中考数学专题训练--函数综合题(人教版精选)
(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《一次函数》专题训练(含答案解析)
中考数学二轮复习：《一次函数》压轴专题训练1．如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点（不与点A、点B重合）．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C 落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．初步探究（1）当AP＝4时①直接写出点E的坐标；②求直线EF的函数表达式．深入探究（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．拓展应用（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．2．已知直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，四边形OBCD的面积为36．（1）求直线AB的解析式；（2）点P为线段OD上一点，连接CP，点H为CP上一点，连接BH，且BH＝BC，过点H作CP的垂线交CD、OB于E、F，连接AE、AC，设点P的横坐标为t，△ACE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，连接OH，过点F作FK⊥OH交x轴于点K，若PD＝PK，求点P的坐标．3．如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．如图（2）是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．（1）填空：a＝km，b＝h，AB两地的距离为km；（2）求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式（自变量取值范围不用写）；（3）求行驶时间x满足什么条件时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小？4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF 的面积．5．小明从家去李宁体育馆游泳，同时，妈妈从李宁体育馆以50米/分的速度回家，小明到体育馆后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D、F四点在一条直线上）（1）求线段OB及线段AF的函数表达式；（2）求C点的坐标及线段BC的函数表达式；（3）当x为时，小明与妈妈相距1500米；（4）求点D坐标，并说明点D的实际意义．6．如图1，已知直线AC：y＝﹣x+b1和直线AB：y＝kx+b2交于x轴上一点A，且分别交y轴于点C、点B，且OB＝2OC＝4．（1）求k的值；＝9时，在线段AC上取一点F，使（2）如图1，点D是直线AB上一点，且在x轴上方，当S△ACD得CF＝FA，点M，N分别为x轴、轴上的动点，连接NF，将△CNF沿NF翻折至△C′NF，求MD+MC′的最小值；（3）如图2，H，P分别为射线AC，AO上的动点，连接PH，PC是否存在这样的点P，使得△PCH 为等腰三角形，△PHA为直角三角形同时成立．请直接写出满足条件的点P坐标．7．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB 的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE 的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P，分别与y轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求△ABP的面积；（3）M、N分别是直线y＝﹣x+1和y＝x﹣2上的两个动点，且MN∥y轴，若MN＝5，直接写出M、N 两点的坐标．11．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．12．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D 和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B（2，0），且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）连接OA，试判断△AOD的形状；（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．15．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．参考答案1．解：（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即a2＝（8﹣a）2+16，解得：a＝5，故点E（0，5），故答案为：（0，5）；②过点F作FR⊥y轴于点R，折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，∴∠EFR+∠FER＝90°，而∠FER+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠EFR，而∠OAP＝∠FRE，RF＝AO，∴△AOP≌△FRE（AAS），∴ER＝AP＝4，OR＝EO﹣OR＝5﹣4＝1，故点F（8，1），将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线EF的表达式为：y＝﹣x+5；（2）证明：∵PE＝OE，∴∠EOP＝∠EPO．又∵∠EPH＝∠EOC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP．即∠POC＝∠OPH．又∵AB∥OC，∴∠APO＝∠POC．∴∠APO＝∠OPH；（3）解：如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APO＝∠OPH，在△AOP和△QOP中，∠APO＝∠OPH，∠A＝∠OQP，OP＝OP，∴△AOP≌△QOP（AAS）．∴AP＝QP，AO＝OQ．又∵AO＝OC，∴OC＝OQ．又∵∠C＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴△OCH≌△OQH（SAS）．∴CH＝QH．∴△PHB的周长＝PB+BH+PH＝AP+PB+BH+HC＝AB+CB＝16；故答案为：16．2．解：（1）∵将线段BO绕着点B逆时针旋转90°得到线段BC，∴OB＝BC，∠OBC＝90°，∵CD⊥x轴于点D，∴∠CDO＝90°，∵∠BOD＝90°，∴四边形OBCD为正方形，∵四边形OBCD的面积为36．∴OB＝6，∵直线y＝2x+b与y轴交于点B，∴b＝6，∴直线AB的解析式为y＝2x+6；（2）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，∴A（﹣3，0），如图1，过点B作BL⊥CP，垂足为L，交CD于点M，∵BH＝BC，∴CL＝HL，∵BL⊥CP，EF⊥CP，∴BM∥EF，∴CM＝ME，∵∠CBM+∠BMC＝∠BMC+∠MCL＝90°∴∠CBM＝∠PCD，∵∠BCM＝∠PDC，BC＝CD，∴△BCM≌△CDP（ASA），∴CM＝PD，∴PD＝CM＝ME＝6﹣t，∴CE＝2CM＝2（6﹣t），∵AD＝OA+OD＝9，∴S＝＝＝﹣9t+54（0≤t≤6）；（3）设PD＝a，如图2，∵BF∥CD，BM∥EF，∴四边形BFEM是平行四边形，∴BF＝EM＝PD＝a，连接FP，设FK与OH交于A'，∴∠OFP＝45°，∵∠FOP+∠FHP＝180°，∴F、O、P、H四点共圆，∴∠OFP＝∠OHP＝45°，∴∠OHF＝45°，∵FK⊥OH，∴∠FA'H＝90°，∴∠EFK＝45°，如图3，过点E作ER⊥EF交射线FK于点R，∴△EFR为等腰直角三角形，∴EF＝ER，过点F作FG⊥CD于点G，过点R作x轴的平行线交y轴于点Q，交CD的延长线于点N，连接KE、∴∠RNE＝∠FGE＝90°，∠FEG＝∠ERN，∴△EFG≌△REN（AAS），∴EN＝FG，EG＝RN＝PD＝a，∵CG＝BF＝a，GE＝a，∴DN＝CE＝2a＝OQ，OF＝a+b，∵PD＝PK＝a，OD＝CD＝2a+b，∴OK＝b，∵OK∥QR，∴，即，∴b（3a+b）＝（a+b）2，∴a＝b，∴3a＝6，∴a＝2，∴P（4，0）．3．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，a＝60×（7﹣5）＝120，b＝7﹣5＝2，AB两地的距离是：300+120＝420，故答案为：120，2，420；（2）设线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝kx+b，，得，即线段PM所表示的y与x之间的函数表达式是y＝﹣60x+300；设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，，得，即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，，得，即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，，得，即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，当0≤x≤2时，s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，当2＜x≤5时，s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，当5≤x≤7时，s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，由上可得，行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．4．解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF 的解析式为y ＝x ﹣4． 所以点F 的坐标为（0，﹣4）． 如图，作EG ⊥x 轴于点G ， 所以四边形AEDF 的面积为： S 梯形ODEG +S △AEG +S △AOF ＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF 的面积为32． 5．解：（1）设OB 的函数表达式为y ＝kx ， 30k ＝3000，得k ＝100，即线段OB 的函数表达式为y ＝100x （0≤x ≤30）； 点F 的横坐标为：3000÷50＝60， 则点F 的坐标为（60，0），设直线AF 的函数表达式为：y ＝k 1x +b 1，，得，即直线AF 的函数表达式为y ＝﹣50x +3000； （2）当x ＝45时，y ＝﹣50×45+3000＝750， 即点C 的坐标为（45，750）， 设线段BC 的函数表达式为y ＝k 2x +b 2，，得，即线段BC 的函数表达式是y ＝﹣150x +7500（30≤x ≤45）；（3）当小明与妈妈相距1500米时，﹣50x +3000﹣100x ＝1500或100x ﹣（﹣50x +3000）＝1500或（﹣150x +7500）﹣（﹣50x +3000）＝1500， 解得：x ＝10或x ＝30，∴当x 为10或30时，小明与妈妈相距1500米． 故答案为：10或30；（4）∵750÷250＝3（分钟），45+3＝48， ∴点E 的坐标为（48，0）∴直线ED 的函数表达式y ＝250（x ﹣48）＝250x ﹣12000， ∵AF 对应的函数解析式为y ＝﹣50x +3000， ∴，得，∴点D 的坐标为（50，500），实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里． 6．解：（1）OB ＝2OC ＝4，则点B 、C 的坐标分别为：（0，﹣4）、（0，2），将点C 的坐标代入AC ：y ＝﹣x +b 1并解得： AC 的表达式为：y ＝﹣x +2，令y ＝0，则x ＝6，故点A （6，0），将点B 、A 的坐标代入y ＝kx +b 2得：，解得：，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣4，即k ＝；（2）由点B 、C 的坐标得，BC ＝6，S △ACD ＝S △BCD ﹣S △BCA ＝×BC ×（x D ﹣x A ）＝×6（x D ﹣6）＝9，解得：x D ＝9， 当x ＝9时，y ＝x ﹣4＝2，故点D （9，2）；CF ＝FA ，即CF ＝AC ＝＝，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，由直线AC的表达式知，∠OCA＝60°，则HF＝CF sin60°＝＝，CH＝，故点F（，），作点D关于x轴的对称点D′（9，﹣2），连接C′D′，当D′、C′、F三点共线时，MD+MC′最小，MD+MC′最小值为D′F﹣F′C′＝D′F﹣CF＝﹣＝﹣；（3）由直线AC的表达式知，∠CAO＝30°，AC＝＝4；①当∠PHA＝90°时，则△PHC为等腰直角三角形，设HP＝CH＝a，则AP＝2HP，HA＝＝a，AC＝CH+HA＝a a＝4，解得：a＝6﹣2，AP＝2a＝12﹣4，则AP＝6﹣（12﹣4）＝4﹣6，故点P（4﹣6，0）；②当∠CPH＝90°时，则CPH为等腰三角形，则HP＝CP，设HP＝CP＝a，则在Rt△PHA中，HA＝2HP＝2a，∵∠CPH＝90°，∴HP∥OC，则，即＝，解得：a＝，PA＝＝a＝4，故点P（2，0）；综上，点P的坐标为：（2，0）或（4﹣6，0）．7．解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AC，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；（3）设△AOD沿着直线AC向右平移m个单位，向下平移m个单位得到△A′O′D′，则点A′（m ﹣2，﹣m），设直线A′D′的表达式为：y＝x+b′，将点A′的坐标代入上式得：﹣m＝m﹣2+b′，解得：b′＝2﹣2m，则直线A′D′的表达式为：y＝x+2﹣2m，令y＝0，则x＝2m﹣2，故点P（2m﹣2，0），而点A′（m﹣2，﹣m），点D（0，2），则A′P2＝2m2，A′D2＝（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝2m2+8，PD2＝（2m﹣2）2+4；当A′P＝A′D时，2m2＝2m2+8，解得：方程无解；当A′P＝PD时，同理可得：m＝2；当A′D＝PD时，同理可得：m＝0（舍去）或4，综上，点P（2，0）或（6，0）．8．解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，∴点B坐标（﹣8，0），∵C的坐标为（m，）∴＝x+，∴m＝﹣，∴点C坐标为（﹣，）∴CO＝＝5；（2）如图，∵OC为△ABC的中线，∴BO＝AO＝8，∴S＝×8×＝10，△ACO∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）∴直线CO解析式为：y＝﹣x，∴点D （t ，﹣t ），∴S △AOD ＝×8×（﹣t ）＝﹣4t ，∴S △ACD ＝S △AOD ﹣S △AOC ＝﹣4t ﹣10，∵点E 为AD 的中点， ∴S ＝S △ACD ＝﹣2t ﹣5；（3）∵点D （t ，﹣t ），点A （8，0），点E 是AD 中点，∴点E 坐标（，﹣t ），∵CE ＝，∴（﹣﹣）2+（+t ）2＝13，∴t 1＝﹣6，t 2＝﹣8， ∴点D （﹣6，）或（﹣8，8）， 当t 1＝﹣6时，则点D （﹣6，），S ＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，延长DF 交x 轴于点H ，设点H （x ，0） ∵∠FDB ＝∠OBD ， ∴DH ＝BH ， ∴x +8＝∴x ＝20， ∴点H （20，0），设直线DH 的解析式为：y ＝kx +b ， ∴∴∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，∴x+＝﹣x+，∴x＝，∴点F（，），当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），∴∠DBO＝90°，∵∠FDB＝∠OBD＝90°，∴DF∥BO，∴点F的纵坐标为8，∴8＝x+，∴x＝，∴点F（，8）．综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．9．解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S＝BF（x C﹣x D）＝＝4；△BCD（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．10．解：（1）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2相交于点P∴，解之得：，∴P点坐标为：，（2）∵直线y＝﹣x+1和直线y＝x﹣2分别交y轴于A、B两点∴A（0，1），B（0，﹣2），∴AB＝3，由（1）知P∴S △ABP ＝＝；（3）设M （m ，﹣m +1），则N （m ，m ﹣2）， ∵MN ＝5，∴|﹣m +1﹣（m ﹣2）|＝5， 解得m ＝﹣1或m ＝4，∴M （4，﹣3），N （4，2）或M （﹣1，2），N （﹣1，﹣3）． 