【步步高 通用(理)】2014届高三二轮专题突破 专题一 第2讲
【步步高 通用(理)】2014届高三二轮专题突破 专题四 第2讲
热点分类突破
专题四 第2讲
(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂 直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平
∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC⊂平面EMC， ∴EC∥平面PAB.
本 讲 栏 目 开 关
专题四 第2讲
方法二
如图，延长DC、AB，
设它们交于点N，连接PN. ∵∠NAC＝∠DAC＝60° ， AC⊥CD，∴C为ND的中点． ∵E为PD的中点，∴EC∥PN. ∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB.
答案 (1)D
(2)D
热点分类突破
考点二 线线、线面的位置关系
专题四 第2讲
例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC ＝∠ACD＝90° ，∠BAC＝∠CAD＝60° ， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝
本 讲 栏 目 开 关
2AB. (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：EC∥平面PAB.
本 连接EM，CM. 讲 栏 目 则EM∥PA. 开 ∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， 关
∴EM∥平面PAB. 在Rt△ACD中，∠CAD＝60° ，MC＝AM， ∴∠ACM＝60° .而∠BAC＝60° ，∴MC∥AB. ∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
热点分类突破
∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，
热点分类突破
确的是 C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
本 讲 栏 目 开 关
专题四 第2讲
( D．若l∥α，m∥α，则l∥m )
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正 A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
解析 (1)对于A，直线l1与l3可能异面、相交； 对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；
【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题一 第一讲
专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案 C解析 如图，△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则S △ADES △ABC＝⎝⎛⎭⎫40－y 402＝⎝⎛⎭⎫x 402，所以y ＝40－x ，由题意知xy ≥300，即x (40－ x )≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解不等式得10≤x ≤30.2． (2012·课标全国)设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2D ．2(1＋ln 2)答案 B解析 由题意知函数y ＝12e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离的2倍，设y ＝12e x 上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴y ＝x 与y ＝12e x 上点的最小距离是22(1－ln 2)，∴所求距离为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．3． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 答案 A解析 当0<a ≤b 时，显然e a ≤e b ，且2a ≤2b <3b ， ∴e a ＋2a <e b ＋3b ，即e a ＋2a ≠e b ＋3b 成立， 所以它的逆否命题：若e a ＋2a ＝e b ＋3b ， 则a >b 成立，故A 正确，B 错误； 当0<a ≤b ，由e a ≤e b ，2a <3b ， 知e a －2a 与e b －3b 的大小关系不确定， 故C 错误；同理，D 错误．4． (2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n ＋1－2.5． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 (1)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22(2)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．审题破题 (1)由题意可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，因此该问题可转化为：求x 为何值时，函数F (x )＝x 2－ln x 取得最小值．(2)由ab ＝a ＋b ＋3变形可得b ＝a ＋3a －1，从而求ab ＝a (a ＋3)a －1的取值范围问题可转化为求函数f (a )＝a (a ＋3)a －1的值域问题；若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，从而a ，b 可看成方程x 2－(t－3)x ＋t ＝0的两根，利用方程的思想解决． 答案 (1)D (2)[9，＋∞)解析 (1)可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x .令F (x )＝x 2－ln x ，则F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以当0<x <22时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >22时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，故当x ＝22时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小．(2)方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1.而b >0，∴a ＋3a －1>0.即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号．∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(t －3)2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3>0，ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t >3，t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．反思归纳 (1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 答案 B解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1 (x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1 (x 0≥3)，因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．审题破题 可分离变量为a ＝－cos 2x ＋sin x ，转化为确定的相关函数的值域．解 方法一 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解．∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值范围是(－1,1]． 反思归纳 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．解 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3k －1)＝0；(*) 要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0，t 1·t 2＝3k －1>0，t 1＋t 2＝2>0，解得13<k ≤23.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，23. 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．审题破题 本题可先求出m 的范围，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立可转化为函数g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2的值恒大于0.解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3， 问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0. 解得x >2或x <－1.反思归纳 在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D ．