2014-2015第一学期经管类微积分III期末试卷答案

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2015微积分模考卷参考答案

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪个函数的导数是常数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：B解析：只有指数函数e^x的导数是常数e^x，其他函数的导数都不是常数。

2. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C解析：正弦函数sin(x)是奇函数，因为sin(x) = sin(x)，其他函数都不是奇函数。

3. 下列函数中，哪个函数的积分可以表示为自然对数函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：D解析：只有对数函数ln(x)的积分可以表示为自然对数函数，其他函数的积分不能表示为自然对数函数。

4. 下列函数中，哪个函数的导数是原函数的两倍？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：A解析：只有二次函数x^2的导数是原函数的两倍，因为f'(x) = 2x，而f(x) = x^2。

5. 下列函数中，哪个函数的导数是原函数的倒数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：D解析：只有对数函数ln(x)的导数是原函数的倒数，因为f'(x) = 1/x，而f(x) = ln(x)。

6. 下列函数中，哪个函数的导数是原函数的负数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C= cos(x)，而f(x) = sin(x)。

7. 下列函数中，哪个函数的导数是原函数的平方？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：B解析：只有指数函数e^x的导数是原函数的平方，因为f'(x) = e^x，而f(x) = e^x。

经管类微积分(上)参考答案

经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ．五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。

五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ．五、212x +. 第三章测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章中值定理与导数的应用习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章测验题一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21．三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31．二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2．二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(．四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2．五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章定积分及其应用习题一一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22．五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ．三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727．五、10/100Q Qe -．六、31666．七、1．2； 2．2ln 21．。

经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内（C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=，故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分２分５分７分３分６分７分３分６分７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。

2014-2015学年度第一学期期末考试初三历史试题

2014－2015学年度第一学期期末考试初三历史试题说明：⒈本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间100分钟，共100分。

⒉请将第Ⅰ卷每小题的正确答案填在第Ⅱ卷的答题表格中，考试结束后只交第Ⅱ卷，不交第Ⅰ卷。

第Ⅱ卷答题用0.5毫米黑色铅笔现在答题纸指定位置。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入第Ⅱ卷前的答题表格中。

1、人类早期文明最先诞生于亚非地区的大河流域，重要的有①古代埃及文明②古代两河流域文明③古代中国文明④古代印度文明。

下列有关它们的文明成就，搭配不完全正确的一组是A、①金字塔和象形文字B、②汉谟拉比法典和楔形文字C、③分封制度和青铜文明D、④种姓制度和《天方夜谭》2、古巴比伦国王汉谟拉比在位时曾制定了一部成文法典，其主要目的是A．保障公民利益 B．发展社会经济C．维护奴隶主利益 D．健全民主制度3、“条条大路通罗马”、“身在罗马，就像罗马人一样行事”，这些西方谚语可以转意为成语“殊途同归”、“入乡随俗”。

从历史文化的角度看，这些西方谚语的形成说明了当时罗马A、罗马帝国为了向外扩张修建了许多道路B、当时有很多外国人在罗马学习、生活C、罗马帝国的征服和统治充满着暴力D、罗马文化渗入到它统治过的广大地区4、推动日本从奴隶社会向封建社会过渡的重大历史事件是A．日本统一 B．宫廷政变 C．大化改新 D．孝德执政5、历史学家认为：地中海区域以其独特的自然地理和人文风貌为孕育西方文明提供了良好的条件。

下列历史现象，能够说明这一观点的有①爱琴文明发源于克里特岛②雅典奴隶主民主政治形成③西欧城市的兴起④文艺复兴运动产生A、①②B、③④C、①②③D、①②③④6、下列图片中，具有典型哥特式风格的建筑是7、文艺复兴时期，涌现出了许多杰出人物。

其中被誉为“旧时代的最后一位诗人，同时又是新时代的最初一位诗人”的是A、荷马B、达·芬奇C、但丁D、莎士比亚8、1688年发生在英国的宫廷政变推翻了国王的专制统治，其发动者主要是A、资产阶级和新贵族B、北方资产阶级和南方种植园主C、富裕商人和银行家D、苏格兰人民和议会军9、美国独立战争开始的标志性事件是A、英国殖民者的殖民压迫B、莱克星顿枪声C、北美13个殖民地宣告脱离英国独立D、萨拉托加战役10、小说及电视剧《西游记》中描述的“如来佛”这一角色，其来自于历史人物A．乔达摩·悉达多 B．耶稣 C．真主安拉 D．宙斯神11、拿破仑是历史上最富传奇色彩也是最富争议的人物之一。