11．解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：，解得：，故直线l 的表达式为：；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 2＝OA 2+OB 2＝32+22＝13 ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴S △ABC ＝AB 2＝；（3）连接BP ，PO ，PA ，则： ①若点P 在第一象限时，如图1：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得；②若点P 在第四象限时，如图2：∵S △ABO ＝3，S △APO ＝﹣a ，S △BOP ＝1， ∴S △ABP ＝S △BOP +S △APO ﹣S △ABO ＝，即，解得a ＝﹣3；故：当△ABC 与△ABP 面积相等时，实数a 的值为或﹣3．12．解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6， ∴x +2＝6， 解得，x ＝4，∴点E 的坐标是（4，6），∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝＝，y ＝＝2，∴点T 的坐标为（，2）， 故答案为：（，2）；（2）设点E 的坐标为（a ，a +2）， ∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点， ∴x ＝，y ＝，解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2， ∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣；（3）设点E 的坐标为（a ，a +2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．13．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．14．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（，1），则OC＝2，则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝OP＝（2﹣t），由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，解得：t＝；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），解得：t＝；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；综上，t＝或．15．解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．。
中考数学专题五函数应用问题综合题(解析版全国适用)
函数实际问题综合题一、一次函数+二次函数应用问题例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间.部分药店趁机将口罩涨价.经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）2 3 4 5 6 销量q （只）7075808590店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计.该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤.且x 为整数）.已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式. （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式.并判断第几天的利润最大.（3）物价部门为了进一步加强市场整顿.对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款.若罚款金额不低于2000元.则m 的取值范围为______．【答案】（1）1p x =+.15x ≤≤且x 为整数.565q x =+.15x ≤≤且x 为整数.（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数.第5天时利润最大.（3）85m ． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据.p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数.分别求出解析式即可. （2）根据题意.求出利润w 与x 的关系式.再结合二次函数的性质.即可求出利润的最大值．（3）先求出前5天多赚的利润.然后列出不等式.即可求出m 的取值范围． 【详解】（1）观察表格发现p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数. 设p=k 1x+b 1.将x=1.p=2.x=2.p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：1111k b =⎧⎨=⎩. 所以1p x =+.经验证p=x+1符合题意. 所以1p x =+.15x ≤≤且x 为整数. 设q=k 2x+b 2.将x=1.q=70.x=2.q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：22565k b =⎧⎨=⎩. 所以565q x =+.经验证565q x =+符合题意. 所以565q x =+.15x ≤≤且x 为整数. （2）当15x ≤≤且x 为整数时.(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++. 当630x ≤≤且x 为整数时.()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-.即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数. 当15x ≤≤且x 为整数时.售价.销量均随x 的增大而增大. 故当5x =时.495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时.2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时.300W =最大（元）.由495300>.可知第5天时利润最大． （3）根据题意.前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）. ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元）.∴12502000m ≥. ∴85m. ∴m 的取值范围为85m ． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用.一次函数的应用.不等式的应用.也考查了二次函数的基本性质.另外将实际问题转化为求函数最值问题.从而来解决实际问题． 练习题1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能.利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升.此时.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力）.在1秒时.它们距离地面都是35米.在6秒时.它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示.小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式. （2）求出2y 与x 之间的函数关系式.（3）小钢球弹射1秒后直至落地时.小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+.（2）22540y x x =-+.（3）70米【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式.再用待定系数法求函数解析式即可. （2）用待定系数法求函数解析式即可.（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方.因此求y 2-y 1.当6＜x ≤8时.无人机在小钢球的上方.因此求y 1-y 2.然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'. ∵函数图象过点（0.30）和（1.35）.则'35'30k b b +=⎧⎨=⎩. 解得5'30k b =⎧⎨=⎩. ∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+． （2）∵6x =时.1563060y =⨯+=. ∵2y 的图象是过原点的抛物线.∴设22y ax bx =+.∴点()1,35.()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=⎧⎨+=⎩.即35610a b a b +=⎧⎨+=⎩. 解得540a b =-⎧⎨=⎩. ∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米. 由25400x x -+=得10x =或28x =. ①16x <≤时.21y y y =-2540530x x x =-+-- 253530x x =-+-27125524x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∵50a =-<.∴抛物线开口向下. 又∵16x <≤. ∴当72x =时.y 的最大值为1254. ②68x <≤时.12y y y =-2530540x x x =++- 253530x x =-+27125524x ⎛⎫=--⎪⎝⎭. ∵50a =>.∴拋物线开口向上. 又∵对称轴是直线72x =. ∴当72x >时.y 随x 的增大而增大. ∵68x <≤.∴当8x =时.y 的最大值为70． ∵125704<. ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用.关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A .B 两种型号车床共14台.生产并销售1台A 型车床可以获利10万元.如果生产并销售不超过4台B 型车床.则每台B 型车床可以获利17万元.如果超出4台B 型车床.则每超出1台.每台B 型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B 型车床x 台． （1）当4x >时.完成以下两个问题： ①请补全下面的表格：A 型B 型车床数量/台 ________ x每台车床获利/万元10________70万元.问：生产并销售B 型车床多少台？（2）当0＜x ≤14时.设生产并销售A .B 两种型号车床获得的总利润为W 万元.如何分配生产并销售A .B 两种车床的数量.使获得的总利润W 最大？并求出最大利润． 【答案】（1）①14x -.21x -.②10台.（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元 【解析】 【分析】（1）①由题意可知.生产并销售B 型车床x 台时.生产A 型车床（14-x ）台.当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元.所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元. ②根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可. （2）当0≤x ≤4时.W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +.当4＜x ≤14时. W ＝2( 5.5)170.25x --+.分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元 所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元 ①补全表格如下面：A 型B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -由B 型可获得利润为(21)x x -万元.根据题意：(21)10(14)70x x x ---=. 2312100x x -+=.(21)(10)0x x --=.∵0≤x ≤14. ∴10x =.即应产销B 型车床10台. （2）当0≤x ≤4时. 当0≤x ≤4 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元 1017 利润10(14)x -17x该函数值随着x 的增大而增大.当x 取最大值4时.W 最大1＝168（万元）. 当4＜x ≤14时. 当4＜x ≤14 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -利润10(14)x - (21)x x -则＝＋＝211140x x -++＝( 5.5)170.25x --+.当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14）.W 达最大值W 最大2＝170（万元）. ∵W 最大2＞ W 最大1.∴应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.一次函数和二次函数的实际应用.解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售.已知该原料的进价为6.2万元/t .加工过程中原料的质量有20%的损耗.加工费m （万元）与原料的质量x （t ）之间的关系为m ＝50＋0.2x .销售价y （万元/t ）与原料的质量x （t ）之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）设销售收入为P （万元）.求P 与x 之间的函数关系式.（3）原料的质量x 为多少吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【答案】（1）1y 204x =-+.（2）21165P x x =-+.（3）原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式.（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式.（3）设销售总利润为W .根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式.然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝. 将（20.15）.（30.12.5）代入. 可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+.（2）设销售收入为P （万元）.∴()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭.∴P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+.（3）设销售总利润为W .∴()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+.整理.可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+. ∵﹣15＜0.∴当24x ＝时.W 有最大值为3265. ∴原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.涉及了数形结合的数学思想.熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台.在2021年五一长假期间.举行了商品打折促销活动.经市场调查发现.某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x .周销售量y .周销售利润W （元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y1809030W 3600 4500 2100.（2）若该商品进价a （元/件）.售价x 为多少时.周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润.（3）因疫情期间.该商品进价提高了m （元/件）（0m >）.公司为回馈消费者.规定该商品售价x 不得超过55（元/件）.且该商品在今后的销售中.周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是4050元.求m 的值．【答案】（1）3300y x =-+.（2）售价60元时.周销售利润最大为4800元.（3）5m = 【解析】 【分析】（1）①依题意设y=kx+b.解方程组即可得到结论.