2019届北师大版(理科数学) 极坐标与参数方程 单元测试
精编新版2019年高中数学单元测试《坐标系与参数方程》专题完整版考核题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 坐标系与参数方程专题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、填空题1．直线2,34x lt y t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，l 为常数）恒过定点 ▲ ．2． 已知曲线22x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，点C 在曲线2cos 4sin ρθθ=--上移动，ABC ∆面积的最大值为 14 .3．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中,若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行,则常数a 的值为_____（2013年高考湖南（文））5．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为____________.（2013年高考广东卷（文））(坐标系与参数方程选做题)6．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB =（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） 7．参数方程⎩⎨⎧=-=θθθ2s i n s i n c os y x （θ为参数）的普通方程是_______.)11(12≤≤--=y y x ；8．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =______________________.9．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是10．曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是_____.（2002上海理，8）二、解答题11．在极坐标系中，直线l 的方程为2cos sin 0t ρθρθ++=，圆C 的方程：2ρ=，若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为1，求实数t 的值．12．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A 的直角坐标为)6,2(-，点B 的极坐标为)2,4(π，直线l 过点A 且倾斜角为4π，圆C 以点B 为圆心，4为半径，试求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程.13．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．14． 在平面直角坐标系中，动点P 的坐标（x,y ）满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--θθsin )22(cos )22(kk kk y x（1） 若k 为参数，θ为常数（Z k k ∈≠,2πθ），求P 点轨迹的焦点坐标。
2019大一轮高考总复习理数北师大版阶段复习检测12 坐
阶段复习检测(十二) 坐标系与参数方程 不等式选讲时间：120分钟 满分：150分解答题(本大题共15小题，每小题10分，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．(2018·忻州联考)已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )＞0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |＜15.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ＜－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x ＞12，当x ＜－2时，由x －3＞0，得x ＞3，舍去； 当－2≤x ≤12时，由3x ＋1＞0，得x ＞－13，即－13＜x ≤12；当x ＞12时，由－x ＋3＞0，得x ＜3，即12＜x ＜3.综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |＜3，|y |＜3， ∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝ |x |＋|y |＋|x |·|y |＜3＋3＋3×3＝15.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )＜2成立． (1)求实数m 的值；(2)若α，β＞1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β＞3.(1)解：因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |， 要使不等式|x －m |＋|x |＜2有解， 则|m |＜2，解得－2＜m ＜2， 因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α，β＞1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，可得α＋β＝3， 所以4α＋1β＝13⎝⎛⎭⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝⎛⎭⎫5＋24βα·αβ＝3⎝⎛⎭⎫当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时取等号， 又因为α，β＞1，所以4α＋1β＞3恒成立．故4α＋1β＞3. 3．(2017·惠州二调)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1＞f (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x ＞1.f (x )＞4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－3x －2＞4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4＞4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x ＋2＞4⇔x ＜－2或0＜x ≤1或x ＞1.∴不等式f (x )＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1＞f (x )成立⇔a ＋1＞f (x )min ， 由(1)知，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4， ∴x ＝－32时，f (x )min ＝52，∴a ＋1＞52⇔a ＞32.∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 4．(2017·湖北七校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2； (2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2(x ≥1)，x ⎝⎛⎭⎫12≤x ＜1，2－3x ⎝⎛⎭⎫x ＜12.当x ≥1时，x ≥43；当12≤x ＜1时，x 无解；当x ＜12时，x ≤0，综上不等式的解集为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤0或x ≥43. (2)因为|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )|＝|x －1＋a |，由绝对值不等式成立条件可知，当且仅当(2x －1)(x －a )≤0时成立． 当a ＞12时，12≤x ≤a ，当a ＝12时，x ＝12，当a ＜12时，a ≤x ≤12.5．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3，解得－2＜x ＜4. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|， g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2， 解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为{a |a ≥－1或a ≤－5}． 6．已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断f (ab )|a |与f ⎝⎛⎭⎫b a 的大小，并说明理由． 解：(1)f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3| ≥|(x －4)－(x －3)|＝1，因为f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，故只需令a 不大于f (x －1)＋f (x )的最小值即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2)f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a ，要证f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a ，只需证|ab －3|＞|b －3a |，即证(ab －3)2＞(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)， 因为|a |＜1，|b |＜3，所以(ab －3)2－(b －3a )2＞0，所以原不等式成立． 7．(2018·唐山模拟)已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc . (1)证明：a ＋d ＞b ＋c ；(2)比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d 的大小．(1)证明：由a ＞b ＞c ＞d ＞0，得a －d ＞b －c ＞0， 即(a －d )2＞(b －c )2，由ad ＝bc ，得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ， 即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c .