湖南省长沙市雅礼中学2019-2020上学期高一期中数学试卷(PDF版无答案)
雅礼教育集团2019年下学期期中考试试卷
高一数学
一、选择题（每小题5分，共60分）1.命题“2
000,10x R x x ∃∈++<”的否定为A.2
000,10x R x x ∃∈++≥ B.2
000,10x R x x ∃∈++≤C.2000,10
x R x x ∀∈++≥ D.2
000,10
x R x x ∀∉++≥2.已知集合{}
42M x x =-<<，{
}
2
60N x x x =--<，则M N = A.{}
43x x -<< B.{}
42
x x -<<- C.{}
22
x x -<< D.{}
23
x x <<3.2
的结果为
A.32
a B.56
a C.16
a D.65
a
4.若2
(21)2f x x x +=-，则(2)f 的值为
A.34-
B.3
4
C.0
D.1
5.若a b c R a b ∈>、、，，则下列不等式成立的是A.11a b
< B.22a b > C.a c b c > D.
2211
a b
c c >
++6.设集合{}2,0,1A =-，集合{
B x x A =-∈且}2x A -∉，则B =A.{}
1 B.{}
2- C.{}
1,2-- D.{}
1,0-7.若0,0a b >>，则“4a b +<”是“4ab <”的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知0a >且1a ≠，函数log ,,x
a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是
A.
B. C. D.
9.已知5
3
2
()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，若(2)11f =，则(2)f -=A.11
- B.1
- C.0
D.1
10.已知,x y 为正实数，则A.lg lg lg lg 222x y
x
y
+=+ B.lg()lg lg 222
x y x y
+= C.lg lg lg lg 222x y x y
=+ D.lg()lg lg 222xy x y
= 11.已知函数25,1
(),1x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是
A.2a ≤-
B.32
a -≤≤- C.30
a -≤< D.0
a <12.设1311
ln
,log 22
a b ==，则A.0a b ab +<< B.0
ab a b <+< C.0a b ab
+<< D.0ab a b
<<+二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知幂函数()y f x =
的图象过点(，则(9)f =14.
已知32=
，则=15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，(2)0f =.若(1)0f x ->，则x 的取值范围是16.若函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是三、解答题（共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）若不等式2
(1)40a x x b --+>的解集是{}
31x x -<<.（1）求,a b 的值；
（2）若关于x 的不等式2
30ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知函数()(0x
f x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9.
（1）求a 的值；
（2）b R ∈，比较(2)f b 与2
(1)f b +的大小.
19.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，
2()22f x x x =-+.
（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的值域.
20.（本小题满分12分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
P （单位：mg L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0kt P P e -=，其中0,P k 是正的常数。
如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物；
（2）污染物减少50%所需要的时间。
（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6===）
21.（本小题满分12分）设函数()(0x x
f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数.（1）若(1)0f >，试求不等式2
(2)(4)0f x x f x ++->的解集；（2）若3(1)2
f =
，且22()4()x x
g x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数2
()(,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x R ∈，恒有
2()x b f x +≤.
（1）证明：当0x ≥时，2
()()f x x c ≤+；
（2）若对满足题设条件的任意,b c ，不等式2
2
()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值.。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷1.一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)命题u 3x ER 9 x 2 + 2x + a<0n 的否定是()A. Vx G x 2 +2x + a < 0B. 3x E R . x 2 + 2x + a > 0C. Vx G R, x 2 + 2x + a > 0D. 3% e R. X 2+ 2x + a < 02.己知集合M = (x| - 1 < x < 2}t N = {x\x{x + 3) < 0},则 M n N =()3. A. [-3,2) B. (-3,2)成m(a>0)的值是()C.(TO]D. (-1,0)A. I B・〃 C.洁 D.法4.己知尸。
一1) = 2x + L 则/*(3)的值是(A. 5B.9C. 7D. 85.若实数a.bER 且a>b.则下列不等式恒成立的是（）B. ；>1A.事”2C. 2a>2bD. lg(a-b)>06.若集合A = {x\x > 一1},则()7.8. B. （0）QA C. {0} 6/4己知p ： ab > 0. 7： j+：N2・则〃与q 的关系是（）A. p 是q 的充分而不必要条件B. 〃是q 的必要而不充分条件C. p 是q 的充分必要条件D.以上答案都不对己知s b > 0,且o, b # 1, （e a ）b = e,函数，（x ） = log G x 与函数=万一"的图象可能是（）A. 0 G 4 D.9. A.k B. -k ,若.(2018)=上则『(-2018) =()C. 4 — kD.2 一化10.己知七y 是正实数，则F 列运算中正确的是（）A. 3lgx+lgy = 3也x + 3,&>rB. 31就*+'）= 3igx ・ 3lgyC・3'ex = 3官+ 3曹 D. 3噂E = 3也，3#IL若函数亦)={(4：)+；]〈I是&上的单调递增函数，则实数〃的取值范用是()A.(1,+8)B.[1,8)C. (4,8)D.[4,8)12.设«=Ini,b=2°-3,c=(：)2,则()A.a<c<bB.c<a<bC. a<b<cD. b<a<c二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知幕函数y=f(x)的图像过点(2,^2).贝炉(16)的值是________.*(沪+电)。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼书院中学高一上学期期中考试数学试题
