柱面坐标系下的三重积分计算
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
在柱面坐标系下三重积分计算的一种新方法
柱面坐标(如图1所示)。
图1柱面坐标系
一般假定r,θ,z的变化范围分别为:
柱面坐标系中的三个坐标面分别
投影法
图2点M在圆柱面r=r0上的投影点M'示意图
,
空间立体Ω(r,θ,z)
点并且和z轴垂直的
图3及图4所示),从而空间区域表示
此时,区域Ω的边界面上有两个曲面r=r
和图4所示的两种情形。
图3区域Ω的边界面(情形1)
图4区域Ω的边界面(情形2)
空间立体Ω的质量可以看作密度不均匀的片D(θ,z)的质量,求出面密度ρ(θ,z)后就
. All Rights Reserved.
),从而
这样,将柱面坐标下的三重积分转
积分:
进一步,可将外层的二重积分转化
投影区域D(θ,z)的形式为,
则
从而,把三重积分转化为先对r,再对z,最后对积分。
如果投影区域D(θ,z)的形式为
则
从而,把三重积分转化为先对r,再对θ,
则三重积分可转化为:
或者:
综上所述,柱面坐标下三重积分为一句口诀,即“一投二交三积分在上面的讨论中,假定了从z轴
. All Rights Reserved.。
柱面坐标和球面坐标计算定积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
圆柱坐标系三重积分公式
圆柱坐标系三重积分公式引言三重积分是数学中的一个重要概念，用于求解空间区域内的体积、质量等物理量。
在坐标系中，我们通常使用直角坐标系，也就是以直角为基础的三维坐标系。
然而，在某些情况下，直角坐标系并不是最为方便的选择，而更适合使用圆柱坐标系。
圆柱坐标系是三维空间中的一种常见坐标系，它以柱面的极坐标和高度作为三个坐标轴。
在圆柱坐标系中，三重积分的计算也有相应的公式。
本文将介绍圆柱坐标系下的三重积分公式，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
圆柱坐标系简介圆柱坐标系是由径向、极角和高度三个坐标轴组成的。
其中，径向表示从原点到点的距离，极角表示点在柱面上的位置，高度表示点在垂直于柱面的直线上的位置。
在圆柱坐标系中，点的位置可以用一个三元组 $(r, \\theta, z)$ 来表示，其中r是径向的长度，$\\theta$ 是极角的度数，z是高度。
这种坐标系在某些问题中更方便，特别是具有柱对称性的问题。
圆柱坐标系三重积分公式的推导在圆柱坐标系中，我们需要推导出三重积分的微元体积和积分限的变化关系，以得到三重积分的公式。
首先，考虑微元体积dV，它可以表示为一个微小圆柱体的体积。
微小圆柱体的底面积可以表示为 $dA = r \\, dr \\, d\\theta$，高度为dz，因此微元体积为 $dV = dA \\, dz = r \\, dr \\, d\\theta \\, dz$。
接下来，考虑积分限的变化关系。
在圆柱坐标系中，积分变量的范围可以表示为 $r_1 \\leq r \\leq r_2$，$0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi$，$z_1 \\leq z \\leq z_2$，其中r1和r2是径向的最小值和最大值，z1和z2是高度的最小值和最大值。
最后，将微元体积和积分限的变化关系代入三重积分的定义中，即可得到圆柱坐标系下的三重积分公式：$$ \\iiint_V f(r, \\theta, z) \\, dV = \\int_{z_1}^{z_2} \\int_{0}^{2\\pi}\\int_{r_1}^{r_2} f(r, \\theta, z) \\, r \\, dr \\, d\\theta \\, dz $$其中，$f(r, \\theta, z)$ 是被积函数，V是空间区域。
三重积分 柱坐标与极坐标
则二重积分应当考虑用极坐标计算.
这就等于用柱面坐标计算三重积分.
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标, 代替, 则（, , z)
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
例5. 计算三重积分
其中
与球面
所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
:
0
π 4
0 2π
π 4
( x2 y2 z2 )dxdydz
2π
d
π
4 sin d
Rr4 dr
Oy x
0
0
0
1 π R5(2 2)
d v r2 sin drd d
圆锥面
球面 r+d r
半径为r及r + dr的球面；
圆锥面及+d rsind
r
圆锥面 + d
0
d
y
x
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面 及+d ；
半径为r及r+dr的球面；
rsind
圆锥面及 + d
d v r 2 sind rd d
常见曲面的柱面坐标方程
曲面 半球面
直角坐标方程 z a2 x2 y2
柱面坐标方程 z a2 r2
圆锥面 旋转抛物面
z x2 y2 z x2 y2
zr z r2
圆柱面 圆柱面 圆柱面
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
三重积分的计算(2)
o
x
y
小柱体的底： 其面积可取为平面极坐标 系中的面积元素rdrd
小柱体的高： dz， 于是柱坐标系中的体积元素为
dV rdrd dz
f ( x, y , z )dxdydz
V
f (r cos , r sin , z)rdrddz
V
rdrd
2、三重积分在柱坐标下的计算：
例2: 计算由x2 + y2=az (a>0), x2 + y2 =2ax 与z=0 所围成的立体的体积。
x2 + y2=az
z
分析：用二重积分计算 曲顶柱体的体积
y
o
z
x2 + y2 =2ax
V
D xy
x y dxdy a
2 2
x
x2 y2 z a y
用三重积分计算： V
dv
下面求柱面坐标系中的体积元素:
x r cos , y r sin , z z.
dV
求柱坐标系中体积元素dV 的表达式
用柱坐标系中的三组坐标面来分割闭区域V， 取一典型小块 如右图，是由半径为r及r+dr的圆柱面； 与xz平面夹角为及+d的半平面； 两个高为z及z+dz的平面； 所围成的小块 ——小柱体 z
计算曲面 解
( x2 y 2 z 2 )2 az3 ,(a 0) 所求体积V dV
V
所围成的立体的体积
在球面坐标系下曲面的方程为：
π 又由ρ 0,即a cos 0, 知 0 φ 2
3
a cos 则 V： a cos3 ( , , ) V , 0 θ 2π
17重积分—— 三重积分的变量代换
2
3
z4 4
2 1
5
2
z
• z Dz
o
y
x
: x2 y2 z2，1 z 2
y
Dz
o
zx
Dz : x2 y2 z2 16
z r cos
y
(2) e ydv
令
x
r
sin
2
y y
2 1
e ydv e ydv e ydv
a4
2 2
a
a
4
)
(
a
4
a4 )
o
zx
44 2
4
4 44
a4。
8
10
解法三 投影法
z
zdv
a2 x2 y2
dxdy
zdz
x2 y2
Dxy
x
1 2
(a2
2x2
2
y2
)dxdy
Dxy
再用极坐标变换
1
2
d
a
2 (a2 2r 2 )rdr
21
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
0 ,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
22