(－∞，2)答案 C解析 原不等式即(x －1)m －(2x －1)<0，设f (m )＝(x －1)m －(2x －1)，则问题转化为求一次函数f (m )的值在区间[－2,2]内恒为负时应满足的条件， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)<0，f (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)－(2x －1)<0，－2(x －1)－(2x －1)<0，解得x >34.题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n <1.审题破题 可将T n 看作关于自然数n 的函数，通过函数的单调性来证明不等式． (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋4－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5. ∵a 1＝1不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12n －5， n ≥2.(2)证明 由题意知b n ＝a n2n ＝⎩⎨⎧12， n ＝12n －52n， n ≥2.当n ＝1时，T 1＝12，当n ≥2时，T n ＝12＋－122＋123＋…＋2n －52n ，① 12T n ＝122＋－123＋124＋…＋2n －72n ＋2n －52n ＋1，②①－②得：12T n ＝12－222＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n －2n －52n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －2－2n －52n ＋1， ∴T n ＝1－2n －12n (n ≥2)，当n ＝1时也适合上式．故T n ＝1－2n －12n (n ∈N *)．∵2n －12n >0 (n ∈N *)，∴T n <1.当n ≥2时，T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎫1－2n －12n ＝2n －32n ＋1>0，∴T n <T n ＋1 (n ≥2)． ∵T 1＝12，T 2＝1－34＝14，∴T 2<T 1.故T n ≥T 2，即T n ≥14(n ∈N *)．综上，14≤T n <1 (n ∈N *)．反思归纳 (1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决． 变式训练4 (2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分] 由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒 (1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN ＝12·|AT |·|y 1－y 2|，大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 3答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤3x 3＝27或⎩⎪⎨⎪⎧x >3x 2＝27，解得x ＝3或3 3.2． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.3． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]． 当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为( )A ．－1B ．1C.23D ．－23答案 D解析 由题设，得a 1＝f (1)－c ＝13－c ；a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29；a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227，又数列{a n }是等比数列，∴⎝⎛⎭⎫－292＝⎝⎛⎭⎫13－c ×⎝⎛⎭⎫－227，∴c ＝1. 又∵公比q ＝a 3a 2＝13，所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *. 因此，数列{a n }是递增数列， ∴n ＝1时，a n 有最小值a 1＝－23.5． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 x 2＋px >4x ＋p －3对于0≤p ≤4恒成立可以变形为x 2－4x ＋3＋p (x －1)>0对于0≤p ≤4恒成立，所以一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3在区间[0,4]上的最小值大于0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0x 2－1>0， 所以x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6． 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________． 答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数． 又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(草图如图所示)．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设φ(x )＝f (x )－(2x ＋4)，则φ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴φ(x )在R 上为增函数， 又φ(－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴由φ(x )>0可得x >－1.故f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)答案 D解析 由题意得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x 2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e －22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)，选D.3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得． 由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确； 当x 是有理数时，－x 也是有理数， 且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )， 当x 是无理数时，－x 也是无理数， 且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )， 故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝1＝D (x )， 当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝4a 1＋a 3. ∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0.∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15.5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.6． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)答案 B解析 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 C解析 易知f (x )为奇函数且为增函数， f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1.8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}答案 A解析 ax －1x ＋b>0⇔(ax －1)(x ＋b )>0，转化为x 1＝－1，x 2＝2是方程(ax －1)(x ＋b )＝0的两个根(且a <0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧(－a －1)(－1＋b )＝0(2a －1)(2＋b )＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，∴bx ＋1ax ＋1＝－2x ＋1－x ＋1<0⇒12<x <1.故选A.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,2) 解析 令f (x )＝(2－2－|x －2|)2.要使f (x )＝2＋a 有实根， 只需2＋a 是f (x )的值域内的值． ∵f (x )的值域为[1,4)， ∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．答案 (－∞，14]解析 圆心坐标为(－1,2)，因为圆关于直线对称， 所以－2a －2b ＋2＝0即a ＋b －1＝0，∴ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14≤14.11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 答案 15 3解析 由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4. 由一个内角为120°知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10.∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 λ＞－3解析 由{a n }是递增数列，得a n ＜a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn ＜(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，整理得λ＞－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ＞－3. 三、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值． 解 依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ， 整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，①∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1＝(3a －1)·(－a －1)>0，∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a.设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1 ＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.14．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0. 所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.。