【精选资料】微积分期末复习题及答案

数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ）不是驻点（B ）是极大值点（C ）是驻点却不是极值点（D ）是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。

0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。

6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。

2015微积分考试题及答案复习题及答案试题库

2
kx x
1
， C是常数 k C C, , , , , t an x C c oC x t C, C, , , 1 ,
1 ln x
arcx tan C ar cx si n C x si n C c xo C s s e xdx c c sxdx c sec x csc x C, C,
2 2
1 x
2
第 1 页共 30 页
3 .................... ...................... 3 4 8 .... 8 9 10 13 13
（二）无界函数的反常积分
. ............................
15 16 16 17 18 18 18 20 20 21 22 22 22 23 23
如果定积分 ,记作
f x dx
（ 2 ）不定积分得基本性质 1．
F x
C,
d dx
3。
f x dx Af x
f
x 2。 F dx
'
x dx
F x
C
Bg x
A f x dx
B g x dx.
（ 3）基本不定积分公式表一
第 3 页共 30 页
(1)k d x （2 ) x d x （3） (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 x dx dx 1 x dx
co xdx s s ixdx n dx c o sx dx s t
(11) csc x cot xdx (12) a dx (13) shxdx (14) chxdx (15) (16) 1 ch x 1 sh x
2 2 x
a
x
ln a chx

2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案

北京师范大学珠海分校2014-2015学年第一学期期末考试试卷A (参考答案)开课单位：_应用数学学院—课程名称:_微积分(上)(3学分)_ 任课教师： ________ 考试类型：—闭卷—考试时间：_12「分钟学院 _________ 姓名 _____________ 学号 _______________ 班级 _________题号-一--二二三四五总分得分阅卷人、填空题：(共5小题，每空3分，共30分) (1) 函数y=arctanx 的定义域是 (,),其微分dy=1 x 2(2) 函数f(x)在点X o 处连续，必须同时满足的条件是：1、f(x)在点X o 有定义,试卷装订线(5)已知f若 f(u) (共5小题，每题3 分, ) 、单选题： (1)下列正确的是(B A lim1 B limxx ， xxsi n 1 1xC lim xsin 1X 0x 1 , D lim xxsin 」0。

x(2) f(x)在x o 点可微与 f (x)在x o 点可导是(C)的A 相等，B 相关，C 等价无关。

⑷ 若函数f(x)在[a,b]_上连续 _、在(a,b )_内可导则至少有一点(a ,b )使得：f(b) f(a) f'( )(b a)2(u )可导；y=x f(lnx),的一个原函数是e u ,则共 15 分)解：y x arccosx+x(arccosx) =arccosxx1 x22'y'1 1X0 (、1 X2[1 1 X2]) X 0i_________ 2(2)已知y x、，a2x2—2 2 a2 21二 2 x a 1解：Q y 、a x 一2 c2 2 a2 x22 21 —2 x a一' a x21 . ~~2 22「L 2、十"X(3) 若f(X。

)0，f (x。

)0 ,贝U下列结论正确的是(AX0是f (X)的极大值点(X o, f (X o))是f(X)的拐点,C X0是f (x)的间断点X0是f (X)的极小值点。

微积分(经管类)14-15-1期末试题答案2014.12

天津工业大学（2014—2015学年第一学期）《微积分（经管）》期末试卷（A 卷）(2015. 1理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。

本试卷共有八道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

满分 21307888810总分复核题目一二三四五六七八得分评阅人一．填空题(每空3分,请将答案写在空格处)1、求极限311cos (1cos )limx x e x x →-=--4。

2、设2cos2(1)xy x x π=- 的第一类间断点为：1x =。

3、设0()0f x '≠存在，且当0x ∆→时，00()()f x x f x -∆-与A x ∆是等价无穷小，则常数A = 0()f x '-。

4、积分124215sin cos 1d x x x x x x -+-⎰=16π。

5、函数arcsin sin(tan )y x x x =+的微分=dy 22[arcsin sec cos tan ]1x x x x dx x ++-。

满分 21 得分 -------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名装订线装订线装订线6、函数(1)(2)x x y x x =--的水平渐近线为1y =±。

7、生产某产品的固定成本0C ，边际成本和边际收益分别为11114q MC 2+-=q ， 2q -100MR =，求厂商利润表达式（只列式子不计算）： ()()[]002111142100)(C dq q q q q L q-+---=⎰。