湖南省长沙市雅礼书院中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题时量:120分钟满分:150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的. 请将选择题答案填入答题栏内)1.已知全集NMC ，N M UU 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0( )A. 2B. 3C. 432，， D. 43210，，，。
2.函数1a)x (f )22(x 恒过定点（）A ．（-1,2）B ．（1,-2）C ．（1,2）D ．（-1,-2）3.下列函数与yx 有相同图象的一个是（）A 、2y x B 、2xyxC 、log (0,a xyaa且1)aD 、log (0,xa ya a且1)a4.下列函数中是偶函数的是()A.3y xB.]3,3(,22x xy C.xy2log D.2xy5.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（）A.322x xyB.xy )(31C.32xy D.xy21log 6.当10a 时,在同一坐标系中,函数x ya ya xlog 与的图象是()xy1 1oxyo1 1oyx11 oyx1 1A B CD7.三个数3.0222,3.0log ,3.0cba 之间的大小关系是( )A b c a. B.cbaC. c a bD.acb 8.已知函数f(n)=),10)](5([),10(3n nf f n n其中n ∈N ，则f(8)等于() A.2 B.4C.6D.79.函数)1,0(log )(a a x x f a 对任意的正实数x 、y ，都有（）A ．)()()(y f x f y x fB ．)()()(y f x f y x fC ．)()()(y f x f y x f D ．)()()(y f x f y xf 10.函数xxx f 2ln )(的零点所在的大致区间是( ) 2,1A 3,2.B eC 1,1.和4,3,e D 11.若函数()f x 为奇函数，且在(0,)内是增函数，又(2)f 0，则()()0f x f x x 的解集为() A ．( 2.0)(0,2)B ．(,2)(0,2)C ．(,2)(2,)D ．(2,0)(2,)12.若,*,(1)(2)(1)n xxR nN E x x xxn 定义，例如：44(4)(3)(2)(1)24E, 则52()x f x x E的奇偶性为（）A. 为偶函数不是奇函数B. 是奇函数不是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数二．填空题:（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将选择题答案填入答题栏内）13.若幂函数y =x f 的图象经过点（9,13）, 则f(25)的值是14.若函数3122xa x ax f 是偶函数,则x f 的增区间是15.函数)23(log 32xy的定义域为16.关于下列命题:①若函数xy 2的定义域是0x x ,则它的值域是1y y ; ②若函数xy 1的定义域是2xx ,则它的值域是21yy ; ③若函数2x y 的值域是40yy ,则它的定义域一定是22xx ; ④若函数x y2log 的值域是3yy ,则它的定义域一定是80x x ;其中不正确的命题的序号是三、解答题: （本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）设}1log {x B},2733{x 2xxA，求 A.B)(C B,R A．18. (本题满分12分）求值: (1)3log 2333558log 932log 2log 2(2)25.043482)2019()22(19．（本题满分12分）已知1)1(),32(log )(24f x axx f .（1）求函数)(x f 的解析式及其定义域; （2）求)(x f 的单调区间.20. (本题满分12分）某体育用品商场经营一批进价为40元的运动服,经市场调查发现销售量y（件）与销售单价x （元）符合一次函数模型，且销售单价为60元时，销量是600件；当销售单价为64元时，销量是560件。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2+2x +a ≤0B. ∃x ∈R ，x 2+2x +a >0C. ∀x ∈R ，x 2+2x +a >0D. ∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤02. 已知集合M ={x|−1<x <2}，N ={x|x(x +3)≤0}，则M ∩N =( )A. [−3,2)B. (−3,2)C. (−1,0]D. (−1,0)3. a 3√a⋅√a 45(a >0)的值是( )A. 1B. aC. a 15D. a 17104. 已知f(x −1)=2x +1，则f(3)的值是( )A. 5B. 9C. 7D. 85. 若实数a,b ∈R 且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A. a 2>b2B. ab >1 C. 2a>2b D. lg(a −b)>06. 若集合A ={x|x > −1}，则( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. {0}∈AD. ⌀∈A7. 已知p ：ab >0，q ：b a +ab ≥2，则p 与q 的关系是( )A. p 是q 的充分而不必要条件B. p 是q 的必要而不充分条件C. p 是q 的充分必要条件D. 以上答案都不对8. 已知a ，b >0，且a ，b ≠1，(e a )b =e ，函数f(x)=log a x 与函数g(x)=b −x 的图象可能是()A. B.C. D.9. 已知f(x)=ax 3+bx +2(ab ≠0)，若f(2018)=k ，则f(−2018)=( )A. kB. −kC. 4−kD. 2−k10. 已知x ，y 是正实数，则下列运算中正确的是( )A. 3lgx+lgy =3lgx +3lgyB. 3lg(x+y)=3lgx ·3lgyC. 3lg x ·lg y=3lg x +3lg y D. 3lg (xy)=3lg x ·3lg y11. 若函数f (x )={a x , x ≥1(4−a 2)x +2, x <1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. [1,8)C. (4,8)D. [4,8) 12. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(16)的值是________．14. (14)−2+(6√2)0−2713=_______． 15. 定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，则满足f(log 2x)>0的x 的取值范围是______ ．16. 已知函数f (x )=√2−x log 2(2x−1)，则函数f (x )的定义域为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知f(x)=x 2−(a +b)x +3a ．(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3]，求实数a ，b 的值；(2)若b =3，求不等式f(x)>0的解集．18. 已知函数f(x)=a x−1(x ≥0)的图象经过点(2,12)，其中a >0且a ≠1．(1)求a 的值；(2)求函数y =f(x)(x ≥0)的值域．19. 设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x).求：(1)f(−8)；(2)f(x)在R上的解析式．20.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1ℎ)？(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)21.已知函数f(x)=3x2+bx+c，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(0,+∞)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[−2,2]，f(x)+m≤3都成立，求实数m的最大值．22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中常数a，b，c∈R．