离散数学3、4章

• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
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几个概念
• 映象：若<a,b>∈ ，则称b为a的映象。 (被射 中的人) • 象源：若<a,b>∈ ,则a为b的象源,记为 (a)=b。 (射箭的人) • 映象集： (A)={b∈B|存在a∈A,使 (a)=b} 称 为A的映象集。(全体被射中的人的集合。) 显 然， (A) B 。 • 变换：A到A的映射称为变换。(窝里斗)
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
• 设：[0， ] [0， 1]，() = sin()， ∈[0, ]。则是 满射，但不是单射。
• 设：N E，N 是自然数集合，E是自 然数中的所有偶数的集合，(n)= 2n，n ∈ N。 则是 单射且是满射，所以是双射。
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有限与无限
• 定义4.1.2：设Nn={0,1, , n– 1} , n1 , 若集合A与Nn等势，则称A为有限集； 否则称A为无限集。
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下列关系是否构成映射？
a b c
A
e f g R1
B
a b c
A
e
f g
R2
B
a b c
A
e f g R3
B
嗨！R1可不 是映射喔。 有人偷懒了。
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嗨！R2也不是 映射喔。有人 一箭双雕。
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啊哈！R3才是 一个映射呢。
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满射、单射、双射
• 定义3.1.2：若是A到B的映射，且对b∈B, a∈A, 使得 (a)=b，则称是A到B上的映射， 简称满射。此时每个b∈B 必是A 中至少一个 元素a 的映象，且 (A)=B。 糟糕！全被射中了。 • 定义3.1.3：设是A到B的映射，若对a,b∈A, a≠b,均有 (a)≠ (b)，则称为A到B的单射或入 射。此时| (A)|=|A|， B中每个元素最多是A中 一个元素的映象。 还好，只中了一箭。 • 定义3.1.4：设是A到B的映射，若既是满射 又是单射，则为A到B的双射或1––1映射。 哼！你能射我，我也能射你。
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§4.1 等 势
如何比较两个集合中元素的多少呢？ 引入等势的概念。 定义4.1.1 设A和B是集合，若存在A到B 的双射，则称A与B等势，记为A ~B 。 (可形象理解为A与B的元素一样多。) • “~”是一个等价关系。 • 例1 自然数集N与偶自然数集E是等势的， 其中定义N到E的双射为：(n) = 2n n∈N.
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双射两次求逆后不变
• 定理3.2.3 设是A到B的双射，则
( – 1 )– 1 =
• 证明：因为是双射，所以 – 1 是B到A的双射，
从而( – 1) – 1是A到B的双射。对任意x∈A,设
(x) =y ,则 – 1(y) = x ,由于 – 1也是双射，所以 ( – 1)– 1(x) = y,故( – 1)– 1 = 。
• = • ，即映射的乘法不满足交换律；
(3)映射的乘法满足结合律。
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复合映射交换后不一定是映射
令是A到B的映射， 是B到C的映射，

