[小学教育]第10章静电场中的电介质
静电场中的电介质
在国际单位制中，ε的单位为法拉每米（F·m–1）。
3．电介质的击穿
如果外电场足够大，电介质分子就会摆脱分子的束缚成为 自由电子，电介质的绝缘性被破坏而成为导体，这个过程称为 电介质的击穿，这个外电场的场强称为击穿场强。下表所示为 几种电介质的相对电容率和击穿场强。
1.3 电介质中的高斯定理
1.2 电介质的极化
电介质的极化是指在外电场作用下电介质表面产生极化电 荷的现象。其中，极化电荷又称束缚电荷，是指在外电场中， 均匀介质内部各处仍成电中性，但在介质表面出现的不能离开 电介质到其他带电体，也不能在电介质内部自由移动的电荷。
1．电介质极化的机理
由于组成电介质的分子结构不同，所以在外电场中极化 的微观机理也有所不同。对于无极分子，在外电场E0的作用 下，正、负电荷的中心被电场力拉开，使得正、负电荷中心 产生相对位移（这种极化称为位移极化），形成电偶极子。
由于受到外电场E0的作用，这些电偶极子的电偶极矩P 的方向将转向与外电场E0的方向一致。这样，在垂直E0方向 的介质两端表面就会出现正负电荷，如下图所示。
无外点场时，无极分子 正负电荷中心重合
外电场作用下，正负电荷 中心分离，形成电偶极子
电介质在垂直于外电场的 两端表面出现极化电荷
对于有极分子，无外电场时，虽然每个分子都有一定的电 偶极矩，但由于分子作无规则的热运动，所以各电偶极子的电 偶极矩的取向是杂乱无章的，对外不呈现出电性，如左图所示 但有外电场E0时，每个分子都受到一个力偶矩的作用。在此力 偶矩的作用下，有极分子的电偶极矩方向将转向与外电场基本 一致的方向，这种极化称为转向极化，其结果是电介质的两端 出现等量异号的电荷，如中图和右图所示。
物理学
静电场中的电介质
10静电场中的导体和电介质习题解答
第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。
设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势⎰⎰'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00εε 点电荷q 在球心处的电势为 aq V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势aq V V V 00π4ε='+=。
所以选（A ）2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。
所以选（C ）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d<R )，固定一电量为+q 的点电荷。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o 处的电势为( ))Rd (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电荷为零，所以有)π4π4000Rq d q V εε-+=。
所以选（ D ）4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( )A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则r q R Q 00π4π4εε= 即 rR q Q = Rr r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ 所以选（D ） o R d +q ． 选择题3图 选择题2图5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( )A. ε0 EB. ε0εr EC. εr ED. (ε0εr -ε0) E解：根据有介质情况下的高斯定理⎰⎰∑=⋅q S D d ，取导体球面为高斯面，则有S S D ⋅=⋅σ，即E D r 0εεσ==。
2、静电场中的导体和电介质
思考题
1. 导体静电平衡时，有什么特点？ 2. 现有甲、乙二人，站在与地绝缘的泡沫板上， 甲带有正电荷，乙不带电。你只有一根导线。 （1）如何让乙也带上正电荷？ （2）如何让乙带上负电荷？ 3. 电极化强度矢量满足何种边界条件？
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11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的， 新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意 与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。
垂直的端面上出现极化电荷。
对于非均匀电介质，除在电介质表面上出现极化
电荷外，在电介质内部也将产生体极化电荷。
2.5.2
电极化强度
当电介质处于极化状态时，在电介质内部任一宏观小 体积元V内分子的电矩矢量和不等于零，即Σp≠0（其中p 为分子电矩）。 为了定量地描述电介质的极化程度，引入电极化强度 矢量P，它等于介质单位体积内分子电矩的矢量和。
导体静电平衡的特点
（1）导体内部任意一点的电场强度等于零。
（2）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。
（3）导体为等势体，导体表面是等势面。 （4）电荷都分布在导体的表面上，导体内部任一小体积 元内的净电荷等于零。 （5）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的分
布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方，电荷
力线只能终止（或起始）于导体表面，并与导体表面垂直，
不能穿过导体进入内部。也就是说，空腔导体内部的物体不 会受到外部电场的影响。 空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界静
电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。
第十章 静电场中的导体和电介质习题解答
10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。
试求： (1) 球壳内外表面上的电荷；(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；(3) 球心O 点处的总电势。
习题10-1图解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为0d 4q qU aπε-=⎰aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=04qr πε=04qa πε-04Q qb πε++01114()q r a bπε=-+04Q bπε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。
试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。
习题10-2图解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()220cos 024P q E r b θσεπε⊥=+=+ ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()3222d d d //Q S qbr r r bσ==-+q Q a bO r()q brrr qb S Q S-=+-==⎰⎰∞2322d d /σ10-3 如题图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为A q 和B q 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)B C R AP Oq A q Bba习题10-3图解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为． ()()000d 4=4////AP A B S U U S R q a q a σπεπε==⋅+⎰⎰∵d 0AS S σ⋅=⎰⎰∴ ()()04///P A B U q a q a πε=+10-4 三个电容器如题图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ABC 1C 2 C 3U习题10-4图解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16×10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C10-5 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为2:1，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？(a) (b)习题10-5图解：如图所示，设可变电容器的静片数为n ，定片数为1-n ，标准情况下，极板间的距离为d （图a ），极板相对面积为S 。
第十章静电场中的导体和电介质
第⼗章静电场中的导体和电介质第⼗章静电场中的导体和电介质在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。
实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。
本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。
§10-1 静电场中的导体⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。
（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。
2、导体的静电平衡条件（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。
⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。
这个可以由⾼斯定理推得：ii sq E ds ε?=，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。
2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。
显然()()0b a b i a V V E dl -=?=?，a,b 为导体内或导体表⾯的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δε=，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。
简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。
由⾼斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为⾼斯柱⾯的上、下底⾯。
10-2静电场中的电介质-有电介质时的高斯定理解析
若为不均匀极化，介质内有极化电荷的积累。
4. 电介质极化的定量描述
（1）电极化强度 P
用来量度电介质极化状态（极化的程度和方向）
P
单位：C/m²
pi V
物理意义：大量分子电偶极矩的统计平均值. 外场越强，极化越厉害，所产生的分子电矩的 矢量和也越大。 P E 如果电介质中各点的极化强度矢量大小和方向都 相同，则该极化是均匀的，否则极化是不均匀的.