(2)解：a a b b c d d c a b b a c c d d ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ⎝⎛⎭⎫c d d －c ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ⎝⎛⎭⎫d c c －d ，由(1)得，a －b ＞c －d ，又ab ＞1，所以⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞⎝⎛⎭⎫a b c －d，即⎝⎛⎭⎫a b a －b ⎝⎛⎭⎫d c c －d ＞⎝⎛⎭⎫a b c －d ⎝⎛⎭⎫d c c －d ＝⎝⎛⎭⎫ad bc c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d .8．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得，cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 9．(2018·东北三省四市调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos φ1，y ＝3sin φ1(φ1是参数)，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ2，y ＝1＋sin φ2(φ2是参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1，圆C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(0≤α＜2π)同时与圆C 1交于O ，M 两点，与圆C 2交于O ，N 两点，求|OM |＋|ON |的最大值．解：(1)圆C 1：(x －3)2＋y 2＝3，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 故圆C 1：ρ＝23cos θ，圆C 2：ρ＝2sin θ.(2)当θ＝α时，M 的极坐标为(23cos α，α)，N 的极坐标为(2sin α，α)， ∴|OM |＋|ON |＝23cos α＋2sin α， ∴|OM |＋|ON |＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3. ∵π3≤α＋π3＜7π3， ∴当α＋π3＝π2，即α＝π6时，|OM |＋|ON |取得最大值4.10．(2018·抚顺一模)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝at(t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 2相交于B ，C 两点，若|BC |≥23，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意知，曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12. 设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －6，y ′＝2y ，代入x 2＋y 2－4y ＝12中，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)直线l 的普通方程为y ＝ax ， 由题意可得|3a －1|a 2＋1≤22－(3)2，解得0≤a ≤34，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 11．(2018·新余模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，且C 1与C 2相交于A 、B 两点．(1)当tan α＝1时，判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，并说明理由； (2)当α变化时，求弦AB 的中点P 的普通方程，并说明它是什么曲线．解：(1)当tan α＝1时，将直线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝x ＋1， 曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，则圆C 2的圆心C 2(1,0)，半径r ＝1，则圆心C 2到直线C 1的距离d ＝2＞1，则直线C 1与曲线C 2的位置关系为相离． (2)由直线C 1的方程可知，直线恒过定点Q (1,2)，弦AB 的中点P 满足C 2P ⊥QP ，故点P 到C 2Q 的中点D (1,1)的距离为定值1，当直线C 1与圆C 2相切时，切点分别记为E ，F ，则点P 的普通方程为C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝1⎝⎛⎭⎫y ＜12，表示的是一段圆弧． 12．(2018·南昌调研)将圆x 2＋y 2＝4每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意得：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，所以C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＋2y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，12， 所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y ＝3，化为极坐标方程得4ρcos θ－2ρsin θ＝3，即ρ＝34cos θ－2sin θ.13．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0， 求证：f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a .(1)解：f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1.当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，4≥8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≤－5或x ≥3}． (2)证明：f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1， 所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2) ＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2 θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∵2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋3≥1＞0，∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤22，522. 15．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2， 即证1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≥0， 而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2) ＝(a ＋b ＋c ) 2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2) ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立， ∴2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)∵a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a，∴a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎫ab ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
(完整版)经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)(2),推荐文档
《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P（1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x +y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C 3P ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2AB PA PB⋅5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩程为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2=，点R （2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．12．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线C的参数方程；（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案 一．解答题（共16小题）1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线l 过点P （1,0），倾斜角为，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．3π（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x=0即（x ﹣1）2+y 2=1．∴曲线C 1的直角坐标方程为=1，∴曲线C 表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程=1中，得．2134120t t +-=设A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，∴+． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）4．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为（t 为参数），，当直线l 与曲线C3P ,02⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，求.2ABPA PB⋅【解答】解：（1）∵ρ=，∴ρ2sin 2θ=6ρcosθ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=6x ．