步步高2014版通用高考英语大二轮复习考前冲刺卷(二)(含答案解析)
考前冲刺卷(二)第Ⅰ卷第一部分听力(略)第二部分英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分)从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
21．He wants to see ________ much stronger China within ________ rest of his life.A．/；a B．a；/C．the；a D．a；the答案 D解析本题考查冠词。
句意为：他想在有生之年看到一个更加强大的中国。
a much stronger China指一个更加强大的中国；the rest固定用法，表示剩下的人(物)，应用the。
22．—$100，but that is my last offer.—________A．Good idea! B．What did you say?C．Oh，it’s up to you! D．OK，it’s a deal.答案 D解析考查情景交际。
这类题目要求学生理解交际发生的场景和说话人的意图、目的，此题情景为购物砍价，最终成交，所以选D项。
23．Hardly ________ when the flood peak arrived.A．they had left their villageB．they left their villageC．did they leave their villageD．had they left their village答案 D解析否定副词hardly放于句首构成倒装句。
句意为：他们刚离开他们的村庄，洪峰就来到了。
24．—What’s the price of petrol these days?—It ________ frequently since last year.A．is arisen B．increasedC．has been rising D．has raised答案 C解析考查动词时态。
【步步高·广东专用】2014高考物理二轮【配套课件】专题突破专题二 第2课时
本 课 时 栏 目 开 关
热点题型例析
a＝2 m/s2，μ＝0.4 (2)在 F 作用的时间内，导体杆的位移为 1 2 s＝ at ＝4 m 2
本 课 时 栏 目 开 关
专题二 第2课时
在时间 t 内的平均感应电动势 ΔΦ Bls E＝ ＝ t Δt 平均电流为 Bls I＝ tR＋r 通过电阻 R 的电荷量 Bls q＝ I t＝ R＋ r 代入数据得 q＝2 C
热点题型例析
(1)细线剪断瞬间，导轨 abcd 运动的加速度； (2)导轨 abcd 运动的最大速度；
专题二 第2课时
(3)若导轨从开始运动到最大速度的过程中，流过金属棒 EF
本 课 时 栏 目 开 关
的电量 q＝5 C，则在此过程中，系统损失的机械能是多少？ 解析 (1)细线剪断瞬间，对导轨应用牛顿第二定律：
答案 D
热点题型例析
题型 3 电磁感应中的动力学问题分析
专题二 第2课时
例 3 如图 4 甲所示，一对足够长的平行粗糙导轨固定在水平面 上，两导轨间距 l＝ 1 m，左端用 R＝3 Ω 的电阻连接，导轨的 电阻忽略不计．一根质量 m＝ 0.5 kg、电阻 r＝ 1 Ω 的导体杆静 止置于两导轨上，并与两导轨垂直．整个装置处于磁感应强度
热点题型例析
解析
专题二 第2课时
小球所受电场力方向是向上的，但不知道小球带电的
本 课 时 栏 目 开 关
电性，所以不能判断电场的方向，故 A 错误； 1 2 加电场时小球的位移为 s＝2gt ，速度 v＝gt，设受到的电场 F－mg 力为 F，则加上电场后的加速度大小 a＝ m ，从加电场到 1 2 回到 A 的过程中－s＝vt－ at ，以上几式联立可得 F＝4mg， 2
2014步步高二轮复习解析
[考纲要求] 1.了解元素、核素和同位素的含义。
2.了解原子构成；了解原子序数、核电荷数、质子数、中子数、核外电子数以及它们之间的相互关系；了解原子、离子等概念的含义。
3.了解原子核外电子排布。
4.掌握元素周期律的实质；了解元素周期表(长式)的结构(周期、族)及其应用。
5.以第三周期为例，掌握同一周期内元素性质的递变规律与原子结构的关系。
6.以ⅠA和ⅦA族为例，掌握同一主族内元素性质的递变规律与原子结构的关系。
7.了解金属、非金属在周期表中的位置及其性质递变的规律。
8.了解化学键的定义；了解离子键、共价键的形成。
9.了解物质的组成、结构和性质的关系。
10以上各部分知识的综合应用。
考点一微粒结构和化学键原子结构、离子结构、物质结构的核心内容，同样也是高考的重要考点。
复习时，注意掌握常用规律，提高解题能力；重视知识迁移、规范化学用语。
根据考纲，应从以下四个方面掌握。
1．突破原子组成的两大关系(1)构成原子的微粒之间存在两个等量关系原子由原子核和核外电子组成，其中原子核带正电荷，核外电子带负电荷，原子核由质子和中子组成；由于中子不带电，原子呈电中性，所以原子的核电荷数＝核内质子数＝核外电子数；原子结构中的核电荷数(Z)决定了元素的种类，而质子数与中子数之和决定了原子质量的相对大小，即质量数(A)＝质子数(Z)＋中子数(N)。
(2)一个信息丰富的符号，如过氧根离子：2．辨析核素、同位素、同素异形体、同分异构体等概念(1)核素、同位素的正确理解①同种元素，可以有若干种不同的核素，即核素种数远大于元素种数。
②核电荷数相同的不同核素，虽然它们的中子数不同，但是属于同一种元素。
③同位素是同一元素不同原子的互相称谓，不指具体原子。
④同一元素的不同同位素原子其质量数不同，核外电子层结构相同，其原子、单质及其构成的化合物的化学性质几乎完全相同，只是某些物理性质略有差异。
(2)辨析同位素、同素异形体、同分异构体、同系物10电子体和18电子体是元素推断题的重要突破口。
【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题五 第二讲
第二讲 空间点、直线、平面的位置关系1．点、线、面的位置关系(1)公理1 ∵A ∈α，B ∈α，∴AB ⊂α.(2)公理2 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴A ，B ，C 确定一个平面． (3)公理3 ∵P ∈α，且P ∈β，∴α∩β＝l ，且P ∈l . 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． (4)公理4 ∵a ∥c ，b ∥c ，∴a ∥b . (5)等角定理 ∵OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1， ∴∠AOB ＝∠A 1O 1B 1或∠AOB ＋∠A 1O 1B 1＝180°. 2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 ∵a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，∴a ∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，∴a ∥b .(3)面面平行的判定定理 ∵a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b . 3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 ∵m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ，∴l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a ⊥α，b ⊥α，∴a ∥b . (3)面面垂直的判定定理 ∵a ⊂β，a ⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ，∴a ⊥β. 4．异面直线所成的角 (1)定义．(2)范围：θ∈(0，π2]．(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角． 5．直线与平面所成的角 (1)定义．(2)范围：θ∈[0，π2]．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．6．二面角 (1)定义．(2)范围：θ∈[0，π]． (3)找二面角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． 垂线法是最重要的方法，具体步骤如下： ①弄清该二面角及它的棱．②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)． ③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 答案 D解析 A 中，m 与n 可垂直、可异面、可平行；B 中m 与n 可平行、可异面；C 中若α∥β，仍然满足m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，故C 错误；故D 正确．