五年级数学奥数：最大公因数
人教版五年级下册奥数专讲：最大公因数(教案)
4.创新思维：在探索最大公因数的过程中，学生将被鼓励提出新的思路和方法，培养学生的创新思维能力。
学情分析
五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因数和倍数的概念有了初步的了解。他们在四年级学习了简单的乘法和除法，对人教版教材中的奥数题目也已经有所接触。因此，他们在知识层次上具备了一定的数学素养，能够理解并运用基本的数学概念和运算规则。
（1）题目：求出下列各组数的最大公因数：
a. 60和80
b. 90和120
（2）答案：a.最大公因数是10。
b.最大公因数是30。
5.最大公因数与最小公倍数的联系
（1）题目：求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
a. 12和18
b. 24和36
（2）答案：a.最大公因数是6，最小公倍数是36。
b.最大公因数是12，最小公倍数是72。
（3）案例分析法：教师通过呈现具体的案例，让学生分析和思考，引导学生运用最大公因数的概念和求解方法解决问题。例如，教师可以给出一些实际问题，让学生运用最大公因数的方法进行解答，从而加深学生对知识的理解和应用。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师可以利用多媒体设备，如PPT、视频等，进行教学展示，生动形象地呈现最大公因数的概念和实例，吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣。
此外，我也发现部分学生在小组讨论中表现得不够积极，他们的观点和想法没有得到充分的表达。为了提高学生的参与度，我可以在未来的教学中尝试采用更多的互动式教学方法，如让学生进行角色扮演、进行小组竞赛等，激发他们的学习兴趣和主动性。
重点题型整理
1.最大公因数的求解
五年级奥数第24讲——最大公因数与最小公倍数
学生课程讲义最大公因数与最小公倍数是小学数学的基本内容，求几个数的最大公因数或最小公倍数的基本方法有因数分解法、短除法、辗转相除法等，在课外活动及竞赛中经常出现这两个概念及用其求解方法处理的问题，a1，a2,...an这n个数的最大公因数用记号（a1，a2,...an）表示，最小公倍数用[a1，a2,...an]表示。
【例1】求2520，14850，819的最大公因数和最小公倍数。
随堂练习1求35，98，112的最大公因数和最小公倍数，（用因数分解法）【例2】求36，108，126的最大公因数和最小公倍数。
随堂练习2求403，527，713的最大公因数和最小公倍数。
【例3】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长（）米。
随堂练习3甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【例4】a=36,b=54，证明（a,b）×[a,b]=a×b随堂练习4设a=108，b=720,验证：（a,b）×[a,b]=a×b 【例5】现有4个不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么，这4个数的公因数最大是（）随堂练习5有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公因数，那么这些最大公因数最大值是多少？【例6】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以。
奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案
数的整除(3)最大公因数、最小公倍数教室 _______ 姓名 _________ 学号 _________【知识要点】1、儿个数公有的因数，叫做这儿个数的公因数；其中最大的一个叫做这儿个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作(a, b)o2、儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数；其中最小的一个叫做这儿个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作[a, b]o3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：(1)(a, b) X [a, b] =aXb：(2)若a>b,则a-b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
(3)a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.中数是24,甲、乙两数的最小公倍数是168,最大公因数是4,求乙数。
解：由性质(1)得到乙数二168X4一24 = 28・例2•将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边氏应是长方形的长和宽的公因数，乂要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
(90, 42)二6.至少能剪90 X424- (6X6) =105 (块)•例3.马鹏和李虎计算屮、乙两个自然数的乘积，马鹏把屮数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11,而11是质数，所以乙数是11, 乂473=43 XII, 407 = 37X 11,所以屮数是47,甲乙两数的乘积应为：47X11=517 或1X477=477.例4•有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2. 3、4、5、6、7 的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数加上1. [2, 3, 4, 5, 6, 7] =420, 最小数是：420+1=421。
(完整word版)五年级奥数-最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。
包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。
如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。
最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)
最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：求18 和24 的最大公因数。
答案：6。
通过分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3，所以最大公因数是2×3 = 6。
题目2：求30 和45 的最大公因数。
答案：15。
30 = 2×3×5，45 = 3×3×5，最大公因数是3×5 = 15。
题目3：已知两个数的积是120，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答案：12 和10。
因为最大公因数是6，设这两个数分别为6a 和6b（a、b 互质），则6a ×6b = 120，ab = 10，所以a = 2，b = 5 或 a = 5，b = 2，这两个数为12 和10。
题目4：求48 和64 的最大公因数。
答案：16。
48 = 2×2×2×2×3，64 = 2×2×2×2×2×2，最大公因数是2×2×2×2 = 16。
题目5：求25 和35 的最大公因数。
答案：5。
25 = 5×5，35 = 5×7，最大公因数是5。
题目6：两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，其中一个数是18，求另一个数。
答案：45。
因为最小公倍数×最大公因数= 两数之积，所以另一个数= 90×9÷18 = 45。
题目7：求56 和70 的最大公因数。
答案：14。
56 = 2×2×2×7，70 = 2×5×7，最大公因数是2×7 = 14。
题目8：已知两个数的最大公因数是4，它们的和是20，求这两个数。
答案：12 和8 。
设这两个数分别为4a 和4b（a、b 互质），4a + 4b = 20，a + b = 5，所以a = 1，b = 4 或a = 4，b = 1，这两个数为12 和8。
五年级奥数-最大公因和最小公倍数