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厦门大学微积分（III ）期末考试试卷2014级经管类试卷（A ）考试日期2015.1.211、（10分）计算下列极限 (1) lim nn1 . k sink 1 n(2) 2 2[t e u du]dtlim -x 2(x 2)(3) limn_・ n"4 0解：（1）由定积分的定义得 limn n1 . ksin - 1 n n1 sin 0xdx1cos (2) 由洛必达法则得 limx(3)lim nn4 sin x 012dx x lim n7 sin x 0 12 dx x lim或利用积分中值公式nim42、（ 20分） (1) I 1 (3) I3 解：（1） I 1x2[2udu]dt(x 2)^n im sin n (4)041"dulim x 22(x 2) —lim e 2x21 2dxx|12I 014e2x x 2 —dx xarcta n — 4lim (迢nn 2 0.0.sin1n n ~2 n0,0nsin 1n ~2~ nnsinnsin汕皿0, n(0亍.计算下列积分 2 xdx ； .1 x 2(2) I 22x cos(2x 1)dx ；sectdt 所以 h ^sect 2 另解：I 12 ~2 tant x 2l n(x 1 x 2)2 x dx 令 x tant 、1 x 2-8 sin x cos 7 x dx sec 2 tdt sect sectdt sectd (ta nt) sectdt 11sectdt sect2 2 tant In | sect (4) 142tan t sectdt sect tanttant | c0 |sinx , 3cosx |dx2(sect 1)sectdt2tan t sectdtsectdtln |x 1 x 2 | c.1 x 2x 2dx,1dx x ~x 2、1 x 22/x2dxln |x 1 x 2 |xx故I 1 j dx 1 x J 1 ~x 2 -In |x &2 2 1 x 2(2) 212I 2 x cos(2x 1)dxx dsin(2x1 2 1 x sin(2x 1) xcos(2x 2 21 2 1x sin(2x 1) xcos(2x1) 1x 2si n(2x 1) xsi n(2x1)dx(3) 由于In(x 1 x 2)为奇函数, I 3◎ x 21n(x ,1 x 2)2&n 8xdx 22COS7 xdx(4) 因为sin x 1)1cos(2x 1)dx2 1) 1sin(2x 1) c . x 21n(x . 1 x 2)也为奇函数，则有sin 8 x cos 7 x dx 2 sin 8 xdx 27 5 3 1 2［- 8 6 4 2\ 3cosx 2(^sin x2-3 2cosx)cos xdx6 4 2 35162 753 2［药 35］. 2sin(x3)，且它是以2为周期的函数，故I 4 0 |sinx . 3 cosx |dx1,3sin x cosxdx 2 22|sin(x —) |dx2 ' |sin(x -) dxx|sint |dt 4 0 sintdt8.其中利用积分公式若a,x (),f (x T) f(x)，则f(x)dx0 f(x)dx.3. (10分)已知f(x)具有二阶连续导数, g(x)为连续函数，且满足 f (x) Incosx 0 g(x t)dt, 1］叫g(x)试问：x 0是否是f (x)的极值点？(0, f (0)是否是曲线 y f (x)的拐点？请论证说明理由. 解：由g(x)的连续性和lim-^ 2及极限的保号性知, g(0) 100 g(x) I ］叫 x g(x)x(2) 0 且存在x 0的某个邻域(,)，使得当 x 0时,g(x) 0，当0 x时，g(x ) 0，由 f (x)知 f (0)In cos x q g (xt)dt In cos xg(t)dt ，其中 °g(x t)dt x t ux0 g(u)du0， x 0是f (x)的驻点，且当 0 时,f (x) In cos x 0 g(t)dt 0x当Ox 时,f (x) In cosx 0 g(t)dt 0，即f (x)在x 0的邻域内不变号，所以x 0不是 f (x)的极值点。

x再由 f (x) ［Incos x o g(t)dt ］ tanx g(x)，且 f (0) 0.当 x 0时，f (x) 0，当0 x 时，f (x) 0，即f (x)在x 0的邻域内变号，故(0, f (0)是函数曲线的y f (x)的拐点。