3． (2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴V ABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α. 又∵a ⊂α，∴b ⊥a .∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件． 而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a . 而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件，故选A.5． (2013·浙江)在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直．在其中一个平面α上取一点P .则PQ 1≠PQ 2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.题型一 空间点、线、面的位置关系例1 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．审题破题 可以画出四面体ABCD 的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤解析 若AB 与CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对；若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；设垂足为O ，过O 作OE ⊥CD 于E ，连接AE ，则OE <AE .∴S △COD ＝12CD ·OE <S △ACD＝12CD ·AE . 同理可得S △ABD >S △BOD ，S △ABC >S △BOC ， ∴S △ACD ＋S △ABC ＋S △ABD >S △BCD .故④对．如图，点E 、F 、G 、H 、M 、N 为各边中点，这样可得到▱EFGH 和 ▱ENGM 它们的对角线EG 和FH 互相平分，EG 和MN 也互相平分． 因此，三条线段EG ，FH ，MN 交于一点，故⑤对．反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m ，n ，l 和平面α、β的四个命题：①m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②l 、m 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中假命题的序号是__________． 答案 ④解析 命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l 、m 分别作平面γ、δ交平面α于l ′，n ′，易知n ⊥l ′，n ⊥m ′且m ′，n ′相交，故n ⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l ，m 可以平行、相交，也可以异面．(2)若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________． ①过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行；②过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直；③过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交；④过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面．答案①③④解析可以利用模型进行判断．题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．(1)证明∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵EG、GF都在平面EFG内且相交，∴平面EFG∥平面PMA.(2)证明由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(3)解∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2.∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，∴DA即为点P到平面MAB的距离，∴V P－MAB∶V P－ABCD＝13S△MAB·DA∶13S正方形ABCD·PD＝S △MAB ∶S 正方形ABCD ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别为CD 、PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)平面P AD ∩平面ABCD ＝AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AD . ∴P A ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， ∴AB ∥DE ，且AB ＝DE .∴ABED 为平行四边形．∴BE ∥AD . 又∵BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(3)∵AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形． ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD ，则P A ⊥CD ， ∴CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD ， 又E 、F 分别为CD 、CP 的中点， ∴EF ∥PD ，故CD ⊥EF .由EF ，BE 在平面BEF 内，且EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF . ∴平面BEF ⊥平面PCD .题型三 空间线面关系的综合问题例3 如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .审题破题 (1)通过线面垂直证明线线垂直．(2)这是一道探索性问题，先确定点N 的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN ∥平面DAE 成立． (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∵AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF ，∵BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE . ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．反思归纳 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3 (2013·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°.G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PGGC 的值．(1)证明 设点O 为AC 、BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，且AC ∩P A ＝A . 所以BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ， 所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．由题意得OG ＝12P A ＝32.在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. 所以OC ＝12AC ＝ 3.在Rt △OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2.在Rt △OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝433.所以DG 与平面APC 所成角的正切值为433.(3)解 连接OG .因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥OG .在Rt △P AC 中，得PC ＝15.所以GC ＝AC ·OC PC ＝2155.从而PG ＝3155，所以PG GC ＝32.典例 (12分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′－PBCD 的体积最大时，求P A 的长．(2)若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 规范解答(1)解 令P A ＝x (0<x <2)，则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x .因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故A ′P ⊥平面PBCD .所以V A ′－PBCD ＝13Sh＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)． 令f (x )＝16(4x －x 3)，[4分] 由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233(负值舍去)．[5分]当x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．[7分]所以当x ＝233时，f (x )取得最大值．故当V A ′－PBCD 最大时，P A ＝233.[8分](2)证明 设F 为A ′B 的中点，如图所示，连接PF ，FE ，则有EF 綊12BC ，PD 綊12BC . [10分]所以EF 綊PD .