2015届四川中考数学总复习课件：6.1圆的基本性质
例2 (2014珠海)如图，线段AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB,∠CAB=20°，则∠AOD等于( C ) A. 160° C. 140° B. 150° D. 120°
【思路点拨】欲求∠AOD的度数，只要求出 ∠BOD的度数．因为线段AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，根据垂径定理可得弧BC与弧BD相等， 进而可知2∠CAB=∠BOD．
【解析】连接OC, ∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴BC=BD ， ∴∠BOC=∠BOD,∵∠CAB＝20°， ∴∠BOD=2∠CAB=40°,∴∠AOD=140°.
【方法指导】对于圆中求角度问题，已知圆心角， 找该圆心角所对的弧，再找该弧所对的圆周角， 也可以借助等腰三角形（圆的半径相等，可构造 等腰三角形），或直角三角形（直径所对圆周角 为直角）的性质计算角度.
A. 2
C. 3
B. 1
D. 4
【思路点拨】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定
理得到E为CD的中点，由CD的长求出CE的长， 再由圆的半径OC的长，在直角三角形CEO中，利 用勾股定理求出OE的长，再由OA－OE即可求出 AE的长． 【解析】∵直径AB⊥弦CD，又
1 ∵CD=8,∴CE=DE= CD=4,在Rt△CEO中， 2 OC=5,CE=4,根据勾股定理得：OE= OC2 CE2
=3,则AE=OA-OE=5-3=2.故选A.
【方法指导】运用垂径定理求相关线段长度的关 键是构造直角三角形，利用勾股定理求解.其最常 用的方法如：连接圆心和圆中弦的一个端点，若 弦长为l，圆心到弦的距离为d，半径为r，根据勾 1 股定理有如下公式： l r 2 d 2 2
命题点
圆周角定理及其推论（重点）
第六章
第一节
圆
圆的基本性质
ห้องสมุดไป่ตู้
考点特训营
考点梳理
与圆有关的概念及性质 圆 的 基 本 性 质 概念
性质
垂径定理及其推论
定理 推论
弧、弦、圆心角的关系 圆周角定理及推论
重难点突破
命题点 与垂径定理相关的计算（重点） 例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足 为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE的长度 为（ A ）
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中考数学总复习 第六章 圆 第 圆的有关概念及性质数学课件
形重合.这就是圆的旋转不变性.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
12/9/2021
1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点二 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相
等.若三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
12/9/2021
考点梳理
自主测试
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
另一条弧.
在 Rt△ABC 中,AC= 2 - 2 =
102 -62 =8.
(2)∵PE⊥AB,
∴∠APE=90°.
又∠ACB=90°,∴∠APE=∠ACB.
又∠PAE=∠CAB,∴△AEP∽△ABC.
∴ = .
∴6
=
12/9/2021
1
10× 2
8
15
4
,∴PE= .
命题点1
命题点2
示.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧,如图中以 B,C 为端点的劣弧记作“”;大于
半圆的弧叫做优弧,优弧要用三个字母表示,如图中“”3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
4.弦心距:从圆心到弦的距离.
12/9/2021
命题点3
命题点4
中考数学专题复习之圆的基本性质 课件
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一__半___． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧__相__等___． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角___；90°的圆周角所对的弦是 __直__径___．
[对应训练] 1．(1)(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后， 截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
(2)(2016·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB ＝8，CD＝6，则 BE＝__4_－____7___．
[对应训练] 3．(1)(2015·河池)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD ＝48°，则∠BAC的大小是( D ) A．60° B．48° C．30° D．24°
(2)(2015·梧州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连
接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD＝( A )
【例3】 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA， CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40°
【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或 圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等 的弧把角联系起来．
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
(3)(2016·河池)如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠BDC的大小是____4_0_°_．
第25讲 圆的基本性质中考复习课件
推论
平分弦（不是直径）的直径㉒______于弦，并且㉓______弦所对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
4
结论
；㉔______ ；㉕______；㉖______； 是直径（在同圆或等圆中，若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”）（注： 不是直径）
续表
考点
5
圆的内接四边形
圆内接多边形
推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑫______，所对的弦⑬______，即若 ，则
相等
相等
推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑭______，所对的优弧和劣弧分别⑮______，即若 ，则
相等
相等
续表
考点
圆周角定理及其推论
定理
在一个圆中，一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的⑯______
圆心
续表
弧
圆上任意两点间的部分叫作弧
大于半圆的弧叫做⑤______（如 ）
小于半圆的弧叫做⑥______（如 ）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；能够重合的两个圆叫做等圆
优弧
劣弧
续表
圆心角
顶点在⑦______的角叫做圆心角（如 ）
圆周角
顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如 ）
重难点突破
重难点
1
圆周角定理及其推论
例1题图
【例1】 如图，在 中， 为直径，弦 ， ，连接 ，则 等于( )
A. B. C. D.
思路点拨:由等腰三角形的性质得到 的度数，由平行线的性质得到 ，再利用圆周角定理得到 ，从而求解．
√
平分弦（不是直径）的直径㉒______于弦，并且㉓______弦所对的两条弧
平分
平分
垂直
平分
4
结论
；㉔______ ；㉕______；㉖______； 是直径（在同圆或等圆中，若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”）（注： 不是直径）
续表
考点
5
圆的内接四边形
圆内接多边形
推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑫______，所对的弦⑬______，即若 ，则
相等
相等
推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑭______，所对的优弧和劣弧分别⑮______，即若 ，则
相等
相等
续表
考点
圆周角定理及其推论
定理
在一个圆中，一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的⑯______
圆心
续表
弧
圆上任意两点间的部分叫作弧
大于半圆的弧叫做⑤______（如 ）
小于半圆的弧叫做⑥______（如 ）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；能够重合的两个圆叫做等圆
优弧
劣弧
续表
圆心角
顶点在⑦______的角叫做圆心角（如 ）
圆周角
顶点在⑧____上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如 ）
重难点突破
重难点
1
圆周角定理及其推论
例1题图
【例1】 如图，在 中， 为直径，弦 ， ，连接 ，则 等于( )