(1)若f(3)=f(−1)=−5，且f(x)的最大值是3，求函数f(x)的解析式；(2)a=1，若对任意的x1，x2∈[−1,1]，有|f(x1)−f(x2)|≤4，求b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是：∀x ∈R ，x 2+2x +a >0．故选：C ．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据题意求出集合N ，从而即可得M ∩N ．【解答】解：∵集合N ={x|x(x +3)≤0}，∴N ={x|−3≤x ≤0}，又∵集合M ={x|−1<x <2}，∴M ∩N =(−1,0]，故选C ．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分数指数幂的运算，属于基础题．将根式化为分数指数幂的形式，从而计算．【解答】 解：3√a⋅√a 45>0)=a 3·a −12·a −45 =a 3−12−45=a 1710． 故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f(x−1)=2x+1，则f(3)=f(4−1)=2×4+1=9．故选：B．5.答案：C解析：【分析】本题考查不等式的性质，是基础题．只需对各个选项逐一验证即可．【解答】解：对于A，B，a=1，b=−2不成立；对于D，a=12，b=13不成立，对于C，根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b为正确选项，故选C．6.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，集合与集合之间的关系，属于基础题．根据元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系进行解答，对各个选项逐一判断．【解答】解：集合A={x|x>−1}，则0∈A，{0}⊆A，ϕ⊆A，故选B．7.答案：C解析：本题考查了充分必要条件，考查基本不等式，属于基础题．当ab>0时，则ba >0，ab>0，利用基本不等式可得ba+ab≥2；当ba+ab≥2时，即(a−b)2ab≥0，故ab>0.据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若ab>0，则ba >0，ab>0，∴ba +ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，故p⇒q成立．若ba +ab≥2，则a2+b2ab≥2，∴a2+b2−2abab ≥0，即(a−b)2ab≥0．∵(a−b)2≥0，∴ab>0，故q⇒p成立，即p是q的充分必要条件，故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及到对数函数、指数函数以及互为反函数性质的应用．通过化简，得到f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，故f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，结合选项得到结果．【解答】解：∵(e a)b=e，∴ab=1，∴b=1a，∴g(x)=b−x=a x，∴f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，∴f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故选B．9.答案：C解析：解：f(2018)=a⋅20183+b⋅2018+2=k；∴a⋅20183+b⋅2018=k−2；∴f(−2018)=−a⋅20183−b⋅2018+2=−k+2+2=4−k．根据f(2018)=k 即可得出a ⋅20183+b ⋅2018=k −2，从而可求出f(−2018)．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．10.答案：D解析：【分析】本题考查指对数的运算．根据指对数的运算法则求解．【解答】解：根据指数与对数的运算法则可知，3lg x+lg y =3lg x ·3lg y ，故A 错，B 错，C 错；D 中，3lg(xy)=3lg x +lg y =3lg x ·3lg y ，正确故选D ．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查学生对分段函数单调性质的理解，注意数形结合思想在分析本题中的应用．欲使函数f(x)在R 上递增，须有f(x)在(−∞,1)，[1,+∞)上递增，且满足(4−a 2)·1+2≤a 1，联立解不等式组即可．【解答】解：因为函数f(x)是R 上的增函数，所以有{a >14−a 2>0(4−a 2)⋅1+2≤a 1⇒{a >1a <8a ≥4⇒4≤a <8， 故选D ． 12.答案：A解析：【分析】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【解答】解：∵a =ln 13<ln1=0，b =20.3>20=1，0<c =(13)2<(13)0=1， ∴a <c <b ．故选：A ．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数和待定系数法．利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据所得函数的解析式计算函数的值得结论．【解答】解：∵设幂函数解析式y =x α，其图象过点(2,√2)，则2α=√2，∴α=12，故函数的解析式为f(x)=√x ， ∴f(16)=4．故答案为4． 14.答案：14解析：【分析】本题考查指数幂的运算．根据幂的运算即得答案．【解答】解：(14)−2+(6√2)0−2713=42+1−(33)13=16+1−3=14． 故答案为14．15.答案：(0,12)∪(2,+∞)解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，∴函数f(x)在(0,+∞]上递增，f(1)=0，则f(log 2x)>0等价为f(|log 2x|)>f(1)，即|log 2x|>1，即log 2x >1或log 2x <−1，得x >2或0<x <12，故答案为：(0,12)∪(2,+∞)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化，结合绝对值不等式以及对数不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 16.答案：(12,1)∪(1,2)解析：【分析】本题考查函数的定义域，涉及对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：由条件可知{2−x ≥02x −1>0log 2(2x −1)≠0，解得{x ≤2x >12x ≠1，所以12<x ≤2，且x ≠1．则函数f (x )的定义域为(12,1)∪(1,2)．故答案为(12,1)∪(1,2)． 17.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2−(a +b)x +3a ，当不等式f(x)≤0的解集为[1,3]时，方程x 2−(a +b)x +3a =0的两根为1和3，由根与系数的关系得{a +b =1+33a =1×3, 解得a =1，b =3；(2)当b =3时，不等式f(x)>0可化为x 2−(a +3)x +3a >0，即(x −a)(x −3)>0；∴当a >3时，原不等式的解集为：{x|x <3或x >a}；当a <3时，原不等式的解集为：{x|x <a 或x >3}；当a =3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3,x ∈R}．综上可得：当a <3时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(3,+∞)，当a =3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(3+∞)，当a >3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(a +∞)．解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．(1)由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a 、b 的值；(2)利用分类讨论法求出b =3时不等式f(x)>0的解集．18.