学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版
学而思八年级数学下1-14讲
第一讲不等式基本性质第二讲不等式应用题第三讲不等式与一次函数应用第四讲不等式专题第五讲分解因式专题第六讲因式分解专题1第七讲因式分解(完全平方) 第八讲因式分解(十字相乘法) 第九讲分式的基本性质第十讲分式的运算第十一讲分式(计算)专题第十二讲分式方程应用题第十三讲期中考试计算专题第十四讲期中考试应用专题第一讲 不等式基本性质【知识要点:】1．不等式基本性质：①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。
若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。
②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。
若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。
③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。
若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。
2. 不等式常用结论性质：①．不等式的互逆性: 若a ＞b, 则b ＜a ；②．不等式的传递性: 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；③．不等式的同号合并性: 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。
（1）⎩⎨⎧〉〉b x ax 的解集为x ＞b 同大取大（2）⎩⎨⎧〈〈b x ax 的解集为x ＜a 同小取小（3）⎩⎨⎧〈〉b x ax 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间（4）⎩⎨⎧〉〈b x a x 无解。
大大小小解不见【经典例题：】例1.用不等号填空题：（1）.若a b >，则12a - 12b -，21a + 21b +；（2）.若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0；（3）.若a b >，则43a -+ 43b -+； （4）.若362x ->，则x －4；（5）.若,0a b c >>，则ac c + bc c +。
学而思初二数学秋季班第15讲.代数综合.提高班.教师版
1初二秋季·第15讲·提高班·教师版整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解2初二秋季·第15讲·提高班·教师版1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法因式分解部分： 一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用 公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法分解某些二次三项式 分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；3初二秋季·第15讲·提高班·教师版2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
学而思勤思班初二春季 第6讲 平行四边形探究(教师版)
标注 四边形 > 平行四边形 > 平行四边形问题 > 题型：平行四边形的判定
二、三角形的中位线
知识导航
定义
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段
示例剖析
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 若为
的中位线，
则
，且
三角形中位线里隐含重要性质：
① 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形
两组对边分别平行的四边形叫做平 平行四边形
行四边形
四边形
叫做平行四边形
平行四边形的 一般按一定的方向依次表示各顶点.
表示
如：口
平行四边形不能表示成口
，也不能表示成
口
中心
在平面内，一个图形绕某点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
对称图形 做中心对称图形
中心对称 图形性质
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
∴ ， 分别是
与
的中位线，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵
，
，
∴
，
∴
∴
．
， ，
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
2 如图，
中， 、 分别是 、 的中点， 平分
，交 于点 ，若
，
，则 的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵ 、 分别是 、 的中点，
∴
，
两组对边分别相等
四边形
是平行四边形
北师大版初二数学秋季班(教师版) 第6讲 函数--基础班
北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版）最新讲义第6讲 函数常量与变量函数的概念函数自变量的取值范围和函数值函数的图象⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩知识点1 常量与变量1.变量与常量：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量. 注：变量中，自己会变的量叫做自变量，因为自变量而随之改变的量叫做因变量.【典例】1.某品牌豆浆机成本为70元，销售商对其销量定价的关系进行了调查，结果如下：则下列说法中正确的是（ ）A. 定价是常量，销量是变量B. 定价是变量，销量是不变量C. 定价与销售量都是变量，定价是自变量，销量是因变量D. 定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量【答案】C.【解析】解：定价与销售量都是变量，而随着定价的改变，销量也在随之改变，所以定价是自变量，销量是因变量，故C 正确.故选：C ．【方法总结】本题主要考查了常量和变量的概念，解题的关键能根据题干叙述，准确判断出不变的量和变化的量，并能够从变量中确认出谁是引起变化的量，进而正确区分自变量和因变量.【随堂练习】1．（2018春•丹东期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．故选：B．2．（2018春•迁安市期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额B．数量C．单价D．金额和数量【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：C．知识点2 函数的概念1.一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.2.函数的图像:在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.【典例】1.下列说法正确的是（）A. 在球的体积公式V=43πr2中，V不是r的函数B. 若变量x、y满足y2=x，则y是x的函数C. 在圆锥的体积公式V=13πR2h中，当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数D. 若变量x、y满足y=13x+13，则y是x的函数【答案】D.【解析】解：A、在球的体积公V=43πr2中，变量是V和r，给定一个r值，都有唯一的V值与它对应，则V是r的函数，故A错误；B、变量x、y满足y2=x，给定一个x=4，则有两个y值（±2）与之对应，则y不是x的函数，故B错误；C、在圆锥的体积公式V=13πR2h中，π是常量，所以当h=4厘米，R=2厘米时，V是π的函数是错误的，故C错误；D、变量x、y满足y=13x+13，给定一个x值，都有唯一的y值与之对应，则y是x的函数，故D正确；故选：D．2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：下列说法正确的是______________．①x与y都是变量；②弹簧不挂重物时的长度为0cm；③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm．【答案】①③④【解析】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误；③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确；④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为10+7×0.5=13.5cm，正确故答案为：①③④3.下列图形中的图象不表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C.【解析】解：根据函数的概念可知，给定一个x值，就有唯一的y值与它对应，即x是自变量，y是因变量.观察四个图象，A选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故A是函数，B选项，给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故B是函数，C选项，根据图象知给自变量一个值，有的有3个函数值与其对应，故C不是函数，D选项，根据图象知给自变量x一个值，有且只有一个y值与其对应，故D是函数，故选：C．4.星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有________米；（2）邮亭离公共阅报栏有________米；（3）小红从邮亭走回家用了________分．【答案】略【解析】解：（1）公共阅报栏离小红家有300米；。
学而思初二数学秋季班第7讲.期中复习.提高班.教师版
1初二秋季·第7讲·提高班·教师版⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定【例1】 ⑴如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么下列说法错误的是（ ）A ．△EBD 是等腰三角形，EB =EDB ．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形【解析】∵ABCD 为矩形∴∠A =∠C=90°，AB =CD ∵∠AEB =∠CED典题精练思路导航题型一：轴对称7期中复习E DCA2初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴△AEB ≌△CED （第四个正确） ∴BE =DE （第一个正确） ∠ABE =∠CDE （第二个不正确） ∵△EBA ≌△EDC ，△EBD 是等腰三角形∴过E 作BD 边的中垂线，即是图形的对称轴．（第三个正确） 故选B ．⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）D.C.B.A.【解析】A【例2】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．B【解析】沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON 上任意取一点T ，在OM 上任意取一点R ，连接FR 、BR 、RT 、3初二秋季·第7讲·提高班·教师版ET 、AT ，∵A 、E 关于ON 对称， ∴AC =EC ，同理BD =FD ，FR =BR ，AT =ET ， ∴AC +CD +DB =EC +CD +FD =EF ， AT +TR +BR =ET +TR +FR ， ∵ET +TR +FR ＞EF ，∴AC +CD +DB ＜AT +TR +BR ，即沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线．（1）AB草地河C DE FMNOME CT R O DF（2）河草地 B ASSS SAS ASA AAS HL ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：，，，， ⎧⎨⎩性质、判定角平分线有关角平分线辅助线思路导航题型二：全等三角形4初二秋季·第7讲·提高班·教师版【例3】 如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD =AC ，在CF 的延长线上截取CG =AB ，连接AD 、AG ． 请你确定△ADG 的形状，并证明你的结论．BAC DEFG【解析】连接DG ，则△ADG 是等腰三角形．∵BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高， ∴∠AFC =∠AEB =90° ∴∠ACG =∠DBA 又∵BD =CA ，AB =GC ， ∴△ABD ≌△GCA ； ∴AG =AD ，∴△ADG 是等腰三角形．【例4】 △ABC 中，∠CAB =∠CBA =50°，O 为△ABC 内一点，∠OAB =10°，∠OBC =20°，求∠OCA 的度数．COBA【解析】作CD ⊥AB 于D ，延长BO 交CD 于P ，连接PA ，∵∠CAB =∠CBA =50°，典题精练GFE DCAB∴AC=BC，∴AD=BD，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴∠ACB=80°，∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，∵在△CAP和△OAP中，∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP∴△CAP≌△OAP，∴AC=OA，∴∠ACO=∠AOC，【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．⑴如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关初二秋季·第7讲·提高班·教师版56初二秋季·第7讲·提高班·教师版系，并说明理由．GN图3图2图1AE BCDAE BCDDC BE A【解析】⑴在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠DBA =∠A =30°． ∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ． AB ． ∴BC =BE ．∴△EBC 是等边三角形；⑵结论：AD =DG +DM ．证明：如图2所示：延长ED 使得DN =DM ，连接MN ，∵∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ， ∴∠ADE =∠BDE =60°，AD =BD ， 又∵DM =DN ，∴△NDM 是等边三角形， ∴MN =DM ，在△NGM和△DBM中，∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB∴△NGM≌△DBM，∴BD=NG=DG+DM，∴AD=DG+DM．⑶结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H，使得DH=DN．由⑴得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．7初二秋季·第7讲·提高班·教师版8初二秋季·第7讲·提高班·教师版即∠DNG =∠HNB ． 在△DNG 和△HNB 中，∵DN ＝HN ，∠DNG ＝∠HNB ，∠H ＝∠2 ∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB ．∵HB =HD +DB =ND +AD ， ∴DG =ND +AD ． ∴AD =DG -ND ．【例6】 已知四个实数a 、b 、c 、d ，且a ≠b ，c ≠d ．满足：a 2+ac =4，b 2+bc =4，c 2+ac =8，d 2+ad =8．⑴求a +c 的值；⑵分别求a 、b 、c 、d 的值．【解析】⑴由（a 2+ac ）+（c 2+ac ）=4+8=12，得（a +c ）2=a 2+c 2+2ac =12，∴a +c =23⑵由（a 2+ac ）-（b 2+bc ）=4-4=0，（c 2+ac ）-（d 2+ad ）=8-8=0， 得（a -b ）（a +b +c ）=0，（c -d ）（a +c +d ）=0， ∵a ≠b ，c ≠d ，典题精练题型三：因式分解9初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴a +b +c =0，a +c +d =0， ∴b =d =-（a +c ），又（a 2+ac ）-（c 2+ac ）=4-8=-4，得（a -c ）（a +c ）=-4．【例7】 设a 1=32-12，a 2=52-32，…，a n =()()222121n n +--（n 为大于0的自然数）．