人民教育出版社数学八年级上册全解

人
第十一章
思维导图
智力背景
黄金三角形
黄金三角形分两种：一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，这种三角形既美观又标准，这样的三角形的底边与一腰的长之比为黄金数；另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°，这种三角形一腰与底边的长之比也为黄金数。
【end】
神奇的古建筑，完美的几何体
【答案】
在△ACD中，
∵∠C+∠A+∠ADC=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠ADC=180°-32°-110°=38°。
∵△BCE是直角三角形，
∴∠B=90°-∠C=90°-38°=52°。
【解析】
∠B是△BCE的内角，△BCE是直角三角形，只要求出∠C的度数即可求得∠B的度数。从题目已知条件来看，∠A与∠ADC的度数已知，又∠A和∠ADC都是△ACD的内角，故利用“三角形的内角和为180°”可求出∠C的度数。
题型二
例2、已知等腰三角形的两边长为9cm和4cm，求此三角形的周长。
【答案】
当9cm长的边为腰时，三边长分别是9cm，9cm，4cm（经检验符合三角形的三边关系），所以周长为22cm。
当4cm长的边为腰时，三边长分别是4cm，4cm，9cm。
因为4+4<9，
所以不符合三角形的三边关系，不能组成三角形。
【end】
中华世纪坛
中华世纪坛是为了迎接21世纪新千年而兴建的。世纪坛的主体建筑，地下两层，地上三层，高39米，直径85米，由静止的回廊和旋转的坛面组成，旋转坛体设计成呈19度坡型。旋转的坛体重3200吨，是目前世界上最大和最重的旋转坛体。旋转坛体采用轨道式的方案。旋转坛体环绕外立墙一周镌刻有56个民族象征图饰。回廊有青铜铸造的40尊“中华文化名人”肖像雕塑。
【end】
精巧的蜂房结构
早在2200多年前，古希腊数学家巴普士就认真观察并研究了精巧的蜂房结构。整个蜂房由无数个正六棱柱状的蜂巢组成，一个挨着一个，没有一丝空隙，紧密有序地排列在一起。蜂房的底是由3个完全相同的菱形拼成的，每个菱形的钝角均为109°28′，锐角都是70°32′。最令人惊讶的是，以这样角度建造起来的蜂房，是相同体积中最省材料的。难怪蜜蜂被很多人称为“天才的数学家兼设计师”。
例1、适合下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？
（1）∠A=80°，∠B=25°；
（2）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；
（3）∠A= ∠B= ∠C。
【答案】
（1）因为∠A=80°，∠B=25°，所以由三角形内角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-25°=75°。因为∠A是最大角且为锐角，所以△ABC是锐角三角形。
【end】
有趣的数学诡辩——兔子追不上乌龟
假设兔子的速度是乌龟的10倍，它俩相距10米，且同时同向而行。当兔子跑到10米远时，乌龟已爬到第11米远的地方，乌龟领先1米；当兔子跑到11米远时乌龟又爬到第11.1米处，乌龟领先0.1米；当兔子跑到11.1米时，乌龟却在第11.11米处了，仍领先0.01米。如此下去，乌龟仍然领先……，因此，乌龟始终领先一个微小的距离，兔子永远追不上乌龟。
知识点三
例3、以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）
A、1cm，2cm，4cm
B、8cm，6cm，4cm
C、12cm，5cm，6cm
D、2cm，3cm，6cm
【答案】B
【解析】
A中，1+2<4；C中，5+6<12；D中，2+3<6，所以均不能构成三角形。B中，4+6>8，故能构成三角形。故选B。
题型二
例2、如图11-2-4所示，在△ABC中，∠B=63°，∠C=51°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，求∠DAE的大小。
【答案】
∠BAC=180°-∠B-∠C=66°。因为AE平分∠BAC，所以∠CAE= ∠BAC=33°。因为AD是BC边上的高，所以∠ADC=90°，则∠CAD=90°-∠C=39°，故∠DAE=∠CAD-∠CAE=39°-33°=6°。
【end】
司马光砸缸与逆向思维
司马光砸缸是我们熟悉的一个历史故事，当一个小朋友掉进大水缸里以后，其他小朋友想到的是“让人离开水”，当无法把落水的小孩捞出来时便惊慌失措。而司马光想到的是“让水离开人”，在紧要关头把缸砸破，让水流出，救活了小朋友。“人离开水”的逆向思维是“水离开人”。逆向思维是一种积极的、具有创造性的思维方法，这种思维形式在数学中屡见不鲜。
【答案】
（1）AG是△ABE的角平分线，AH是△AFC的角平分线，AD是△ABC的角平分线。
（2）CH是△ACH、△ACD和△CDH的高。
（3）AD是△ABC的中线。
【点拨】
三角形的角平分线、中线和高都是线段，它们的一端都在三角形的顶点上，另一端在三角形的边或其延长线上。
11
教材知识全解
知识点一
例1、如图11-2-1所示，在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A。求∠A，∠B，∠C的度数。
三角形的稳定性是三角形特有的性质，而四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在四边形中构造三角形。
例5、如图11-1-4所示，工人师傅砌门时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是。
【答案】
三角形具有稳定性
【解析】
实际生活里在多边形中构造三角形通常是为了利用三角形的稳定性。
经典例题全解
【end】
时钟里的多边形
从1点钟开始，每次加上三个小时。加了四次之后，会回到原出发点。最后在时钟内得到一个正四边形。从1点钟开始，每次加上2小时，直到回到1点钟的位置，在时钟内会得到哪一种多边形呢？如果每次加上4小时，会得到何种多边形呢？从1点钟开始，每次加上5小时，持续步骤直到回到1点钟的位置，完成这个动作，会得到一个星形Βιβλιοθήκη 这个星形有几个顶点呢？【解析】
由角判断三角形的形状，一般需求出三角形的各角的大小。本题只要求判断△ABC是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，故只需求出三角形中最大角的度数。由最大角是锐角或是直角或是钝角即可以判断三角形是哪一类三角形，根据角与角之间的关系求角的度数时可利用三角形内角和定理列方程求解。
【点拨】
本题主要运用了三角形内角和定理，列方程解几何计算题是用代数方法解几何题的常用方法之一。
所以所求三角形的周长是22cm。
【解析】
由于是等腰三角形，有的同学只想到以9cm长的边为腰，于是三边长分别是9cm，9cm，4cm，由此得到三角形的周长是22cm；另外，有的同学还想到以4cm长的边为腰，于是又有三边长分别为4cm，4cm，9cm，从而又得到周长是17cm，于是答案是22cm或17cm。其实这两种考虑问题的过程均带有片面性，一是只考虑一种情况，而忽视另外的情况，二是没有考虑三角形三边关系的限制，当边长是4cm，4cm，9cm时，4+4<9，不符合三角形两边之和大于第三边，故这种情况不存在。
（2）△ADB，△ADE，△ADC
（3）AE；AD；AB
（4）△AED；△AEB
（5）AD；DE；EA；∠ADE；∠DEA；∠EAD
【解析】
根据三角形的定义及三角形的边、角的概念进行求解。
【点拨】
三角形必须同时满足两个条件：（1）三条线段不共线；（2）三条线段首尾顺次相接。组成三角形的线段是三角形的边，相邻两边组成的角是三角形的内角。
【答案】
根据三角形内角和定理及已知条件，得∠A+3∠A+5∠A=180°。
所以∠A=20°，所以∠B=60°，∠C=100°。
【解析】
根据三角形内角和定理及已知条件求出∠A的度数，即可得出∠B，∠C的度数。
知识点二
例2、如图11-2-2，已知∠A=32°，∠ADC=110°，BE⊥AC于点E，求∠B的度数。
知识点三
例3、如图11-2-3所示，在△ABC中，∠B=∠C，D在BA的延长线上，∠DAC=110°，求∠B的度数。
【答案】
因为∠DAC是△ABC的外角，
所以∠DAC=∠B+∠C。
又因为∠B=∠C，所以∠DAC=2∠B，
所以∠B= =55°。
【解析】
利用∠DAC=∠B+∠C即可求得。
经典例题全解
题型一
【点拨】
遇到有关等腰三角形的问题，要注意运用分类讨论的思想全面考虑问题，还应注意综合运用相关知识，力求准确、合理，做到不重、不漏。
知识点三
例3、如图11-1-6，∠1=∠2。
（1）请你分别说出图中△ABE、△AFC、△ABC的角平分线；
（2）若AH⊥FC，请你说出CH是图中哪些三角形的高；
（3）若BD=DC，请你说出图中三角形的中线。
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教材知识全解
知识点
例1、图11-1-1中有几个三角形，将它们分别表示出来，并指出它们的顶点和边。
【答案】
图11-1-1中有3个三角形，可分别表示为：
△ABC、△ABE、△AEC。
△ABC的顶点是A、B、C，边是AB、BC、CA；
△ABE的顶点是A、B、E，边是AB、BE、AE；
△AEC的顶点是A、E、C，边是AE、EC、AC。
【end】
形的数学——欧氏几何
几何学中，研究的基本图形是点、线、面、体；进一步发展，线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之别，体有长方体、圆柱体和球体等之不同。几何学经过数千年的发展，公元前三百年左右的希腊大数学家欧几里得把零散的几何知识总结成几何学，写出了数学巨著《几何原本》，现称其为欧氏几何。
【end】
【解析】
三角形必须同时满足两个条件：（1）三条线段不共线；（2）三条线段首尾顺次相接。
知识点二
例2、在△ABC中，已知∠B+∠C=80°，则△ABC是三角形（填“直角”“钝角”或“锐角”）。