答案：解：(1)由题意得f(2)=a 2−1=a =12所以a =12(2)由(1)得f(x)=(12)x−1(x ≥0)因为函数f(x)=(12)x−1在[0,+∞)上是减函数所以当x =0时f(x)由最大值所以f(x)max =2所以f(x)∈(0,2]所以函数y =f(x)(x ≥0)的值域为(0,2]．解析：(1)由f(x)的图象过点(2,12)所以f(2)=a 2−1=a =12即a =12．(2)先判断函数f(x)=(12)x−1在[0,−∞)上是减函数，所以f(x)max =2，所以f(x)∈(0,2]．本题属于基础题型主要考查利用函数的单调性求函数的最值，在高考中以选择题或填空题的形式考查． 19.答案：解：(1)∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(8)=8×(8+24)=256，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−8)=−f(8)=−256；(2)设x <0，则−x >0，∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(−x)=−x(−x −3x)=x(x +3x)，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−x(x +3x)，综上得，f(x)={x(x +3x),x ≥0−x(x +3x),x <0．解析：(1)根据解析式先求出f(8)，由奇函数的性质求出f(−8)；(2)设x <0则−x >0，代入解析式化简得f(−x)，由奇函数的性质求出f(x)，利用分段函数表示出 f(x)．本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由P =P 0e −kt ，可知，当t =0时，P =P 0，当t =5时，P =(1−10%)P 0，于是有(1−10％)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 00.9t5，∴当t =10时，P =0.81P 0=81%P 0．∴10个小时后还剩81%的污染物；(2)当P =50%P 0时，有，解得，∴污染物减少50%大约需要花33个小时．解析：本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的等式，考查了计算能力，是中档题．(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出P =P 0e −kt 中k 的值，得到具体关系式后代t =10求得10个小时后还剩污染物的百分数；(2)由污染物减少50%，即P =50%P 0，列等式，即可求解污染物减少50%所需要的时间． 21.答案：解：(1){f(0)=0f(−2)=0，可得{c =012−2b =0，解得{c =0b =6， ∴f(x)=3x 2+6x ； (2)f(x)+m ≤3即m ≤−3x 2−6x +3，而x ∈[−2,2]时，函数y =−3x 2−6x +3的对称轴为：x =−1，开口向下，所以函数的最小值为f(2)=−21，∴m ≤−21，实数m 的最大值为−21．解析：本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用二次不等式的解集，列出方程组，求解即可．(2)通过分离变量，利用二次函数的性质，求解函数的最值推出结果．22.答案：解：(1)由题意得：{9a +3b +c =−5a−b +c =−54ac−b 24a=3， 解得：a =−2，b =4，c =1，∴f(x)=−2x 2+4x +1；(2)函数f(x)=x 2+bx +c 对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4恒成立， 即f(x)max −f(x)min ≤4，记f(x)max −f(x)min =M ，则M ≤4．当|−b 2|>1，即|b|>2时，M =|f(1)−f(−1)|=|2b|>4，与M ≤4矛盾；当|−b 2|≤1，即|b|≤2时，M =max{f(1),f(−1)}−f(−b 2)=f(1)+f(−1)+|f(1)−f(−1)|2−f(−b 2)=(1+|b|2)2≤4，解得：|b|≤2，即−2≤b ≤2，综上，b 的取值范围为−2≤b ≤2．解析：(1)结合题意得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；(2)若对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4，f(x)max −f(x)min ≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b 的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。
湖南省长沙市雅礼中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（ ） A. 2000,10x x x ∃∈++≥RB. 2000,10x x x ∃∈++≤RC. 2,10x R x x ∀∈++≥ D. 2,10x x x ∀∉++≥R【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定为全称命题。
【详解】由题意得原命题的否定为2,10x R x x ∀∈++≥. 故选C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3.2的结果为（ ）A. 32aB. 16a C. 56a D. 65a【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂运算法则完成计算.75222266271362a a aa a aa-====⋅，故选：C【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：rsr sa a a+⋅=，rr s s a a a-=. 4.若2(21)2f x x x +=-，则(2)f 的值为（ ）A. 34-B.34C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先令212x +=得12x =，代入原式，即可求出结果. 【详解】令212x +=得12x =，代入2(21)2f x x x +=-可得：2113(2)2224⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭f .故选：A【点睛】本题主要考查由解析式求函数值，利用赋值法即可求解，属于基础题型. 5.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A. 22a b >B.11a b< C. ||||a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的；选项C:当0c =时，a c b c >不成立，故本选项是错误的； 选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法. 6.设集合{}1,0,2A =-，集合{}|2B x x A x A 且=-∈-∉，则B =（ ） A. {}1B. {}2-C. {}1,2--D.{}1,0-【答案】A 【解析】试题分析：根据集合B 的定义可得，当1x =-时，23x A -=∉，所以1x B -=∈；当0x =时，22x A -=∈，所以0x B -=∉；当2x =时，20x A -=∈，所以2x B -=-∉；所以{}1B =.考点：集合的基本运算.7.若0,0a b >>，则“4a b +<”是“4ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.【详解】因为0,0a b >>，由4a b +<可得：4≤+<a b ，因此4ab <；即“4a b +<”是“4ab <”的充分条件； 若4a =，18=b ，满足4ab <，但是不满足4a b +<，因此由“4ab <”不能推出“4a b +<”，即“4a b +<”不是“4ab <”的必要条件. 因此，“4a b +<”是“4ab <”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.8.已知0a >，且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y 轴的截距大于1，当底数0<a<1时，指数函数与对数函数均为减函数，直线与y 轴的截距小于1，故选A.9.