八年级数学上册全套讲解-带答案
蓝色A典八年级数学上册A本参考答案
1.A；2.C；3.平移或旋转；4.平移，A；5.D；6.B； 7．(1)将右边的△DEF 先向左平移，平移距离为线段 CE 的长，再将平移后的三角形绕点 E 按逆时针方向旋 转 90°，则可得到△ABC.(也可先旋转，后平移) (2)将左边△ABC 沿射线 BC 方向平移，平移距离为线段 CE 的长，再将平移后的三角形绕点 C 按顺时针方向 旋转 90°，则可得到△DEF.(也可先旋转，后平移) 8．(1)经过平移使 AB 变到 EF 的位置. (2)经过旋转使△OFC 变到△OED 的位置. (3)相等的线段：AB=EF，AE=BF，DE=CF，OE=OF，OD=OC； 相等的角：∠DAB=∠EFB，∠ABC=∠AEF=∠EFC，∠EDC=∠DCF，∠EOD=∠FOC，∠DOF=∠COE.
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2× 12 = 24 (cm2)，而 Rt△BCE 的面积为 3×4× 1 =6(cm2)，故梯形的面积为 6+ 24 = 54 (cm2).
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第三节 生活中的旋转
1.A；2.4，72；3.A；4.C；5.3；6.3 2 ； 7．（1）旋转中心为点 A；（2）旋转了 60°；（3）点 M 旋转到了 AC 的中点位置上. 8．(1)旋转中心为点 A； (2)相等的线段有 AB=AB′，AC=AC′，BC=B′C′. 相等的角有∠BAC=∠B′AC′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠BAB′=∠CAC′. 9．∵将△ABD 绕着点 D 按顺时针方向旋转 60°后到△ECD 的位置，∴DE=AD，∠ADE=60°， 又∵∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°. 即 A、C、E 在同一直线上，∴△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°. 而∠BAC=120°，∴∠BAD=60°. 又∵AB=CE，∴AD=AE=AC+CE=2+3=5.
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册课本答案
人教版八年级数学上册课本答案
第154页练习
1.解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘汽车学生的速度为2xkm/h.
由题意可知10/x-20/60=10/2x.
方程两边都乘60x，得600-20x=300.
20x=300，x=15.
经检验x=15是原方程的解，它符合题意.
答：骑车学生的速度为15km/h.
2.解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x-6)个零件，
由题意得90/x=60/(x-6)，
解得x=18.
经检验x=18是原分式方程的解，符合题意.
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
第132页
第152页
(1)解：方程两边乘2x(x+3)，
得x+3=4x，
解得x=1.
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0.
所以原分式方程的解为x=1.
(2)解：方程两边乘3x+3，
得3x=2x+3x+3，
解得x=-3/2.
检验：当x=-3/2时，3x+3≠0，
所以原分式方程的解为x=-3/2.
(3)解：方程两边乘X²-1，
得2(x+1)=4，
解得x=1.
检验：当x=1时，X²-1=0，
因此x=1不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解.
(4)解：方程两边乘x(x+1)(x-1)，
得5(x-1)-(x+1)=0，
解得x=3/2.
检验：当x=3/2时，x(x+1)(x-1)≠0，所以原分式方程的解为x=3/2.。
八年级数学上册第十二章全等三角形知识汇总大全(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形知识汇总大全单选题1、如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使△DOE ≅ △FOE ，你认为要添加的那个条件是（ ）A ．OD =OEB ．OE =OFC ．∠ODE =∠OED D ．∠ODE =∠OFE答案：D分析：根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，{∠DOE =∠FOEOE =OE ∠ODE =∠OFE∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D．小提示：本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．2、如图，已知△ABC，用直尺和圆规按以下步骤作出△DEF．（1）画射线DM，以点D为圆心，AB长为半径画弧，与DM交于点E；（2）分别以D，E为圆心，线段AC，BC长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）连接DF，EF．则能用于证明△ABC≌△DEF的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS答案：A分析：根据作图方法可知，DE=AB，DF=AC，EF=BC，由此可解．解：根据作图的步骤（1）知DE=AB，由步骤（2）知DF=AC，EF=BC，根据三组边对应相等（SSS），可证△ABC≌△DEF．所以答案是：A．小提示：本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．3、如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（）A．边角边，全等三角形对应角相等B．角边角，全等三角形对应角相等C．边边边，全等三角形对应角相等D．斜边直角边，全等三角形对应角相等答案：C分析：结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案．根据题意，得：OD=OC，DP=CP在△ODP和△OCP中{OD=OC DP=CP OP=OP∴△ODP≌△OCP∴∠DOP=∠COP，即∠BOP=∠AOP∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等故选：C．小提示：本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解．4、如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADCC．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90°答案：C分析：由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC与△AEC中，{AC=AC∠BAC=∠EACAB=AE，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．小提示：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．5、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF ＝DB，则∠ADE的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．71°答案：C分析：先利用三角形内角和算出∠CAB，再证明△CDF≌△EDB得到CD=DE；再证明△ACD≌△AED，得到∠CAD=∠EAD，即可算出根据题意：在Rt△ABC中∠CAB=90°−∠B=40°在Rt△CDF和Rt△EDB中{FC=BEDF=DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）∴CD=DE在Rt△ACD和Rt△AED中{CD=DEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠CAD=∠EAD=1∠CAB=20°2在Rt△ADE中∴∠ADE=90°−∠EAD=70°故选：C．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．6、如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC≌DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC=DE B．AE=DB C．∠A=∠DEF D．∠ABC=∠D答案：B分析：根据三角形全等的判定做出选择即可．A、BC=DE，不能判断△ABC≌△DEF，选项不符合题意；B、AE=DB，利用SAS定理可以判断△ABC≌△DEF，选项符合题意；C、∠A=∠DEF，不能判断△ABC≌△DEF，选项不符合题意；D、∠ABC=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．7、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=7S△ABP；4⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5答案：B分析：①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．