4、( 10分)设f(x)是区间［a,b ］上单调减少的连续函数，且f(x) 0, x ［a,b ］，求证：在(a,b) 内存在唯一的，使得在区间［a,］上以y f (x)为曲边的曲边梯形的面积与在为高的矩形面积相等。

x构造辅助函数 F(x) f (t)dt f (x)(ba显然F(x)在区间［a,b ］上连续，且证明：由题设条件，欲证(a,b)，使得f (x )dx f ( )(b ).F(a) a f (t)dt f (a)(b a) f(a)(b a) a b F(b) f (t)dt f (b)(b b) ab f (t)dt 0 a由闭区间上连续函数的零点定理知， F(x)在区间(a,b)内必有零点，即存在 (a,b)，使得F ( ) f (x)dx f ( )(b ) 0，即得 f(x)dx f ( )(b ).a a {或利用洛尔定理证.令G(x) (x b) f (t)dt, x [a,b]，显然G(x)在[a,b]上满足洛尔定理的三个a 下面利用F(x)的单调性来证存在的唯一性 .对 X !, x 2 [a,b],论 x 2. F(X 2)F(X JX 2f(t)dt a f (X 2)(b X 2)X 1 f (t)dt f(xj(b xj a X2x f(t)dt X 1 f (X 2)(b X 2) f (X i )(b xj X 2x f(t)dt[f(xj f(X 2)](b X 2) f(xJ(X 2 xj 0 其中上式右端第一、三项为正，第二项非负，故 F(x)在［a,b ］上严格单调增加, 条件，由洛尔定理，存在(a,b)，使得 G ( )=0,即因此是唯的。

a f(X )dX f( )(b ).} 5、( 10分)判断广义积分+ arcta ne x2xdx 的敛散性，若收敛则求出其广义积分值。

e[,b]上以 f()X ), x [a,b]2解：由于嗨-e 2xe 2x,x (0,)，因为 0e 2xdx1收敛,2 由比较判别法知广义积分 arcta ne x —dx 收敛. 2x e arctane x 「 x 丟 dx ee =arcta nt dt t 1 arcta ntd(=) t 2 1 arcta nt1 arcta nt 2[T" dt t 7 1 arctant2[亍-arctant] t 1 arcta n e xarcta ne x ]X 2x~dXe 所以 + arctane0 1 arcta n e x2[2x e 1 (2arcta n1 21) arcta ne x ] 1 r arcta ne x arcta ne x] e 6、(15 分) 现过点（0,2）作曲线：y x 3的切线L.（ 1）求L 的方程；（2）求与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的x 0的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积. 解:（ 1）设切点为（X 。

, x o ），则有y （x °） 3x 0，所以L 的方程为y x 0 3xo(x X 。

)，将 x 0,y 2代入L 的方程，有x 03 1, 解得唯一实根X o 1，故切点为（1, 1），切线方程为y 3x 2.3 ⑵由yX 解得x 1 y 3x 2 1,X 2 2，故所求D 的面积为 21(3x2 x 3)dx 旦4（3）所求体积为V 2 o[(3x2)2 (x 3)2]dx 264 7 f （x ）在［a,b ］上是下凸的（即函数曲线形如U 型），证明： f(a 2b ) b 1b f(x)dx f(a)2f(b)2 b a a27、（ 15分）设f （x ）在［a,b ］上连续可微, 且函数曲线 y 证：先证左边的不等式由已知条件曲线y f （x ）在［a,b ］上是下凸的，其函数曲线y f （x ）总在曲线切线的上方。

令X 。

a b …亠，则有f (x) f(x °) f (x °)(x X 0), X [a,b]，两边从 a 到 b 积分，得bb b b b1 b即 — b a a下面证右边的不等式1 bf (b) f (a)即f(x)dx，此即要证的右边的不等式。

证毕！(b a) a8、( 1O 分)某企业将投资8OO 万元生产一种产品，假设在投资的 2O 年中该企业以2OO 万元/年的速度均匀地收回资金，如果按年利率 5%的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及投资回收期。

解：以题意收益率为2OO ,投资总收益的现值为” +2Occc O.O5t lx现值二 2OOe dte |o 4OOO(1 e ) 2528.4o0.05假设回收期为T 年，则：200严水800，即器严飞800 由此解得T20ln0.8 4.46年，所以投资回收期为 4.46年.f (x)dxaf (x o )dxaf (x o )(x x o )dxa(b a)f(x o )(b a)f (¥其中f(x °)dx f (x o ) (x x o )dxab a(xb(x X o )dxa"dx 0. 2再由已知条件曲线y f (x)在［a,b ］上是下凸的，则其函数曲线y f (x)总在曲线端点弦连线的下方。

则有 f(x) 心)f (b) f(a)a(x a)，［a,b ］，两边从a 到b 积分，得b b a f (x)dx a f (a)dx f(b) f(a) b a ba (x a)dx(b2a)f(a)-^(a) (b a)b a(b a)f (a) (b a)[ f (b)a)f(b) f(a)2af(x)dx f G-)，此即左边的不等式。