已知532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，若(2)11f =，则(2)f -=（ ）A. 11-B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出3284+=a b ，再直接计算(2)f -，即可得出结果. 【详解】因532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，由(2)11f =得：32842111++++=a b ，即3284+=a b ；因此(2)328421431-=--+-+=-+=-f a b . 故选：B【点睛】本题主要考查求函数的值，熟记函数概念即可，属于常考题型. 10. 已知x ，y 为正实数，则（ ） A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgy B. 2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C. 2lgx•lgy =2lgx +2lgy D. 2lg （xy ）=2lgx •2lgy【答案】D 【解析】因为a s+t=a s•a t，lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数）， 所以2lg （xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式， 故选D ．11.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)3,0-B. (,2]-∞-C. []3,2--D.(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先保证()f x 在每一段上都为单调递增；再根据在R 单调增得分段处函数值的大小关系，可得a 的范围.【详解】当1x ≤时，()25f x x ax =---若函数为增函数，则：12a-≥，解得：2a ≤-当1x >时，()a f x x=若函数为增函数，则0a <()f x 在R 上为增函数，则15a a ---≤，解得：3a ≥-综上所述：[]3,2a ∈-- 本题正确选项：C【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处函数值的大小关系，造成求解错误.12.设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A. 0a b ab +<<B. 0ab a b <+<C. 0a b ab +<<D.0ab a b <<+【答案】B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3lnlog ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<. 所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+-3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.32==___________ 【答案】52【解析】 【分析】先由题意得到1134+=a a =，即可求出结果.【详解】32=，所以294=，即1924+-=a a ，所以1174+=a a ，52===. 故答案为：52【点睛】本题主要考查根式的化简求出，熟记根式的运算性质即可，属于常考题型. 15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.【答案】(1,3)- 【解析】 因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1)(2)f x f x f ->⇔-，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以12x -<，解得13x -<<.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.16.若函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是_____________【答案】()(],01,2-∞⋃ 【解析】 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，分别讨论1a >，1a =，01a <<，0a =，0a <五种情况，即可得出结果.【详解】当1a >时，2t ax =-单调递减，10a ->，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->-≥ax a ，即2a ≤，所以12a <≤；当1a =时，()0f x =非增非减，不满足题意；当01a <<时，2t ax =-单调递减，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是增函数，不满足题意；当0a =时，()ln 2=-f x 非增非减，不满足题意；当0a <时，2t ax =-单调递增，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->>ax 显然成立，因此0a <满足题意；综上，实数a 的取值范围是()(],01,2-∞⋃. 故答案为：()(],01,2-∞⋃【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数，熟记对数函数以及一次函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题（共6小题，共70分）17.若不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<.（1）求,a b 的值；（2）若关于x 的不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1）3a =，6b =；（2）66-≤≤m . 【解析】 【分析】（1）由不等式解集，得到3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根，根据根与系数关系，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意得到24330∆=-⨯⨯≤m ，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<，所以3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根；所以10431131a a ba⎧⎪-<⎪⎪=-+⎨-⎪⎪=-⎪-⎩，解得63b a =⎧⎨=⎩； （2）由（1），不等式230ax mx ++≥的解集为R ，可化为2330++≥x mx 的解集为R ， 因此，只需24330∆=-⨯⨯≤m ，解得66-≤≤m .【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，以及一元二次不等式恒成立的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.18.已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9.（1）求a 的值；（2）b R ∈，比较(2)f b 与2(1)f b +的大小.【答案】（1）3a =；（2）2(1)(2)+≥f b f b . 【解析】 【分析】（1）由函数所过定点代入函数解析式，即可求出结果；（2）作差法比较2b 与21b +的大小，再由指数函数单调性，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9，所以29a =，解得3a =；（2）因为b R ∈，2212(1)0+-=-≥b b b ，所以212+≥b b ； 又指数函数()3xf x =单调递增，因此2(1)(2)+≥f b f b .【点睛】本题主要考查由函数过定点求参数，以及由指数函数单调性比较大小，熟记指数函数的及其性质即可，属于常考题型.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）(]{}[),101,-∞-+∞U U .