解：在△ABC中，A D、BE分别平分∠BA C、∠ABC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵A D、BE分别平分∠BA C、∠ABC∴∠BAD+∠ABE=1（∠A+∠B）=45°2∴∠APB=135°，故①正确∴∠BPD=45°又∵PF⊥AD∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF 在△APH和△FPD中{∠APH=∠FPD PA=PF∠PAH=∠PFD∴△APH≌△FPD（ASA）∴PH=PD∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD∵∠HPD=90°∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP∴S△EPH=S△EPD∴S△APH=S△AED，故⑤正确∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH∵DH∥BE∴∠CDH=∠CBE=∠ABE∴∠CDE=∠ABC∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误故选B．小提示：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8、如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CED=90°，AB=CD，CE=AC，则下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△CDE B．∠CAB=∠DCE C．AB⊥CD D．E为BC中点答案：D分析：首先证明△ABC≌△CDE，推出CE=AC，∠D=∠B，由∠D+∠DCE=90∘，推出∠B+∠DCE=90∘，推出AB⊥CD，即可一一判断．解：∵∠ACB=∠CED=90°，∴△ABC和△CDE为直角三角形，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，{AB=CDAC=CE∴△ABC≌△CDE(HL)，∴CE=AC，∠D=∠B，∠CAB=∠DCE，∵∠D+∠DCE=90∘，∴∠B+∠DCE=90∘，∴AB⊥CD，故A、B、C正确，故选：D．小提示：本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．9、如图，已知△ABC≅△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30∘，∠CGF=88∘，则∠E的度数是（）A．30∘B．50∘C．44∘D．34∘答案：D∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角形分析：根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD=12的外角性质、全等三角形的性质解答即可．解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD=∠BCD=1∠BCA，2∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=30°，∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，∴∠BCA=116°，∴∠B=180°-30°-116°=34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=34°，故选：D．小提示：本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10、如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°答案：B分析：由题意易得∠ACF=∠BCE=65°，∠AFC=90°，然后问题可求解．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACF=∠BCE，∵∠BCE=65°，∴∠ACF=∠BCE=65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC=90°，∴∠CAF=90°−∠ACF=25°；故选B．小提示：本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．填空题11、已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a,AC=b,AB=c．①以点B为圆心，c的长为半径画弧；②连接AB,AC；③作BC=a；④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是__________．答案：③①④②分析：根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可．解：先作BC=a，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接AB,AC，则△ABC即为所求．所以答案是：③①④②．小提示：本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12、已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为大于12__________．答案：15°或45°MN的长度分析：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，即可求解．解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，得到O P为∠AOB的平分线，以大于12再以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，所以∠BOC=15°或45°．所以答案是：15°或45°．小提示：本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作∠POC=15°的两种情况，避免遗漏．13、已知点A（−3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是___．答案：-2分析：根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解．∵点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，∴-3+a+2a+9＝0，∴a＝−2．所以答案是：−2．小提示：此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的特点．14、如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．答案：角平分线上的点到角两边的距离相等分析：根据角平分线性质定理求解即可．解：角平分线上的点到角两边的距离相等．所以答案是：角平分线上的点到角两边的距离相等．小提示：本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键．15、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AB=5cm，AD=BC=3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为t(s)，当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，点F的运动速度为______cm/s．答案：1或65分析：设点F的运动速度为xcm/s，由题意可得AE=t cm，BE=(5−t)cm，BF=xtcm，△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时分为两种情况：△ADE≅△BEF，△ADE≅△BFE，再利用全等三角形的性质求解即可．解：设点F的运动速度为xcm/s，由题意可得AE=t cm，BE=(5−t)cm，BF=xtcm，∵∠DAB=∠ABC∴△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时可分为两种情况：①当△ADE≅△BEF时，∴AE=BF，∴t=xt∴x=1∴此时点F的运动速度为1cm/s；②当△ADE≅△BFE时，AE=BE，AD=BF=3，∴t=5−t，xt=3，∴x=65，t=52，此时点F的运动速度为65cm/s，所以答案是：1或65．小提示：本题主要考查三角形全等的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论．解答题16、（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 °；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．答案：（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120°分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，由勾股定理可求解；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，所以答案是：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，所以答案是：AD=BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2，∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如图4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．