所以四边形EFPD 为平行四边形．所以DE ∥PF . 又A ′P ＝PB ，所以PF ⊥A ′B ，故DE ⊥A ′B .[12分]评分细则 (1)从已知条件得到A ′P ⊥平面PBCD ，得2分；(2)f (x )的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分． 阅卷老师提醒 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；③若a∥b，b∥M，则a∥M；④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是() A．①③B．②③C．①④D．②④答案 C解析②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.3．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直答案 C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的有________．答案②③解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．专题限时规范训练一、选择题1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 D解析由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是() A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β答案 D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.3．下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 D解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于() A．60°B．90°C．30°D．随点E的位置而变化答案 B解析在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，所以A1D⊥面AD1C1B，又C1E⊂面AD1C1B，故A1D⊥C1E.故选B.5．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F－HC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台答案 D解析 A 中，∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥BC ， ∴EH ∥平面BCC 1B 1.又过EH 的平面EFGH 与平面BCC 1B 1交于FG ， ∴EH ∥FG .故A 成立．B 中，易得四边形EFGH 为平行四边形， ∵BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥EF ，即FG ⊥EF .∴四边形EFGH 为矩形．故B 正确．C 中可将Ω看作以A 1EFBA 和D 1DCGH 为上下底面，以AD 为高的棱柱．故C 正确． 6． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G .现在沿AE 、EF 、F A 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有()A ．AP ⊥△PEF 所在平面B ．AG ⊥△PEF 所在平面C ．EP ⊥△AEF 所在平面D ．PG ⊥△AEF 所在平面答案 A解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变． ∴⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PEAP ⊥PF PE ∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF . 7． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 8． 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②③不成立，故选A. 二、填空题9． 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于______．答案2解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.10．如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体PDEF (点A 、B 、C 重合后记为P )，则四面体中异面直线PG 与DH 所成角的余弦值为________．答案 23解析 折成的正四面体如图所示，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，PK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝72， 故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫7222×3×32＝23.即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.11．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①P A ∥平面MOB ； ②MO ∥平面P AC ； ③OC ⊥平面P AC ； ④平面P AC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 ①错误，P A ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面P AC .12．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．答案 33解析 如图，作PM ⊥面ABC ，设P A ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ，PM ＝33a .设球的半径为R ，所以⎝⎛⎭⎫33a －R 2＋⎝⎛⎭⎫63a 2＝R 2，将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.三、解答题13．(2013·江苏)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB的中点，则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，因此平面EFG∥平面ABC.(2)由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC.(1)求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2)若AB1⊥A1C，求线段AC⊥AA1长度之比；(3)若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明由于ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1.又因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1，又CC1∩A1C1＝C1，所以B1C1⊥平面AC1.由于B1C1⊂平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1.(2)解由(1)知，B1C1⊥A1C.所以，若AB1⊥A1C，则可得：A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥AC1.由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1∶1.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1.设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF∥平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1.。
步步高湖南专用2014高考英语二轮第二部分细节理解题95
考点4细节理解之事实细节题真题解密In my living room，there is a plaque (匾) that advises me to “Bloom(开花) where you are planted.” It reminds me of Dorothy.I got to know Dorothy in the early 1980s，when I was teaching Early Childhood Development through a program with Union College in Barbourville，Kentucky.The job responsibilities required occasional visits to the classroom of each teacher in the program.Dorothy stands out in my memory as one who “bloomed” in her remote area.Dorothy taught in a school in Harlan County，Kentucky，Appalachian Mountain area.To get to her school from the town of Harlan，I followed a road winding around the mountain.In the eight-mile journey，I crossed the same railroad track five times，giving the possibility of getting caught by the same train five times.Rather than feeling excited by this drive through the mountains，I found it depressing.The poverty level was shocking and the small shabby houses gave me the greatest feeling of hopelessness.From the moment of my arrival at the little school，all gloom(忧郁) disappeared.Upon arriving at Dorothy’s classroom，I was greeted with smiling faces and treated like a queen.The children had been prepared to show me their latest projects.Dorothy told me with a big smile that they were serving poke greens salad and cornbread for “dinner” (lunch)．