【解析】 【分析】（1）根据0x >时的解析式，先求出0x <时，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，根据奇函数的定义，即可得出结果；（2）分情况讨论，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为当0x >时，2()22f x x x =-+，因此0x <时，0x ->，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，()()f x f x -=-，因此22()()()2222+-=-=-+=++f x f x x x x x ，即2()22=---f x x x ； 故，函数()f x 的解析式为2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）由（1），当0x <，22()22(1)1=--=---+f x x x x ，在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，因此max ()(1)1=-=-f x f ；当0x >时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因此min ()(1)1f x f ==；又(0)0f =；所以，函数()f x 的值域为(]{}[),101,-∞-+∞U U .【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及求分段函数的值域问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.20.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(/)P mg L 与时间t(h)之间的关系为kt 0e P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）．【答案】（1）10个小时后还剩81%的污染物；（2）污染物减少50%所需要的时间为35个小时.【解析】试题分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出kt 0eP P -=中k 的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P=50%P 0列等式1ln0.9t 50050%e P P =求解污染物减少50%所需要的时间．试题解析：（1）由kt 0e P P -=，可知0t =时，0P P =，当5t =时，()5k 5k 00110%ee 0.9P P P --=-=⇒=， 所以1ln0.95k =-，当10t =时，1ln0.910ln0.815000e e 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =时，有1ln0.9t 50050%e P P =， 解得1lnln2ln20.7255559ln9ln10ln2ln52ln30.7 1.52 1.1ln 10t -=⋅=⋅=⋅=⋅-+-+-⨯ 35=，所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21.设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R的奇函数. （1）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->解集；（2）若3(1)2f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值. 【答案】（1）(,4)(1,)-∞-+∞U ；（2）2-.【解析】【分析】先由函数是奇函数求出1k =，得到()x x f x a a -=-；（1）根据(1)0f >得到1a >，1())(-=->x x f x a a a 单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；（2）先由3(1)2f =得2a =，()()2()224222--=---+x x x x g x ，令22x x t -=-，先求出32t ≥，得到22()42(2)2=-+=--g t t t t 的单调性，从而可求出最小值. 【详解】因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，所以00(0)10=-=-=f ka a k ，所以1k =，()x x f x a a-=-；经检验满足题意 （1）由(1)0f >得10a a ->，解得1a >或1a <-（舍）； 又指数函数(1)x y a a =>单调递增，(11)⎛⎫= ⎪⎝⎭>x a y a 单调递减； 因此1())(-=->x xf x a a a 单调递增；又不等式2(2)(4)0f x x f x ++->可化为2(2)(4)+>-f x x f x ；所以224x x x +>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-；即不等式的解集为：(,4)(1,)-∞-+∞U ； （2）因为3(1)2f =，所以132a a -=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍）； 因此()22x x f x -=-，所以()()()222()22422224222----=+--=---+x x x x x x x x g x ， 令22x x t -=-，易知22x x t -=-在[)1,x ∈+∞上单调递增，因此13222t ≥-=， 则23()42,2=-+≥g t t t t ， 又22()42(2)2=-+=--g t t t t 在3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；因此min ()(2)2==-g t g ，即()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-.【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.22.已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x ∈R ，恒有2()x b f x +≤.（1）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）若对满足题设条件的任意,b c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值.【答案】（1）证明过程见详解；（2）32. 【解析】【分析】（1）先由题意得到2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，得2(2)4()0b c b ∆=---≤，得到214b c ≥+，推出1c ≥，≥=c b ，得到2()0c b c c b -=+->，再由作差法，即可得出结论成立；（2）先由（1）得到c b ≥，分别讨论c b >和c b =两种情况，构造适当的函数，求出取值范围，即可得出结果.【详解】（1）证明：由题设，对任意的x ∈R ，恒有22+≤++x b x bx c ，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ∆=---≤，即214b c ≥+.于是1c ≥；且≥=c b ，因此2()0c b c c b -=+->. 故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0+-=-+-≥x c f x c b x c c ，即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）由（1）知，c b ≥， 当c b >时，有2222222()()2--+-+≥==--+f c f b c b bc b c b M c b c b c b， 令=b t c ，则11t -<<，所以2121+=-++c b c b t ， 而函数1()2(11)1=--<<+g t t t 的值域为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 因此，当c b >时，M 的取值集合为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当c b =时，由（1）知，2b =±，2c =.此时()()8==-f c f b 或0，220-=c b ， 从而223()()()2-≤-f c f b c b 恒成立。
湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
由 f (x) = 0 得 2x = -x ，由 g(x) = 0 得 log2 x = -x . 在同一平面直角坐标系中画出 y = 2x 、 y = log2 x 、 y = -x 的图象， 由图象知 a<0 ， b > 0 ，\a < c < b . 故选：B
x
>
0
，
y
>
0
，且
1 x
+
4 y
= 1，求
x+
y
的最小值．
19．已知函数 f ( x) = log2 ( x2 - 2ax + 3) ． (1)当 a = -1 时，求函数 f ( x) 的值域；
(2)当 a = -2 时，求函数 f ( x) 的单调区间．
20．已知 a > 0 且满足不等式 22a+1 > 25a-2 ． (1)求实数 a 的取值范围，并解不等式 loga (3x +1) < loga (7 - 5x) ． (2)若函数 y = loga (2x -1) 在区间[1,3] 有最小值为 -2 ，求实数 a 的值．
1 2
)x
Î[
1 4
, 2]
，
则函数
f
(t)
=
t2
-t
+1=
(t
-
1)2 2
+
3 4
，
当t
=
1 2
时，取得最小值
f
(t )min
湖南省长沙市2019版高一上学期数学期中考试试卷C卷
湖南省长沙市2019版高一上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2019·长宁模拟) 已知集合，，则 ________2. （1分） (2016高一下·苏州期中) 不等式的解是________．3. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 已知集合，，则 ________.4. （1分） (2016高二上·弋阳期中) 设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则a﹣b=________．5. （1分）(2017·浙江模拟) 设A={（x，y）|x2﹣a（2x+y）+4a2=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为________．6. （1分）(2017·南京模拟) 已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）=________．7. （1分） (2016高二上·衡水开学考) 已知集合A={x|x﹣a=0}，B={x|ax﹣1=0}，且A∩B=B，则实数a等于________．8. （1分） (2018高二上·南京月考) 命题“ ”的否定是________.9. （1分） (2017高一下·玉田期中) 若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2，∠C=120°，则边c的最小值是________．10. （1分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则不等式bx2﹣ax﹣c＞0的解集为________．11. （1分）存在实数x，使得关于x的不等式cos2x＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为________12. （1分） (2016高二上·乾安期中) 不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是________．13. （1分）(2017·崇明模拟) 已知x，y∈R+ ，且x+2y=1，则x•y的最大值为________．14. （1分）(2018·山东模拟) 设实数满足的最小值是________.二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分） (2017高一上·吉林期末) 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则B∩∁UA=（）A . {2}B . {4，6}C . {1，3，5}D . {4，6，7，8}16. （2分）设a，b，c∈R+ ，那么三个数a+， b+， c+（）A . 都不大于2B . 都不小于2C . 至少有一个不小于2D . 至少有一个不大于217. （2分）若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x1,x2(x1x2)，恒成立”，则称f(x)为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是（）A .B .C .D .18. （2分）正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1 ，且a6=a5+2a4 ，则的最小值是（）A .B . 2C .D .三、解答题 (共6题；共50分)19. （10分） (2016高一下·海南期中) 已知f（x）=|ax﹣1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．（1）求a的值；（2）解不等式f（x）﹣f（）≤2．20. （10分） (2016高一下·黄陵开学考) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）已知f（x）是偶函数，求a的值．21. （5分） (2017高一上·扶余月考) 已知集合A= ，B= ，若B A，求实数m的取值范围。
湖南省雅礼教育集团2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
82
1 x 102 25 x2
8
22
∴当 x 10 时，有 max 为 25 2
21.【解析】(1) b
2时
f
x
x2 x2 1
令 t x 2 1,3
∴
y
t
t
22
1
t t 2 4t 3
1 t34 t
由对勾函数，当 t 1,3 时
t
3 t
2
3, 4
8
21．已知函数
f
x
xb x2 1
的定义域
1 ，1
．
（1）当 b 2 时，求 f x 的值域；
（2）当 b 0 时，解不等式 f t 1 f t 0 ．
22．已知函数 f x log2
2x 1
1x． 2
（1）解关于
x
的方程
f
x
1 2
x
1
f
x
1 2
x
1
3
；
（2）若函数 g x 2x 2x 2b 2 f x b2 b R 在 0 ≤ x ≤ 2 上的最小值为 2，求 b 的值．
x x
和 gx
x
2
x
3．命题“ x R ，1 f x ≤ 2 ”的否定形式是（ ）
A． x R ，1 f x ≤ 2
B． x R ，1 f x ≤ 2
C． x R ， f x ≤1 或 f x 2
D． x R ， f x ≤1 或 f x 2
4 ．若奇 函数 f x 在区 间 3，6 上是 增函数， 在区间 3，6 上的 最大值为 8 ，最 大值为 1 ，则 2 f 6 f 3 的值为（ ）
而 f x f x ，故 f x 为奇函数
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．函数()11f x x =+的定义域为( ) A ．{|3x x ≥-且1}x ≠- B ．{3x x -且1}x ≠- C ．{|1}x x ≥- D ．{|3}x x ≥-【答案】A【解析】由题可得：要使得函数()f x 有意义，则需满足3010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则：3010x x +≥⎧⎨+≠⎩；解得3x ≥-，且1x ≠-；∴()f x 的定义域为：{|3,1}x x x ≥-≠-且． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题。
3．若a 、b 不全为0，必须且只需( )A ．0ab ≠B ．a 、b 中至多有一个不为0C ．a 、b 中只有一个为0D ．a 、b 中至少有一个不为0【答案】D【解析】本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。
【详解】“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D 。