小提示：本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．答案：4cm分析：先根据角平分线的性质得到DE =DF ，利用三角形面积公式得到12×20×DE + 12×12×DF =64，即10DE +6DE =64，从而得到DE ．解： ∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴12×20×DE +12×12×DF =64．即10DE +6DE =64，∴DE =4（cm ）．答：DE 的长为4cm ．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式，熟练掌握运用角平分线的性质是解题关键．18、如图，已知射线AB 与直线CD 交于点O ，OF 平分∠BOC ，OG ⊥OF 于O ，AE ∥OF ，且∠A =30°．（1）求∠DOF 的度数；（2）试说明OD 平分∠AOG ．答案：（1）150°；（2）证明见解析．分析：（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．解：（1）∵AE//OF，∴∠FOB=∠A=30°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°−∠COF=150°；（2）∵OF⊥OG，∴∠FOG=90°，∴∠DOG=∠DOF−∠FOG=150°−90°=60°，∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG．小提示：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．。
八年级数学上册第十二章全等三角形解题技巧总结(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形解题技巧总结单选题1、在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5答案：B分析：延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵{AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．2、“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线答案：C分析：根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．小提示：本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．3、如图，在△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,AB=10,CD=3，则△ABD的面积为（）A．30B．20C．15D．10答案：C分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质作出辅助线，即可得出AB边上的高线长度，根据面积公式计算，解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10×3=15．故选：C．小提示：本题主要考查了角平分线的性质，根据性质作出辅助线是解答此题的关键．4、如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（）A．3B．4C．5D．6答案：B分析：先证明△MQP≌△NQH，再由全等三角形的性质可得PQ=QH=5，根据MQ=NQ=9，即可得到答案．解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，{∠PMQ=∠QNHMQ=NQ∠MQP=∠NQH=90°，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理证明三角形的全等三角形，找到边与边的关系解决问题．5、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD 的面积是（）A．24B．30C．36D．42答案：B分析：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+SΔBCD=12AB⋅DE+12BC⋅CD=12×6×4+12×9×4=30故选B.小提示：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6、如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB=DF，BC=EF，AC=DE，则∠ACB等于（）A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．12∠AFE答案：D分析：根据已知条件可证△ABC≌△DFE，则∠ACB=DEF，再利用三角形的外角的性质可得∠AFE=∠ACB+∠DEF，进而可求解．在△ABC和△DFE{AB=DF BC=EF AC=DE∴△ABC≌△DFE∴∠ACB=DEF∵∠AFE=∠ACB+∠DEF∴∠AFE=2∠ACB，即∠ACB=1∠AFE2故选：D小提示：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键是利用三角形全等得出对应角相等．7、如图，若∠B=∠C=90°，AB=AC，则△ABD≌△ACD的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．HL答案：D分析：根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．解：∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，{AD=ADAB=AC∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．8、如图，AC与BD相交于点O，OA=OD,OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL答案：B分析：根据OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠COD正好是两边一夹角，即可得出答案．解：∵在△ABO和△DCO中，{OA=OD∠AOB=∠CODOB=OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，故B正确．故选：B．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．9、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度数为（）A．68°B．70°C．71°D．74°答案：D分析：利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，{∠ABM ＝∠EBMBM ＝BM ∠BMA ＝∠BME ＝90°．∴△BMA ≌△BME （ASA ），∴BA =BE ，在△BDA 和△BDE 中，{BA ＝BE∠ABD ＝∠EBD BD ＝BD，∴△BDA ≌△BDE （SAS ），∴∠BED =∠BAD =112°，∴∠CED =68°，∴∠CDE =180°-∠C -∠CED =74°，故选：D ．小提示：本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是30cm 2，AB =13cm ，AC =7cm ，则DE 的长（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm答案：A分析：根据角平分线的性质求出DE =DF ，根据三角形的面积公式列式计算即可．解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE =DF ，∴12×AB ×DE +12AC ×DF =S △ABC =30，即12×13DE +12×7DE =30，解得DE =3． 故选：A ．小提示：本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，灵活运用角平分线的性质成为解答本题的关键． 填空题11、如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，DE ⊥BC ，垂足为E ．若AD ＝DE 且∠C ＝50°，则∠ABD ＝_____°．答案：20分析：利用三角形的内角和定理先求解∠ABC ，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD 平分∠ABC, 从而可得答案．解：∵∠A =90°，∠C =50°，∴∠ABC =180°−90°−50°=40°，∵∠A =90°，DE ⊥BC,DA =DE,∴BD 平分∠ABC,∠ABD =12∠ABC =20°， 所以答案是：20小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．12、如图，已知AB =CB ，要使△ABD ≌△CBD (SSS)，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．答案：AD =CD分析：要利用SSS 判定△ABD ≌△CBD ，已知AB =CB ，公共边BD =BD ,只需要再添加一组对边相等即可．解：∵AB=CB，BD=BD，∴要利用SSS判定△ABD≌△CBD，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD=CD，所以答案是：AD=CD．小提示：本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．