In case you don’t know，poke greens are a weed-type plant that grows wild，especially on poor ground.Dorothy never ran out of reports of exciting activities of her students.Her enthusiasm never cooled down.When it came time to sit for the testing and interviewing required to receive her Child Development Associate Certification，Dorothy was ready.She came to the assessment and passed in all areas.Afterward，she invited me to the one-and-only steak house in the area to celebrate her victory，as if she had received her Ph.D.degree.After the meal，she placed a little box containing an old pen in my hand.She said it was a family heirloom(传家宝)，but to me it is a treasured symbol of appreciation and pride that cannot be matched with things. (2013·湖南，B) 61．“Early Childhood Development” in Paragraph 1 refers to________.A．a program directed by DorothyB．a course given by the authorC．an activity held by the studentsD．an organization sponsored by Union College答案 B解析细节理解题。
【步步高通用(理)】2014届高三二轮专题突破专题六第2讲
第2讲 概率、随机变量及其分布【高考考情解读】 1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差，常与相互独立事件的概率、n 次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等，都属于中、低档题．1． 随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.(3)几何概型的概率 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2． 条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P (AB )P (A ).3． 相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )． 4． 独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 5． 超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6． 离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i 的概率为P (ξ＝x i )＝p i ，则称下表：ξ x 1 x 2 x 3 … x i … Pp 1p 2p 3…p i…为离散型随机变量ξ(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＝1(i ＝1,2,3，…)．(3)E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＋…为ξ的数学期望，简称期望．D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋…＋(x n －E (ξ))2·p n ＋…叫做随机变量ξ的方差． (4)性质①E (aξ＋b )＝aE (ξ)，D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X ～两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．7． 正态分布：若X ～N (μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.考点一 古典概型与几何概型例1 (1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________．(结果用最简分数表示) (2)(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一 点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )A.14B.15C.16D.17(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n都取到奇数的概率为________．(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14B.12C.34D.78考点二 相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； (2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(1)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是________．(2)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．(3)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． ①求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；②假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？ ③设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E (ξ)．考点三 随机变量的分布列、均值与方差例3 (2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个 小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于 ( ) A.126125B.65C.168125D.75(2)设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的均值为( ) A ．20B ．10C ．5D ．15(3)(2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．①当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；②从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：(1)基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的基本事件个数m ；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A 的概率可用“事件A 包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差．1． 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、 A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5762． 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________元．3． 甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．(推荐时间：60分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.162． (2013·陕西)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域 CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形 区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( ) A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π43． 