⑴探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由）．【解析】⑴∵a n =（2n +1）2-（2n -1）2=4n 2+4n +1-4n 2+4n -1=8n ，又∵n 为非零的自然数， ∴a n 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 ⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256． n 为一个完全平方数的2倍时，a n 为完全平方数．10 初二秋季·第7讲·提高班·教师版训练1. 阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．图3ABCA 1B 1B 2CD BA图2图1C…B n+1A 3A 2A 1B nB 2B 1BA【解析】⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC 的平分线AB 1折叠， ∴∠B =∠AA 1B 1；思维拓展训练(选讲)又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C，∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；⑵∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；11初二秋季·第7讲·提高班·教师版12 初二秋季·第7讲·提高班·教师版由小丽展示的情形三知，当∠B =3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B =n ∠C ；⑶由⑵知设∠A =4°，∵∠C 是好角，∴∠B =4n °；∵∠A 是好角，∴∠C =m ∠B =4mn °，其中m 、n 为正整数得4+4n +4mn =180 ∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，BO ⊥AC ，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB =PD ，DE ⊥AC 于点E ， 求证：△BPO ≌△PDE ．备用图2431COBAD CE OP AB⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． ⑵特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP =CD ．【解析】⑴证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE（AAS）；⑵证明：由⑴可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．训练3.因式分解初二秋季·第7讲·提高班·教师版1314 初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑴()22223103x a b x a ab b ++-+- ⑵()()211a b ab +-+⑶()()2222483482x x x x x x ++++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【解析】⑴()22223103x a b x a ab b ++-+-()()()()()223333x a b x a b a b x a b x a b =++---=+--+⑵()()211a b ab +-+()()()()()()222211111a b ab a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+- ⑶()()2222483482x x x x x x ++++++()()()()()()()222224848258682458x x x x x x x x x x x x x x =++++++=++++=++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ ()()()()()()()222223b c a b c bc a b c bc a b c b c a bc a b c ab ac bc =+-++++=-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-训练4. 按下面规则扩充新数：已有a 和b 两个数，可按规则c =ab +a +b 扩充一个新数，而a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 【解析】⑴∵a =2，b =3，c 1=ab +a +b =6+2+3=11， ∴取3和11， ∴c 2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；⑵5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，（式中m、n为整数）当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．初二秋季·第7讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第7讲·提高班·教师版题型一 轴对称 巩固练习【练习1】 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．图2图1CB'B D'DA'CDB A【解析】∵两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，∴A ′M =A ′N =MN ，MO =DM =DO ，OD ′=D ′E =OE ，EG =EC =GC ，B ′G =RG =RB ′， ∴OM +MN +NR +GR +EG +OE =A ′D ′+CD =1+1=2； 故答案为：2．题型二 全等三角形 巩固练习【练习2】 在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，P是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是（ ） 复习巩固BPAO DC17初二秋季·第7讲·提高班·教师版A ．4B ．5C ．6D ．8【解析】∵∠COP =∠A +∠APO =∠POD +∠COD ，∠A =∠POD =60°，∴∠APO =∠COD ． 在△APO 和△COD 中，∵∠A ＝∠C ，∠APO ＝∠COD ，OP ＝OD ∴△APO ≌△COD （AAS ）， ∴AP =CO ， ∵CO =AC -AO =6， ∴AP =6． 故选C ．【练习3】(3)GE FDA(2)AB CD E FG (1)GE DF A【解析】⑴证明：∵AF ⊥BD ，∠ABF =∠MBF ，∴∠BAF =∠BMF ， ∴MB =AB ， ∴AF =MF ，18 初二秋季·第7讲·提高班·教师版同理可说明：CN =AC ，AG =NG∴FG 是△AMN 的中位线， ∴FG =12MN =12（MB +BC +CN ）=12（AB +BC +AC ）⑵图⑵中，FG =12（AB +AC -BC ） 图⑶中，FG =12（AC +BC -AB ） ①如图⑵，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（BM +CN -BC ）=12（AB +AC -BC ）， ②如图⑶延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，同样由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（CN +BC -BM ）=12（AC +BC -AB ）题型三 因式分解 巩固练习【练习4】 分解因式：()4442x y x y +++-．【解析】 原式=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+2xy +y 2）2-2，=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+y 2）2+4xy （x 2+y 2）+4x 2y 2-2， =2（x 2+y 2）2+2x 2y 2+4xy （x 2+y 2）-2， =2[（x 2+y 2）2+x 2y 2+2xy （x 2+y 2）-1]， =2[（x 2+xy +y 2）2-1]， =2（x 2+xy +y 2-1）（x 2+xy +y 2+1）．【练习5】 图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． ⑴图②中的阴影部分的面积为 ；19初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑵观察图②请你写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系是 ；⑶若x +y =7，xy =10，则()2x y -= ；⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示． 如图③，它表示了 ．⑸试画出一个几何图形，使它的面积能表示()()22343m n m n m mn n ++=++．③②①nnm m m nm n mmnm mnmnmmnn【解析】（1）阴影部分的边长为（m -n ），阴影部分的面积为（m -n ）2；（2）（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ； （3）（x -y ）2=（x +y ）2-4xy =72-40=9； （4）（m +n ）（2m +n ）=2m 2+3mn +n 2； （5）答案不唯一： 例如：．初二秋季·第7讲·提高班·教师版第十五种品格：创新成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。