13、如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．答案：40°分析：根据AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，可得∠CAB=2∠PAB，∠CBD=2∠PBD，再根据外角的性质可得∠CBD=∠CAB+∠ACB，∠PBD=∠PAB+∠APB，化简得2∠APB=∠ACB；过P作PE1⊥AB于点E1，PE2⊥BC于点E2，PE3⊥AC延长线于点E3，易得PE1=PE2=PE3，可得CP平分∠E3CE2，即有∠E3CP=∠E2CP，根据∠ACP=130°，可得∠E3CP=50°，∠E3CE2=2∠E3CP=100°，则有∠ACB=80°，再根据∠APB=1∠ACB求解即可．2解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，∴∠CAB=2∠PAB，∠CBD=2∠PBD，又∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，∠PBD=∠PAB+∠APB，∴2∠PBD=2∠PAB+∠ACB∴2(∠PAB+∠APB)=2∠PAB+∠ACB∴2∠APB=∠ACB如图示，过P作PE1⊥AB于点E1，PE2⊥BC于点E2，PE3⊥AC延长线于点E3，∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，∴PE1=PE3，PE2=PE1，即PE1=PE2=PE3∴CP平分∠E3CE2，∴∠E3CP=∠E2CP又∵∠ACP=130°∴∠E3CP=180°−∠ACP=180°−130°=50°∴∠E3CE2=2∠E3CP=100°∴∠ACB=180°−∠E3CE2=180°−100°=80°∴∠APB=12∠ACB=12×80°=40°故答案是：40°．小提示：本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．14、三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是_______________________________答案：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．分析：角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可.解：三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．所以答案是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．小提示：本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键.15、如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°−12∠A；③点O到ΔABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则SΔAEF=12mn．其中正确的结论有________（填写序号）．答案：①③④分析：由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．解：在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°−12∠A，∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A；故②错误；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF//BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴SΔAEF=SΔAOE+SΔAOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF)=12mn；故④正确；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到ΔABC各边的距离相等，故③正确．所以答案是：①③④．小提示：本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．解答题16、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE,求证：AE＝DE.答案：见解析分析：利用SSS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB，再由SAS定理证明△ABE≌△CED，即可证得AE=DE．证明：在△ABC和△DCB中，{AB＝DC AC＝DBBC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB．在△ABE和△DCE中，{AB＝DC∠ABC＝∠DCB BE＝CE ，∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．小提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．17、命题：如图，已知AC∥EF,AC=FE，A,D,B,F共线，（1），那么ΔABC≅ΔFDE．(1)从①AB=FD和②BC=DE两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；(2)根据你选择的条件，判定ΔABC≅ΔFDE的方法是________；(3)根据你选择的条件，完成ΔABC≅ΔFDE的证明．答案：(1)①(2)SAS(3)见解析分析：（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）根据（1）直接填写即可；（3）利用SAS进行证明．（1）解：∵AC∥EF，∴∠A=∠F，∵AC=EF，∴当AB=FD时，可根据SAS证明ΔABC≅ΔFDE；当BC=DE时，不能证明ΔABC≅ΔFDE，所以答案是：①；（2）解：当AB=FD时，可根据SAS证明ΔABC≅ΔFDE，所以答案是：SAS；（3）证明：在△ABC和△FDE中，{AC=EF∠A=∠F AB=FD，∴ΔABC≅ΔFDE．小提示：此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18、如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．答案：见解析分析：延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，连接EF′，在△FCE与△F′CE中，{CF=CF′∠F′CE=∠FCECE=CE，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE与△F′BE中，{∠A=∠BF′E∠ABE=∠F′BEBE=BE，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．。
八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳(带答案)
八年级数学上册第十二章全等三角形重难点归纳单选题1、如图，若△ABC≌△ADE则下列结论中不成立．．．的是（）A．∠BAD=∠CAEB．∠BAD=∠CDEC．DA平分∠BDED．AC=DE答案：D分析：根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；B．如图，∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．2、下列说法不正确的是（）A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等D．有三条边对应相等的两个三角形全等答案：B分析：根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．A.符合判定SAS，故该选项说法正确，不符合题意，B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，C.正确，符合判定AAS，故该选项说法正确，不符合题意，D.正确，符合判定SSS，故该选项说法正确，不符合题意，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．3、小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点答案：A分析：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．小提示：本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（）A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9答案：A分析：根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，∴BF=CD=3，故A错误；故选：A．小提示：此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．5、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，{CE=BDBC=CB∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．6、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7、如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD,CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合BF⊥CF即可判定．