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．（2）直线l 的参数方程可化为，代入y 2=6x 得t 2﹣4t ﹣12=0．解得t 1=﹣2，t 2=6．∴||=|t 1﹣t 2|=8．2AB 2PA PB 3=⋅ 5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为为参数），曲线C 2的极坐标方程3cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值及此时P 点极坐标．【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为．由得，曲线C2的直角坐标方程为．（2）设P（2cosα，2sinα），则点P到曲线C2的距离为．当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．9．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．10．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M 1M 2|的最小值为．12．设点A 为曲线C ：ρ=2cosθ在极轴Ox 上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，（1）求曲线C 的参数方程；（2）以A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形OAB （B 在A 的右下方），求点B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）θ为参数）1cos (0sin 2x y θπθθ=+⎧≤≤⎨=⎩（2）：设A （ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B （ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA |=1；当α=时，|OB |=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA |2+|OA |•|OB |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），化为普通方程为（x ﹣a ）2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]，则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，]；（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sin∠TAO=，由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，由于∠TAO=∠TOX，所以∠TOX=，T点的极坐标为（，）．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。
极坐标与参数方程单元练习(六套)
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、29 C 、4 D 、3二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C 36，π⎛⎝⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程全套试题
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
最新版精选2019年高中数学单元测试试题《坐标系与参数方程》专题测试版题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题坐标系与参数方程专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．直线3y x=+D的圆,([0,2))1xyθθπθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）（A）76π（B）54π（C）43π（D）53π(2010重庆理)2．曲线⎩⎨⎧==θθsincosyx（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）A．21B．22C．1 D．2（2002天津理，1）第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题3．在极坐标系中，曲线ρθ=和cos1ρθ=相交于点,A B，则线段AB的中点E 到极点的距离是 ．4．圆cos sin )ρθθ+的圆心的极坐标是 (1,)4π.5． 参数方程2,(cos 3tan ,x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）化为普通方程为___________．6．在平面直角坐标系xoy 中，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点(1,化为极坐标为_______________．7．圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是____________ . （2013年高考陕西卷（文））(坐标系与参数方程选做题)8．(理)已知两曲线的参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（0≤θ ＜π）和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，则它们的交点坐标为 .(文)若(02x ∈π)，，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是 ．9．在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++= 相切，求实数a 的值。
10．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，那么它的直角坐标方程是 ▲ ．11．直线23x a y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，a 为常数且0>a )被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，方程为θρcos 2a =的曲线所截，求截得的弦长.12．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =______________________.三、解答题13．求经过极点9(0,0),(6,),)24O A B ππ三点的圆的极坐标方程.14．已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C 上的点的最小距离等于2。
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2019年高中数学单元测试试题 坐标系与参数方程专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2（2002全国理，6）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2． 参数方程2,(cos 3tan ,x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）化为普通方程为___________．3．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB =（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））4．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | =______.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 5．参数方程⎩⎨⎧=-=θθθ2s i n s i n c os y x （θ为参数）的普通方程是_______.)11(12≤≤--=y y x ；6．已知曲线C 的参数方程为24(x t t y t⎧=⎨=⎩为参数），若点(,2)P m 在曲线C 上，则m = ▲ ．7． 已知椭圆的参数方程为4cos ,5sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（R θ∈），则该椭圆的焦距为 .8．二次曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x （θ为参数）的左焦点坐标是_____.（1997上海）三、解答题9．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．10．已知曲线C 的极坐标方程是)4cos(2πθρ+=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：⎩⎨⎧+-=-=ty tx 3141（为参数t ），求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．11．已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C 上的点的最小距离等于2。
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一、选择题
1．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1
cos θ
D ．ρ＝
1cos θ
2．曲线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5cos θ，y ＝5sin θ
⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤π的长度是( ) A.10π
3 B ．10π C.5π3
D ．5π
3．直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝6，圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l
的距离为d ，则d 的最大值为( ) A ．32＋1 B ．3 2 C ．32－1 D ．32＋2
二、填空题
4．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋a cos θ，
y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2
外切，则正数a ＝________.