A. B. C. D.
思路点拨:由等腰三角形的性质得到 的度数，由平行线的性质得到 ，再利用圆周角定理得到 ，从而求解．
√
圆的有关概念及性质 中考数学一轮复习 教学PPT课件
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的 弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧．
3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心 的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径 的2倍．
4．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴． (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性．
本题考查了圆心角弧弦的关系等边三角形的判定与性质以及菱形的判定解题的关键是根据圆的性质得出特殊三角形等边三角形和直角三角形再根据其性质进行求解
圆的有关概念及性质
考点一 圆的有关概念及性质 1．圆的概念有两种方式 (1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定 的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
答案：3 3
5．在直径为52 cm的圆柱形油槽内装入一些油 后，截面如图所示，如果油的最大深度为16 cm，那 么油面宽度AB是 cm.
解析：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点 D，并延长交⊙O于点C，
则
AD
＝
BD
＝
1 2
AB.
根
据
题
意
可
知
OB＝ OC＝
26 cm，CD＝16 cm，∴OD＝10 cm.在 Rt△BOD 中，
BD＝ OB2－OD2＝ 262－102＝24(cm)，∴AB＝2BD
＝48 (cm)．
答案：48
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直 径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC； (2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
中考数学复习 第6章 圆 第19讲 圆的有关性质课件
A．26π
C9.6 5
B．13π
D.39 10 5
第六页，共二十一页。
1
B 如图，连接OA，∵CD为⊙O的直径(zhíjìng)，弦AB⊥CD，∴AM＝ AB＝
2
6.∵OM∶MD＝5∶8，∴设OM＝5x，DM＝8x.∴OA＝DO＝13x.∴AM＝12x
1
＝6.∴x＝ .∴OA＝
1
×13＝
.13∴⊙O的周长＝2OA·π＝13π.
1．[2015·德州]如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC＝∠CPB
＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______； (2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明(zhèngmíng)你的结论； (3)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
2
2
2
第七页，共二十一页。
变式运用► [2017·河北模拟]本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和 小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并 测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．
(1)请你帮他们求出该湖的半径；
(2)如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术(yìshù) 桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？
第六章 圆
第 19 讲 圆的有关(yǒuguān)性质
第一页，共二十一页。
考点(kǎo diǎn)梳理过关
考点(kǎo diǎn)1 圆的有关概念
第二页，共二十一页。
提示►(1)圆的集合定义：在同一平面内到定点的距离(jùlí)等于定长的点的集合叫
做圆．圆是一条封闭的曲线，而不是指“圆面”，圆的面积是指“圆面”的大小；
中考数学一轮复习课件：第6章 第1节 圆的基本性质
●
③如图3,若∠ABC＝25°,则∠BDC＝________．
65°
●
④如图4,若CD＝2OE,则∠BCD＝__________．
22.5°
图2
图3
图4
●
⑤如图5,若AC＝5,∠ADC＝30°,则⊙O的直径AB＝______．
10
●
⑥如图6,CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E,若OE＝3,OB＝5,则CD的长度是_______．
(2)填空： ①若 AB＝4，且点 E 是B︵D的中点，则 DF 的长为__4_－__2___2____； ②取A︵E的中点 H，当∠EAB 的度数为___3_0_°___时，四边形 OBEH 为菱形．
2．圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
常见 图形
结论 推论
∠AOB＝2∠ACB
(1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 径
●
应用圆周角定理和推论时,一定注意“在同圆或等圆中”的条件,同时要特别注意一条弦是对着
两条弧的．
●
3．垂径定理及其推论
定理 推论
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 (1)平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧
考点 3 圆内接四边形及其性质
第一节 圆的基本性质
闪充考点
考点 1 圆的有关概念及性质
图示
弦 直径
圆弧
连接圆上任意两点的线段，如图中的 AC，BC
经过圆心的弦，直径等于半径的 2 倍
【名师面对面】2015中考数学总复习 第6章 第23讲 圆的基本性质课件
B．80°
D．130°
圆内接四边形
2．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，直线l与⊙O相交于点E，F， 若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小． 【解析】第1题先利用圆周角性质，再利用∠A与 ∠C互补求∠C的度数；第2题连结BF，由AB是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ∠AFB＝90°，由三角形外角的性质，可求得 ∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得 ∠B的度数，从而求得答案． 解：连结BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90° －∠B，∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°，在⊙O中， 四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF＋∠B＝180°，∴∠B＝ 180°－108°＝72°，∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°
第23讲 圆的基本性质
1．理解圆的有关概念和性质，了解弧、弦、圆心 角的关系，了解点与圆的位置关系． 2．探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三 点作圆． 3．掌握垂径定理及其推论，并能够解决简单的实 际问题． 4．理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系，直径 所对圆周角的特征，以及圆内接四边形的概念、性 质等．
径，∠A＝35°，则∠B的度数是( ) C
A．35°
C．55°
B．45°
D．65°
2．(2014· 温州)如图，已知A，B，C在⊙O上，弧
ABC为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( A )
A．2∠C
C．4∠A
B．4∠B
D．∠B＋∠C
3．(2013· 金华、丽水)一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截
则∠BOC的度数为( A．25° C．60° ) B