快速评卷公平分配问题

快速评卷策略摘要本文针对像确定数学建模这种形式的比赛问题中的优胜者问题建立了相应的数学模型。

根据评卷过程中需要评阅的答卷数，竞赛资金、能够聘请的评阅人数和评阅时间等条件的限制，解决快速评卷的问题。

是确定一个评卷策略使每个人评阅答卷的数量尽量的小，并能够评出优胜者的模型，，所以此问题是优化问题。

对于此问题我们还应考虑模型的公平性。

首先，对于评卷流程我们选择了圆桌模型，即我们把所有人看成围在一个圆桌批阅，彼此是相互独立，互不影响的。

每个评阅人员在批阅之前，分别拿到随机均等的答卷，然后通过打分，再排序，淘汰排序下面的30%答卷，之后将答卷统一轮换，再给下一个人评阅，以此进行下去，直到每个人手中剩有2W 答卷后，采取分组评阅再淘汰，在淘汰的过程中我们并不是只考虑一个人的评分，而是将此卷被评阅的分数加权求平均作为新的分数，以减小评委们个人偏好产生的系统误差，这样就保证了公平。

我们的模型不仅基本可以保证了W 是从最优秀的2W 份中选出的，而且因为打分进行的排序的过程，对于选出的W 份优胜答卷也可以有一个排名，使得评卷过程就更完善。

评卷的过程评卷份数要尽量的小，于是我们建立目标函数为：1m in Jii Z P ==∑，对于公平性引入加权平均值：1122j j j j j ij ij x k x k x k x =+++ 。

选择100P =，8J =，3W =，借助计算机模拟1000次，每次随机产生100个服从正态分布N(70，100)的整数，按照圆桌模型的流程，求得总的最少批阅答卷份数为296份，平均每位评委批阅37份。

经过优化后的模型求得总的最少阅卷数为256，平均每位评委批阅32份.与理想情况（每个评阅人看所有的答案，并将它们一一排序，总共要阅800份试卷）相比，总共节约了544个单位阅卷时间，同比节约68%的时间。

关键词：公平 高效 圆桌模型1.问题重述1.1问题的背景为了了解学生掌握知识和运用知识的能力，培养学生的综合素质，相关部门组织了一系列大型的竞赛，这类竞赛带有选拔，淘汰的性质；目前，考前考中以做到了基本公平，但在阅卷过程中受人为因素，环境因素影响较大，因此在竞赛中如何做到在公平公正的前提下尽可能减少阅卷工作量是我们应该考虑的问题。

1.2问题的相关信息在确定大型竞赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说，有P=100份答卷。

一个由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，基于竞赛资金，能够聘请的评阅人数和评阅时间的限制，如果P=100，通常取J=8.理想的情况是每个评阅人看所有的答案，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。

另一种方法是进行一系列筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的的答卷。

为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选方法：如果答卷是排序的，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被淘汰；如果答卷没有排序，而是打分（比如说从1分到100分），则某个截止分数线以下的答卷被淘汰。

这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程，每个评阅人看的答卷总数要显著地小于P。

评阅过程直到剩下W份答卷时停止，这些就是优胜者。

当P=100通常取W=3。

1.3本文需要解决的问题利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选方法，按照这种方法，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷，例如，给出方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中，在所有满足上述要求的方法中，如何给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。

注意在打分时存在系统偏差的可能，因此如何在给出的方法中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化是需要我们的模型来解决的。

2.模型假设与符号说明2.1模型假设假设1：评阅人打分具有统一的评分标准。

假设2：对于淘汰后的答卷我们不在给予评阅。

假设3：批阅答卷彼此独立，互不讨论，避免主观因素影响。

假设4：每一组里每一份试卷的编号是随机的，等可能性的。

假设5：评阅人并不知道每一份试卷来自哪里。

假设6：评阅人有一定的评阅能力。

2.2符号说明3.问题分析在确定大型竞赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，对于评阅人来讲是一个很大的工作量，如果分配试卷的方法不够合理，会使工作量加重。

问题就是要求我们利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选方法，可以使批阅的答卷尽量的小。

但评阅答卷过程应该尽量的公平，而且评阅人在打分的时候存在系统的偏差。

接下来我们就讨论这两个方面分析，从而推导出评阅试卷的程序。

3.1批阅试卷数量的分析如果有P份答案，由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，由于受到竞赛资金、能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，我们在批阅答卷的时候不可能达到理想的情况，为了减少阅卷工作量，可以将答卷随机平均的分配给评阅人员，然后采用淘汰制将每位评阅人给出的排序中的排在最下面的30%答卷淘汰。

我们的排序可以用打分来实现，这样每次就可以减少一定数量批阅份数。

之后重复这样工作淘汰30%可以使答卷越来越少。

而对于淘汰的答卷我们就不予理会，这样会减少工作量。

题目中也要求在从P份答卷中选取W份的优胜答卷，应当来自于最好的2W份中，所以当每个阅卷人手中的试卷接近2W 份时，应当对答卷详细的打分，这时应该考虑W 的值来确定下一步执行方案，如果W 较小时，就应当让每个评委都打分，最后共同在将近2W J 份答卷内选出最优的W 份答卷；如果W 较大时，就要将评委随机分为4组，将2W J 份答卷随机平均的分到这4组中，然后让每个评委对组内的答卷评分，将组内每个老师的评分分别乘以ij k 再求和得每份试卷的加权分数，最后从中选出最优的W 份答卷。