初中八年级下因式分解提升课
初二数学因式分解提升课一、 知识点回顾1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：))((212x x x x a c bx ax --=++(1)a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2)a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4)a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---；(7)a n -b n =(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)，其中n 为正整数；(8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数；(9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 二、典型例题讲解例1 分解因式：(1)5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-； (2)；(3) ； (4) ． 解 (1)原式=-2x n-1y n (x 4n-2x 2ny 2+y 4) =-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2]=-2x n-1y n (x 2n-y 2)233386x y z xyz---752257a ab a b b -+-222222a bc bc ca ab ++-+-=-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2．(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x 2+4y 2+z 2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a 2-2ab+b 2)+(-2bc+2ca)+c 2＝(a-b)2+2c(a-b)+c 2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a 2+(-b)2+c 2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a 7-a 5b 2)+(a 2b 5-b 7)=a 5(a 2-b 2)+b 5(a 2-b 2)=(a 2-b 2)(a 5+b 5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)=(a+b)2(a-b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)例2 分解因式： ． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析 我们已经知道公式(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3的正确性，现将此公式变形为 a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c 3-3abc=［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)．3333a b c abc ++-说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b 3+c 3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a 3+b 3+c 3=3abc ；当a+b+c ＞0时，则a 3+b 3+c 3-3abc ≥0，即a 3+b 3+c 3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a 3≥0，y=b 3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：1514132......1x x x x x ++++++．分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n -b n来分解．解 因为x 16-1=(x-1)(x 15+x 14+x 13+…x 2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：398x x -+．分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x 3-x-8x+8 =(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法3 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3．原式=9x 3-8x 3-9x+8 =(9x 3-9x)+(-8x 3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)．解法4 添加两项-x 2+x 2．原式=x 3-9x+8 =x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)9633x x x ++-； (2) ；(3) ； (4) ． 解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x 9+x 6+x 3-1-1-1 =(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)=(x 3-1)(x 6+x 3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3)．(2)将4mn 拆成2mn+2mn ．原式=(m 2-1)(n 2-1)+2mn+2mn=m 2n 2-m 2-n 2+1+2mn+2mn=(m 2n 2+2mn+1)-(m 2-2mn+n 2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x 2-1)2拆成2(x 2-1)2-(x 2-1)2．原式=(x+1)4+2(x 2-1)2-(x 2-1)2+(x-1)4()()22114m n mn --+()()()2442111x x x ++-+-33221a b ab a b -+++=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x 2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x 2-1)2=(2x 2+2)2-(x 2-1)2=(3x 2+1)(x 2+3)．(4)添加两项+ab-ab ．原式=a 3b-ab 3+a 2+b 2+1+ab-ab=(a 3b-ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b 2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)=[a(a-b)+1](ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab ，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： ． 