1 2 3 4

5
6 7 8
A
B
C
• (1) = (4) = 7； • (2) = (4) = 7； • (3) = (5) = 8 . 而 • (x) 都不存在, 其中，x ∈B .
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证明“～”是一个等价关系
证明：设S={X|任意两个元素之间存在双射，X 是集合}，～是S上的二元关系： ～={<A,B>|A,B∈S,存在双射:AB } 1) 对每个AS,存在恒等映射I:AA，I是双射, 于是A～A，故～是自反的。 2) 对任意A,BS，若A～B，则存在双射:AB， 显然双射-1:BA存在，于是B～A，故～是 对称的。 3) 对任意A,B,CS，若A～B,B～C,则存在双射 :AB和:BC，而· (A)=· ((A))=(B)=C， 即双射· :AC存在，于是A～C，故～是传 递的。 综上所述，～是等价关系。
2014双射的逆
• 定理3.2.4 设是A到B的双射， 是B到C的双
•• 证明： 由假设不难知道， ( • ) – 1 和 – 1 • – 1均是C 先让我们来回忆一下复合关系的逆（定 到A的双射。对任意z∈ C,因为 – 1也是双射，所以有 -1 -1 -1。 理 2.2.3 ）： (R· S) = S · R 唯一的y∈B,使– 1(z) = y. 又因为 –1也是双射，所以 对y有唯一的x∈A ,使 – 1(y) = x.于是， – 1 • – 1 (z) = – 1 ( – 1(z)) = – 1 (y) = x 又因( • )(x) = ((x)) = (y) = z ,且 • 也是双射， 所以 ( • )– 1(z) = x . 从而对任意z∈C , 有( • )– 1(z) = – 1 • – 1 (z)。因此， (式3.2)成立。
第三章
映射
映射又称为函数，是两个集合 之间一种特殊的二元关系。 本章主要介绍各种典型的映射及 其性质、运算以及它们之间的联 系。
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§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• ( • ) = ( • ) • • 证明：对任意x∈A,有 ( • ( • ) )(x) = ( ( • )(x) ) = ( ((x))) (( • ) • )(x) = ( • ) ((x)) = ( ((x))) 因此，(式3.1)成立。即映射的乘法满足结合律。 (式3.1)
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等势有限集合间的单射即满射
• 定理3.1.1 设A，B是两个有限集，且|A|=|B| .于 是， : AB是单射当且仅当是满射。 • 证明：(必要性)设是单射，则 |A|= |(A)| , 因 为|A|=|B| ,所以 |(A)|= |B| ,又因(A) B且B有 限，所以(A) = B，从而是满射。 (充分性)设是满射，则(A) = B，于是， |A|=|B|=|(A)| , 即|A|=| (A)| 。又因A有限，所 以是单射。
y z
b B
y
C
• (a)= (x) = a ; • (b)= (y) = b ;
A
所以， • ≠ • ，即映射的乘法不满足交换律。
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映射的乘法满足结合律
• 定理3.2.2 设是A到B的映射， 是B到C的映
射，是C到D的映射，于是
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2、：R×R R×R，R为实数集。 (x,y)=<x+y,x-y>
解：⑪(单射性) 任取(x,y),(u,v), 假设(x,y)≠(u,v),若 (x,y)= (u,v),即<x+y,x-y>= <u+v,u-v> 则: x+y=u+v 得: x=u x-y=u-v y=v 从而(x，y)=(u，v),与假设矛盾.故是单射. ⑫(满射性) 对任意<u,v>∈R×R,令: (x,y)=<x+y,x-y>= <u,v>,即: x+y=u 解得: x=(u+v)/2 x-y=v y=(u-v)/2 显然((u+v)/2, (u-v)/2)∈R×R,且满足 ((u+v)/2, (u-v)/2)= <u,v>,故是满射.总之, 是双射.
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双射才有逆映射
• 定理3.2.1 设是A到B的映射，于是， 存在 逆映射当且仅当是双射。
• 证明：必要性：设-1存在， -1：BA。若不是满 射，则y∈B ,使得y不是A中任何元素的映象，即y没 有象源。若不是单射，则 x1, x2∈A , x1≠x2且 (x1)= (x2)=y，则y的象源不唯一。不论哪种情况，都 说明的逆关系不是B到A的映射，此与假设矛盾。故 是双射。
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判断下列映射是否单射，满射和双射。
1、设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。 （是变换） 解： 取b=2n+1，b∈N，由的定义知： (n) ≠b，n,b∈N。∴ 不是满射。 任取i，j∈N，且i≠j。若(i)= (j)，即 2i=2j，则i=j，此与i≠j矛盾。∴ (i)≠(j)。 故是单射。综上所述： 是单射但不是 满射。
因此，上例中 • 是映射， • 不是映射。
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映射的乘法不满足交换律
• 假如 • 和 • 都是映射,如下所示： • (x)= (a) = x ; • (y)= (b) = y ; • (z)= (b) = y ; x a x
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复合映射
• 定义3.2.2：设是A到B的映射， 是B到C的映
射，对任意x∈A, 定义( • )(x) = ((x))，易