人教A版数学必修一高一数学尖子生训练题
人教A版高中数学必修一几类不同增长的函数模型同步测试含解析,含尖子生题库新
2014年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18.答案： A2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h解析： 设需经过x 次分裂，则4 096＝2x ，解得x ＝12，所以所需时间t ＝12×1560＝3(h)．故选C.答案： C3则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析： 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.答案： C4．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为____________． 解析： (1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0. 故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案： (1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？解析： 设工厂生产x 件产品时，依方案1的利润为y 1，依方案2的利润为y 2，则 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000.∵y 1<y 2，故应选择第1个方案处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000元，y 2＝108 000元．∵y 1>y 2，故应选择第2个方案处理污水．8．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问：怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则AF ＝(40－y ) cm.∵△AFE ∽△ACB ， ∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x 60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为 S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长为60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．解析： (1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0， ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t . (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)， 则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。
2021秋高一数学(人教A版必修1)尖子生同步培优题典《1.1.2集合间的基本关系》(解析版)
专题1.1 集合间的基本关系姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈；（6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误；空集是任何集合的子集，故（2）正确；∅和{}0都表示集合，故（3）错误；0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误；{}00∈，故（5）正确；{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误；{}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确；由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确；综上，正确的个数是4个，故选D 。
2．下面每一组的两个集合，相等的是（ ）A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N =B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N = 【答案】D【解析】A 选项中(1,2)，(2,1)表示两个不同的点，∴M N ，∴该选项不符合；B 选项中集合M 有两个元素1，2是实数，N 有一个元素(1,2)是点，∴M N ，∴该选项不符合；C 选项中集合M 是空集，集合N 是含有一个元素∅的集合，∴M N ，∴该选项不符合；D 选项中由2210x x -+=得121x x ==，∴{1}M N ==，∴该选项符合.3．设集合{1,0,1}A =-，{}2,B a a=，则使B A ⊆成立的a 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或1【答案】A【解析】∵A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a ，a 2}，且B ⊆A ；∴211a a =-⎧⎨=⎩∴a ＝﹣1． 4．设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ）A ．AB ∈B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆ 【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ．5．M ={x|6x 2−5x +1=0}，P ={x|ax =1}，若P ⊆M ，则a 的取值集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3} 【答案】D【解析】M ={x|6x 2−5x +1=0}={13,12}，P ={x|ax =1}，P ⊆M ，∴P =∅，P ={13}或P ={12}， ∴a =0或a =3或a =2．∴a 的取值集合为{0,2,3}．6．（2020·江西南康中学）集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则*6{|}B y N y A y=∈∈，中子集的个数为（ ）A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个【答案】D 【解析】2*{|70}{1,2,3,4,5,6}A x x x x N =-<∈=，，*6{|}{1,2,3,6}B y N y A y=∈∈=，，即子集的个数为4216=.7．若M P ⊆，M Q ⊆，{0,1,2}P =，{0,2,4}Q =，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个 【答案】C【解析】由集合{0,1,2}P =，集合{0,2,4}Q =，则集合P 和Q 中的公共元素组成集合{0,2}C =，又因为M P ⊆，M Q ⊆，所以M C ⊆，集合C 的子集的个数为224=，所以满足题意要求的集合M 共有4个. 8．已知集合{0,1}A =，{|}B x x A =⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ）A ．AB ⊆B ．A B ≠⊂C ．B A ≠⊂D ．A B ∈【答案】D【解析】因为x A ⊆,所以{,{0},{1},{0,1}}B =∅,集合{0,1}A =是集合B 中的元素,所以A B ∈. 9．已知集合{}{}2|320,|06,A x x x B x x x N =-+==<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．8C ．7D ．16 【答案】B【解析】结合题意可得：{}1,2A =，{}1,2,3,4,5B =，令{}3,4,5M =，集合N 为集合M 的子集，则C A N =⋃，结合子集个数公式可得，集合C 的个数为328=个.10．能正确表示集合{}02M x x =∈≤≤R 和集合{}20N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】{}{}{}200,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B. 11．已知,a b R R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】∵{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，00b b a ∴=⇒=，2{,0,1}{,,0}a a a ∴=，211a a =⇒=± 当1,0a b ==时，,,1{1,0,1}b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，不符合集合元素的互异性，故舍去；当1,0a b =-=时，{1,0,1}{1,1,0}-=-，符合题意.∴201920201a b +=-.12．（2020·天津市第五中学）已知集合{}2|20,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．0，1D ．1-，0，1【答案】D 【解析】集合A 有且仅有两个子集,即为∅和集合A 本身,故集合A 中的元素只有一个,即方程220ax x a ++=只有一个解,当0a =时, 原方程为20x =,即0x =,符合题意；当0a ≠时，令22240a ∆=-=,1a ∴=±，综上,1a =-，0a =或1a =可符合题意。
人教A版高中数学必修一指数函数及其性质第课时同步测试含解析,含尖子生题库新(1)