分析 将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x 2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x 2+x=y ，则原式=(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5)．说明 本题也可将x 2+x+1看作一个整体，比如今x 2+x+1=u ，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．()()221212x x x x ++++-22例7 分解因式： ．分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90．令y=2x 2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y 2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式： ．解 设x 2+4x+8=y ，则原式=y 2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x) =(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8)．说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式：432673676x x x x +--+．解法1 原式=6(x 4+1)＋7x(x 2-1)-36x 2=6［(x 4-2x 2+1)+2x 2］+7x(x 2-1)-36x 2=6[(x 2-1)2+2x 2]+7x(x 2-1)-36x 2=6(x 2-1)2+7x(x 2-1)-24x 2=[2(x 2-1)-3x ］［3(x 2-1)+8x]()()2222483482x x x x x x ++++++=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明 本解法实际上是将x 2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x 2[6(t 2+2)+7t-36]=x 2(6t 2+7t-24)=x 2(2t-3)(3t+8)=x 2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 例10 分解因式： ．分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u ，xy=v ，则原式=(u 2-v)2-4v(u 2-2v)=u 4-6u 2v+9v 2=(u 2-3v)2=(x 2+2xy+y 2-3xy)2=(x 2-xy+y 2)2．()()22224x xy y xy x y ++-+练习一1．分解因式：(1) (2)1052x x +-；(3) (4) ．2．分解因式：(1)3234x x +-； (2)422211x x y y -+；221194n n x x y +-+42233222324444x x y xy x y y x y ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭()2543251x x x x x x +++++-(3)3292624x x x +++； (4)412323x x -+．3．分解因式： (1)()22223122331x x x x -+-+-； (2)43271471x x x x ++++；(3)()()3211x y xy x y ++---；(4)()()()231520x x x +-+-．四、课后反馈教学进度：学生掌握情况：存在问题及改进措施：。
学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，A B C D E F A B C DEF PQ R A BCE F E A ACD O （第1题图） 1 4 3 2（第2题图）2垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： F B AO CD EAEB ACDO A BA E DCF EBAD 1 4 2 3 6 5∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4： 【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角. 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） A BDC HＧ E F 7 1 5 6 84 1 2 乙丙 3 23 4 5 61 23 4甲1 A BC 2 3 45 67 A B CDO A BD E FA E12∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF. 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾 所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】 01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n （n ＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补 A BC D E A BC D E F l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6l 1 l 2 l 3l 4 l 5 l 6 A EA B EMα A02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBAC DE12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？a b AB C⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】EAFGDCB01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）ABCDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） BA MC D N P （第3题图）DE F2GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 CF 3 E D1B（第2题图） 31ABG D CEDA2 E1 B C B F E AC D ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________BAPCAC CDAAPCBDPBPD BD ⑴⑵⑶⑷A DMCN EB F E D 2 1 AB Cα β P B C D A∠P ＝α＋βF γ Dα β E B C A FD EBC A AA ′ lB ′C ′【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG∥AB ． ∵直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ＋∠4＝180°＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γA ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就21cm ，作出平移后的图形. 三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积. 03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）BB / AA / C C /演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60° C ．北偏西30° D ．北偏西60° 02平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（ ） A ．对顶角相等 B ． 同位角相等 C ．内错角相等 D ．同旁内角互补 05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]） .C ．③④D ．