（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-.再由表格数据求出20a =.得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+.根据二次函数的顶点式.求出最值即可.（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----.由于对称轴是直线60602mx =+>.根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）设y kx b =+.由题意有401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得3300k b =-⎧⎨=⎩. 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+. （2）由（1）(3300)()W x x a =-+-.又由表可得： 3600(340300)(40)a =-⨯+-.20a ∴=.22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时.周销售利润W 最大.最大利润为4800. （3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----. 其对称轴60602mx =+>.055x ∴<时上述函数单调递增. 所以只有55x =时周销售利润最大.40503(55100)(5520)m ∴=----． 5m ∴=．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践.用于实践.在当今社会市场经济的环境下.应掌握一些有关商品价格和利润的知识.总利润等于总收入减去总成本.然后再利用二次函数求最值．5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品.其成本为30元/件.在销售过程中发现随着售价增加.销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时.改变销售策略.此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系.（其中4070x ≤≤.且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式.（2）当售价为多少时.商家所获利润最大.最大利润是多少？【答案】（1）10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩.（2）当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可.（2）分别求出当4060x ≤≤时与当6070x <≤时的销售利润解析式.利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）当4060x ≤≤时.设11y k x b =+. 将()40,300和()60,100代入.可得11113004010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得1110700k b =-⎧⎨=⎩.即10700y x =-+. 当6070x <≤时.设22y k x b =+. 将()70,150和()60,100代入.可得22221507010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得225200k b =⎧⎨=-⎩.即5200y x =-. ∴10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩. （2）当4060x ≤≤时.销售利润()()22301010002100010504000w y x x x x =⋅-=-+-=--+.当50x =时.销售利润有最大值.为4000元. 当6070x <≤时.销售利润()()()2230150605500150005502500w y x x x x x =⋅---=-+=-+.该二次函数开口向上.对称轴为50x =.当6070x <≤时位于对称轴右侧. 当70x =时.销售利润有最大值.为4500元. ∵45004000>.∴当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质.根据图象列出解析式是解题的关键． 6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品.在市场试销中发现.此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据.在图中描出实数对(,)x y 所对应的点.并画出y 关于x 的函数图象. （2）根据画出的函数图象.求出y 关于x 的函数表达式. （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式.②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本）.若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%.则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解.（2）216y x =-+.（3）①222032P x x =-+-.②销售单价应定为3元． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接进行作图.（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系.所以设其关系式为y kx b =+.然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可.（3）①由题意易得()2P x y =-.然后由（2）可进行求解.②由①及题意可得22203210x x -+-=.然后求解.进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+.则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：216k b =-⎧⎨=⎩. ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+. （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-.∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-. ②由题意得：2200x ≤⨯％.即4x ≤. ∴22203210x x -+-=. 解得：123,7x x ==.∴3x=.答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用.熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果.如果进价增加2元/千克要用300元.如果进价减少2元/千克.同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克.就按原价购进.如果购进苹果超过100千克.超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克.且购进苹果当天全部销售完．据统计.销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下.要使超市销售苹果利润w（元）最大.求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克.（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩.（3）要使超市销售苹果利润w最大.一天购进苹果数量为200千克．【解析】【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克.根据等量关系.列出分式方程.即可求解.（2）分两种情况：当x≤100时. 当x＞100时.分别列出函数解析式.即可.（3）分两种情况：若x≤100时.若x＞100时.分别求出w关于x的函数解析式.根据二次函数的性质.即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克.由题意得：30020022x x=+-.解得：x=10.经检验：x=10是方程的解.且符合题意.答：苹果的进价为10元/千克.（2）当x≤100时.y=10x.当x＞100时.y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200.∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩. （3）若x ≤100时.w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+. ∴当x =100时.w 最大=100. 若x ＞100时.w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+. ∴当x =200时.w 最大=200.综上所述：当x =200时.超市销售苹果利润w 最大.答：要使超市销售苹果利润w 最大.一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用.根据数量关系.列出函数解析式和分式方程.是解题的关键．8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg .经过市场调研发现.这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数.且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系.如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …（1）m 与x 的函数关系为___________.（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中.公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院.后发现：在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+.（2）第16天销售利润最大.最大为1568元.（3）1.75＜n ＜4 【解析】 【分析】（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入.利用待定系数法即可求解. （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式.利用二次函数和一次函数的性质即可求解.（3）写出在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润表达式.根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤.求解即可． 【详解】解：（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得2144k b =-⎧⎨=⎩. ∴2144m x =-+. （2）当120x ≤≤时.销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+. 当16x =时.销售利润最大为1568元. 当2040x <≤时.销售利润20302160W my m x =-=-+. 当21x =时.销售利润最大为1530元.综上所述.第16天销售利润最大.最大为1568元. （3）在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-.对称轴为直线x ═16+2n .∵在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.且x 只能取整数.故只要第20天的利润高于第19天. 即对称轴要大于19.5 ∴16+2n ＞19.5. 求得n ＞1.75.又∵n ＜4. ∴n 的取值范围是：1.75＜n ＜4. 答：n 的取值范围是1.75＜n ＜4． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用.掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租.下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元.那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元.那么将少租出1辆汽车．另外.公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元.无论是否租出汽车.公司均需一次性支付月维护费共计1850元． ．．②月利润=月租车费-月维护费.③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下.根据上述信息.解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是_______元.当每个公司租出的汽车为_______辆时.两公司的月利润相等. （2）求两公司月利润差的最大值.（3）甲公司热心公益事业.每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构.如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.且当两公司租出的汽车均为17辆时.甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大.求a 的取值范围． 【答案】（1）48000.37.（2）33150元.（3）50150a << 【解析】 【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金.再乘以10.减去维护费用可得甲公司的月利润.设每个公司租出的汽车为x 辆.根据月利润相等得到方程.解之即可得到结果. （2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y .同（1）可得y 甲和y 乙的表达式.再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况.列出y 关于x 的表达式.根据二次函数的性质.结合x 的范围求出最值.再比较即可.（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+.得到对称轴.再根据两公司租出的汽车均为17辆.结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a-<<.即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元.当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是48000元. 设每个公司租出的汽车为x 辆.由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦. 解得：x =37或x =-1（舍）.∴当每个公司租出的汽车为37辆时.两公司的月利润相等.（2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y . 则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦. y 乙=35001850x -.当甲公司的利润大于乙公司时.0＜x ＜37. y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x -++. 当x =1800502--⨯=18时.利润差最大.且为18050元. 当乙公司的利润大于甲公司时.37＜x ≤50. y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x --. ∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18. 当x =50时.利润差最大.且为33150元. 综上：两公司月利润差的最大值为33150元.（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+.对称轴为直线x =1800100a-. ∵x 只能取整数.且当两公司租出的汽车均为17辆时.月利润之差最大. ∴180016.517.5100a-<<. 解得：50150a <<． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.二次函数的图像和性质.解题时要读懂题意.列出二次函数关系式.尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办.某龙虾养殖大户为了发挥技术优势.一次性收购了10000kg 小龙虾.