解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴12BD⋅AM=12CE⋅AN∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE=45°故④正确．故答案为C．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．8、如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案：B分析：根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作N为圆心，以大于12∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（）DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=12A．①②③B．①②③④C．②④D．②③④答案：A分析：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC⊥BC，又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，∴CD=ED，故①正确，在Rt△BCD和Rt△BED中，，{DE=DCBD=BD∴△BCD≌△BED，∴BC=BE，故③正确.故选A.小提示：本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.10、判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等答案：D分析：根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．填空题11、如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．答案：3.5分析：过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．解：过C点作CF⊥AB于F，如图，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，{AC=ACCF=CE∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，{∠CBF=∠D∠CFB=∠CEDCF=CE，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．所以答案是：3.5．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．12、如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件____，使△ABC≌△ADC．答案：∠D=∠B(答案不唯一)分析：本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．解：添加的条件为∠D=∠B，理由是：在△ABC和△ADC中，{∠BAC =∠DAC∠D =∠B AC =AC，∴△ABC ≌△ADC (AAS )，所以答案是：∠D =∠B ．小提示：本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．13、如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF,OA =OB ，则图中有__________对全等三角形．答案：3分析：根据角平分线的性质得到PE =PF ，根据全等三角形的判定定理判断即可．解：如图，OP 平分∠MON,PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，PE =PF ，∴∠1=∠2，在△AOP 和△BOP 中，{OA =OB ，∠1=∠2,OP =OP ，∴△AOP ≌△BOP (SAS )，∴AP =BP ，在Rt △EOP 和Rt △FOP 中，{PE =PF ，OP =OP,∴Rt △EOP ≌Rt △FOP (HL )，在Rt △AEP 和Rt △BFP 中，{PA =PB,PE =PF,∴Rt △AEP ≌Rt △BFP (HL )，∴图中有3对全等三角形．所以答案是：3.小提示：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5，CD =2，则△ABD 的面积是________．答案：5分析：过D 作DE ⊥AB 于E ，由△DAE ≌△DAC 得到DE 的长，进而解答；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，△DAE 和△DAC 中，AD 平分∠BAC ，则∠DAE =∠DAC ，∠DEA =∠DCA =90°，DA =DA ，∴△DAE ≌△DAC （AAS ），∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =12×5×2=5，所以答案是：5；小提示：本题考查了角平分线的概念，全等三角形的判定（AAS ）和性质；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．15、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC ，D 为△ABC 内一点，且∠BCD =∠CAD ，若CD =4，则△BCD 的面积为________．答案：8分析：由线段CD 的长求ΔBCD 的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：S ΔBCD =12×CD ×BE ，再由题中的∠BCD =∠CAD 和等腰直角三角形ABC ，即可求证ΔACD ≌ΔCBE ，最后由CD =BE =4即可求解． 解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E∵∠ACB =90°∴∠BCD +∠ACD =90°∵∠BCD =∠CAD∴∠ACD +∠CAD =90°∴∠ADC =90°∵BE ⊥CD∴∠E =90°∴∠BCD +∠CBE =90°∴∠ACD =∠CBE∵AC =CB∴ΔACD ≌ΔCBE∴CD =BE =4∴SΔBCD=12×CD×BE=12×4×4=8故答案是：8．小提示：本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．解答题16、已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．答案：（1）68°；（2）见解析；（3）36分析：（1）由已知条件可得∠D=∠C=45°，对顶角∠AQD=∠CQF，则∠DAC=∠DFC，根据∠DAE=∠CAB即可的∠DFC=∠BAE；（2）过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,证明△AEC≌△BNA，得AE=BN,进而可得AD=NB，再证明△DAM≌△BNM即可得证点M为BD中点；（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，先证明△ABE≌△ACD，进而证明△AEG≌△KCG，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得∠BAD=∠KCA，进而证明△ABD≌△CAK，再根据∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,证明AH⊥BD，根据已知条件求得S△ABD最后证明S△AEC=S△ABD即可．（1）设DF交AC于Q，如图1，∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴∠D=∠C=45°∵∠AQD=∠CQF∵∠DAQ=180−∠D−∠AQD,∠QFC=180−∠C−∠CQF∴∠DAQ=∠QFC∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAQ=∠EAQ+∠QAD∴∠BAE=∠QAD∴∠DFC=∠BAE∵∠BAE=68°∴∠DFC=68°故答案为68°（2）如图2，过点B作ME的垂线交EM的延长线于N,∴∠N=90°∵∠AEC=90°∴∠N=∠AEC∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠NAB=90°∵∠NAC+∠ACE=90°∴∠NAB=∠ECA∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AD=AE 又∵AC=AB∴△AEC≌△BNA∴NB=AE∵AE=AD∴AD=NB∵∠DAE=90°∴∠DAM=90°∴∠DAM=∠N又∵∠DMA=∠BMN∴△DAM≌△BNM∴DM=BM即M是BD的中点（3）延长AG至K，使得GK=AG=9，连接CK，设AE交BC于点P，如图∵∠BAC=∠EAD=90°即∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD∴∠BAE=∠CAD∵△ABC是等腰Rt△ABC和△ADE是等腰Rt△ADE∴AB=AC,AE=AD在△ABE与△ACD中，{AE=AD∠BAE=∠CAD AB=AC∴△ABE≌△ACD（SAS）∴S△ABE=S△ABD，BE=CD∵G点是EC的中点∴EG=GC∵∠AGE=∠KGC，AG=GK∴△AGE≌△KGC（SAS）∴AE=CK,∠AEG=∠KCG∴AE=KC=AD,∠ACK=∠ACB+∠BCE+∠KCG=45°+∠AEC+∠BCE=45°+∠ABC+∠BAP=90°+∠BAE=∠BAD∴△AKC≌△ABD（SAS）∴BD=AK=18，∠CAK=∠ABD∵∠BAG+∠CAG=90°∴∠ABD+∠BAG=90°即∠AHB=90°∵AG=9，HG=5∴AH=AG−HG=9−5=4∴S△ABD=12BD⋅AH=12×18×4=36∵S△AEC=S△AEG+S△AGC=S△GCK+S△AGC=S△ACK=S△ABD=36∴S△AEC=36小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．