高考数学 第五章第四节数列求和课件 新人教A版
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如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用 此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
答案：(n－1)·2n＋1＋2
数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通
项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
解析：S2 012＝－1＋2－3＋4－…－2 011＋2 012 ＝1＋1＋…＋1＝1 006. 答案： 1 006
5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ ______________.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
答案：A
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为 －2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求 数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31
B．120
C．130
D．185
解析：a1＋…＋ak＋…＋a10 ＝240－(2＋…＋2k＋…＋20) ＝240－2＋202×10 ＝240－110＝130.
答案： C
4．数列{(－1)n·n}的前2 012项和S2 012为________．
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
以Sn＝－1－1－－1－n×1 －1＝－12n－1，选D.
答案： D
2．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝nn1＋1，
则S5等于
()
A．1
5 B.6
C.16
D.310
解析：因an＝n1－n＋1 1，
∴S5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
答案： B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且
[精析考题]
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别 是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中 的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第Fra Baidu bibliotek行 3
2
10
第二行 6
4
14
第三行 9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn} 的前2n项和S2n.
第 五
第 四 节
章
数
数
列
列
求 和
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些 特殊数列的和.
怎么考
1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求 和，特别是错位相减出现的机率较高．
2.题型上以解答题为主.
一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
1．(2012·宁波六校联考)设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对
任意正整数 n，Sn＝
n[－1n－1]
A.
2
－1n－1＋1 B. 2
()
－1n＋1 C. 2
－1n－1 D. 2
解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所
利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公 比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝ nn＋1
2 (2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n .
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
2．分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用 此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
答案：(n－1)·2n＋1＋2
数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通
项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关 或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
解析：S2 012＝－1＋2－3＋4－…－2 011＋2 012 ＝1＋1＋…＋1＝1 006. 答案： 1 006
5．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ ______________.
解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n① ∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1② ①－②得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
答案：A
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为 －2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求 数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31
B．120
C．130
D．185
解析：a1＋…＋ak＋…＋a10 ＝240－(2＋…＋2k＋…＋20) ＝240－2＋202×10 ＝240－110＝130.
答案： C
4．数列{(－1)n·n}的前2 012项和S2 012为________．
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
以Sn＝－1－1－－1－n×1 －1＝－12n－1，选D.
答案： D
2．(教材习题改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝nn1＋1，
则S5等于
()
A．1
5 B.6
C.16
D.310
解析：因an＝n1－n＋1 1，
∴S5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
答案： B
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且
[精析考题]
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别 是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中 的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第Fra Baidu bibliotek行 3
2
10
第二行 6
4
14
第三行 9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn} 的前2n项和S2n.
第 五
第 四 节
章
数
数
列
列
求 和
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些 特殊数列的和.
怎么考
1.数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求 和，特别是错位相减出现的机率较高．
2.题型上以解答题为主.
一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
1．(2012·宁波六校联考)设数列{(－1)n}的前 n 项和为 Sn，则对
任意正整数 n，Sn＝
n[－1n－1]
A.
2
－1n－1＋1 B. 2
()
－1n＋1 C. 2
－1n－1 D. 2
解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所
利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公 比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝ nn＋1
2 (2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n .
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法