计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同.放养10天的总成本为166000.放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg.销售单价为y 元/kg.根据往年的行情预测.a 与t 的函数关系为a=()()1000002010080002050t t t ⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩.y 与t 的函数关系如图所示． （1）设每天的养殖成本为m 元.收购成本为n 元.求m 与n 的值. （2）求y 与t 的函数关系式.（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本.利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600.n=160000.（2）()()316020513220505t t y t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩.（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大.最大利润是108500元. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组.求出方程组的解得到m 与n 的值即可. （2）根据图象.分类讨论利用待定系数法求出y 与P 的解析式即可.（3）根据W=ya ﹣mt ﹣n.表示出W 与t 的函数解析式.利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得1016600030178000m n m n +=⎧⎨+=⎩ . 解得：600160000m n =⎧⎨=⎩. （2）当0≤t≤20时.设y=k 1t+b 1.由图象得：111162028b k b =⎧⎨+=⎩. 解得：113516k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y=35t+16.当20＜t≤50时.设y=k 2t+b 2.由图象得：222220285022k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：221532k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y=﹣15t+32.综上.()()3160t 205y 13220t 505t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩. （3）W=ya ﹣mt ﹣n.当0≤t≤20时.W=10000（35t+16）﹣600t ﹣160000=5400t.∵5400＞0.∴当t=20时.W 最大=5400×20=108000.当20＜t≤50时.W=（﹣15t+32）（100t+8000）﹣600t ﹣160000=﹣20t 2+1000t+96000=﹣20（t ﹣25）2+108500. ∵﹣20＜0.抛物线开口向下. ∴当t=25.W 最大=108500. ∵108500＞108000.∴当t=25时.W 取得最大值.该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用.具体考查了待定系数法确定函数解析式.利用二次函数的性质确定最值.熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．二、一次函数+反比例函数应用问题例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形.使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形.是否存在一个正方形.使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究.是否存在一个矩形.使其周长和面积都为长为3.宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x 、y .则依题意10x y +=.12xy =.联立1012x y xy +=⎧⎨=⎩得210120x x -+=.再探究根的情况：根据此方法.请你探究是否存在一个矩形.使其周长和面积都为原矩形的12倍.如图也可用反比例函数与一次函数证明1l ：10y x =-+.2l ：12y x=.那么.①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12.若存在.用图像表达. ③请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．【答案】（1）不存在.（2）①存在.②不存在.见解析.③2425k 【解析】 【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积.再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积.比较是否也为2倍即可.（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可.②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立.求出关于x 、y 的一元二次方程.判断根的情况.③设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =.同样列出一元二次方程.利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）边长为2的正方形.周长为8.面积为4.当周长为其2倍时.边长即为4.面积为16.即为原来的4倍.故不存在. （2）①存在.∵210120x x -+=的判别式0∆>.方程有两组正数解.故存在. 从图像来看.1l ：10y x =-+.2l ：12y x=在第一象限有两个交点.故存在. ②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立523x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得25302x x -+=. 因为∆<0.此方程无解.故这样的新矩形不存在.从图像来看.1l ：52y x =-+.2l ：3y x =在第一象限无交点.故不存在.③2425k. 设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =. 联立56x y k xy k +=⎧⎨=⎩得2560x kx k -+=.225240k k ∆=-.故2425k ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.根的判别式．需要认真阅读理解题意.根据题干过程模仿解题． 练习题1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带.为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1. R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k .b 为常数.0≤m ≤120）.其图象如图1所示.图2的电路中.电源电压恒为8伏.定值电阻R 0的阻值为30欧.接通开关.人站上踏板.电压表显示的读数为U 0 .该读数可以换算为人的质量m . 温馨提示：①导体两端的电压U .导体的电阻R .通过导体的电流I .满足关系式I ＝UR. ②串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k .b 的值.（2）求R 1关于U 0的函数解析式. （3）用含U 0的代数式表示m .（4）若电压表量程为0~6伏.为保护电压表.请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩.（2）1024030R U =-.I （3）0120135m U =-.（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法.即可求解.（2）根据“串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压”.列出等式.进而即可求解.（3）由R 1＝12-m ＋240.1024030R U =-.即可得到答案. （4）把06U =时.代入0480540m U =-.进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0.240）.（120.0）代入R 1＝km ＋b .得2400120bk b =⎧⎨=+⎩.解得：2402b k =⎧⎨=-⎩. （2）∵001830U U R -=. ∴1024030R U =-. （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩. ∴R 1＝2-m ＋240. 又∵1024030R U =-. ∴024030U -=2-m ＋240.即：0120135m U =-. （4）∵电压表量程为0~6伏. ∴当06U =时.1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用.熟练掌握待定系数法.是解题的关键． 2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m .2）． （1）求k .m 的值.（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象.并根据图象.写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3.（2）30x -<<或3x > 【解析】 【分析】（1）把点A （m .2）代入6y x=求得m 的值.从而得点A 的坐标.再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可.（2）在坐标系中画出y kx =的图象.根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称.求得另一个交点的坐标.观察图象即可解答． 【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =.3m ∴=.(3,2)A ∴.将(3,2)A 代入y kx =得23k =.23k ∴=. ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示.∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （3.2）. ∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3.-2）. 由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题.利用数形结合思想是解决问题的关键． 3．（2020·广西柳州·中考真题）如图.平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数my x=（x ＞0）的图象交于A 、C 两点.与x 轴交于B 、D 两点.连接AC .点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2.直尺的宽度BD ＝2.OB ＝2．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ． （1）请结合图象.直接写出： ①点A 的坐标是 . ②不等式mkx b x+>的解集是 . （2）求直线AC 的解析式．。
人教版数学九年级上学期课时练习- 二次函数-销售与利润问题中考真题专练(人教版)
专题22.41 二次函数专题-销售与利润问题中考真题专练（专项练习）【专题说明】用二次函数解决销售与利润问题是中考的常考点，也是热点，解答这类问题最常用的方法之一是建立二次函数模式，利用二次函数的最大值或最小值。
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：（1）设自变量x 和函数y ；（2）求出函数解析式和自变量的取值范围；（3）化为顶点式，求出最值；检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内，并作答。
相关等量关系：（1）利润=售价一进价；（2）总利润、单件利润、数量的关系；（3）总利润=单件利润×数量。
1．（2021·辽宁大连·中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤， （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？2．（2021·江苏泰州·中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？3．（2021·辽宁丹东·中考真题）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；m ），公司为回馈消费者，规定该商品售价（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（0x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．5．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．6．（2021·江苏淮安·中考真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数表达式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？7．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m ＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．8．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A 型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．x 时，完成以下两个问题：（1）当4①请补全下面的表格：①若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．9．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？10．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系，（其中4070x ≤≤，且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？11．（2021·四川雅安·中考真题）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间存在一次函数关系（其中1021x ≤≤，且x 为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．12．（2021·辽宁本溪·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？13．（2021·湖北湖北·中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）14．（2021·山东济宁·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？15．（2021·贵州铜仁·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y （万元）与月销售量x （辆）（4x ≥）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y 与x 的关系式1y =________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，请你根据上述条件，求出月销售量()4x x ≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？16．（2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件）的关系如下表所示：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？17．（2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元()0,565x y ≤≤表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．18．（2021·湖北鄂州·中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）19．（2021·湖北黄冈·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．