17、如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．(1)证明：①△ABD≅△ECB；②AD≌BC；(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．答案：(1)①证明见解析；②证明见解析(2)9分析：（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．（1）解：证明：①在△ABD和△ECB中，{∠A=∠BEC∠ABD=∠BCEAD=BE，∴△ABD≌△ECB（ASA），②由①得：△ABD≌△ECB∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，∴BD＝BC=15，BE=AD=6，∴DE=BD-BE=15-6=9．小提示：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．18、如图1，已知ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为E，D．(1)猜想线段AD、DE、BE三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C的直线绕点C旋转到ΔABC的内部，其他条件不变，如图2所示，①线段AD、DE、BE三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若AD=2.8，DE=1.5时，求BE的长．答案：(1)DE=AD+BE，证明见解析(2)①发生改变，DE=AD−BE；②1.3分析：（1）证明ΔACD≅ΔCBE，可得AD=CE，CD＝BE，即可求解；（2）①证明ΔACD ≅ΔCBE ，可得AD =CE ，CD ＝BE ， 即可求解；②由①可得DE =AD −BE ，从而得到BE =AD −DE ，即可求解．（1）解：DE =AD +BE ， 理由如下：∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD ≅ΔCBE (AAS )，∴AD =CE ，CD ＝BE ，∵ DE ＝EC ＋CD ，∴DE =AD +BE ；（2）解：①发生改变．∵BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∴∠BEC =∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在ΔACD 和ΔCBE 中，{∠ADC =∠BEC∠CAD =∠BCE AC =BC，∴ΔACD≅ΔCBE(AAS)，∴AD=CE，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，∴DE=AD−BE；②由①知：DE=AD−BE，∴BE=AD−DE=2.8−1.5=1.3，∴BE的长为1.3.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数； （2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】 （1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可； （2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计 算即可． 【答案与解析】 证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2
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第十一章三角形11．1与三角形有关的线段11．1.1三角形的边1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．重点：三角形的三边之间的不等关系．难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．一、自学指导自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△，读作“三角形”，它的边分别是，，(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．2．图②中有5个三角形，分别是△，△，△，△，△，以E为顶点的三角形是△，△，△，以∠D为角的三角形是△，△，以为边的三角形是△，△．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1一个等腰三角形的周长为28.(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；(2)已知其中一边的长为6，求其他两边的长．解：(1)设底边长为x，则腰长为3x，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4，12，12.(2)设另一边长为x，依题意得，当6为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6为腰长时，x ＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6的等腰三角形，∴其他两边的长为11，11.探究2某同学有两根长度为40，90的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40，50，60，90，130)解：设第三根木条长为x，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60或90.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△，△，△；以为边的三角形有△，△，△．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，53．等腰三角形一条边等于3，一条边等于6，则它的周长为15．点拨精讲：注意三角形三边关系．(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.2三角形的高、中线与角平分线1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．难点：钝角三角形的高的画法．一、自学指导自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)作出下列三角形的高：如图①，是△的边上的高，则有∠＝∠＝90°．总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)作出下列三角形的中线，回答下面问题：如图①，是△的边上的中线，则有＝＝；总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：如图①，是△的角平分线，则有∠＝∠＝∠；总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P5页的练习题1，2.小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，在△中，是中线，是角平分线，是高，则：(1)∵是△的中线，∴＝＝；(2)∵是△的角平分线，∴∠＝∠＝∠；(3)∵是△的高，∴∠＝∠＝90°；(4)∵是△的中线，∴＝，又∵S△＝·，S△＝·，∴S△＝S△.点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．探究2如图，△中，＝2，＝4，△的高与的比是多少？解：∵·＝·，＝2，＝4，∴＝2，∴∶＝1∶2.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C)A．直线B．射线C．线段D．射线或线段2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D)A．中线B．高C．角平分线D．以上都正确4．如图，D，E是边的三等分点：(1)图中有6个三角形，是三角形中边上的中线，是三角形中边上的中线，＝＝＝，＝＝；(2)S△＝S△＝S△＝S△；(3)S△＝S△＝S△．(1分钟)1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.3三角形的稳定性通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.一、自学指导自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟)将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．(3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P7页练习题第1题．2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n边形(n＞3)最少需要加(n－3)条线段才具有稳定性．点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．探究2等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9，15两部分，求此等腰三角形的周长是多少？