局部优化计算出在把超出饱和值的草鱼冻上这种情况下达到的最佳销售效益。如只卖活鱼即不卖冻鱼和死鱼，冻鱼与鲜活草鱼的价格变动和冻鱼贮存费用的关系。因假设损失率中包括鱼死亡以及捕捞损失情况，在考虑供应量中已排除死鱼。当冻鱼的销售收益严格小于捕捞成本和冻鱼贮存费用时，结合实际情况，商家将不再出售冻鱼。综合考虑这两种情况，运用LINGO数学软件可计算出冻鱼与鲜活草鱼的价格变动和冻鱼贮存费用的关系。

关键词：非线性规划分段函数局部优化最优解

一、问题重述：

现有一个个人承包的水库，为了提高经济效益，需要对水库做一次彻底放水清理。水库的水位平均为10米，自然放水每天水位可降低0.4米，经协商水库水位最低可降至2米以对水库中的杂鱼进行清理。

目前水库有草鱼二万公斤，水库每天供应当地市场鲜活草鱼，若日供应量在400公斤以下，价格为20元/公斤，日供应量在400~1200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤，超过部分价格降至15元/公斤以下，日供应量到1800公斤处于饱和。

对于捕捞草鱼成本，在水位10米时，每公斤5元，当水位2米时，每公斤1元。随着水位下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，水位2米时损失率为20%。

二、问题分析：

问题（1）：问题中要求建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，需要按照供应量变化进行分段，构造一个分段函数关系。其中函数分为四段，自变量为供应量变化区间，分别以0~400公斤、400~1200公斤、1200~1800公斤、1800~20000公斤。在各个区间上，用相应的价格与供应量的对应关系建立草鱼销售效益随供应量变化的函数关系。

问题（2）：问题中要求建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，必须先考虑捕捞成本与水位高度的函数关系，在水位为10米时，捕捞成本为5元/公斤；在水位为2米时，捕捞成本为1元/公斤，分析函数图像变化关系，此时图像经（2,1）、（10,5）两点，可能为一次函数、二次函数或者其他函数关系。经结合实际，我们着重对一次函数进行分析，一次函数图像为线性关系，因此草鱼的捕捞成本随水位变换呈线性关系。题中已知自然放水每天水位降低0.4米，因此水位随时间变化呈线性关系。在水位高度随时间变化关系中，由水位高度10米降到

2米，自变量取值范围为[1,20]

i∈，所以在草鱼捕捞成本随时间变化的函数关系中，自变量应为[1,20]

i∈,并且呈线性关系。

问题（3）：

1)问题要求讨论损失率与水位关系。题中已知水位的下降与草鱼损失率呈递减关系，在最低水位2米时，损失率为20%。讨论损失率与水位关系，一种是线性关系，一种是非线性关系。在水位高度为10米时，草鱼损失率有两种情况,

一种损失率为0%，一种损失率趋近于0%。

2)建立简明合理的草鱼损失率随时间变化的函数关系。在水位为10米，当草鱼损失率为0%时，损失率与水位关系分为线性关系和非线性关系，非线性如一元二次函数；在水位为10米，当草鱼损失率趋近于0%时，损失率与水位关系仅为非线性关系，如反比例函数。我们将着重对这三种情况建立草鱼损失率随时间变化的函数关系。题中已知水位与时间呈线性关系，因此草鱼损失率随时间变化的函数图像与损失率随水位变化的函数图像变化趋势相同，不受水位与时间关系影响。

问题（4）：

1）在考虑捕捞草鱼和将鲜活草鱼投放市场两方面的基础上，达到效益最佳。

在捕捞中有捕捞成本，还有随着水位下降草鱼死亡和捕捞造成损失的损失率，在鲜活草鱼投放市场中，随着供应量的改变有价格的变动。纯收等于在市场卖的总收入与捕捞成本和损失率的差值。

2）如果超过饱和值1800公斤时，可以将鲜鱼冷冻起来，假设冻鱼的销售价格比当日鲜鱼价格低M，且每公斤每天的储存费为V,问题要求达到销售收益最佳。销售收益等于供应量和相应价格乘积，冻鱼的价格等于当天鲜鱼的价格与价格降低量和每天每公斤的贮存费的差值。同时考虑冻鱼与鲜活草鱼的价格变动以及冻鱼的贮存费用两方面因素，冻鱼在超过饱和值的当日出售并且在当日全部售出，建立销售效益与供应量的数学模型。

3）问题要求求出在只售活鱼时，M和V满足的条件。只需让冻鱼总销售效益小于0，即可达到只售活鱼。

三、模型假设

1.该水库的草鱼不繁殖，且不人为增加草鱼数量。

2.草鱼损失只考虑随着水位下降草鱼死亡和捕捞造成损失，不存在疾病等大规

模死亡。

3.该市场的草鱼售价保持稳定，不存在其他商家竞争。

4.为保持最大销售收益，日供应量在1200~1800公斤范围内，价格为15元/公

斤。

5.每天只在早上捕鱼，接着测量水位高度，然后对水库放水，第一天水位线为

10米，第21天达到最低水位2米。

6.冻鱼贮存费用不足一天以一天计算费用。

四、符号系统

i i=第1,2,,21天

w第i天的销售收益

i

q第i天销售价格

i

p第i天捕捞每公斤草鱼的成本

i

x第i天草鱼供应量

i

y第i天草鱼捕捞量

i

s第i天损失率

i

h第i天水位

i

G总销售效益（净利润）

g第i天鲜鱼冷冻模式下的净利润

i

W总销售收益（毛利润）