20．（2021·湖北武汉·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．21．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：填空：（1）m与x的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？n<）给当地福利院，（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（4后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．22．（2021·四川达州·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？23．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？24．（2021·四川阿坝·中考真题）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y=+，且当售价定为50元/件时，（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y kx b每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．25．（2021·辽宁鞍山·中考真题）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？26．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）27．（2021·四川遂宁·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？28．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．参考答案1．（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）由图象易得()50,100和()80,40，然后设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意易得222808000w x x =-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得：501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩， ①y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，①-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ①5080x ≤≤，①当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．2．（1）55003y x =-+；（2）210． 【分析】（1）将()120,300A ，()240,100B 代入到y kx b =+，得到方程组300120100240k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 与b 的值，即可求出直线AB 的解析式；（2）将55003y x =-+代入12100w y =+中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．解：（1）设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，将()120,300A ，()240,100B 代入可得：300120100240k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：53500k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线AB 的函数关系式55003y x =-+． 故答案为：55003y x =-+． （2）将55003y x =-+代入12100w y =+中，可得：1550021003w x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 化简得：1760w x =-+， 设总销售额为z ，则1760z wx x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ 21760z x x =-+ ()2142060x x =-- ()222114************x x =--++⨯ ()2121073560x =--+ ①1060a =-<， ①z 有最大值，当210x =时，z 取到最大值，最大值为735．故答案为：210．【点拨】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．3．（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量⨯（售价-成本）4000=”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：（1）①依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ①y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）①依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =，①7090<①当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w ，依题意得()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-①50-<，此图象开口向下①当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元）， ①当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．4．（1）3300y x =-+；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）5m =【分析】（1）①依题意设y=kx+b ，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-，再由表格数据求出20a =，得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----，由于对称轴是直线60602m x =+>，根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）设y kx b =+，由题意有 401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3300k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+；（2）由（1）(3300)()W x x a =-+-，又由表可得：3600(340300)(40)a =-⨯+-，20a ∴=，22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时，周销售利润W 最大，最大利润为4800；（3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----， 其对称轴60602m x =+>，055x ∴<时上述函数单调递增， 所以只有55x =时周销售利润最大，40503(55100)(5520)m ∴=----．5m ∴=．【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．5．（1）3216(832)120(3240)x xyx-+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）最大利润为3840元【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则22150 32120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3216kb=-⎧⎨=⎩，①当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，①3216(832)120(3240)x xyx-+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，①开口向下，对称轴为直线x＝40，①当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，①x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，①W随x的增大而增大，①x＝40时，W最大＝3840，①3840＞2880，①最大利润为3840元．【点拨】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．6．（1）y ＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 解：（1）根据题意，y ＝300﹣10（x ﹣60）=-10x+900，①y 与x 的函数表达式为：y ＝-10x+900；（2）设利润为w ，由（1）知：w ＝（x ﹣50）（-10x+900）=﹣10x 2＋1400x ﹣45000，①w ＝﹣10（x ﹣70）2＋4000，①每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．7．（1）1y 204x =-+；（2）21165P x x =-+；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元 【分析】 （1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为W ，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+； （2）设销售收入为P （万元），①()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭， ①P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+；（3）设销售总利润为W ， ①()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+， 整理，可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+， ①﹣15＜0， ①当24x ＝时，W 有最大值为3265， ①原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元． 【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．8．（1）①14x -，21x -；①10台；（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B 型车床x 台时，生产A 型车床（14-x ）台，当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元，所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元；①根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可；（2）当0≤x ≤4时，W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +，当4＜x ≤14时，W ＝2( 5.5)170.25x --+，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.解：（1）当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元①补全表格如下面：①此时，由A 型获得的利润是10（14x -）万元，由B 型可获得利润为(21)x x -万元，根据题意：(21)10(14)70x x x ---=， 2312100x x -+=，(21)(10)0x x --=，①0≤x ≤14， ①10x =，即应产销B 型车床10台；（2）当0≤x ≤4时，此时，W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +，该函数值随着x 的增大而增大，当x 取最大值4时，W 最大1＝168（万元）；当4＜x ≤14时，则W ＝10(14)x -＋(21)x x -＝211140x x -++＝2( 5.5)170.25x --+，当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14），W 达最大值W 最大2＝170（万元），①W 最大2＞ W 最大1，①应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.9．（1）y 与x 之间的函数解析式为y=-0.1x+68，200x 320≤≤；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元【分析】（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b ，根据待定系数法即可得出答案；（2）设宾馆每天的利润为W 元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W 关于x 的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．。
(中考试题)初中数学专题训练-函数
函数一．选择题（共20小题）1．（2014•射阳县校级模拟）若点P（a，a﹣b）在第四象限，则点Q（b，﹣a）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（2012•翁源县校级模拟）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥﹣1或x≠﹣3C．x≥﹣1 D．x≥﹣1且x≠﹣33．（2017春•姜堰区校级月考）如图，在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 从完全置身水槽外，到匀速向下放入盛有水的水槽中，直至铁块完全浸入水面下的一定深度，则图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B ．C．D．4．（2012•山西模拟）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是（）初中数学A．摩托车比汽车晚到1h B．A，B两地的路程为20kmC．摩托车的速度为45km/h D．汽车的速度为60km/h 5．（2011•大同校级模拟）有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满．已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示．则在第7分钟时，容器内的水量为（）升．A．15B．16C．17D．18 6．（2016•阳泉模拟）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）2．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE=6cmB．sin∠EBC=0.8C．当0＜t≤10时，y=0.4t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2016春•新洲区期末）若一次函数y=（1﹣m）x|m|﹣1+3的函数值y随x的增大而增大，则m的取值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1 9．（2014•泗县校级模拟）函数y=（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是（）A．B．C．m＜﹣1D．m＞﹣110．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较11．（2012春•翠屏区校级期中）直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）A．3B．2C．﹣2D．﹣312．（2014•泗县校级模拟）如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（）A．y=﹣x+2B．y=x﹣2C．y=﹣x﹣2D．y=x+2 13．（2014•白云区校级模拟）根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x﹣21y3pA．3B．1C．﹣2D．﹣614．一次函数y=kx+b（b＞0）与反比例函数y=在同一直角坐标系下的大致图象为（）A．