课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：（最大公因数）几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。
我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。
求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。
例1 求下面每组数的最大公因数。
45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。
问：小正方形的面积最大是多少？2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。
、，正方体的棱长最大是多少分米？3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。
现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。
问：一共栽多少株菊花？5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？甲48米 72米乙 54米丙专题简析2：（最小公倍数）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。
两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。
小学五年级数学思维训练（奥数）《最大公因数》专题训练（含答案）
小学五年级数学思维训练（奥数）《最大公因数》专题训练（含答案）最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。
课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。
本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数可以记作（a，b）。
例1用短除法求36和54的最大公因数。
分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数，短除法的形式如下：2 36 54 ……先同时除以公因数2；3 18 27 ……再同时除以公因数3；3 6 9 ……再同时除以公因数3；2 3 ……除到两个商为互质数为止。
把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数，即（36,54）=2×3×3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。
例2求45、60、90这三个数的最大公因数。
分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数。
方法1：可以用列举法。
45的因数有：1，3，4，5，9，15，45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。
345 60 90 ……先同时除以公因数3；5 15 20 30 ……再同时除以公因数5；3 4 6 ……除到三个商只有公因数1为止。
把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3×5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。
例3求319和377的最大公因数。
分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377÷319=1 (58)上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319÷58=5 (29)上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58÷29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。
五年级数学奥数：最大公因数
• 【举一反三4】
• 1、一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路 边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植 一棵树，那么两树间的距离最多有多少米？
• 【举一反三4】
• 2、有336只铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具最多可以分成多 少份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
• 【举一反三2】
• 2、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组， 并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
• 【举一反三2】
• 3、有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它 们截成同样长的小段，且不许有剩余，每段最长可以是多少厘米？
答：有4种裁法，最大的正方形可以裁20块。
• 【举一反三1】
• 1、把一张135厘米场，105宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且无 剩余，至少能裁多少块？
• 【举一反三1】
• 2、一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩 余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
• 【举一反三1】
• 3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。问小 正方形的面积最大是多少？
• 【王牌例题2】
• 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等 的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
• 【思路导航】 • 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米，要把长方体切成大小
五年级奥数
课本对应点
最大公因数（约数）
• 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几 个数的最大公因数。我们可以吧自然数a，b的最大公因数记作（a，b）， 如果（a，b）=1，则a和b互质。
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• 【举一反三3】 • 1、一个数除425余5，除500少4，除300余6，这个数最大是多少？
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• 【举一反三3】
• 2、如果把110本练习本平均分给五（1）班同学，则多5本；如果把210本练 习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这班同 学，还少5本，五（1）班最多有多少名同学？
五年级奥数
课本对应点
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1
最大公因数（约数）
• 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几 个数的最大公因数。我们可以吧自然数a，b的最大公因数记作（a，b）， 如果（a，b）=1，则a和b互质。
• 求几个数的最大公因数的方法：分解质因数法、短除法
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2
• 王牌例题1
• 一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米现在要把它刚好在成一些正方形，并 且正方形边长为整厘米数，有几种栽法？如果要使裁得的正方形面积最大， 可以裁多少块？
答：有4种裁法，最大的正方形可以裁20块。
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4
•【举一反三1】
•1、把一张135厘米场，105宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且无 剩余，至少能裁多少块？