①④ A 地测得B 地的走向是南B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38° 07．下列几种运动中属于平移的有（ ） ①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）150°120°DBCE 湖09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C4 P 23 1A BEF CD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜⑶ ⑷ ... AF E B A C GD α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O ABCD第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为xa 的平方根为xa 的算术平方根．若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l ＝0，5m ＝5，m ＝l ． 【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则ab ＝____．02()230b -=，则a b 的平方根是____．03．（天津）若x 、y为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根． 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2−2 −2−4．∵a ＝2，b−1＝±3 ，∴b ＝－2或4 ∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ． b<a<c D ．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．－9与81的平方根 B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ． －a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A ． 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D．203．代数式53x+−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．m满足关系式199y x=--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋21a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．。
学而思寒假八年级尖子班讲义第6讲解析式与图象变换
6解析式与图象变换模块一 待定系数求函数解析式知识导航待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法 题型一 ：已知两点坐标求解析式例1已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式题型二已知斜率k 及一点，求解析式知识导航若一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图象互相平行，则k 1=k 2,,b 1≠b 2.例2已知一条直线与直线y=2x －3平行，且经点（2，7）求直线解析式练 已知一个一次函数的图象平行于正比例函数y=12x 的图象，且过点（－4，－1），求一次函数解析式题型三已知函数关系，求解析式例3已知y 与x －1成正比例，且x=2时y=6，求y 和x 之间的关系练已知y+2与x －3成正比例，且x=0时y=1，y=4时求x 的值拓y+1与z 成正比例，比例系数为2，z 与x －1成正比例，当x=－1，y=7，求y 与x 之间的函数关系 题型四 利用一次函数增减性求解析式例4一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是－5≤y ≤－2，求该一次函数的解析式练一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是2≤x ≤6，相应的函数值的取值范围是5≤y ≤9，求该一次函数的解析式题型五解析式与实际问题例5一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与x （小时）之间的函数关系如图所示，求y 与x 与的函数关系式。
练一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示。
（1）当0≦x ≦4时，求y 关于x 的函数关系式（2）当4≦x ≦12时，求y 关于x 的函数关系式（3）每分钟进水，出水各多少升？周末，小明骑自行车从家里出发到植物园，从家出发0.5小时后到达甲地，因自行车损坏修理一段时间后，按原速前往植物园，小明离家1小时20分后，妈妈驾车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x (h)的函数图象。
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1初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义6因式分解的高端 方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法3初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】 分解因式：⑴()()22353x x x x -----；⑵()()221212xx x x ++++-；⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+-()()22y y =-+()()2262x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =--223y y =-- ()()13y y =+-()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+-；⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+-212y y =+- ()()34y y =-+()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()228781515x x x x =+++++，设287x x y ++=，则原式()815y y =++()()281535y y y y =++=++()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】 分解因式：⑴()()()()461413119x x x x x ----+4初二秋季·第6讲·提高班·教师版⑵()()()()166********x x x x --+-+【解析】⑴原式()()22467112719x x x x x =-+-++，设2671x x t -+=， 原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+⑵原式()()()()()()226142624425241622416825x x x x x x x x =--+-+=-+--+ 设224162x x t -+=，原式()()()2221025524163t t t x x =-+=-=--基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.例如：因式分解：4231x x -+()()()4222222221111x x x x x x x x x =-+-=--=---+例题精讲思路导航题型二：拆、添项及配方法5初二秋季·第6讲·提高班·教师版【引例】 分解因式：32332a a a +++【解析】 解法一：原式()323311a a a =++++()3311a =++()()()211111a a a ⎡⎤=+++-++⎣⎦()()221a a a =+++．解法二：原式()()()322222a a a a a =+++++()()()2222a a a a a =+++++()()221a a a =+++．解法三：原式()()322222a a a a a =+++++()()22121a a a a a =+++++ ()()221a a a =+++．解法四：原式()()321333a a a =-+++()()()221131a a a a a =-+++++ ()()221a a a =+++．