B．C．D．15．（2014•泗县校级模拟）若反比例函数y=（2m﹣1）的图象在第二，四象限，则m的值是（）A．﹣1或1B．小于的任意实数C．﹣1D．不能确定16．（2014•泗县校级模拟）如图，A为反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于=3，则k的值为（）点B，若S△AOBA．3B．6C．D．无法确定17．（2014•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 18．（2014•磐石市校级模拟）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（）A．B．C．D．19．（2014•溧水县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．320．对二次函数进行配方，其结果及顶点坐标是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）21．根据点所在位置填表（图）点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限22．（2015秋•灯塔市期末）坐标平面内的点与是一一对应的．23．（2017秋•昌平区校级期中）从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是．24．（2014•新泰市校级模拟）函数y=中，自变量x的取值范围是；函数中，自变量x的取值范围是．25．（2012秋•合肥期末）根据图中所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x 的值为，则输出的结果是．26．（2016春•西和县校级月考）用描点法画函数图象的一般步骤是、、．27．（2014•无棣县校级模拟）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．则y 与x 的关系式为，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动时间是．28．（2015秋•深圳校级期中）函数的三种表示方式分别是．29．（2017•和平区校级模拟）当m=时，函数y=（m +3）x 2m +1+4x ﹣5（x≠0）是一次函数．30．（2014•泗县校级模拟）已知函数y=2x ﹣3，当x 时，y ≥0；当x时，y ＜5．31．一次函数y=kx +b 的图象与性质k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图象的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而32．（2014•射阳县校级模拟）如图，点A （﹣3，4）在一次函数y=﹣3x ﹣5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为．33．（2014秋•路北区期末）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于．34．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．35．（2008春•通城县期中）反比例函数y=的图象经过点（﹣，5）和（a，﹣3），则a=．36．（2014•泗县校级模拟）已知y﹣2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x 的函数关系式为．37．二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴方程是x=；当x=时，y有最小值是．38．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，1）的下方．下列结论：①a﹣b+c=0，②0＜b＜﹣a，③a+c＞0，④a﹣b+1＞0，其中正确结论的个数是个．39．（2014•射阳县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）40．（2014•大石桥市校级模拟）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为．三．解答题（共10小题）41．已知点M（3a+8，﹣1﹣a），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点M在一、三象限角平分线上；（3）点M在第四象限，并且a为最小自然数；（4）N点坐标为（﹣3，6），并且直线MN∥y轴．42．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，4），点B（﹣1，﹣2），点C（1，2），O是坐标原点．（1）求△AOB的面积；（2）求△ABC的面积．43．求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=；（3）y=；（4）y=．44．已知一次函数y=（m+2）x+2﹣n，求：（1）y随x的增大而增大，m的取值范围；（2）函数的图象与y轴的交点在x轴的下方时，m，n的取值范围；（3）m，n为何值时图象与坐标轴交于原点；（4）函数的图象经过第一、二、三象限，m，n的取值范围．45．（2016•阳泉模拟）已知方程x2+mx+n=0的两根是直角三角形的两个锐角的余弦．（1）求证：m2=2n+1；（2）若P（m，n）是一次函数y=x﹣图象上的点，求点P的坐标．46．（2014•浙江模拟）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B （0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S=2，求点C的坐标．△OBC47．（2016•阳泉模拟）如图所示，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（6，n）在边AB上，反比例函数y=（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的表达式和n的值．48．如图所示，直线y=2x+3与双曲线y=相交于A，B两点，与轴交于点C，且△OCA的面积为1.5．（1）求双曲线y=的解析式；（2）若点D，B关于原点对称，一动点P沿着x轴运动，则|PA﹣PD|是否有最大值？如果有，请确定点P的位置；如果没有，请说明理由．49．（2014•溧水县校级模拟）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求m的值；（2）根据上表求y＞0时的x的取值范围；（3）若A（p，y1），B（p+1，y2）两点都在该函数图象上，且p＜1，试比较y1与y2大小．50．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线过y=ax2+bx+c（a≠0）点A．（1）求c的值；（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点，A，D，E，求△ADE的面积S的最大值．第11页（共11页）。
中考数学真题二次函数专项练习(带答案)
中考数学真题二次函数一、选择题1．已知点M(−4，a−2) N(−2，a) P(2，a)在同一个函数图象上.则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1).B(x2，y2)两点.若x1+x2<0.则直线y= ax+k一定经过（）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限3．设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0，m，k是实数).则（）A．当k=2时.函数y的最小值为−a B．当k=2时.函数y的最小值为−2aC．当k=4时.函数y的最小值为−a D．当k=4时.函数y的最小值为−2a4．已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0).下列说法正确的是()A．点(1，2)在该函数的图象上B．当a=1且−1≤x≤3时.0≤y≤8C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当a>0时.该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒.经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2.那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A．5B．10C．1D．2二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中.一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界）.这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图.函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象（抛物线中的实线部分）.它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC.则b=.三、解答题7．设二次函数y=ax2+bx+1.（a≠0.b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：（1）若m=4.求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围.使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中.只有一个是正数.求a的取值范围．8．如图.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，−2)和B(0，−5)．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤−2时.请根据图象直接写出x的取值范围．9．已知二次函数y=−x2+bx+c.（1）当b=4，c=3时.①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时.求y的取值范围.（2）当x⩽0时.y的最大值为2；当x>0时.y的最大值为3.求二次函数的表达式.10．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中.（1）若它的图象过点(2，1).则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时.y的最小值为−2.求出t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上.且a<b<3.求m的取值范围。
一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练
一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP= 165 ；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 85 ；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是 (2-5)或(5-2，) ；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 32 ；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k= 22 ；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。
2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合
2023年中考数学专题训练——二次函数最值问题的综合一、综合题1．已知2318x t y t S x y =-=+=+，，.（1）求S 与t 的函数关系式；（2）当2t =时，求S 的值；（3）求S 的最大值或最小值.2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+mx+5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（5，0）.（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标.（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标.3．已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b ，c 的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y 的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．4．已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A （-1，0），与y 轴的交点坐标为C （0，3） .（1）求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）根据图象回答：当x 取何值时，y ＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA PC +的值最小时的点P 的坐标．5．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点()02F ，的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M 的坐标为)3，，P 是抛物线2114y x =+上一动点，则（1）当POF 面积为4时，求P 点的坐标； （2）求PMF 周长的最小值．6．某商店销售一种成本为40元千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500kg ，销售价每涨价1元，月销售量就减少10kg（1）当销售单价为55元时，计算月销售量和销售利润；（2）当售价定为多少元时，会获得最大利润?求出最大利润.7．如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x 米，苗圃园的面积为y 平方米.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）当x 为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？8．已知二次函数22y x bx b =++（b 为常数）．（1）若图象过28（，），求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当22x -≤≤时，求函数的最大值和最小值． （3）若函数图象不经过第三象限，求b 的取值范围9．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()10A ，，点()03B ，．点P 在此抛物线上，其横坐标为m ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P 在x 轴上方时，结合图象，直接写出m 的取值范围．（3）若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P ）的最低点的纵坐标为2m -．求m 的值．11．如图，已知抛物线过点()00O ，，()55A ，，其对称轴为2x =．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限．①当OAB 的面积为15时，求点B 的坐标；②P 是抛物线上的动点，当PA PB -取得最大值时，求点P 的坐标．12．如图，二次函数的图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC.（1）求二次函数的表达式，并求出函数的最大值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PA ＋PC 最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）．（1）若二次函数的对称轴是直线x ＝3，求m 的值．（2）当m ＞2，0≤x≤3时，二次函数的最大值是7，求函数表达式．14．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx ﹣c 的部分图象如图．（1）求b 、c 的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y 的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作//PM y 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．16．已知二次函数y ＝3mx 2+2nx+p ．（1）若m ＝1，n ＝﹣1．