解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，依题意得，当x＞y时，解得当x＜y时，解得∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24()．答：此等腰三角形的周长为24.点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．课本P9页第10题．2．下列图形具有稳定性的有(C)A．梯形B．长方形C．三角形D．正方形3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．4．已知，分别是△的中线、高，且＝5，＝3，则△与△的周长之差为2；△与△的面积关系是相等．5．如图，D是△中边上的一点，∥交边于E，∥交边于F，且∠＝∠.求证：是△的角平分线．证明：∵∥，∥，∴∠＝∠，∠＝∠，又∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴是△的角平分线．(1分钟)三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(12分钟)11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角(1)1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．重点：三角形内角和定理的应用．难点：三角形内角和定理的证明．一、自学指导自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．已知：△．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．证明：延长到点D，过点B作∥，∵∥，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠＝180°，∴∠A＋∠＋∠C＝180°．自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)你可以用其他方法解决例2的问题吗？点拨精讲：可过点C作∥，可证得∥，同时将∠分成∠与∠，求出这两个角的度数，就能求出∠.解：过点C作∥，∵∥，∴∥，∵∥，∥，∴∠＝∠＝50°，∠＝∠＝40°，∴∠＝∠＋∠＝50°＋40°＝90°，∵∠＝∠－∠＝80°－50°＝30°，∴∠＝180°－∠－∠＝180°－30°－90°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠是90°.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P13页的练习题1，2.点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)探究1①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？点拨精讲：三角形的内角和为180°.探究2如图，在△中，与交于点G，与的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠＝70°，求∠A的度数．解：在△中，∠＝180°－∠－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠＝180°－∠＝180°－80°＝100°，在△中，∠A＝180°－∠B－∠＝180°－45°－100°＝35°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．课本P16页复习巩固第1题．2．在△中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝102°．3．在△中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°．4．在△中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△是什么三角形？解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A ＋3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△是直角三角形．(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.1三角形的内角(2)1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．一、自学指导自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“△”表示，直角三角形可以写成△．(2)直角三角形的两个锐角互余．(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)1．在△中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．解：△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.2．如图，∠＝90°，⊥，垂足为D，∠与∠B有什么关系？为什么？解：结论：∠＝∠B.理由如下：在△中，∠A＋∠B＝90°，在△中，∠A＋∠＝90°，∴∠＝∠B.点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．3．如图，∠C＝90°，∠＝∠B，△是直角三角形吗？为什么？解：结论：△是直角三角形．理由如下：在△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．∵∠＝∠B，∴∠A＋∠＝90°，∴△是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，∥，，分别平分∠，∠.求证：△是△.证明：∵∥，∴∠＋∠＝180°，∵，分别平分∠，∠，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝∠＋∠＝90°，∴△是△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．探究2如图，在△中，∠C＝90°，，是∠，∠的角平分线，求∠D的度数．解：在△中，∠＋∠＝90°，∵，是∠，∠的角平分线，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝∠＋∠＝45°，在△中，∠D＝180°－(∠＋∠)＝180°－45°＝135°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．在△中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．2．如图，在△中，∠＝90°，∠＝∠B.求证：△是△.证明：在△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠＝∠B，∴∠A＋∠＝90°，∴△是△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．2．直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.2三角形的外角1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．重点：三角形外角的性质．难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．一、自学指导自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．(3分钟)如图1，把△的边延长到D，我们把∠叫做三角形的外角．思考：①在△中，除了∠外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有2个，所以△共有6个外角；③外角∠与内角∠的关系是：互为邻补角．总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个；每个外角与它相邻的内角互为邻补角．自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．(7分钟)如图，△中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠是△的一个外角．能由内角∠A，∠B求出外角∠吗？如果能，外角∠与内角∠A，∠B有什么关系？认真思考，完成下面的填空：(1)∠＝50°，∠＝130°，∠A＋∠B＝130°，∠＝∠A＋∠B；(填“＞”“＜”或“＝”)(2)∠＞∠A，∠＞∠B.(填“＞”“＜”或“＝”)总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，是△的外角有∠，∠，∠，以∠为外角的三角形是△，△．2．如图，∠1，∠2，∠3是△不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.解：∵∠1＝∠＋∠，∠2＝∠＋∠，∠3＝∠＋∠，∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠＋∠＋∠)，∵∠＋∠＋∠＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.3．课本P15页练习题．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，在△中，∠A＝α，△的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．解：①β＝α＋90°；②β＝α；③β＝90°－α.