2014年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质第1课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( )A ．M NB ．M ⊆NC ．N MD ．M ＝N解析： x ∈R ，y ＝2x >0，y ＝x 2≥0，即M ＝{y |y >0}，N ＝{y |y ≥0}，所以M N .答案： A2．函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析： 函数y ＝2x的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1的图象单调递增且过点(0,2)，故选A.答案： A3．指数函数y ＝b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( )A ．2或－3B ．－3C ．2D ．－12解析： ∵函数y ＝b ·a x 为指数函数，∴b ＝1当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上的最大值为a 2，最小值为a ，则a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍)；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上的最大值为a ，最小值为a 2，则a ＋a 2＝6，解得a ＝2(舍)或a ＝－3(舍)综上可知，a ＝2.答案： C4．若函数f (x )与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的取值范围是( )A ．RB ．(－∞，0)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析： 根据对称性作出f (x )的图象，由图象可知，满足f (x )>1的x 的取值范围为(0，＋∞)．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝2x －1的定义域是________．解析： 要使函数y ＝2x －1有意义，只须使2x －1≥0，即x ≥0，∴函数定义域为[0，＋∞)．答案： [0，＋∞)6．函数y ＝a x －2 013＋2 013(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点____________．解析： ∵y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点(0,1)，∴y ＝a x －2 013＋2 013恒过定点(2 013,2 014)．答案： (2 013,2 014)三、解答题(每小题10分，共20分)7．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x x ；(5)y ＝x α(α是常数)．解析： (1)y ＝10x 符合指数函数定义，是指数函数；(2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；(3) y ＝－4x 中系数为－1而非1，不是指数函数；(4)y ＝x x 中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数；(5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数．8．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解析： (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3； f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，求a .解析： 当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．。
全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优(人教A版2019必修第一册)
专题1.5 全称量词与存在量词姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q5．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}6.（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝08.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．10．若命题p ：∀x ∈R ，21 x <0，则綈p ：________________． 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则綈p ：________________．12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x －3>x ；(3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．专题1.5 全称量词与存在量词姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A.2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误．C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q【答案】B【解析】∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B【解析】∵p 为假命题， ∴綈p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是a ≥1，故选B.6.（2020·沈阳二中北校高三模拟）已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-， 故选B， 7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0【答案】AC【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D 为真命题，故选A 、C.8.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0【答案】ABC【解析】对于A ，x ＝－1时，不合题意，A 错误；对于B ，x ＝±3，B 错误；对于C ，比如x ＝0时，－1<0，C 错误；D 选项正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋2＞0，所以不存在实数x ，使x 2＋2<0，为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④. 10．若命题p ：∀x ∈R ，21-x <0，则綈p ：________________． 【答案】∃x ∈R ，21-x >0或x －2＝0 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则綈p ：________________．【答案】∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)【答案】是【解析】∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．∴两位同学题中m范围是一致的．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．【解析】(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+221251m m m ，解得2≤m ≤4.。
人教A版数学必修一高一数学尖子生训练题.doc
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高一数学尖子生训练题
1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视
图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角
形．则该几何体的体积为（）
A、48
B、64
C、96
D、192
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）
A、3
B、23
C、33
D、43
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A．25πB．50πC．125πD．都不对
4、已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于（）
A、22
B、23
3
C、
42
3
D、
43
3
5.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A、11
2
B、5
C、4
D、
9
2
6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
A、6π
B、43π
C、46π
D、63π
7．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面
ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面P AD；
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
8.如图，在四棱锥ABCD
P 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD。
2021秋高一数学(人教A版必修1)尖子生同步培优题典《3.2函数模型及其应用》(解析版)