3.2公平性的分析由于某些竞赛的开放性，每一个考生按照自己的思维所得到的答案，所以答卷并不统一，所以老师的主观因素对答卷的分数起很重要的作用。

还有每个老师在不同时候对同一份试卷也可能给出不同的分数，这也是我们不能忽视的因素。

这些系统误差和一些偶然误差都会导致不公平的发生，所以我们应该尽量减少这种不公平性的发生。

这就需要我们用一个方法，尽量是我们的阅卷做到公平。

最后在从将近2W J 份答卷内选出最优的W 份答卷时，我们也尽量的让优胜者是在尽量多的人都满意的情况下产生，这样我们既保证了优胜者是优秀的，被淘汰的答卷也是在公平的条件下被淘汰。

对于系统误差我们可以引入加权平均值来调节每个评阅人员的评分偏差，但是对于评语人员个人也存在偶然误差，因此我们应尽可能可虑各种偏差。

4.模型的建立与求解4.1目标函数的确定通过问题分析，评卷的主要时间用在阅卷上，若要快速阅卷则需要使在评阅试卷过程的工作量尽量的小，即所有人所评阅的答卷份数尽量的少，因此我们可以建立目标函数：1m in Jii Z P ==∑ 其中，Z 为所有评阅人批阅的所有答卷，J 是本次评阅答卷所聘请的评阅人员数量，i P 是第i 个评阅人评阅答卷的总份数。

4.2快速评卷的流程模型问题分析中已经说明，在选择评卷流程的时候应尽量减少除评卷外所用的时间，这样就可以使更多的时间用在评阅答卷上，因此我们选择圆桌模型来分发答卷。

我们可以假设所有的评阅人员都围着圆桌评卷。

这样既可以节省时间，也可以避免由于随机分配答卷导致评阅人多次评阅同一份答卷的问题。

接下来将每个流程依次说明。

4.2.1第一轮筛选根据给出的P 、J 、W ，我们先将P 份答卷随机的尽量均匀的分配给J 个人，则每个评阅人员得到/P J 份答卷，然后每个人独立的对自己手中的答卷进行打分，打分结束后，按所打的分数对手中的试卷进行排序，并按制定的淘汰规则将手中排在最下面的a 份淘汰，剩下的所有答卷1(1)n a P =-应大于2W J ，否则就不进行淘汰。

剩下的答卷每个人独立保存，接下来进行下一轮筛选。

4.2.2第二轮筛选到第1n -轮筛选筛选的原则还是每个评阅过答卷分数的加权平均值作为新的分数进行排序淘汰。

直到每个人手中的答卷接近2W 份答卷，则停止轮换筛选。

此时剩下来的所有答卷11(1)n n n a P --=-份。

4.2.3第n 轮筛选现在每个人手中只剩下将近2W 份答卷。

而这些答卷已是很优秀了，由于评委的主观因素，每个人对优秀的定义不同，这时还不存在绝对的排序。

我们依然需要从近2W J 中选出最优秀的W 份答卷。

，剩下的答卷我们应该尽量的让每个人评阅直到剩下W 份答卷。

若此时n J >=，则在等于J 时停止淘汰，而直接从这些答卷中选出W 份。

4.3公平性的保证为了保证评卷过程的公平，我们主要从两个方面考虑：1.由于每个人评阅答卷的主观因素不同，即系统误差对同一答卷所给的分数不同，所以我们引入加权平均值，来权衡每个人对同一答卷的分数。

ij ij j j x k x k ⋯+=11j x其中，ij x 为第i 个评阅人对第j 份答卷所给的分数，ij k 为系数，j x 就是加权后的平均值。

系数的确定是由评委的偏好决定的。

在开始的阶段由于一份答卷不会被多人批改，权值对系统误差的影响较小，但随着答卷被多人批改则其影响随之较大，能有效地减小系统误差。

引入平均值就可以使答卷的分数符合大多数人的分数，就可以做到公平。

2.在每人手中答卷剩余2W 份后停止轮换淘汰，而没有使所有的答卷剩余2W 份。

由于每个人手中的答卷是随机分配的，所有优秀答卷的比例分布我们并不知道，所以剩余2W J 份答卷，进行详细批阅，这就保证了W 份优胜答卷完全是从2W 份答卷中选取的。

4.4模型的求解借助计算机随机产生100个服从正态分布N(70，100)整数，按照100P =，8J =，3W =的原则，模拟1000次，并且按照圆桌模型流程得到计算机模拟流程，最后得到批阅答卷份数最少。

图一：计算机模拟流程图4.5结果分析模型中我们选择圆桌模型可以节省除批阅以外的时间，但是本题并没有说明每份答卷批阅时间的规定，所以模型节省时间的优势并没有完全在此题中体现出来。

此题借助计算机随机产生数据模拟求解评卷的总份数是296份。

批阅的份数表面上可能有些多，主要是我们模型中留下分组批改答卷的份数较多，也就是我们模型中评出的优胜W份答卷完全是从最优秀的2W选取的，没有使优秀的论文因为圆桌的轮换筛选所淘汰，所以得到最后的结果为296份答卷是深度考虑公平性下求得的，是合理的。

6.模型的评价6.1模型的优点和缺点1.模型中在粗略淘汰的过程中，采用圆桌轮换淘汰的方法容易可行性高，而且节省了批阅的时间。

2.模型考虑对公平的概念，引入加权平均值的算法，使每个评阅人员对一份答卷的不同评分得到统一的标准，保证了评阅的公平性。

3.模型运用计算机随机产生正态分布的数据，随机产生得到数据准确，而且可以接受。

4.得到数据之后，我们对结果进行了检验，保证结果的正确性。

6.2模型的缺点1.我们在随机选取数据时是相对于100W=的情况下，求得结果。