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5
பைடு நூலகம்
• 【举一反三1】
• 2、一块长45厘米，宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩 余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
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18
• 【思路导航】
• 由于甲、乙，乙、丙的两村中点各要种上一棵树，所以要将
• 3长6度0÷最2长=1。8（因米为）（，67657,356÷02）==34357，12 （而米18）0=平36均0÷分2成，若3干37段1 ，=并67且5÷使2每，段所的以，
1
• 45÷2=22 2
2
（米），即相邻两棵树之间距离最多是22 1 米。
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6
• 【举一反三1】
• 3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。问小 正方形的面积最大是多少？
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• 【王牌例题2】
• 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等 的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
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8
•【思路导航】 •2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米，要把长方体切成大小 相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数现要 求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。
2
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•【举一反三4】
•1、一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路 边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一 棵树，那么两树间的距离最多有多少米？
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• 【举一反三4】
• 2、有336只铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具最多可以分成多 少份同样的礼物，在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
（270,18,15）=3 3厘米=0.3分米
答：正方体的棱长最大是0.3分米。
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• 【举一反三2】
• 1、一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米。要把它切成大小 相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
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10
• 【举一反三2】
• 2、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组， 并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
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16
• 【举一反三3】
• 3、一个数，除以410时余5，除以242时少1，除550时余10，这个数最大是 多少？
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• 【王牌例题4】
• 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距360米，乙、丙两村 相距675米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、 乙两村的中点都要种上数，求相邻两棵树之间的距离是多少？
第二步：469÷134，余67
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能 剪（1072÷67）×（469÷67）=112（个）正方形。即这些正方形的边长最 大是67毫米。
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• 上面求两个数的最大公约数的方法叫“辗转相除”法，上面的方法可以写成这 样：
1072 469 2
3
938 402
134 67 2 134
0
• 所以，（1072,469）=67
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• 【举一反三5】 • 1、用辗转相除法求568和1065的最大公约数。 • 2、试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。 • 3、判断 11111 是不是最简分数。
15015
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26
谢谢观看
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27
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11
• 【举一反三2】
• 3、有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它 们截成同样长的小段，且不许有剩余，每段最长可以是多少厘米？
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12
• 【王牌例题3】 • 一个数除200余4，除300余6，除500余10.求这个数最大是多少？
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13
•【思路导航】 •一个数除200余4可以转化为196能被某一个数整除，另外两个条件可以转化 为：294和490都被那个数整除。求这个数最大是多少，也就是求196,294和 490的最大公因数是多少。
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21
• 【举一反三4】
• 3、甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多 少？
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22
• 【王牌例题5】
• 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且 最后没有剩余。这些正方形的边长最长是多少？
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23
•【思路导航】 但这道题中，长和宽的数比较大，最大公因数比较难求出。这里在介绍一种 求两个数的最大公约数的方法。 第一步：1072÷469，余134
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•【思路导航】
•6分米=60厘米，因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米， 所以边长是75和60的公约数，75和60的公约数有1，3 ，5，15，所以有4种 裁法.
•如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约 数15作为正方形的边长。所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20（块）