专题3.2 函数模型及其应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·辽宁沈阳高一期末）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（ ） A ．()20y ax bx a =+<B ．()0y kx b k =+≠C ．(0a y log x b a =+>且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠【答案】A【解析】因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，所以用()20y ax bx a =+<来模拟比较合适，故选项A 正确.而,,B C D 选项表示的函数在区间[]0.5,8上是单调函数，所以不合适. 2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点【答案】D【解析】从图中直线可以看出，甲的图象斜率大于乙的图象斜率，=S S 甲乙，甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲比乙先到达.3．（2020·河北唐山高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数( ) (答案精确到个位，参考数据：lg3982.6，lg19953.3，lg 7.80.89，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．48【答案】A【解析】设7.8级地震的最大振幅为1A ，4.5级地震的最大振幅为2A ，由题意可知107.8lg lg A A ，204.5lg lg A A ，两式相减，可得：10207.8 4.5lg lg lg lg A A A A ，即11223.3lg lg lgA A A A ，因为lg1995 3.3，所以121995A A ，4．（2020·吉林吉林高一期末）某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（ ）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【答案】C【解析】设第n 年获利y 元，则20 1.2,n y n N *=⨯∈，2019年即第1年，20 1.260n ⨯>，1.2lg3lg30.4771log 3 6.03lg1.2lg32lg 210.47710.60201n >===≈+-+-，所以7n ≥，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.5．（2020·山东临朐高三月考）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】BV=升. 而这【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为段时间内行驶的里程数356003500060048⨯=升，故选B.10086006．（2020·湖南宁乡一中高一月考）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是A．y=100x B．y=50x2–50x+100C．y=50×2x D．y=100log2x+100【答案】C【解析】对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C 中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．7．（2020·山东聊城高一期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（）A．475度B．575度C．595.25度D．603.75度【答案】D⨯=；超过230度但不超过400度的部分费用为：【解析】不超过230度的部分费用为：2300.5115()4002300.6102-⨯=，115102380x x+∴=，+<；设超过400度的部分为x，则0.8115+102=380203.75故用电603.75度8．（2020·全国高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y ＝f (x )的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】P 点在AD 上时，△APQ 是等腰直角三角形，此时f （x ）＝12•2x•2x ＝14x 2，（0＜x ＜2）是二次函数，排除A ，B ，P 在DC 上时，PQ 不变，AQ 增加，是递增的一次函数，排除C ，9．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后，若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为（ ）A ． 1.0436011.012xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．360 1.04x y =⨯C ．360 1.041.012xy ⨯=D ． 1.04360 1.012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设该乡镇现在人口数为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克，1年后，该乡镇粮食总产量为()36014%M +千克，人口数为()1 1.2%M +，则人均占有粮食产量为()()36014%1 1.2%M M ++千克，2年后，人均占有食产量为()()2236014%1 1.2%M M ++千克，……经过x 年后，人均占有粮食产量为()()36014%1 1.2%xx M M ++千克，即所求解析式为 1.04360 1.012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．10．（2020·莆田第六中学高一期中）某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额．．．．．．．．： （1）如果标价总额．．．．不超过200元，则不给予优惠； （2）如果标价总额．．．．超过200元但不超过500元，则按标价总额．．．．给予9折优惠； （3）如果标价总额．．．．超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠. 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）A ．550元B ．560元C ．570元D ．580元【答案】C【解析】若第一次购物超过200，则付款大于2000.9180⨯=，故第一次购物不超过200元；若第二次购物超过500，则付款大于5000.9450⨯=，故第二次购物不超过500元；第二次购物4230.9470÷= 合计470180650+= 付款为()5000.96505000.8450120570⨯+-⨯=+=11．（2020·四川自贡）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系．销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225 B ．40，300C ．45，350D ．45，400【答案】B【解析】在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图猜测为一次函数,故设y kx b =+(k ,b 为常数),将(30,60)和(40,30)代入得30604030k b k b +=⎧⎨+=⎩解得3150k b =-⎧⎨=⎩,故3150y x =-+,3050x ≤≤,把点(45,15)和(50,0)代入解析式验证,检验成立.则日销售利润2(30)(3150)32404500P x x x x =--+=-+-,3050x ≤≤,当取对称轴[]2404030,502(3)x =-=∈⨯-时,日销售利润最大为300.12．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间1（单位：月）的关系为t y a =.关于下列说法：①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过230m ；③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=，其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】图象过()1,2点，12a ∴=，即2a =，2ty ∴=，()122122122tt t t t+--∴==，∴每月的增长率为1，①正确；当5t =时，523230y ==>，②正确；第二个月比第一个月增加()2221222y y m-=-=第三个月比第二个月增加()3223221224y y myy -=-=≠-，③错误；122t =，232t =，362t =12log 2t ∴=，22log 3t =，32log 6t =，122223log 2log 3log 6t t t ∴+=+==，④正确。
