中数,标准偏差等的计算
标准差 标准误 计算
标准差标准误计算标准差（Standard Deviation）和标准误（Standard Error）是统计学中常用的两个概念，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
本文将分别介绍标准差和标准误的计算方法，以及它们在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来看看标准差的计算方法。
标准差是用来衡量一组数据的离散程度或者波动程度的统计量。
它的计算公式如下：标准差 = sqrt((Σ(xi x)²) / N)。
其中，Σ表示求和，xi表示每个数据点，x表示数据的平均值，N表示数据的个数。
这个公式的意思是，首先计算每个数据点与平均值的差值的平方，然后求和，最后再除以数据的个数，最后再开方，得到标准差。
标准差的计算可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
如果一个数据集的标准差较大，说明数据的离散程度较高，数据点之间的差异较大；反之，如果标准差较小，说明数据的离散程度较低，数据点之间的差异较小。
因此，标准差可以帮助我们判断数据的稳定性和一致性。
接下来，我们来介绍标准误的计算方法。
标准误是用来衡量统计量的抽样分布的离散程度的统计量。
它的计算公式如下：标准误 = 标准差 / sqrt(n)。
其中，标准差是我们之前介绍过的，n表示样本的大小。
标准误的计算方法其实就是用标准差除以样本大小的平方根。
标准误的大小可以帮助我们判断统计量的稳定性和可靠性。
在实际应用中，标准误经常用来计算置信区间和进行假设检验。
在进行统计推断时，我们通常会计算统计量的标准误，然后根据标准误来判断统计量的显著性和置信度。
标准误越小，说明统计量的稳定性和可靠性越高，我们对其所做的推断也就更加可信。
综上所述，标准差和标准误是统计学中非常重要的概念，它们分别用来衡量数据的离散程度和统计量的稳定性。
通过对标准差和标准误的计算和应用，我们可以更好地理解和分析数据，进行统计推断，从而得出科学和可靠的结论。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用标准差和标准误这两个概念。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
标准偏差计算
一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简 称平均数或均数，记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差 之和为零的问题。
先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均差x平方x和 ， 即
，简
称平方和，记为SS；
由
于
离差平方和
(x
常随
x)2
样
本
大
小
而
改
变
，为
了
消
除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn ) n
为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得lgG，再求lgG的 反对数，即得G值，即
其【年G例平3均.7增】lg长某率波1。[尔1n山(羊lg群x19197—lg200x02年各年度的存lg栏数xn见)表] 3—3，试求
1
1
1
H
208.33
1 5
(
1 200
1 220
1 210
1 190
1 210
)
1 5
(0.024
)
0.0048
即保种群平均规模为208.33头。
对于同一资料： 算术平均数>几何平均数>调和平均数
上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
标准差和标准误差的计算公式
标准差和标准误差的计算公式在我们的数学世界里，标准差和标准误差这两个概念就像是一对神秘的双胞胎，虽然长得有点像，但性格却大不相同。
先来说说标准差吧，它的计算公式就像是一个神奇的魔法咒语：若有一组数据$x_1, x_2, \cdots, x_n$，那标准差$\sigma$的计算公式就是：$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n}}$。
这里面的$\overline{x}$表示的是这组数据的平均值。
举个例子来说，比如说有一组考试成绩：85 分、90 分、95 分、70 分、80 分。
首先得算出这组成绩的平均值，也就是把这几个分数加起来再除以 5。
（85 + 90 + 95 + 70 + 80）÷ 5 = 82 分，这个 82 分就是平均值$\overline{x}$。
然后呢，我们要一个一个地算每个分数与平均值的差的平方，比如85 分与平均值 82 分的差是 3 分，平方就是 9 分；90 分与 82 分的差是8 分，平方就是 64 分；95 分与 82 分的差是 13 分，平方就是 169 分；70 分与 82 分的差是 -12 分，平方就是 144 分；80 分与 82 分的差是 -2 分，平方就是 4 分。
把这些差的平方加起来：9 + 64 + 169 + 144 + 4 = 390 分。