证明：(略)探究2如图，∠A＝50°，∠B＝40°，∠C＝30°，求∠的度数．解：连接并延长到点E，∵∠＝∠B＋∠，∠＝∠C＋∠，又∵∠＝∠＋∠，∴∠＝∠B＋∠＋∠C＋∠＝∠＋∠B＋∠C＝50°＋40°＋30°＝120°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)A．90°B．110°C．100°D．120°3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°．,第3题图),第4题图) 4．如图，∥，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数．解：∵∥，∴∠＝∠C，∵∠＝∠B＋∠A，∴50°＋∠A＝75°，∴∠A＝25°.(3分钟)(3分钟)1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．3多边形及其内角和11．3.1多边形1．理解多边形的相关概念．2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．重点：理解多边形的相关概述．难点：掌握正多边形的定义及判定．一、自学指导自学1：自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．自学2：自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．(3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．2．画出下列多边形的全部对角线：3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求的平方根．解：由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±＝±.探究2：填表顶点数一个顶点可引的对角线条数对角线总共条数过一个顶点可分成三角形个数四边形 4 1 2 2五边形 5 2 5 3六边形 6 3 9 4……………n边形n n－3 n－2学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．下列图形中，是正多边形的是(D)A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形2．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10.3．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．解：设这是一个n边形，依题意得＝4n，∵n≥3且为整数，∴n＝11.(3分钟)1.在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形．2．已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11.3.2多边形的内角和探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题．重点：掌握多边形的内角和公式．难点：探索多边形的内角和公式．一、自学指导自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和公式的推导方法，完成下列填空．(5分钟)填写下列表格：多边形三角形四边形五边形六边形…n边形一个顶点可引的对角线条数0 1 2 3 …n－3所引对角线分成三角形的个数 1 2 3 4 …n－2三角形的内角和为180度；任意四边形的内角和为360度；任意五边形的内角和等于540度；六边形的内角和等于720度；n边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加180°．点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识(如图1，2)．自学2：自学课本P22－23例1，例2和探究，掌握多边形外角和应用．(5分钟)如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于360度，六边形的外角和是360度．总结归纳：n边形的外角和是360°．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P24页练习题1，2，3.2．七边形的内角和900°，十边形的内角和是1440°；如果一个多边形的内角和等于1260°，那么它是九边形．3．已知四边形中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则∠C＝108°．4．求出正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？解：(1)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝×360°，∴n＝3.(2)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝2×360°，∴n＝6.探究2如图，六边形的内角都相等，∠＝60°，与有怎样的位置关系？与有这种关系吗？解：结论：∥，∥.证明：(略)学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为12．2．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？3．已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．解：设这个边多形的边数为n，则有180°(n－2)＝2×180°×(5－2)，∴n＝8.(3分钟)1.已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数．2．内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△与△能重合，则记作△≌△，读作△全等于△，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：与，与，与；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图)3．如图，△≌△，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有＝，＝，＝，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠＝∠．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△≌△，若＝3，＝4，＝6.则△的周长为13；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△≌△，A和D，B和E，C和F是对应顶点，与，与，与是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△是△经过平移得到的．②△≌△，A和D，B和B，C和C是对应顶点，与，与，与是对应边，∠A与∠D，∠与∠，∠与∠是对应角，△是△沿所在直线向下翻折得到的．③△≌△，A和A，B和E，C和D是对应顶点，与，与，与是对应边，∠与∠，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角，△是△绕点A旋转180°得到的．探究2如图，△≌△，＝，＝，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：＝，∥；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断与的位置关系．解：(1)证明：∵△≌△，∴＝，∠＝∠，∴∥，－＝－，∴＝.(2)结论：⊥.证明：∵△≌△，∴∠A＝∠D，∠＝∠F，∵∠D＋∠F＝90°，∴∠A＋∠＝90°，∴∠B＝90°，∴⊥.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，△≌△，求证：∥.证明：∵△≌△，∴∠＝∠，∴∥.2．如图，△≌△，∠＝∠，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角．解：对应边有与，与，与，对应角有∠＝∠.(3分钟)找对应元素的常用方法有两种：(一)从运动角度看1．翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素．(二)根据位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)12.2三角形全等的判定(1)1．掌握三角形全等的判定()，掌握简单的证明格式．2．初步体会尺规作图．重、难点：掌握三角形全等的判定()．一、自学指导自学1：自学课本P35－36页“探究1，探究2及例1”，掌握三角形全等的判定条件，并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成填空．(7分钟)画△：①使＝3；②使＝3，＝4；③使＝3，＝4，＝5；④使∠A＝30°；⑤使∠A＝30°，∠B＝50°；⑥使∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°.每画完一个，与同桌画的三角形对比一下，形状与大小是一样的吗？总结归纳：(1)已知三角形的一个或两个元素，三角形的形状和大小不能确定，三个角相等的三角形形状确定，但大小不确定．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或．(3)三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．自学2：自学课本P36－37页“探究与例题”，利用尺规作图画一个角等于已知角，初步体会尺规作图．(3分钟)。