光的衍射习题(附答案)

光的衍射（附答案）

一．填空题

1.波长λ = 500 nm（1 nm = 109 m）的单色光垂直照射到宽度a = mm的单缝上，

单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距f 为3 m．

2.在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1 ≈

589 nm）中央明纹宽度为mm，则λ2 ≈ 442 nm（1 nm = 109 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为mm．

3.平行单色光垂直入射在缝宽为a = mm的单缝上，缝后有焦距为f = 400 mm

的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5×104mm）．

4.当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b = 3a 时，衍

射光谱中第±4, ±8, …级谱线缺级．

5.一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成

30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．

6.用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 μm（1 μm = 106 m）的

光栅上，用焦距f= m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l = m，则可知该入射的红光波长λ=或633nm．

7.一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为20 cm．照射光波长550nm．为了可以分

辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于×105rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于μm．

8.钠黄光双线的两个波长分别是nm和nm（1 nm = 109 m），若平面衍射光栅

能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．

9.用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1 = 440 nm的第3级光谱

线将与波长为λ2 =660 nm的第2级光谱线重叠（1 nm = 109 m）．

10.X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为

2d．

二．计算题

11.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单

缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否

还有其它极小相重合

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

a sinθ1= 1 λ1 a sinθ2= 2 λ2

由题意可知θ

1

= θ2, sinθ1= sinθ2

代入上式可得λ1 = 2 λ2

(2) a sinθ1= k1λ1=2 k1λ2(k1=1, 2, …)

sinθ1= 2 k1λ2/ a

a sinθ2= k2λ2(k2=1, 2, …)

sinθ2= 2 k2λ2/ a

若k

2

= 2 k1，则θ1= θ2，即λ1的任一k1级极小都有λ2的2 k1级极小与之重合．

12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = mm，平行光垂直如射在单缝上，波长

λ= 500 nm，会聚透镜的焦距f= m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx．

解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为

a sinθ1= λ

x1 = f tanθ1≈ f sinθ1≈ f λ / a (∵θ1很小)

单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为

a sinθ2 = 2 λ

x2 = f tanθ2≈ f sinθ2≈ 2 f λ / a (∵θ2很小)

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度

Δx1 = x2x1≈ f (2 λ / a λ / a)= f λ / a=××107/×104) m

=．

13.在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1 = 400 nm，λ2 = 760

nm（1 nm = 109 m）．已知单缝宽度a = ×102 cm，透镜焦距f = 50 cm．

(1)求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．

(2)若用光栅常数a= ×10-3cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，

求两种光第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

a sinφ1= 1

2(2 k + 1)λ1 =

1

2λ1（取k = 1）

a sinφ2= 1

2(2 k + 1)λ2=

3

2λ2

tanφ1= x1/ f，tanφ2= x1/ f

由于sinφ1≈ tanφ1，sinφ2≈ tanφ2

所以x1= 3

2f λ1 /a

x2= 3

2f λ2 /a

则两个第一级明纹之间距为

Δx1= x2x1= 3

2f Δλ/a = cm

(2) 由光栅衍射主极大的公式

d sinφ1= k λ1 = 1λ1

d sinφ2= k λ2 = 1λ2

且有sinφ = tanφ = x / f

所以Δx

1

= x2x1 = fΔλ/a = cm

14.一双缝缝距d = mm，两缝宽度都是a = mm，用波长为λ = 480 nm（1 nm =

109 m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f= m的透镜．求：(1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数．

解：双缝干涉条纹

(1) 第k级亮纹条件：d sinθ = kλ

第k级亮条纹位置：x

1

= f tanθ1≈ f sinθ1≈ k f λ / d

相邻两亮纹的间距：

Δx= x k +1x k = (k + 1) fλ / d k λ / d= f λ / d = ×103 m = mm

(2) 单缝衍射第一暗纹：a sinθ1= λ

单缝衍射中央亮纹半宽度：Δx

= f tanθ1≈ f sinθ1≈ k f λ / d = 12 mm Δx0/ Δx = 5

∴双缝干涉第±5级主极大缺级．

∴在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9

分别为k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹

或根据d /a= 5指出双缝干涉缺第±5 级主极大，同样可得出结论。