专题5.1 任意角和弧度制-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题5.1 任意角和弧度制姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝()A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}【答案】C 【解析】令k ＝－1,0,1,2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C. 7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z ) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z .∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z )． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，10s间转过_______弧度．【答案】1 24【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||θ==，周长为，即圆弧长为，∴||θ==.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°. 又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200. ∵0°<75400<90°，90°<77200<180°， ∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝.所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－所以弓形的面积是12π－16．（2020·浙江高一课时练习）如图，，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==， 面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=， 面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长)32dm 33l A D ππ=⨯==，面积()232112dm 2332S A D π=⨯⨯=⨯=．综上，点A 走过的路程(()1239dm 236l l l l πππ+=++=++=，点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S。
人教A版高中数学必修一对数函数及其性质第课时同步测试含解析,含尖子生题库新
2014年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质第2课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( ) A ．－2 B ．－1C ．2 D.12解析： y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的反函数是f (x )＝log 14x ， ∴f (x 0)＝log 14x 0＝－12. ∴x 0＝⎝⎛⎭⎫14－12＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122－12＝2.答案： C2．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.2<0.750.2D ．lg 1.6>lg 1.3解析： 函数y ＝3x 是增函数，∵0.8>0.7，∴30.8>30.7.A 正确．函数y ＝log 0.5x 是减函数，∵0.4<0.6，∴log 0.50.4>log 0.50.6.B 正确．函数y ＝0.75x 是减函数，∵－0.2<0.2，∴0.75－0.2>0.750.2. C 错误．函数y ＝lg x 是增函数，∵1.6>1.3，∴lg 1.6>lg 1.3.D 正确．答案： C3．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析： 题目中隐含条件a >0，当a >0时，2－ax 为减函数，故要使y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a >1，且2－a >0，故可得1<a <2.答案： B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， (x >0)log 12(－x )， (x <0)若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(1，＋∞)解析： 当a >0，即－a <0时，由f (a )>f (－a )知log 2a >log 12a ，在同一个坐标系中画出y ＝log 2x 和y ＝log 12x 函数的图象，由图象可得a >1；当a <0，即－a >0时，同理可得－1<a <0.综上可得，a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________．解析： 由4x －x 2>0得0<x <4，函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)．令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4，当x ∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数，当x ∈(2,4)时，u ＝4x －x 2是减函数．又∵y ＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]．答案： (0,2]6．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系为________． 解析： 因为0<log 53<log 54<1<log 45，所以(log 53)2<log 54<log 45，即b <a <c .答案： b <a <c三、解答题(每小题10分，共20分)7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2e x －1， (x <2)log 3(x 2－1)， (x ≥2)求不等式f (x )>2的解集． 解析： 当x <2时，2e x －1>2，解得x >1，此时不等式的解集为(1,2)；当x ≥2时，有log 3(x 2－1)>2，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x 2－1>32， 解得x >10，此时不等式的解集为(10，＋∞)．综上可知，不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解析： (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0， 解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2. ∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴⎪⎪⎪⎪x 1x 2>1.∴lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)设f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x )＝log 12x . (1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )≤2.解析： (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又∵f (x )为奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )． 故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )． (2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 12x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 12(－x )≤2， 解得x ≥14或－4≤x <0. 即不等式的解集为[－4,0)∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞.。
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高中数学学习材料
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高一数学尖子生训练题
1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视
图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角
形．则该几何体的体积为（）
A、48
B、64
C、96
D、192
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）
A、3
B、23
C、33
D、43
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）
A．25πB．50πC．125πD．都不对
4、已知正方体外接球的体积是32
3
π，那么正方体的棱长等于（）
A、22
B、23
3
C、
42
3
D、
43
3
5.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A、11
2
B、5
C、4
D、
9
2
6.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为
A、6π
B、43π
C、46π
D、63π
7．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面
ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面P AD；
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
8.如图，在四棱锥ABCD
P 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD。