《数学文化》之黄金分割
《数学文化》之黄金分割
在艺术中，黄金分割比例通常被表示为1:1.618（或约等于0.618:1），这一比 例被认为是最具美感的比例。
平衡与和谐
黄金分割原则在艺术中的应用旨在创造平衡、和谐和美感，通过将作品的不同 部分按照黄金分割比例进行布局，可以使作品更加吸引观众的目光。
黄金分割在建筑、绘画等领域的应用
建筑中的应用
自然界模拟
黄金分割也用于模拟自然界中的形态和结构，如植物分形、雪花等 自然物体的生成算法。
动画与游戏设计
在动画和游戏设计中，黄金分割可用于角色设计、场景布局以及游戏 界面的优化，提升用户体验。
黄金分割在优化问题中的应用
1 2 3
搜索算法
黄金分割搜索算法是一种用于求解单峰函数最优 解的方法，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
03
黄金分割与自然界
自然界中的黄金分割现象
01
黄金分割比例
自然界中许多事物都呈现出黄金分割比例，即较长部分与较短部分之比
等于整体与较长部分之比，其比值约为1.618。
02
螺旋形态
许多自然物体的形态，如旋风、螺壳等，都呈现出与黄金分割相关的螺
旋形态。
03
植物的生长模式
植物的生长模式，如叶子的排列、枝条的分叉等，也常遵循黄金分割法
02
黄金分割与数学美
数学美的体现
01
02
03
简洁性
黄金分割作为一种数学概 念，其表达式简单明了， 体现了数学的简洁美。
对称性
黄金分割与对称性密切相 关，许多具有黄金分割特 征的图形都呈现出对称性， 展示了数学的对称美。
和谐性
黄金分割在自然界和艺术 作品中广泛存在，其比例 关系带给人一种和谐与平 衡的美感。
黄金分割公式和计算
黄金分割公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个相当有趣又神秘的数学概念呢！咱们先来讲讲黄金分割到底是啥。
简单说，就是把一条线段分成两部分，较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比值约等于 0.618，这就是神奇的黄金分割比例。
那黄金分割公式是怎么来的呢？假设整条线段的长度是 a，较长部分的长度是 x，较短部分的长度就是 a - x 。
按照黄金分割的定义，就有 x / a = (a - x) / x 。
经过一番推导和计算，就能得出黄金分割的公式啦。
给您举个例子哈，比如说有一个长方形，咱想让它看起来符合黄金分割的美感。
假设这个长方形的长是 a，宽是 b ，要是满足 b / a =0.618 ，那这个长方形看起来就会特别舒服、顺眼。
我记得有一次去参观一个艺术展览，里面有好多画作和雕塑。
其中有一幅画，它的构图就巧妙地运用了黄金分割。
画面中主体部分的位置和大小，与整个画面的比例刚好接近黄金分割比例。
当时我就站在那幅画前，仔仔细细地观察，越看越觉得那种比例的安排简直太妙了。
整幅画的重心恰到好处，元素的分布既平衡又富有动感，让人的视线不自觉地就被吸引住，而且停留很久都不觉得腻。
再来说说在建筑中的黄金分割。
有些著名的建筑，比如古希腊的帕特农神庙，它的很多尺寸比例都接近黄金分割。
还有巴黎的埃菲尔铁塔，从某些角度去看，它的结构比例也蕴含着黄金分割的奥秘。
咱们在日常生活中也能发现黄金分割的影子。
比如拍照的时候，把主要的景物放在画面大约 0.618 的位置，拍出来的照片往往会更好看。
计算黄金分割也不难。
如果已知线段的长度是 10 厘米，要求出黄金分割点的位置，那就可以设较长部分的长度是 x 厘米，根据公式就有 x / 10 = (10 - x) / x ，通过解方程就能算出 x 的值啦。
总之，黄金分割这个概念虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，而且通过简单的公式和计算，咱们就能发现和运用它带来的美妙和神奇。
黄金分割及其应用知识点
黄金分割及其应用知识点黄金分割是一种数学比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计、金融等领域。
它在人类历史中扮演着重要的角色，并被认为是一种美学原则。
本文将介绍黄金分割的概念、特点以及其在不同领域的应用知识点。
1. 黄金分割的定义和原理黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比。
这个比例通常用希腊字母φ（phi）表示，其值约为1.618。
黄金分割原理基于数学上的黄金数，即满足以下关系式：物体的全长 / 较长部分 = 较长部分 / 较短部分= φ2. 黄金分割的特点黄金分割具有以下几个显著的特点：- 唯一性：黄金分割的比例是唯一确定的，不受线段长度的影响。
无论线段长短如何，比值始终为φ。
- 不变性：进行黄金分割后所得到的较长部分与全长的比例，与全长与较短部分的比例相等，始终为φ。
- 近似性：黄金分割是一种无理数，无法精确表示，但可以通过不断逼近φ来得到近似值。
由于黄金分割在视觉上产生一种和谐、美感的效果，它经常在建筑和艺术中得到应用：- 建筑设计：黄金分割被广泛用于建筑中的比例和布局，例如古希腊的帕特农神庙和文艺复兴时期的建筑。
建筑师可以利用黄金分割比例来划分空间、安放柱子和窗户等，以达到视觉上的和谐与美感。
- 绘画与摄影：艺术家常常使用黄金分割来划定画面的重要元素和构图，使画面更具吸引力与平衡感。
摄影中的黄金分割线条也有助于构建有层次感的照片。
- 雕塑与雕刻：黄金分割比例被广泛用于人物雕塑和艺术品的创作，帮助艺术家在立体空间上的分配和平衡。
4. 黄金分割在设计和排版中的应用可视化设计和排版领域也广泛应用黄金分割，以达到更好的视觉效果和用户体验：- 网页设计：黄金分割可以用来划分网页的布局、排列网页元素和图像，使界面更具吸引力和可读性。
- 平面设计：海报、名片、杂志等平面设计常使用黄金分割比例进行版面的构图和内容的排列，使视觉效果更加平衡和美观。
- 字体排版：黄金分割比例可用于确定文字的行高、字母间距、段落长度等，以提供更好的阅读体验。
数学中的黄金分割比例及其应用
数学中的黄金分割比例及其应用黄金分割比例是一组特殊的比例，也叫做黄金比例或黄金分割点。
它的比例为1：1.618。
黄金分割比例在数学、美学、艺术等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨黄金分割比例的一些基本概念及其应用。
一、什么是黄金分割比例？黄金分割比例可以通过一个简单的公式来计算：a:b = b:(a+b)其中，a和b分别是整个和部分的两个数字。
这个公式可以被推广到更大的比例中：1:(1+√5)/2 = (1+ √5)/2:√5这个比例也可以被称为黄金比例或者黄金分割点。
它被广泛应用于设计、艺术、建筑和数学领域中。
二、黄金分割比例在数学领域的应用黄金分割比例在数学领域中有着广泛的应用，其中最著名的应该就是斐波那契数列。
斐波那契数列是一个无限数列，它的前两位是0和1，其余的数都是前两个数之和。
斐波那契数列的前10个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21和34。
斐波那契数列中的每个数字都可以用黄金分割比例来计算。
当n趋近于无限大时，斐波那契数列中相邻两个数字的比值趋近于黄金分割比例。
三、黄金分割比例在艺术领域的应用黄金分割比例在艺术领域中也有着广泛的应用。
例如，黄金分割比例可以用于绘画、摄影和设计等领域中。
如果我们将画布或者照片按黄金分割比例进行分割，就会产生一种视觉上的和谐感。
因此，很多画家、摄影师和设计师都会使用黄金分割比例来构图。
四、黄金分割比例在建筑领域的应用黄金分割比例也可以应用于建筑领域中。
在建筑设计中，黄金分割比例可以用来确定建筑物的高度、宽度和长度等参数。
黄金分割比例还可以用于确定建筑物中某些部分的位置和尺寸。
五、总结综上所述，黄金分割比例在数学、艺术和建筑领域中都有广泛的应用。
无论是在设计、构图还是在建筑设计中，黄金分割比例都能帮助我们创建出一种视觉上的和谐感，使得我们的作品更加吸引人。
因此，如果您是一个数学家、艺术家或者建筑师，建议您多加了解和使用黄金分割比例。
它可以帮助您创造出更加美妙和完美的作品。
《数学文化》之黄金分割
主讲：唐镆涵
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89
？？？
CONTENTS
1
兔子问题
2
斐波那契数列及其推广
3
黄金矩形
4
黄金分割及其应用
5
优选法
1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中收录了一 个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下：
假设有一对幼生兔子，要一个月才到成熟期，而一对成熟 兔子每个月会生一对兔子，一雌一雄，且所有的兔子都不病不 死，那么由一对幼生兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢?
还快”，以致1963年成立
了斐波那契协会，还出版 了《斐波那契季刊》。
斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。 斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在 许多场合。例： 1、花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契 数。例如，兰花有3个花瓣，蝴蝶兰、洋紫荆、毛 茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣， 万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花 瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。
斐波那契（L.Fibonacci，1175-1250年）生于意大利的 比萨，他小时候对算数很感兴趣。后来，父亲带他出国旅行， 到埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等国，这使他又 接触到东方许多国家的数学。斐波那契确信印度与阿拉伯计 算方法在实用上的优越性。1202年，回到家里不久，他发表 了著名的《算盘书》。 斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀 请到宫廷参加数学竞赛。他曾向官吏和市民讲授计算方法。 他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘 书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。
un 1 v n 1 u n -1 v n -1 例如 u5 1 1 5 u6 1 1 8 ， ， v 5 1 u 4 1 3 8 v 6 1 u 5 1 5 13 v4 5 8 v5
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
数学中的黄金分割
M是BC上的点，BM>CM。BM是BC和CM的比列中 项。，CM=3-根号5，求BC 解：∵ M是BC上的点，BM>CM ∴ BM+CM=BC 又 ∵BM是BC和CM的比列中项 ∴BC×CM=BM×BM
则： BM+（3-√5）=BC BC×（3-√5）=BM×BM 解得：
BC=2或7-3√5
原理
•
应用
• •
二、黄金分割线的应用
0.618法，来至自然的法则，运用于股票买卖很准，简叙如下： 他以阶段性的低点(1.000)作黄金线分为：1.191、1.382、1.500、1.618、1.809等，每一条线位就是阻力位，一般 只要有行情，每个股票都会冲破1.191线上1.382线，部分股票上1.618线少数上1.809线，极少股票突破1.809线而更 高。把阶段性的顶点(1． 000)作黄金线分为： 0.809、0.618、0.500、0.382、0.191每一条线都是强支承位，强式 股，股票大多在0.809线止跌反弹，弱势股到0．618线或 0．382线等，据黄金线炒作，比较安全!从高位下落不到 0．618线附近，不要作为黄金线的起点。没有一底比一底高的股票低点，不要作黄金线起点。
•
• • •
黄金线五段买卖法则： 1、耐心持有待突破： 在1.191线内购股最安全，为股票的盘整期，总有突破的那一天，在此价位内甚至也不必作差价，耐心持有为第一位! 第一黄金线位： 是股票的盘整期。股价一旦突破1.191线，一定会上摸到1.382线，您一定要抛!否则会回落，首次 冲高抛掉!而回调也会到1.191线为止，您一定要买回来! 2、高抛低吸取黄金： 在1.191—1.382可作差价，高抛低吸，不必害怕，此区域一般不会套您，庄家获利不是很大，且在拉升途中，庄家 自己也会高抛低吸来降低自己的持股成本，对自己熟悉的股票多做差价，也要敢于作差价。 1.382线是强阻力位， 强阻力位有很长时间的盘整，而一旦有效突破，股价就很难再跌破1.382线，最好在1.191价+(1.382价-1.191 价)*0.618位抛掉)。 3、虎口拔牙要小心： 在1.382—1.618也可作差价，不过是虎口拔牙，应加倍小心，最好在 1.382价+(1．618价-1.382价)*0.618位抛掉， 从高位下落的股票不要在0．809位抢反弹，而要在0.618位，但涨10%必须抛掉，不要恋战。 4、高高在上买不宜： 在0.618上的股票，意味着从低位已上涨62%，无特别好消息，不要购在1.618线附近的股票。在该线附近盘整越久， 庄家出货的慨率越大。加倍小心! 5、风光无限在险峰： 在1.809上的股票，就可能是无限风光了，有倍率上涨的机会
黄金分割
黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
1. 计算1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.6182. 证明方法设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为bAC/AB=BC/ACb^2=a×(a-b)b^2=a^2-aba^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2 (a-b/2)^2=(5/4)b^2a-b/2=（√5/2）×ba-b/2=(√5)b/2 a=b/2+(√5)b/2a/b=(√5+1)/2∴b/a=2/(√5+1)b/a=2(√5-1)/(√5+1)(√5-1) b/a=2(√5-1)/4b/a=(√5-1)/23. 作图方法古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618。
建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目令人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关，对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处；咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处；肘关节位于肩关节与指头长度的0.618处，人体存在着肚脐、咽喉、膝盖、肘关节四个黄金分割点，它们也是人赖以生存的四处要害。
养生专家指出要抓住健康的黄金分割点人体黄金分割点人体是这世界上最杰出的艺术品，从面部到身体都遵循黄金分割率。
以人的面部来说，脸的宽度和长度比值为0.618时，为最完美的脸型；上身长和下身长的比值为0.618时，是最协调的身材。
我们的牙齿、耳朵、宽度和长度的比值也都近似0.618。
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1，2 ，3 ，5 ，8 ，13， 11 235 8
的极限为黄金比的倒数
2 5 1 1.618 5 -1 2
称其为第二黄金比，既有
lim Fn1 2 1.618
F n n
5 -1