①p ＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x 轴有且只有一个公共点，求p 的取值范围； （2）若m ＝﹣13，p ＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()04A ，、()59B ，两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．（1）求抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）()P x y ，为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PMy 轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．18．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()10A ，，()30B ，两点，与y 轴交于点C ，3OC =．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．19．已知二次函数图象的顶点是()12-，，且过点302（，）．（1）求二次函数的表达式．（2）求当24x -<<时，函数的最大值和最小值． （3）求当x 取何值时，0y >20．绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg ，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y 1（元）与产量x （kg ）之间满足一次函数关系y 1＝﹣ 35x+168，生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数图象如图中折线ABC 所示.（1）求生产成本y 2（元）与产量x （kg ）之间的函数关系式； （2）求日利润为W （元）与产量x （kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg 时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？答案解析部分1．【答案】（1）解：将231x t y t =-=+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =-++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++.（2）解：将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=， ∴当2t =时25S =.（3）解：()2285411S t t t =++=+-， ∴当4t =-时，函数S 有最小值-11.【解析】【分析】（1）将第一个与第二个函数解析式代入第三个函数解析式中即可得出 S 与t 的函数关系式；（2）将t=2代入（1）所得函数解析式，即可算出s 的值；（3）将（1）所得函数解析式配成顶点式，由于二次项系数a=1＞0，图象开口向上，故可得出该函数的最小值.2．【答案】（1）解：将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5得，0＝﹣25+5m+5，m ＝4， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5 y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）（2）解：如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA+PC ＝PC+PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，由抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x+5＝﹣（x ﹣2）2+9，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为（5，0），对称轴l 为x ＝2，设直线BC 的解释为y ＝kx+b ，将点C （0，5），点B （5，0），代入y ＝kx+b 得， {0=5k +b 5=b， 解得15k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+5，联立方程，{y =−x +5x =2，解得 23x y =⎧⎨=⎩∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（2，3）.【解析】【分析】（1）将点（5，0）代入y ＝﹣x 2+mx+5中，求出m 值得其解析式，从而求出顶点坐标；（2） 由点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB ＝BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值， 利用待定系数法求出直线BC 解析式，在求其与对称轴的交点坐标即可.3．【答案】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++，得∶{c =−3−36−6b +c =−3，解得：{b =−6c =−3； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0，∴当x ＝-3时，y 有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大， ①当-3＜m≤0时，当x ＝0时，y 有最小值为-3，当x ＝m 时，y 有最大值为263m m ---，∴263m m ---+（-3）＝2，∴m ＝-2或m ＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x ＝-3时，y 有最大值为6， ∵y 的最大值与最小值之和为2， ∴y 最小值为-4， ∴2(3)6m -++=-4，∴m ＝310--m ＝310-+．综上所述，m ＝-2或310--【解析】【分析】（1） 把（0，-3），（-6，-3）代入y ＝2x bx c -++ 中求出b 、c 的值；（2） 由（1）得：该函数解析式为y ＝263x x ---＝2(3)6x -++， 可得顶点（-3，6），开口向下，可知当x=-3时y 值最大；（3） 由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，可得当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3时，y 随x 的增大而增大，分两种情况： ①当-3＜m≤0时，②当m≤-3时， 分别求出最大值与最小值，根据“ y 的最大值与最小值之和为2 ”列出方程并解之即可.4．【答案】（1）解：把点 a （-1，0）， C （0，-3）代入抛物线 y=x 2+bx+c 可得方程组103b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解方程组得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ， 所以函数表达式为 2y x 2x 3--＝当 y 0= 时， 2x 2x 30--= ，解得 12x 1x 3=-=， ；另一个交点B 的坐标为（3，0）.（2）解：由图象可得：当 1x 3-<< 时， y ＜0.（3）解：如图，作对称轴，作直线BC ，交点P 就是所求的点。
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
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中考数学专题训练（函数综合）1．如图,一次函数b kx y +=与反比例函数x y 4=的图像交于A 、B 两点,其中点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C ． (1)求一次函数的解析式； (2）求点B 的坐标.2．已知一次函数y=(１－2x)ｍ+x+3图像不经过第四象限,且函数值ｙ随自变量ｘ的减小而减小。
（1)求m 的取值范围；(2)又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是４.5 ,求这个一次函数的解析式。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点Ｏ为原点，已知点A 的坐标为（2,2), 点B 、C 在x 轴上,ＢＣ=8,AB=ＡC ，直线A Ｃ与y 轴相交于点D .(１)求点C 、Ｄ的坐标;（2)求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标.４．如图四，已知二次函数223y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A与y 轴交于点C ,其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+， 又tan 1OBC ∠=.（１)求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式; (2)求ABC △的面积.（图四）5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是(－3，1），将线段ＯA 绕着点O 顺时针旋转90°得到O Ｂ.（1)求点B 的坐标； (２)求过A 、Ｂ、O 三点的抛物线的解析式; (３)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为Ｃ，求△ＡBC 的面积。
６．如图,双曲线x y 5=在第一象限的一支上有一点C (1，５),过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A (a ，0)、与y 轴交于点B .（1）求点A 的横坐标ａ与k 之间的函数关系式;（２）当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时,求△C ＯD 的面积．７．在直角坐标系中，把点A (－1,ａ)（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2. （1）求这条抛物线的解析式； (2）设该抛物线的顶点为点Ｐ，点Ｂ为)1m ，（,且3<m ，若△ABP 是等腰三角形,求点B 的坐标。
x图7８．在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过A （－１,0）和点B （0,３）,顶点为Ｐ。
（1） 求二次函数的解析式及点P 的坐标；（2） 如果点Q 是x 轴上一点,以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。
9.如图,在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c=-++经过点(1,3)A ，(0,1)B ．(1）求抛物线的表达式及其顶点坐标;（２）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点Ｐ,使△AB Ｐ与△A ＢC 相似，求满足条件的所有P 点坐标.10.在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位,再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ,直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2)点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△A ＢC 相似,求所有满足条件的Ｐ点坐标.11．如图,直线O Ａ与反比例函数的图像交于点A(３，3),向下平移直线OA,与反比例函数的图像交于点B(6,ｍ）与ｙ轴交于点Ｃ.(1)求直线ＢC 的解析式; (2）求经过A 、B 、Ｃ三点的二次函数的解析式；(3)设经过Ａ、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为Ｄ,对称轴上是否存在一点Ｐ，使以O 、Ｅ、P 为顶点的三角形与△BCD 相似?若不存在，请说明理由．图812．二次函数图像过A(2，１)B（0,1）和C(１,-１)三点。
（1)求该二次函数的解析式；(２)该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后,原二次函数图像上的Ａ、B两点相应平移到Ａ1、Ｂ1处,求∠ＢＢ1Ａ1的余弦值。
1３．如图,在直角坐标系中，直线421+=xy与x轴、y轴分别交于Ａ、B两点,过点A作ＣＡ⊥AB,CA=52,并且作ＣD⊥x轴. （1)求证：△AＤＣ∽△ＢＯA(２) 若抛物线cbxxy++-=2经过B、Ｃ两点.①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点,若直线PＭ与y轴的夹角为３0°，请直接写出点Ｍ的坐标.1４.如图,已知二次函数y=ａx2-２ax＋３（a<0）的图像与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P,且OＢ＝３OA，一次函数y=kx+ｂ的图像经过点A、点Ｂ．（１)求一次函数的解析式；(２）求顶点P的坐标；(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且ｔan∠OAM=23,求点M的坐标．BAB O xyP（图16）15.如图1６,在平面直角坐标中,四边形OA ＢC 是等腰梯形,CB∥OA，O Ａ=７，ＡB=４,∠COA＝６0°,点P 为x 轴上的—个动点，但是点Ｐ不与点０、点Ａ重合.连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连结ＰＤ.(1)求点B 的坐标；(2)当∠C PD=∠ＯAB,且ABBD =85，求这时点Ｐ的坐标.16． 如图，二次函数cbx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A,且与y 轴交于点C .（1）试求此二次函数的解析式;（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）;（３）若P 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合),过P 作y 轴的平行线,分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=?若存在,请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.１7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上,边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ,且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ． (１)求F 、E 、D 三点的坐标;（2)若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式;(3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形的面积?ABCDEFx y O１８．如图，在平面直角坐标系ｘＯy 中，O 为原点，点Ａ、C 的坐标分别为（２，0）、（1,33）. 将△AOC 绕ＡC 的中点旋转180°,点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点.(１)求证:四边形ABC Ｏ是平行四边形； (2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（３）若点P 是线段OA 上一点,且∠APD=∠OAB ，求点Ｐ的坐标；(4) 若点P 是ｘ轴上一点,以P 、A 、D写出点Ｐ的坐标.１9．已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A xy 32-=与边B Ｃ相交于点D ，(1）求点Ｄ的坐标;(2)抛物线c bx ax y++=2经过点A 、Ｄ、O ,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形?若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