Q
+++++++
U
Q
+++++++
-------
Q
U
-------
Q
r
U0
说明：
E0
E
r E0
ห้องสมุดไป่ตู้U0
（1）相对电容率 r 1 （2）电介质内附加电场方向与原电场相反（退极化场）。
r
E0
2.电介质对电场的影响
极化电荷 （产生附加电场 E ） ↑ 相互 电介质（绝缘体） 静电场（E0） 作用 ↓ 静电场重新分布 E E0 E
n
（ ） PP ( (r 1) E QQ P E Q 1) 1) E 0 r 00 r
选－1 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移 矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面 所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是
A. 若通过该曲面的电位移通量为零，曲面内一
E E0 E ' 0 E0 0
q ' 和 q 的关系。 2. D 、E、 P、 P 0 E P E
第10章 静电场中的电介质
R2
解：1.场的分布 R1
r <R 0
导体内部
E1 ? 0
P? 0
?0
?r1
?r2
R0
? ? R0< r< R1
?r1 内
? E2 ?
Q
4??0?r1r 2
r^
? P2 ?
?0
?r1 ? 1
Q
4??0?r1r 2
^r
R1< r< R2
?r2 内
? E3
?
Q
4??0?r2r 2
^r
? P3 ?
?0
??r
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
电介质对电场的影响
实验表明 ,当在真空电场中放入电介质时 ,电场将 会发生变化 .
例: 在已达到静电平衡的两平行带电金属板引 入电介质
?Q
? Q 相对介电常数 ? Q
?Q
U ? U0 /?r ,?r ? 1 E ? E0 / ?r
10.2 电介质及其极化
极化电荷带负电
电极化强度通过任意封闭曲面的通量：
??
?SP ?d S ? ?SP cos? d S ? ?S? ??d S
??
? ? P S
?d
S
?
? qi?
（S内）
例1. 平行板电容器自由电荷面密度为 ó0
? 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同
性线性电介质 , 求:板内的电场强度。
解：介质将均匀极化 ,其表面出现束缚电荷
-+
Eo
? p
+
F
F
-
Eo
?
外电场： E0
?
静电场中的导体与电介质
§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。
在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。
导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。
从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。
）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。
可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。
充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。
对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。
1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。
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U
1
r
U0
E E0
r
相对电容率（相对介电常量）
r 1
电容率(介电常量) 0r
h
2
15.2 电介质及其极化
Dielectrics and polarization
一、介质的极化(polarization)
——在外电场作用下，介质表面感生出束 缚(极化)电荷的现象．
- ＋1+ +
－'1
E
+- +
1D
+- + +-+
s
1
++
- ＋'1 +
－1
-
-+ -
- +-
- +-
--
++ + + + + ++
+2
E2 D2
- -- -- -－--2
解：设金属板面 积为S，板间距为 d, 则 未 充 介 质 之 前
充介质后，如图E 0 做 封 00 闭柱U面0 为E高d0斯曲面
的矢量和 P pi
V h P 的SI单位: C/m72
对非极性电介质： Pnpnlq
单位体积内的分子数
实验表明：对于各向同性电介质，有
P0E该点的总场强
r 1——称介质的极化率
由介质的性质决定，与 E 无关。在各向
同性均匀介质中为常数。
h
8
3. 介质的击穿(dielectric breakdown)
端 面 ——“ 束 缚 电 荷 ”
-
+ 或“极化电荷”。
-
E +
-
+
E<E0
(外电场) Eh 0
E=E0-E03
1.电介质的微观图像
每一个分子中的正电荷集中于一点，称为 正电荷重心；负电荷集中于另一点，称为负电 荷重心——构成电偶极子.
