人教版数学六年级下册体积的等积变形
数学人教版六年级下册立体图形的等积变形
解决问题 1
把一个长方体钢坯铸造成一个圆形钢柱，钢柱有 多高？（单位：厘米，结果保留整数）
长方体体积=圆柱体积
50×20×10=10000（立方厘米）
3.14 × (20÷2)2=314(平方厘米)
10000÷314≈32（厘米） 答：钢柱高约32厘米。
解决问题 2
有一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高 是2米。将这些沙子铺在一个长是4米，宽是2米的 长方体沙坑里，能铺多厚？
圆锥体积长方体沙子体积解决问题22将底面半径为3厘米高为10厘米的圆锥形铝块和一个底面半径为2厘米高为5厘米的圆柱形铝块块熔铸成一个底面半径为5厘米的圆柱形铝块这个圆柱形铝块的高是多少
人教版小学数学六年级下册
甘肃省民勤县东关小学：马玉连
人教版小学数学六年级下册
甘肃省民勤县东关小学：马玉连
学习任务单一
答：这个圆柱形铝块的高为2厘米。
解决问题 4
将一个底面半径是2分米，高3分米的圆锥 形铁块铸造成底面半径是1分米，高2分米的小 圆柱，可以铸多少个？
圆锥体积=小圆柱体积的和
等积变形“身影何在？
数学运算律
算式变形
a×b=b×a
0.125×32×25=0.125×8×4×25
排水法求体积 圆面积公式的推导 圆柱体积公式的推导
×
等积变形
3 5
9 × 4
3 5 × ＝ 5 7
5 × 7
9 × 4
6.87×99 ＝ 6.87×（100－1） 52.7×101 ＝ 52.7×（100＋1）
把一个西红柿完全浸没在底面直径是2分米的圆柱形 容器里，水面上升了0.5厘米。这时 西红柿 的体积就转 化为 上升了的圆柱形水的体积，西红柿的体积是 157立方 厘米。
体积等积变形法计算公式
体积等积变形法计算公式体积等积变形法是一种用于计算物体体积的方法，它基于物体在变形过程中体积不变的原理。
这种方法在工程学、物理学和数学中都有广泛的应用，可以帮助人们更准确地计算物体的体积，从而在设计和制造过程中提高效率和质量。
体积等积变形法的基本原理是，当一个物体经历形状的变化时，其体积保持不变。
这意味着无论物体变成什么形状，其体积都是相同的。
利用这一原理，我们可以通过计算物体在不同形状下的体积来得到最终的体积。
下面我们将介绍一些常见的体积等积变形法的计算公式。
1. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个常见的几何体，其体积可以通过体积等积变形法来计算。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆柱体的半径，h表示圆柱体的高。
2. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全圆形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
3. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个圆锥形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示锥体的底面半径，h表示锥体的高。
4. 直角三棱柱的体积计算公式。
直角三棱柱是一个底面为直角三角形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
直角三棱柱的体积公式为V=1/2abH，其中V表示体积，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，H表示直角三棱柱的高。
5. 平行四边形棱柱的体积计算公式。
平行四边形棱柱是一个底面为平行四边形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
平行四边形棱柱的体积公式为V=Ah，其中V表示体积，A表示平行四边形的面积，h表示平行四边形棱柱的高。
以上是一些常见的几何体的体积计算公式，它们都可以通过体积等积变形法来计算。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状和特点选择合适的计算公式，从而更准确地计算物体的体积。
数学人教版六年级下册等积变形教学设计
等积变形的教学设计学习目标：1. 通过“转化”的思想，会解决等积变形问题。
2.会灵活运用所学知识，解决生活中的实际问题。
教学过程：一、回顾旧知。
1、圆柱、圆锥、长方体和正方体的体积公式。
2、计算:(1) 圆柱：d=4dm h=10dm V=?(2) 圆锥： V=15立方分米 s底=3平方分米 h=?（3）长方体：V=150立方米 b=10米 h=3米 a=？二、探究新知。
把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4分米的圆柱形钢筋，钢筋的长是多少分米？思考：1.题中的变和不变分别是什么？2.可得到怎样的等量关系？3.怎样求圆柱钢筋的长度呢？做一做:1.一个圆锥形沙堆，底面积是25.12平方米，高是1.8米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺3厘米厚的路面，能铺多少米？2.一个圆柱形铁块，底面半径10厘米，高5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？三、课堂小结。
解决等积变形问题：1.物体的形状改变，体积不变。
2.长方体、正方体、圆柱体，求体积时，通用公式V=sh。
3.利用圆锥体积公式求底面积或高时，体积的3倍除以高或底面积。
四、拓展延伸。
一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。
已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？五、课堂检测。
1.一个棱长是3分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是9平方分米的圆锥形容器里正好装满，这个圆锥的高是（）分米。
2.把一个棱长是6厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是10平方厘米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少厘米？。
六年级等积变形应用题
六年级等积变形应用题
六年级的学生们学习了等积变形的概念后，接下来他们将应用这个概念来解决一些实际问题。
等积变形是指图形或物体的形状改变，但其面积不变。
在这个阶段，学生们将学会如何应用等积变形来解决一些日常生活中的问题。
例如，他们可能会遇到这样的问题：某个矩形花坛的面积为16平方米，长是3米，那么宽是多少米？学生们可以通过等积变形来解决这个问题。
他们可以将长和宽分别表示为x和y，根据等积变形的原则，有xy=16。
已知x=3，所以可以通过等式求得y的值，从而得到花坛的宽度。
另一个例子是关于房间布局的问题。
假设学生们需要重新布置一个矩形房间的家具，但是要保持房间的面积不变。
他们可以使用等积变形的原理，将房间的长度和宽度表示为x和y，然后设置一个新的长和宽，即x+2和y+1。
通过等积变形，他们可以设置方程xy=(x+2)(y+1)，解这个方程可以得到新的房间尺寸。
此外，学生们还可以应用等积变形来解决有关体积的问题。
他们可以考虑一个长方体的体积为24立方厘米，长为4厘米，那么宽和高各是多少厘米？通过等积变形的原理，他们可以设置方程4xy=24，其中x表示宽，y表示高。
通过解这个方程，他们可以得到宽和高的值。
通过这些应用题，学生们可以更好地理解等积变形的概念，并将其应用到实际问题中。
这不仅可以帮助他们提高解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。
通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。
本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。
常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。
首先，我们来看一下倍数变形。
倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。
举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。
通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。
其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。
倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。
例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。
通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。
最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。
分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。
例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。
通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。
接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。
假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。
现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。
首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。
现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。
通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。
长方体与正方体：等体积问题 等积变形
长方体和正方体：等体积问题等积变形等积变形是指几何形体的形状发生变化后,变化后的物体和原物体相比较，体积与原来相等。
概括起来，就是等体积变换，形状改变，体积不变.长方体和正方体体积基本公式及变形公式:长方体的体积 V=abha=V:b:hb=V:a:hh=V÷a÷b例1一个正方体铁块的表面积为384平方厘米，现在要把它锻造成一个长16厘米，宽8厘米的长方体铁块.请问：这个长方体铁块的高是多少厘米? (不计损耗)解析正方体铁块的一个面的面积是384÷6=64(平方厘米),64=8×8,所以棱长是8厘米，体积是8×8×8=512(立方厘米),因为锻造成长方体铁块后体积不变，那么这个长方体铁块的高是512÷(16×8)=4(厘米).练1一个正方体铁块的表面积为600平方厘米，现在要把它锻造成一个长25厘米，宽8厘米的长方体铁块.请问：这个长方体铁块的高是多少厘米?(不计损耗)答案解析正方体铁块的一个面的面积是600÷6=100(平方厘米),100=10×10,所以棱长是10厘米，体积是10×10×10=1000(立方厘米),锻造成长方体铁块后体积不变，那么这个长方体铁块的高是1000÷(25×8)=5(厘米).例2、将棱长分别为6厘米和8 厘米的两个正方体铁块熔铸成一个长方体，已知这个长方体的长是13 厘米，宽是7厘米，求它的高是多少?分析:两个正方体的体积和等于熔铸成的长方体的体积，先求出两个正方体的体积和，也就是长方体的体积，在根据长方体的高h=V:a:b 求出长方体的高。
解答:6×6×6=216(立方厘米)8×8×8=512(立方厘米)216+512=728(立方厘米)728:13-7=8(厘米)答:它的高是8 厘米。
六年级下册小升初等积变形人教版人教版
则满足条件的三角形有：
重要 例6：如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。
角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形 (1)等底等高的三角形面积相等。
结论 (2)等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积？
S△ACD=S△BCD
S△ABD=S△ACD+S△ABC=b+ b= b
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
例3：（平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的？为什么？
例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积？
S△ABD=S△ACD=25-15=10 S△DFC=2S△DEF=2×24=48(cm2)
的面积也是另一个三角形面积的几倍。
等积变形的几个重要结论：
(3)等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三 同学们，你们能想出什么办法把这块土地分成面积相等的两个三角形吗？开动你们的脑筋吧！
思 例4：如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面
维 积相等的三角形有哪几对？
探
索 根据结论：同底等高的三角形面积相等 A
D
则满足条件的三角形有：
0
△ABD和△ACD
B
C
△ABC和△DBC
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人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》
“等积变形”教学预案
永川区望城路小学何开莲
教材分析
数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考
本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规
则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标
1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点
重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
教学预案
（一）剪拼变形，化繁为简巧计算（面积的等积变形——优化公式）
1.优化公式
(师：之前大家都反映，圆柱体的表面积计算太难，容易出错。
希望能有个方法能使计算更加简便。
同学们也下去想办法了。
想到办法了吗？谁上台来说一说？)
*课前已经布置学生通过摆学具和画图的方法，化曲为直，将圆柱模型剪拼转化成近似长方形。
并观察思考：近似长方形的长相当于什么？近似长
方形的宽相当于什么？优化出一种表面积计算公式。
学生上台展示汇报。
圆柱 3个面 面积 S 表=2πrh+2πr ²
=2πr(r+h ）
（乘法分配律的逆应用） (化曲为直）
圆柱 2个面 面积
S 表=2πrh+πr ²
=πr(r+2h ）
2.分组训练。
求表面积（3个面和2个面）：
分组用原公式和优化公式进行计算。
体会新公式更简单、省时。
（二）等积变通，移花接木巧变形（体积的等积变形1——看图算体积）
(圆柱的表面积通过“等积变形”简化了计算。
等积变形在体积计算中
运用更加广泛。
)
a=πr 2h
r b
1.切割“等积变形”
如图：求斜柱体的体积
图1 图2 图1：生观察想象，用切割法，将斜柱体体积转化为圆柱体体积。
提示：从哪切？怎么切。
独立完成，集体订正。
2.补足“变形”（拓展）
图2：生观察，想象怎么求体积。
提示：从哪儿切？怎么切？如果不切，怎么解决？对比两种方法，切和补足，哪种更容易计算出体积？优化补足“变形”计算体积更简便。
(通过刚才的练习，我们知道解决“等积变形”题型中，首先找准“等量”或者“不变量”，例如圆柱侧面积=转化后的近似长方形面积、原来的体积=现在的体积，再去看“等量”或“不变量”原来的形状，通过剪拼、切割、想补等方法观察、分析、操作、想象转化后的形状。
将未知转化成已知。
) （三）拓展变式，异中求同巧联系（体积等积变形2——问题解决）
1.完全浸没问题——变化中抓“等量”
一个底面半径5cm，高10厘米的圆柱形玻璃容器，把一块完全浸入水中的石块从容器中取出后，水面下降了4厘米。
石块的体积是多少？
出示题目，读题。
思考：这是一道什么类型的题？你认为解题的关键是？板书：完全浸没问题等量 V石=V降水
生独立解答。
指名回答，集体评议。
（提问：在这道题目里还有一个高10厘米。
为什么不用这个数据？对！这就要求大家在解题时，火眼金睛，排除干扰项，找到对应的有用项参与计算。
）
2.不完全浸没题——变化中抓“不变量”
一个底面半径5cm，高10cm的圆柱形玻璃容器，装有251.2毫升的水，现将一根底面半径是3cm,高15cm的圆柱铁棒垂直放入容器，铁棒底面与容器底面
接触（水没有溢出），这时水深多少cm？
（大家看看这道题，跟刚才那道题最大的不同是什么？）
小组讨论：（1）题目中的体积没有变，只是的形状发生了变化。
由形变成了形。
（2）要求水深，就是求形的高。
（3）列式解答：
集体交流。
（反问：在解题时，你为什么不用上一题的思路——用浸没部分的体积等于变化水的体积去算？）
小结：在不完全浸没问题是，如果再去找等量，没有办法计算出水深。
板书：不完全浸没不变量
（四）小结
（今天，我们学会用“等积变形”简化圆柱表面积计算，算出不规则物体体积。
生活还有很多问题比如：铺路、锻造、重塑、改变容器形状、求饮料体积，会用到等积变形。
解决这样的问题，需要注意什么？
数学学习讲究一个“巧”字，不论你采用“等积变形”还是“等周长变形”，只要找到“巧”的方法，就不仅易懂，还会更节时、高效！）
数学题是千变万化的，解决问题的方法也很多虽然不能做尽每一道题，试遍所有方法。
但可以通过各部剪拼、等积变形，观察、思考、想象，在变化中抓住不变量（等量），以寻找更直接有效的方法。
板书：
等积变形
（变中不变）
S表=2πrh+2πr²
=2πr(r+h）剪拼S柱=S长（对应）完全浸没等量V石=V 降水S长=ab 切割V原=V现不完全浸没不变量
S表=2πrh+πr²想补
=πr(r+2h） ... S长=ab。