【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．【例3】 ⑴因式分解：若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A 0B 1-C 1D 3⑵若点P 的坐标()a b ，满足22221016=0a b a b ab ++++，求点P 的坐标．【解析】 ⑴43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++()()()()()()()()()()()()()()()()()43322222233432233222232222244444433321x x y x y x y x y xy x y xy xy y x x y x y x y xy x y xy x y y x y x x y x y xy xy y xy x x y xy x y y x y xy x xy y x y =+++++++++=+++++++++⎡⎤=-++++++⎣⎦⎡⎤=-++++++⎣⎦=++=+=故选C ．⑵原式2222=8162=0a b ab a b ab +++++典题精练6初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()22=4=0ab a b +++=4=0ab a b ∴-+，=2=2a b ∴-，或=2=2a b -，点P 的坐标为()22-，或()22-，【例4】 分解因式：⑴4224x x y y ++⑵224443x x y y --+- ⑶4322321x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式4224222x x y y x y =++-()()2222x y xy =+-()()2222x y xy x y xy =+++-⑵ 原式22(441)(44)x x y y =-+--+22(21)(2)x y =---(212)(212)x y x y =-+---+ (23)(21)x y x y =+--+⑶法一4322321x x x x ++++43222221x x x x x =+++++ 2[(1)]2(1)1x x x x =++++ 2[(1)1]x x =++22(1)x x =++法二4324323222321=1x x x x x x x x x x x x ++++++++++++()()()()222222=111=1x x x x x x x x x x ++++++++++【例5】 分解因式：⑴343115x x -+ ⑵32256x x x +-- ⑶32374x x +-⑷432433x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式343015x x x =--+()()()()()()()()2212115212121521253x x x x x x x x x x =+---=-+-=--+⑵ 原式()()32256x x x x =++--7初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()()()()()()()2216116132x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-⑶ 法一：原式()()322364x x x =++-()()()()()()()()2232222321232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法二：原式()()3223344x x x =++-()()()()()()()()223141113441232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法三：原式()()3223294x x x =-+-()()()()()()()()2232323232321232x x x x x x x x x x =-++-=-++=++-⑷法一：原式4322()(333)x x x x x =+++++22222(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x =+++++=+++法二：原式4232(3)(3)(3)x x x x x =+++++22(3)(1)x x x =+++【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：()2231b a x abx +-- 【解析】 原式=()()211ax ax bx -++．点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：323233332a a a b b b ++++++ 【解析】 原式=()()2221a b a ab b a b ++-++++．8初二秋季·第6讲·提高班·教师版点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解：462x +【解析】 原式=()()228484x x x x +++-点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.【备选例题】326116x x x +++【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式()()()()()()()()()3222556615161123x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为()()2156x x x +++，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】 矩形的周长28cm ，两边长为cm x 、cm y ，且32230x x y xy y +--=，求矩形的面积． 【解析】 由题得2()28x y +=，则14x y +=∵32230x x y xy y +--= ∴22()()0x x y y x y +-+= ∴22()()0x y x y +-=∴()()()0x y x y x y ++-= ∵14x y += ∴0x y -= ∴77x y ==， ∴49S xy ==矩例题精讲题型三：恒等变形9初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例6】 ⑴设2=3x z y +，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；⑵证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶已知：2x bx c ++（b 、c 为整数）是42625x x ++及4234285x x x +++的公因式，求b 、c 的值．【解析】 ⑴把222944x y z xz -++进行因式分解得：()()()2229=2323x z y x z y x z y +-+++-把2=3x z y +代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式()()223322n n n n ++=+-+()()22133122110352103102n n n nn n -=+-+=⨯-⨯=⨯-⨯∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶4242262510254x x x x x ++=++-()()()()22222522525x x x x x x =+-=++-+∵42625x x ++及4234285x x x +++有公因式 ∴()()422234285531x x x x mx x nx +++=++++ ∴30528n m m n +=⎧⎨+=⎩即26m n =-⎧⎨=⎩即()()42223428525361x x x x x x x +++=-+++∴42625x x ++及4234285x x x +++的公因式为225x x -+ 即2a =-，5b =．【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：()3322333a b a a b ab b ±=±+±222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 典题精练10 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【探究1】若0a b c ++=，3330a b c ++=，求证：2011201120110a b c ++=. 