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( ) A.310B.29C.78D.794． 甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.885． 已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)等于( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 56． 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( ) A ．100 B ．200 C ．300D ．400二、填空题7． 花园小区内有一块三边长分别是5 m ，5 m ，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是________． 8． 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是________．9．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，点数不是3的倍数，1，点数是3的倍数，S n 是其前n 项和，则S 5＝3的概率是________． 三、解答题10．在中华老字号(上海著名品牌)“来伊份”准备上市融资之际，2012年4月24日央视《消费主张》曝出长期以来“来伊份”提供的蜜饯产品中添加剂严重超标，引起社会的强烈反响，上市之路也因此终止．公司在整改的同时，也加强了自查的力度，对每批出厂的蜜饯产品添加剂的含量进行抽检．在自查一批蜜饯产品中，有放回地随机逐个抽取两次，已知从中取出的2件产品中至少有1件不是优质品的概率为0.19. (1)求从该批蜜饯产品中任取1件是优质品的概率；(2)若该批蜜饯产品共50件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中优质品的件数，求ξ的分布列．11.(2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．12．(2013·陕西)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
热点分类突破
专题一 第2讲
x 2 ，x≥4， (1)若函数f(x)＝ fx＋3，x<4，
则f(log23)等于 ( )
本 讲 栏 目 开 关
A．3
B． 4
C．16
D．24 ( )
(2)已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f (x)]2＋f(x2) 的最大值为 A．33 B．22 C．13 D．6
主干知识梳理
专题一 第2讲
4．熟记对数式的五个运算公式 M loga(MN)＝logaM＋logaN；loga N ＝logaM－logaN；logaMn logbN log a N a ＝N；logaN＝ log a (a>0 且 a≠1，b>0 且 ＝nlogaM； b b≠1，M>0，N>0)． 提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)， logaM＋logaN≠loga(M＋N)．
专题一 第2讲
第2讲
函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基 础知识为主，难度中等偏下. 本 讲 栏 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 目 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即 开 关 利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数 性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合 一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形 式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较 大．
本 讲 栏 目 开 关
解析 f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)为增函数．
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，
所以0≤log3x≤1，作出图象知， 当log3x＝1时，函数y取得最大值13.
答案
(1)D
(2)C
热点分类突破
考点二 例2 函数的性质
专题一 第2讲
(1)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－ 2 －2， 3 ． 2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________
主干知识梳理
专题一 第2讲
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数 的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称， 在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
本 讲 栏 目 开 关
(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数 满足 f(a＋x)＝f(x)(a 不等于 0)，则其一个周期 T＝|a|. 3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0， a≠1)的图象和性质，分 0<a<1，a>1 两种情况，着重关注 两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数 y＝xα 的图象和性质，分幂指数 α>0，α<0 两种 情况．
主干知识梳理
专题一 第2讲
1．函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函
本 讲 栏 目 开 关
数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用 定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断 符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原 则．
本 讲 栏 B． 1 C. 2 D．－ 2 目 A．2 开 关 解析 由题意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝± 1，
( B )
Hale Waihona Puke 因此当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2； 当－1<x<1时，fM(x)＝1， 所以fM(0)＝1，fM(fM(0))＝fM(1)＝2－12＝1.
热点分类突破
(1)求函数定义域的类型和相应方法
本 讲 栏 目 开 关
主干知识梳理
专题一 第2讲
5．与周期函数有关的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一 个周期是T＝|a－b|.
本 讲 栏 目 开 关
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期 是T＝2a. 1 1 (3)若f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ ，则f(x)是周期函数， fx fx 其中一个周期是T＝2a. 提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x a＋b ＝ 对称. 2
专题一 第2讲
①若已知函数的解析式， 则这时函数的定义域是使解析式有意 义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数
本 讲 栏 目 开 关
f(g(x))的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外， 还应使实际 问题有意义． (2)求函数值时应注意 形如 f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分 段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用 哪一段求解．
热点分类突破
专题一 第2讲
考点一
本 讲 栏 目 开 关
函数及其表示
例1
f2x (1)若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]， 则函数 g(x)＝ 的 ln x ( D ) B．[0,1) D．(0,1)
定义域是 A．[0,1] C．[0,1)∪(1,4]
解析 由函数 y＝f(x)的定义域是[0,2] 得，
函数 g(x)有意义的条件为 0≤2x≤2 且 x>0，x≠1， 故 x∈(0,1)．
热点分类突破
专题一 第2讲
(2)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数M，定义函 fx，fx≤M， 数fM(x)＝ 则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函 M，fx>M， 数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(fM(0))的值为
热点分类突破
解析 (1)f(log23)＝f(log23＋3)
log2 24
专题一 第2讲
＝f(log224)＝ 2
＝24.
(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
本 讲 ＝log2x＋6log x＋6＝(log x＋3)2－3， 3 3 3 栏 目 2 开 因为1≤x≤9，且1≤x ≤9，所以1≤x≤3， 关