斐波那契（L.Fibonacci，1175-1250年）生于意大利的 比萨，他小时候对算数很感兴趣。后来，父亲带他出国旅行， 到埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等国，这使他又 接触到东方许多国家的数学。斐波那契确信印度与阿拉伯计 算方法在实用上的优越性。1202年，回到家里不久，他发表 了著名的《算盘书》。
3、为什么秋季是结婚“旺季”？ 从黄金分割率来看，结婚的最佳季节是一年12个 月的0.618处，大约在7月底至8月底。研究表明，秋季 是人的免疫力最佳的黄金季节，此时人体血液中淋巴 细胞最多，能生成大量抵抗各种微生物的淋巴因子。 4、快乐的脑电波 二十世纪二十年代，科学家首次发现人脑的电振 荡现象，许多生理学家相继发现：当人们精神愉快时， 人脑电波频率下限与上限之比恰好是黄金比值。如果 这时参加考试或者竞技更能发挥出水平。 由此得到启示：美学中的0.618还与人的生理和心 理机制存在某种神奇的对应关系。
一个数列，如果前两项 是1，从第三项起每项都等 于前两项的和，这个数列就 称为斐波那契数列；即
1,1,2,3,5,8,13,21，……
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F2 式
aa 1n
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n
2,3,4
Fn
1 5
这一现象几个世纪前已经被人们注意到，此后曾 被广泛研究，但真正令人满意的解释直到1993年才给 出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的， 相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.507 76°， 这使种子的堆积效率达到最高。
黄金数给人的这种舒适之感被应用到生活的各个 角落，最为巧合的是0.618与大自然的诸多契合令人难 以置信。
有人比喻说，“有关斐 波那契数列的论文，甚至 比斐波那契的兔子增长得 还快”，以致1963年成立 了斐波那契协会，还出版
这一问题派生出广泛的应用， 了《斐波那契季刊》。
从而突然活跃起来，成为热
门的研究课题。
斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。 斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在 许多场合。例：
3、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数
向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的， 有顺时针和逆时针转的两组对数螺线，两组螺线 的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34 和55，大向日葵是89和144，人们还曾发现过一个 更大的向日葵，有144和233条螺线，它们都是相 继的两个斐波那契数。
此外，松果种子的排列、菜花表面排列的螺线数也有类似的规律。
1、养生 生命在于运动，动而不衰；可又有人说，生命在 于静养，静养得以长寿。从辩证观点看，动和静是一 个0.618比例关系。大致四分动，六分静才是最佳的养 生之法。饮食专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人 几乎不生胃病，摄入的饮食以六分粗粮、四分精食最 为适宜。 2、黄金温度 人在温度为22°C~24°C时感到最适宜。这是因为 人的正常体温37°C与0.618的乘积为22.8°C。在这一 温度中，新陈代谢、生理节奏和功能均处于最佳状态。
黄金分割
主讲：唐镆涵
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89
？？？
CONTENTS
1 兔子问题 2 斐波那契数列及其推广 3 黄金矩形 4 黄金分割及其应用 5 优选法
1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中收录了一 个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下：
假设有一对幼生兔子，要一个月才到成熟期，而一对成熟 兔子每个月会生一对兔子，一雌一雄，且所有的兔子都不病不 死，那么由一对幼生兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢?
斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀 请到宫廷参加数学竞赛。他曾向官吏和市民讲授计算方法。
他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘 书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。
斐波那契1202年在《算
盘书》中从兔子问题得到斐 波那契数列之后，并没有进 一步探讨此数列，且在19世 纪初以前，也没有人认真研 究过它。没想到过了几百年 之后，19世纪末和20世纪，
万寿菊：13个花瓣
2、树杈的数目
由于新生的枝条，往往 需要一段“休息”时间， 供自身生长，而后才能萌 发新枝。所以，一株树苗 在一段间隔，例如一年， 以后长出一条新枝；第二 年新枝“休息”，老枝依 旧萌发；此后，老枝与 “休息”过一年的枝同时 萌发，当年生的新枝则次 年“休息”。这样，一株 树木各个年份的枝桠数， 便构成斐波那契数列。这 个规律，就是生物学上著 名的“鲁德维格定律”。
1、花瓣数中的斐波那契数
大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契 数。例如，兰花有3个花瓣，蝴蝶兰、洋紫荆、毛 茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣， 万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花 瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。
兰花： 3个花瓣
黄婵 蝴蝶兰 洋紫荆 毛茛属： 5个花瓣
月份
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
大兔对数 0 1 1 2 3 小兔对数 1 0 1 1 2 兔子对数 1 1 2 3 5
5 8 13 21 34 55 89 3 5 8 13 21 34 55 8 13 21 34 55 89 144
规律： 1、每个月的小兔子数等于上个月的大兔子数； 2、每个月的大兔子数等于上个月的大兔子数加小兔子数； 3、每个月的大兔子数都等于上个月的大兔子数和再前一个月 大兔子数之和。
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5 -1 0.618 黄金比 2
斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列