【解析】 由0a b c ++=可知33()a b c +=-，故有322333223333330a a b ab b c a a b ab b c +++=-⇒++++=． 又3330a b c ++=，故22330a b ab +=，即()0ab a b +=． 若0a =，则b c =-，2011201120110a b c ++=； 若0b =，同理有2011201120110a b c ++=；若0a b +=，则0c =，同理也有2011201120110a b c ++=．【探究2】已知3x y z ++=，且333(1)(1)(1)0x y z -+-+-=，求证,,x y z 中至少有一个为1. 【解析】 设1,1,1x a y b z c -=-=-=，则3330,0a b c a b c ++=++=.由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---可知，0abc = 故,,a b c 中至少有一个为0，即1,1,1x y z ---中至少有一个为0故,,x y z 中至少有一个为1.【备选例题】 设3x y z m ++=，求证：333()()()3()()()0m x m y m z m x m y m z -+-+-----=. 【解析】 原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,,m x a m y b m x c -=-=-=，则要证明的结论变为33330a b c abc ++-=，已知条件变为0a b c ++=. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为222()()a b c a b c ab bc ca ++++---，而0a b c ++=，故原式得证.【探究3】若1a b c ++=，2222a b c ++=，33383a b c ++=，求：①abc 的值；②444a b c ++的值.【解析】 ①由1a b c ++=可知，2222221a b c ab bc ca +++++=又2222a b c ++=，故12ab bc ca ++=-而222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-，故333532a b c abc ++-=． 又33383a b c ++=，故118abc =．②4442222222222222222()22242()a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=++---=-++， a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab +bc +ca )2-2ab 2c -2abc 2-2a 2bc =14-2abc (a +b +c ) 1152141836=-⨯⨯=， 从而可知，4445567424361818a b c ++=-⨯=-=．【例7】 阅读：把多项式2310x x --分解因式得()()231052x x x x --=-+，由此对于方程23100x x --=可以变形为()()520x x -+=，解得5x =或2x =-．观察多项式2310x x --的因式()5x -、()2x +，与方程23100x x --=的解5x =或2x =-之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =-是方程23100x x --=的解，那么()5x -、()2x +是多项式2310x x --的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式332x x -+．观察可知，当1x =时，332x x -+0=，则332x x -+()1x A =-，其中A 为整式，即()1x -是多项式332x x -+的一个因式，若要确定整式A ，则可用竖式除法．23232222103232222x x x x x x x x x x x x x x +--+⋅-+----+-+∴()()()()()()()232321211212x x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-+． 填空：⑴ 分解因式22x x --=___________⑵ 观察可知，当x = 时，32530x x x +-+=，可得 是多项式3253x x x +-+的一个因式．分解因式：3253x x x +-+= ；⑶ 已知：()321x mx x B +-=+，其中B 为整式，则分解因式：32x mx +-= ． （海淀期末）【解析】 ⑴ ()()12x x +-⑵ 1；()1x -；()()213x x -+ ⑶ ()()212x x +-【点评】 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.训练1. ⑴若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵求224243a b a b +--+的最值． （北大附中测试题）【解析】 ⑴ 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．⑵ 22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1．训练2. 计算9999991999n n n ⨯+个个个分析：可将1999n 个用100999n n +个个表示．【解析】 解法一：原式9999999991000n n n n =⨯++个个个个999(9991)10n n n =++个个10(9991)n n =+个210n =解法二：原式299929991n n =+⨯+个个2(9991)n =+个()210n =210n =备注：999101n n =-个是一种常用的变形．又如()13331013nn =-个．训练3. 因式分解42231x x -+【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a 岁和b 岁，并且2117a ab +=，试求王琼和王倩的年龄． 【解析】 ∵2117a ab +=∴()1173313a a b +==⨯⨯∵a 为王琼的年龄∴有实际情况得913a a b =+=， ∴94a b ==， ∴王琼9岁，王倩4岁．思维拓展训练(选讲)1099910n nn =⋅+个题型一 换元法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()223248390x x x x ++++- 【解析】 原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-，令2253x x y ++=，则 原式()190y y =--290y y =-- ()()910y y =+-()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．题型二 拆、添项及配方法 巩固练习【练习2】 分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【练习3】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=++-+-+题型三 恒等变形 巩固练习【练习4】 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】 由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-.复习巩固【练习5】 已知2a b +=，8a b ⋅=-，求()()()22a a b ab a b b a b +-+++的值． 【解析】 ∵2a b +=，8a b ⋅=-∴()222220a b a b ab +=+-=原式=()()()()222356a b a b ab a b a b ab ⎡⎤++-=++-=⎣⎦测1. 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=测2. 因式分解： 22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+-- (13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-测3. 因式分解22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 原式=2(1)(2)(5)x x x x -+++课后测第十五种品格：创新因地制宜日本有一支探险队，历尽千辛万苦来到南极。