最后再除以数据的个数 5，得到 78 分，对 78 分取平方根，约等于8.83 分，这就是这组成绩的标准差啦。
标准差反映的是这组数据的离散程度，也就是说，它能告诉我们这些数据分布得有多分散。
比如上面这组考试成绩，标准差约为8.83 分，说明这组成绩的分布相对比较分散。
再讲讲标准误差，它的计算公式是：$\sigma_{\overline{x}} =\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 。
标准误差更多是在涉及到抽样的时候用到。
标准偏差计算
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一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称平均数或均数， 记为。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。
(一)直接法
主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资 料平均数的计算。
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设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
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1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置
的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
x Md= (n1) / 2
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位
数，即：
Md
xn / 2
x(n / 21) 2
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【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的 妊娠天数为 144 、 145、 147、 149、150、 151、153、156、157，求其中位数。
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四、众 数
资料 中出现次数最多的那个观测值或次数最多一 组的组中值，称为众数，记为M0。
如表2-3 所列 的 50枚受精种蛋出雏天数次数分布 中，以22出现的次数最多，则该资料的众数为22天。
又如 【例3.6】 所 列 出 的 次数分布表中， 57—71这一组次数最多，其组中值为64天，则该资 料的众数为64天。
值的总偏离程度。
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为了解决离均差有正 、有负，离均差之 和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即 Σ| |/n。虽x 然x 平均绝对离差可以表示资料 中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对 离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在 统计学中未被采用。
标准差 标准误差
标准差标准误差标准差和标准误差是统计学中最重要的两个概念之一。
它们都是衡量样本数据偏离均值的程度的指标。
然而，它们的计算方式和用途却不同，下面将会详细介绍这两个概念。
一、标准差标准差是用来衡量样本数据的变异程度的指标。
它的计算方式是，先计算每一个数据与均值的差，然后用这些差的平方和除以样本的大小，最后求平方根。
这个平均差的平方根就是标准差。
例如，我们有一组数据 {2, 4, 6, 8, 10}。
它的平均值是 6。
那么，计算标准差的方法如下：- 先计算每个数据与均值的差：2-6=-4, 4-6=-2, 6-6=0, 8-6=2, 10-6=4- 计算这些差的平方和：(-4)^2 + (-2)^2 + 0 + 2^2 + 4^2 = 36- 把这个平方和除以样本大小（5）：36/5 = 7.2- 最后求平方根：√7.2 ≈ 2.684所以，这组数据的标准差是 2.684。
二、标准误差标准误差是用来给出样本均值与总体均值之间的差异的置信区间的指标。
它的计算方式是，把样本标准差除以样本大小的平方根。
这个值就是标准误差。
标准误差的计算公式是：SE = σ / √n其中，σ 表示总体标准差，n 表示样本大小。
例如，我们有一组样本数据 {2, 4, 6, 8, 10}，它的样本均值是 6。
如果我们要估计它与总体均值的差异，而且总体标准差为 2。
那么，这个样本的标准误差的计算方法如下：- 先计算样本标准差：和上面的例子一样，这个样本的标准差是 2.684。
- 把样本标准差除以样本大小的平方根：2.684 / √5 ≈ 1.201所以，这个样本的标准误差是 1.201。