【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为（ ）A.不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B.∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C.∀x ∈R ，x 2+x +1<0D.∀x ∈R ，x 2+x +1≥02. 已知集合M ＝{x|−4<x <2}，N ＝{x|x 2−x −6<0}，则M ∩N ＝（ ）A.{x|−4<x <3}B.{x|−4<x <−2}C.{x|−2<x <2}D.{x|2<x <3}3. 计算2√a⋅√a 23的结果为（ ） A.a 32 B.a 16 C.a 56 D.a 654. 若f(2x +1)＝x 2−2x ，则f(2)的值为（ ）A.−34B.34C.0D.15. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A.1a <1bB.a 2>b 2C.a|c|>b|c|D.a c 2+1>bc 2+16. 设集合A ={−1, 0, 2}，集合B ={−x|x ∈A, 且2−x ∉A}，则B =( )A.{1}B.{−2}C.{−1, −2}D.{−1, 0}7. 若a >0，b >0，则“a +b <4”是“ab <4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知a >0且a ≠1，函数y =log a x ，y =a x ，y =x +a 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C.D.9. 已知f(x)＝ax 5+bx 3+x 2+x +1（a ，b 为常数），若f(2)＝11，则f(−2)＝（ ）A.−11B.−1C.0D.110. 已知x ，y 为正实数，则( )A.2lg x+lg y =2lg x +2lg yB.2lg （x+y ）=2lg x ⋅2lg yC.2lg x⋅lg y =2lg x +2lg yD.2lg （xy ）=2lg x ⋅2lg y11. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5，(x ≤1)，a x ，(x >1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A.−3≤a <0B.−3≤a ≤−2C.a ≤−2D.a <012. 设a ＝ln 12，b =log 1312，则（ ）A.a +b <ab <0B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b二、填空题（每小题5分，共20分）已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，则f(9)=________．已知√a √a =32，则√a +√a =________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x −1)>0，则x 的取值范围是________．若函数f(x)=(a−1)ln(2−ax)在区间(0, 1)上是减函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）已知不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}．（1）求a的值；（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．（1）求a的值；（2）b∈R，比较f(2b)与f(b2+1)的大小．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−2x+2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的值域．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t （小时）间的关系为P＝P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）设函数f(x)＝ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）若f(1)>0，试求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（2）若f(1)=3，且g(x)＝a2x+a−2x−4f(x)，求g(x)在[1, +∞)上的最小值．2已知函数f(x)＝x2+bx+c(b、c∈R)对于任意x∈R恒有2x+b≤f(x)成立．（1）证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2（2）若对于满足题设要求的任意b、c，不等式f(c)−f(b)≤M(c2−b2)恒成立，求M 的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】3【答案】52【答案】(−1, 3)【答案】(−∞, 0)∪(1, 2]三、解答题（共6小题，共70分）【答案】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【答案】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【答案】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且x>0时，f(x)＝x2−2x+2，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+2x+2＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−2x−2，∴f(x)={x2−2x+2x>00x=0−x2−2x−2x<0；x>0时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1≥1，∴x<0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)＝0}．【答案】由P＝P0e−kt，可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1−10%)P0．于是有(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，那么P=P0e(15ln0.9)t，∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln 0.9)×10=P 0e ln 0.81=81%P 0．∴ 10个小时后还剩81%的污染物；当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln 0.9)t ，解得t =ln 0.515ln 0.9=51n 12ln 910=5⋅−ln 2ln 9−ln 10=5⋅ln 2ln 2+ln 5−21n3=35． ∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．【答案】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0． 又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2． 令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【答案】证明：由题设，对任意的x ∈R ，2x +b ≤x 2+bx +c ，即x 2+(b −2)x +c −b ≥0恒成立，∴ (b −2)2−4(c −b)≤0，从而c ≥b 24+1． 于是c ≥1，且c ≥2√b 24×1=|b|，因此2c −b ＝c +(c −b)>0．故当x ≥0时，有(x +c)2−f(x)＝(2c −b)x +c(c −1)≥0． 即当x ≥0时，f(x)≤(x +c)2；由（1）得，c ≥|b|，当c >|b|时，有M ≥f(c)−f(b)c 2−b 2=c 2−b 2+bc−b 2c 2−b 2=c+2b c+b ， 令t =b c ，则−1<t <1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，因此，当c>|b|时M的取值集合为[32, +∞)；当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c2−b2)恒成立．综上所述，M的最小值为32．。