5．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ，y ＝3t
3(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．
6．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，
已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos t ，y ＝3sin t (t 为参数)，直线l 的极坐标方程是ρ(cos θ－sin θ)＋1
＝0，则直线l 与曲线C 的交点个数是________． 三、解答题
7．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系． (1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．
8．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1
2t ，
y ＝1＋3
2
t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P .
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求1|P A |＋1
|PB |
的值．
9．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1与圆C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．
答案精析
1．C [由极坐标，在直线l 上任取一点C (ρ，θ)， 由图形可知OP OC ＝cos(π－θ)＝1ρ，ρ＝－1
cos θ
，故选C.]
2．A [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，
曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos θ，y ＝5sin θ
⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤π即为圆x 2＋y 2＝25内的圆心角为π－π3＝2π
3
的弧长，可得所求长度为2π3×5＝10π3
.]
3．A [由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝1，则圆心到直线的距离d ＝6
2
＝32，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为32＋1.] 4. 2
解析 圆C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝22，圆C 2的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2.圆心距|C 1C 2|＝32，
两圆外切时，|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，∴正数a ＝ 2. 5．(3，1)
解析 曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ，y ＝3t
3(t 为参数)，消去参数化为直角坐标方程为y ＝
3
3
x ，x ≥0，y ≥0.
曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程为x 2＋y 2
＝4.联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝33x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝4，
解得x ＝3，y ＝1，
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(3，1)． 6．2
解析 由题意可知直线l 的直角坐标方程是x －y ＋1＝0，椭圆C 的普通方程是x 216＋y 2
9＝1，联
立两方程消去y 得25x 2＋32x －128＝0，显然判别式为正，故有2个交点． 7．解 (1)C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＝3. (2)如图所示，设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A .
∵PQ ⊥OP ，∴PQ 过点A (2,0)．
设直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos θ，
y ＝t sin θ
(t 为参数)，代入C 1可得t 2＋2t cos θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－2cos θ. 可知|AP |＝|t 2|＝|2cos θ|.
由2＋t cos θ＝3，解得t ＝1
cos θ.可知|AQ |＝|t |＝⎪⎪⎪⎪1cos θ. ∴|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos θ|＋⎪⎪⎪⎪1cos θ≥22， 当且仅当|2cos θ|＝⎪⎪⎪⎪1cos θ时取等号， ∴线段PQ 长度的最小值为2 2.
8．解 (1)消去参数t ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧
x ＝12
t ，y ＝1＋3
2
t (t 为参数)化为普通方程得3x －y
＋1＝0，曲线C 的极坐标方程ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4可化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ. ∴曲线C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.
(2)∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎨⎧
x ＝1
2
t ，y ＝1＋3
2
t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，∴t 1＋t 2＝1，
t 1t 2＝－1.
依据参数t 的几何意义得1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2|
|t 1t 2|
＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝
12－4×(－1)＝
5.
9．解 (1)C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
由⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝2，ρ＝4cos θ，
得ρ＝2，θ＝±π3
，
故圆C 1与圆C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π
3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得圆C 1与圆C 2交点的平面直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．
故圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝t (t 为参数，－3≤t ≤3)．。