三、总结标准差和标准误差都是用来衡量样本数据的偏离程度的指标。
标准差是用来衡量样本数据的变异程度，而标准误差则是用来给出样本均值与总体均值之间的差异的置信区间的指标。
它们的计算基本相似，但目的和使用方法则不同。
在实际应用中，我们需要根据不同的需要选择合适的指标去进行分析和决策。
用Excel统计的方法
Excel统计方法一、计量资料的常用统计描述指标1．平均数平均数表示的是一组观察值(变量值)的平均水平或集中趋势。
平均数计算公式：式中：Ｘ为变量值、Σ为总和，Ｎ为观察值的个数。
2．标准差(S) 标准差表示的是一组个体变量间的变异(离散)程度的大小。
S愈小，表示观察值的变异程度愈小，反之亦然，常写成。
标准差计算公式：式中：∑Ｘ2为各变量值的平方和，(∑Ｘ)2为各变量和的平方，N-1为自由度3．标准误（S⎺x）标准误表示的是样本均数的标准差，用以说明样本均数的分布情况，表示和估量群体之间的差异，即各次重复抽样结果之间的差异。
S⎺x愈小，表示抽样误差愈小，样本均数与总体均数愈接近，样本均数的可靠性也愈大，反之亦然，常写作。
标准误计算公式：二、计数资料的常用统计描述指标1．率和比率是一种表示在一定条件下某种现象实际发生例数与可能发生该现象的总数比，用来说明某种现象发生的频率。
比是表示事物或现象内部各构成部分的比重。
率和比计算公式：2．率和比的标准误率和比的标准误是抽样造成的误差，表示样本百分率和比与总体百分率和比之间的差异，标准误小，说明抽样误差小，可靠性大，反之亦然。
( p为率的标准误，P为样本率，当样本可靠且有一定数量的观察单位时可代替总体率。
N为样本观察例数)三、显著性检验抽样实验会产生抽样误差，对实验资料进行比较分析时，不能仅凭两个结果（平均数或率）的不同就作出结论，而是要进行统计学分析，鉴别出两者差异是抽样误差引起的，还是由特定的实验处理引起的。
1．显著性检验的含义和原理显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异，以及这种差异是否显著的方法。
2．无效假设显著性检验的基本原理是提出“无效假设”和检验“无效假设”成立的机率（P）水平的选择。
所谓“无效假设”，就是当比较实验处理组与对照组的结果时，假设两组结果间差异不显著，即实验处理对结果没有影响或无效。
经统计学分析后，如发现两组间差异系抽样引起的，则“无效假设”成立，可认为这种差异为不显著（即实验处理无效）。
标准偏差与相对标准偏差计算公式
标准偏差与相对标准偏差计算公式在咱们学习数学和统计学的过程中，标准偏差和相对标准偏差的计算公式那可是相当重要的“家伙”。
标准偏差，简单来说，就是用来衡量一组数据的离散程度的。
想象一下，咱们班同学的考试成绩，有的考得特别高，有的又比较低，这成绩的分布情况就可以用标准偏差来描述。
标准偏差的计算公式是这样的：先求出这组数据的平均数，然后每个数据与平均数相减，再把这些差值平方，之后把这些平方值加起来除以数据的个数，最后再开平方。
说起来有点绕嘴是不？咱们来举个例子。
比如说有一组数：10，20，30，40，50。
首先算出它们的平均数，（10 + 20 + 30 + 40 + 50）÷ 5 = 30。
然后呢，每个数与 30 相减：10 - 30 = -20，20 - 30 = -10，30 - 30 = 0，40 - 30 = 10，50 - 30 = 20。
再把这些差值平方：(-20)² = 400，(-10)² = 100，0² = 0，10² = 100，20² = 400。
把这些平方值加起来：400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000。
除以数据的个数 5 得到 200，最后开平方，标准偏差就约等于 14.14 。
再来说说相对标准偏差，它是标准偏差与平均数的比值，通常用百分数表示。
相对标准偏差能更直观地反映数据的离散程度相对于平均值的大小。
还记得我之前教过的一个班，有一次做实验测一个物体的长度。
同学们分组测量，结果出来后那叫一个五花八门。
有的组测出来是 10 厘米，有的组是 11 厘米，还有的组是 9 厘米。
这时候用标准偏差和相对标准偏差的计算公式就能很好地看出这些测量结果的离散情况。
最后发现，标准偏差不算太大，但是相对标准偏差却有点高，这就说明虽然数据的绝对差距不是特别大，但相对于平均值来说，离散程度还是比较明显的。
这也提醒同学们在做实验的时候要更仔细、更精确，减少误差。
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中数
一、中数的概念与求法
中数，又称中点数，中位数。
符号为Md或Mdn(英文为Median)，中数是指位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。
这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。
如果将数据依大小顺序排列，中数恰于中间，它将数据的数目分成较大的一半和较小的一半。
中数是集中量数的一种，它能描述一组数据的典型情况，在心理与教育研究工作中常有应用。
中数的求法根据数据是否分组，而有不同的方法。
(一)未分组数据求中数的方法
根据中数的概念，首先将数据依其取值大小排列成序，然后找出位于中间的那个数，就是中数。