分子的电矩： p ql
非极性分子：正、负电荷中H 心重H 合
q00int qint
闭曲面S
q0int 0
P dS
S
0
S (0 E P )d S q 0 in t
引入电位移矢量
D h 0EP
13
SD dS q0in t
—— D 的高斯定律
又称为“有电介质时的高斯定律”,但 也适用于没有电介质的情形,且对任何电场 都成立.
说明：
（1）对于各向同性介质,在通常的场强下,
有 D0(1)E
0r E h E
14
其中 r 1 ——介质的相对介电常量
(相对电容率)
0r ——介质的介电常量
D 的SI单位：
(电容率)
C/m2 (同 P )
⑵电位移线
定义类似于电场线：①切线方向即电位移
方向；②穿过单位截面积的电位移线数目
即电位移大小． h
15
性质：①连续；(不会在没有自由电荷处 中断) ②不闭合；(起于正自由电荷或无 穷远处，止于负自由电荷或无穷
+
(外电场) E
②无极分子位移极化
pi 0
F －
＋
F
l
E
-
h
+ E +
+
(外电场)6 E
极化的效果：端面出现束缚电荷
pi 0
位移极化和转向极化微观机制不同，宏观 效果相同。 2.电极化强度 (Polarization intensity）
——表示电介质极化程度 电极化强度：单位体积内的分子电矩
远处) ③不相交．(电场单值性)
e.g.
在介质的分界面处,
D 线连续,而 E 线不 连续.
D
h
+ E 1-6
三、定律的应用
自由电荷及介质分布的对称性很高(球、圆
柱、平面等)时, 由定律 D E P
[例15-1] 一半径R、带正电荷Q的金 属球,浸于一个大油箱中,油
R
的相对介电常量为r.求球外
的场强分布及贴近金属球表
面的油面上总的束缚电荷
q´.
h
17
S
rR
解：⑴由对称性分析： DD(r)er
作半径为r的同心球形高斯
面S,
由高斯定律：
DdSD4r2 S
D4r2 q
q
D 4 r 2
于是
q
D 4 r 2 er
D
q
E0r 4h 0rr2er
18
介质中场强是真空中的1/r（高对称性）.
⑵由
pD0Err 1D
( r 1)q 4 r r 2
er
q' q
R
r
E
油层贴近金属球的内表面
于是
Pen Per
q4R2(r
( r 4 r
1) q
1)q R2
h
r
19
⑵的解法2：
由于q´在贴近金属球面的介质
表面分布均匀，它在贴近球面 q'
处r的场强为
E
q
40r 2
er
q
自由电荷在r处的场强为
q
11
15.3 D 的高斯定律 Gauss’s law forD
一、 电介质中的电场
总场
-
+ E0 外场+束缚电荷的电
-
E +
场
-
+
E=E0 +E
E 由自由电荷和束缚电荷共同产生
自由电荷：金属导体所带的电荷
h
12
二、D 的高斯定律
对闭曲面S, 有
q 内
EdS qint
q 电介质
导体 0内
s
第15章 静电场中的电介质
Dielectrics in Electrostatic Field
主要内容
电介质对电场的影响
电介质及其极化
D 的高斯定律
电容器与电容
电容器的能量
h
1
15.1 电介质对电场的影响 Dielectrics infection to Electrostatic Field
E0 4 0r 2 er
R
r
E
由
E=E0 +Eq E 40rr2 er
h
得到 q (r 1) q r
20
[例15-2]两块靠近的平行金属板间原为真空。使
它们分别带上等量异号电荷面密度分别为＋0
和－0，板间电压U0=300V。现将一半空间充
以相对介电常量r=5的电介质，求板间电压及
介质上下表面的束缚电荷密度。
——外电场很强时,大量分子离解,介质变 成导体．
介电强度(击穿场强)： 电介质所能承受的最
大场强
介 质 介电强度(106 V/m)
空气 矿物油 瓷 玻璃
3 15 620 1025
聚乙烯
50 h
9
二、介质表面的束缚电荷
以非极性电介质为例：
+
en
dS +
表面dS 的束缚电荷：
+ +
E
P
dqnqdVnqdSlcos
由
Pnpnlq
l
dqPcosdS
dq dS
PcosPenPn
极化面电荷密度为极化强度外法线的分量
此结果也适用于极性电h 介质
10
三、封闭介质面S内的束缚电荷 在介质内作一封闭
dS
P
曲面 S
Q´内
Qout sds
S
介质
sPends
sPds 因为电介质为电中性，由电荷守恒定律：
Q in Q o u t h sP d s
（氢、甲烷、石蜡等）
C
H
H
CH4分子
极性分子：正、负电荷中心不重合
（水、有机玻璃等）HhHFra bibliotek104
o
H2O分子 4
无外场时：
极性分子
非极性分子
有外电场时
pi 0 i
①极性分子取向极化
q
——分子固有电矩在 电场作用下沿外电场 方向取向
F
l
F q
E
h
5
极化的效果：端面出现束缚电荷
-
+
-
E +
-