这里又有两种不同的情况：
1．单列数目的情况。
所谓单列数目是指一组数据中没有相同的，这时取处于序列中间位置的那个数为中数：如果数据个数为奇数，则取序列为第(N+1)／2的那个数据为中数。
如果数据个数为偶数，则取序列为第N／2与第N／2+1个这两个数据的均数为中数。
例1有下列9个数，依大小排列为：
4、7、8、9、10、11、12、13、14 (N=9)
(N+1)／2=5，序列第五的数据是10，则该组数据的中数是10。
例2有下列8个数，依大小排列为：
2、3、5、7、8、10、15、19 (N=8) 序列为N／2 = 4者是7，序列为N／2+1=5者为8，则其中数为(7+8)／2＝7．5。
从以上两例可以看出，求中数不受极大值与极小值的影响，而决定中数的关键是居中的那几个数据的数值大小。
2．有重复数目的情况。
所谓重复数目是指一组数据中有数值相同的数。
这时计算中数的方法基本同单列数目，但当位于中间的那几个数是重复数目时，求中数的方法就比较复杂了。
具体算法如下：
首先假设位于中间的几个重复数目为连续数目，取序列中上下各N／2那一点上的数值为中数。
例3有以下重复数列(N＝9)依大小排序：
2、3、5、5、7、7、7、11、13，居中的数是7，但7是重复数，这时要将7视作连续数。
N／2是4．5，序列中上下各4．5的那一点恰是第一个7(即序列为5的那个7)的中点，而这个7的中点如何确定呢?我们知道将7视作连续数可以理解为：6．5—7．5之间有三个数据分布其中，而这三个7是均匀分布在这区间之内的，可用图示如下：
6．5～7．5之间均匀分布三个数据，每一个数据占1／3的距离，那么可理解为第一个7落在6．5—6．83这一区间内，第二个7落在 6．83—7．16区间内，第三个7落在7．16—7．5(实是7．499．．．．．)区间内。
第一个7的中点是6．67，
这一点就是整个序列中位居最中间的那一点，因此，该组数据的中数是6．67。
这是重复数列为奇数的情形。
如果是偶数，作法也同奇数基本相同。
例如给上组数据再增加一个15，它就变为偶数的重复序列了：
2、3、5、5、7、7、7、11、13、15 (N＝10)
N／2是5，那就是说，该组数据的中点应该是第五个数的上限，也是第六个数的下限，（前两个7的中点）图示如下：
图2—1 重复数目求中数示意图
根据前面的计算可知位于序列中最前面那个7的上限是6．83，即该组数据的中数是6．83。
从图(2—1)，可以清楚地看到，中数是将整个数据的个数分作大的一半和小的一半，而不是将数据的值分作相等的两部分。
(二)次数分布表求中数的方法
一将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中数。
其具体步骤如下，第一步求N／2，并找到N／2所在的分组区间；
第二步求含有中数那一区间以下各区间的次数和(即中数组区间下限以下的累加次数)记作F b；
第三步是求N／2与F b之差；
第四步求序列为第N／2那一点的值。
设中数所在那一分组区间的数据次数为f Md，L b为中数所在那一分组区间精确下限值。
根据重复数列求中数的原理，设有f Md个数据均匀地落在距离为i 的区间内，那么每个数据各占i / f Md，那么至N／2这一段距离为i / f Md * (N ／2一F b)，如果这一段距离求出后再加上该区间的精确下限值，那就是中数的值了。
求中数的公式整理如下：
Md = L b + (N / 2 – F b) / f Md * i (2—4a)
同理，用精确上限计算可写作下式：
Md = L a + (N / 2 – F a) / f Md * i (2—4b)
式中L a为中数所在分组区间的精确上限F a为该组以上各组的累加次数，i 为组距。
分组区间 96— 93— 90— 87— 84—
81— 78— 75— 72—f
2
3
4
8
11
17
19
14
10
Cf l
100
98
95
91
93
72
55
36
22
Cf2
2
5
9
17
28
45
64
78
88
(1)N／2＝100／2＝50
(2)中数所在组区间是
77．5—80．5
(3)中数所在组以下的次
数和F b＝36
中数所在组以上的
次数和F a＝45
69—
66—
63—
60一 7 3 1 l 12 5 2 1 95 98 99 100 (4)f md ＝19 i ＝3 M d =77.5+(50-36)/19*3=79
．7l
M d =80．5—(50-45)/19*3=
79．71
N ＝Σf ＝100
二、标准偏差
1.样本的标准偏差 1)
(2--=∑N x x S
2.总体的标准偏差 N x ∑-=
2)(μσ 例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5 2S =[(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1) =[62.5^2+(-87.5)^2+(-37.5)^2+62.5^2]/3
=[3906.25+7656.25+1406.25+3906.25]/3 = 16875/3 = 5625 标准偏差 S = Sqr(5625) = 75
方差等于标准偏差的平方。
三、四分位数
见PDF
四、协方差。