20.如图，在平面直角坐标系中，直线343+-=x y 分别与x 轴、ｙ轴交于点A 和点B .二次函数c ax ax y +-=42的图象经过点B 和点Ｃ(-1,0）,顶点为P ．(1)求这个二次函数的解析式,并求出P 点坐标;(2）若点D 在二次函数图象的对称轴上，且ＡD ∥BP ,求ＰD 的长;x32-参考答案1、 解:(１）由点A 在反比例函数图像上，则414==y ，—(１分) 又点()4,1A 与()0,3-C 在一次函数图像上, 则⎩⎨⎧+-=+=b k b k 304,—（2分)解得⎩⎨⎧==31b k . (1分) ∴一次函数解析式为3+=x y .——(1分）(２）由⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 43,———(２分）消元得0432=-+x x ，—（1分）解得1,421=-=x x （舍去),——(1分） ∴点B 的坐标是()1,4--.——（1分)２． 解:（1）∵一次函数y=（１-2x)m+x+3 即y=（１-2m ）ｘ＋ｍ+3 图像不经过第四象限且函数值y 随自变量x 的减小而减小 ∴ 1－2m ＞0 , m+３≥０, (2分) ∴ ………(2分)根据题意,得：函数图像与y 轴的交点为（0,m ＋3)， 与x 轴的交点为 …(1分）则 ………（１分） 解得m ＝0 或 m=－２４(舍） …（1分）∴一次函数解析式为：y=x+3……（１分)３．解：（1)过点Ａ作A Ｅ⊥ｘ轴，垂足为点E .……1′∵点A 的坐标为（2，２）, ∴点Ｅ的坐标为（2,0）.…1′∵ＡB=ＡＣ，BC =8， ∴BE=C Ｅ, ………1′ 点B 的坐标为（－2点C 的坐标为（6，0).…1′ 设直线AC 的解析式为：y kx b =+(0k ≠)， 将点A 、Ｃ得到： 132y x =-+．…１′ ∴点D 的坐标为（0，3). ……1′（3） 设二次函数解析式为:2y ax bx c =++（0a ≠)， ∵ 图象经过B 、D 、A 三点, ∴4230,423 2.a b a b -+=⎧⎨++=⎩…2′解得：1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此二次函数解析式为:211322y x x =-++……1′ 顶点坐标为(12，38). …………1′４.解:(1) tan 1OBC ∠=,∴ＯＢ＝ＯC=3， ∴Ｂ(3,０） ………(2分）将B （3,０)代入223y ax ax =-+ 0963a a =-+,∴1a =- ……（1分) ∴223y x x =-++;∴2(1)4y x =--+…（１分） ∴D （1,4)，A(-1,０) …(2分） 将D （1,4)代入3y kx =+，∴1k =,3y x =+ ……………(2分）（２)14362ABC S ∆=⨯⨯= …………………(4分）213<≤-m ⎪⎭⎫⎝⎛-+0,123m m ()293m 213m 21=+⋅-+⋅m（图八）5．解：(１）过点A 作A Ｈ⊥x 轴,过点B 作ＢＭ⊥y 轴，由题意得OA ＝OB ，∠AOH=∠BOM, ∴△ＡOH ≌△B ＯM---－－－－-－--－-1分∵A 的坐标是（-3，1)， ∴ＡH=BM ＝1,ＯH=OM=3 ∴B 点坐标为(1,3）---－---－－2分(2)设抛物线的解析式为y ＝ax ２+bx+ｃ则⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++01393c c b a c b a ---－----3分得0,613,65===c b a ∴抛物线的解析式为x x y 613652+=-----2分 (3)对称轴为1013-=x ---－--－１分 ∴C 的坐标为（3,518-)－－-－---∴ 5232)5181(2121=⋅+⋅=⋅⋅=∆BC ABC h BC S ---------－----2分6．解:(1）∵点C （１，5）在直线)0(>+-=k b kx y 上，∴b k +⋅-=15, ∴5+=k b ，…1′ ∴5++-=k kx y .…１′∵点A （a ，0）在直线5++-=k kx y 上， ∴50++-=k ka .…1′ ∴15+=k a .………1′(２)∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是９， 设点Ｄ(9，ｙ），………1′∴95=y . ∴点D （9,95）．……１′ 代入5++-=k kx y , 可解得:95=k ，………1′95095+-=x y . ………1′ 可得:点A (10，０)，点B (0，950）． ………2′∴BOCAODAOB COD S S S S ∆∆∆∆--= =1950219510219501021⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ …１′=)1110(95021--⨯ = )1110(95021--⨯ = 9200 =9222.……1′7．解：（１)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++ 点Ａ（－１,ａ）（a 为常数)向右平移４个单位得到点 A '(3，a)…………(1分） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c …………（1分）∵ 图像经过点Ａ(－1，a )、A '(3,a) ∴⎩⎨⎧=++=++a c b a a c b a 9…（１分) 解得⎩⎨⎧=-=21b a ……（2分）∴222++-=x x y …………………（1分) （２)由222++-=x x y =()312+--x 得P （1，3) 52=AP ……………（1分） ∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为)1m ，（,且3<m (Ⅰ)当A Ｐ=PB 时， 52=PB ，即 523=-m …（１分） ∴523-=m ……(1分） （Ⅱ)当AP=AB 时()()()()22221113111m --+--=--+--解得5,3-==m m ……(１分) 3=m 不合题意舍去， ∴5-=m ………（1分)（Ⅲ)当PB ＝A Ｂ时 ()()()()2222111311m m --+--=-+-解得21=m ………（1分）综上:当523-=m 或-5或21时，△A ＢＰ是等腰三角形.ﻬ8.解：(1） 由题意，得103b c c --+=⎧⎨=⎩ （2分) 解得2b =,3c =ﻩ（1分）∴二次函数的解析式是223y x x =-++ﻩ（1分) ()222314y x x x =-++=--+， ∴点P 的坐标是（1,4)ﻩ(2分)(2) P (1,4),A (－1，0)∴2AP ＝20.(1分) 设点Q 的坐标是（x ，0） ∠PAQ =９0°不合题意则()221AQ x =-,()22116PQ x =-+ (1分）当∠AQ Ｐ=９0°时，222AQ PQ AP+=，()()22111620x x ++-+=，解得11x =，21x =-（舍去）∴点Ｑ的坐标是(１,0） （2分）当∠APQ =90°时,222AP PQ AQ +=，()()22201161x x +-+=+,解得9x =，∴点Q 的坐标是(９,0） （２分）综上所述,所求点P 的坐标是（１，0)或(9，0）．9．解:（1)将(1,3)A ，(0,1)B ,代入212y x bx c=-++, 解得52b =，1c =. …………2分 ∴抛物线的解析式为211225y x x =-++.………1分 ∴顶点坐标为(,)53328．……１分(2）①由对称性得(4,3)C ．……１分 ∴1231413ABC S =--=.…１分②将直线AC 与y 轴交点记作D ， ∵12ADBDBD CD ==,∠CDB 为公共角,∴△ＡB Ｄ∽△BCD ． ∴∠AB Ｄ =∠BCD ．………1分1°当∠PAB =∠ＡBC 时,PBABACBC=,∵BC ==AB ==,3AC =∴32PB =，∴1(0,5)2P . …………2分2°当∠P ＡB =∠ＢAC 时,PBAB BCAC=, ， ∴310PB =， ∴2(0,13)3P ．……２分综上所述满足条件的P 点有5(0,)2，13(0,)3. …………1分10．解：平移后抛物线的解析式为22(2)1y x =-+.……2分 ∴A 点坐标为(2,1）,……1分 设直线OA 解析式为y kx =，将A （2，1）代入 得12k =,直线ＯA 解析式为12y x=, 将3x =代入12y x =得32y =,∴C 点坐标为（3，32）．…………１分 将3x =代入22(2)1y x =-+得3y =， ∴B 点坐标为(3，3)．…1分 ∴ABC 34S =…2分 (2）∵ＰＡ∥BC ，∴∠PAB ＝∠A ＢＣ1°当∠PBA =∠B ＡC 时，ＰB ∥A Ｃ， ∴四边形P ＡC Ｂ是平行四边形,∴32PA BC ==.…1分 ∴15(2,)2P . …１分 2°当∠ＡＰＢ=∠BAC 时，APAB ABBC=，∴2AB AP BC =.又∵AB =103AP =…1分 ∴213(2,)3P …1分综上所述满足条件的P 点有5(2,)2，13(2,)3．…………1分１1．解：（1）由直线OA 与反比例函数的图像交于点A （3，3),:x y =,双曲线为：x y 9=,点Ｂ(6，ｍ）代入x y 9= 得 23=m ，点B(6,231分)设直线B Ｃ的解析式为 b x y +=,由直线BC 经过点B ，将6=x ,=y b x y +=得29-=b…（１分） 所以,直线BC 的解析式为29-=x y … (1分)(2）由直线29-=x y 得点C （0，29-）, 设经过A 、B 、Ｃ三点的二次函数的解析式为292-+=bx ax y将A 、B 两点的坐标代入292-+=bx ax y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+232963632939b a b a … (1分)解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=421b a (1分)所以,抛物线的解析式为294212-+-=x x y ………(１分） （3）存在 把294212-+-=x x y 配方得27)4(212+--=x y ， 所以得点Ｄ（4,27)， 对称轴为直线4=x …（1分） 得对称轴与x 轴交点的坐标为Ｅ(４，0). ………（1分）由BD=8,B Ｃ=72,CD=80，得222BD BC CD +=， 所以，∠DBC=90 ……（1分）又∠PEO ＝90,若以Ｏ、E 、Ｐ为顶点的三角形与△ＢCD 相似，则有：① DB PE BC OE =即22264PE = 得34=PE ,有1P （4，34) ，2P (4,34-) ② BC PEDB OE =即26224PE = 得12=PE ， 有3P（4,12) ,4P (4,12-)． …(3分） 所以,点Ｐ的坐标为 (4,34) , (4，34-)， （4，12) , (4,12-).１2．（1）设y ＝ａx 2+bx+c … １’，代入A 、B 、C坐标得⎪⎩⎪⎨⎧'++=-=++=311241 c b a cc b a解得'1142 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a得142+-=x x y … １’（2）ＢB 1=52 … １’ cos ∠ＢB 1A 1=55… ３’１3．（１） ∵CD ⊥AB ∴∠BA Ｃ＝90° ∴∠BAO+∠C ＡＤ=90°………（1分）∵ＣD ⊥ｘ轴 ∴∠C ＤA ＝90° ∴∠C+∠CAD ＝90°……(１分）∴∠C=∠BAO ……(1分） 又∵∠ＣDO ＝∠ＡO Ｂ＝9０° ∴△A ＤC ∽△BO Ａ…………（1分) (2）①由题意得,A(-8,0），B(0，4) …（1分） ∴OA ＝８，ＯB ＝4，AB ＝54……（１分） ∵△ADC ∽△ＢＯA ，ＣＡ＝52 ∴ＡD=２,CD ＝4 ∴Ｃ(－10,4) ……（１分)将B(０,4），C(-10,４）代入c bx x y ++-=2⎩⎨⎧=+--=4101004c b c ∴⎩⎨⎧-==104b c ∴4102+--=x x y ………(1分)③ M(0，3529+),M(０,3529-) M(53329--，0),Ｍ(53329-,0) ……（４分）１４.解:(1）y =ax 2-2ax ＋3, 当0=x 时，3=y ∴)3,0(B ……… (１分) ∴3=OB ,又OB =3OA , ∴1=AO ∴)0,1(-A ………(2分)设直线AB 的解析式b kx y +=⎩⎨⎧==+-30b b k ,解得 3=k ，3=b∴直线AB 的解析式为33+=x y .……… (1分) （2))0,1(-A ， ∴320++=a a ,∴1-=a ∴322++-=x x y 4)1(2+--=x …（２分)∴抛物线顶点P 的坐标为（1，4）．………… (１分) （3)设平移后的直线解析式m x y +=3 点P 在此直线上，∴m +=34， 1=m∴平移后的直线解析式13+=x y ………… (１分)设点M 的坐标为)13,(+x x ，作ME x ⊥轴－若点M 在x 轴上方时， 13+=x ME ，1+=x AE在Rt △AME 中，由11323tan ++===∠x x AE ME OAM ，∴31=x ……(１分) ∴)2,31(M ……（1分) 若点M 在x 轴下方时, 13--=x ME ，x AE +=1在Rt △AME 中,由x x AE ME OAM +--===∠11323tan ,∴95-=x ∴)32,95(--M …… （1分) 综上所述: M 的坐标是)2,31(或)32,95(--……（1分)15．解:（1）作ＢQ ⊥x 轴于Q. ∵四边形OAB Ｃ是等腰梯形, ∴∠BAQ =∠ＣOA =６0° 在Rt △BQA 中,BA =4， BQ =A Ｂ·ｓin ∠BAO ＝4×ｓi ｎ60°=32…(1分） ＡＱ=ＡB ·cos ∠ＢＡO =4×co ｓ６０°=2,……(１分) ∴OQ=OA －AQ=7-2=5 点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为（5,32)……(１分)(２)∵∠ＣPA =∠ＯＣP +∠ＣOP 即∠CPD +∠ＤPA =∠COP +∠ＯCP 而∠ＣPD =∠OAB=∠COP ＝60° ∴∠ＯCP =∠A ＰD ……(1分) ∵∠C ＯP =∠P ＡＤ……(1分）∴△O ＣP ∽△APD ……(1分） ∴AP OCAD OP =，∴ＯP ·ＡP =OC ·AD ……(1分)∵85=AB BD∴ＢD =85AB=25，AD=AB －B Ｄ=４－25=23∵ＡP =OA －ＯＰ＝７－ＯP ∴OP （7－ＯP)＝４×23 …（１分) 解得O Ｐ=１或6∴点P 坐标为（1，０）或(6，0)…………（２分）１6、解:（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b , ∴二次函数解析式为221412++-=x x y .————（2+1+1分）(2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由(１)得()2,0C ,———(1分）则在AOC Rt ∆中,2142tan ===∠AO CO CAO ,又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ，———(1分） ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，—（1分） ∴BAO CAO ∠=∠．———(1分）(3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221-=x y ,—(1分）设()44,221, x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 则⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q , ∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH . ∴2214122122++-=-x x x .——(１分)当4212122++-=-x x x ， 解得 4,121=-=x x （舍去)，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P ．———（1分） 当4212122--=-x x x ,解得 4,321=-=x x (舍去）,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P ．———(1分) 综上所述，存在满足条件的点,它们是⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫⎝⎛--27,3.17.解：（1)联结AO ,矩形ABOC 322==OB AB ，40=∴A -－-－-－-－－----－-(1分)矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，A 落在y 轴上的点E4==∴EO AO )4,0(E ∴ －---－--－--------(1分)过Ｄ点作D Ｈ⊥X 轴于H ，AOB DOH ABO DHO ∠=∠∠=∠, , DHO ∆∴∽ABO ∆AO DOOB HO AB DH ==∴4,2,32,2====AO DO OB AB 3,1==∴OH DH )1,3(-∴D --－－--－---------(1分) 同理求得)3,3(F ∴-－--------－-－(1分)（２）因为抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=∴43314333b a b a求得:4,33,32==-=c b a --（3分） 所求抛物线为：433322++-=x x y -(1分）（3）因为在x 轴上方的抛物线上有点Ｑ,使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积设三角形QOB 的ＯB 边上的高为h ,则3223221⨯=⨯⨯h ,所以4=h ---------－--－-(1分）因为点Q 在x 轴上方的抛物线上， )4,(x Q ∴23.0,433324212==++-=∴x x x x ---－--(1分）所以Q 的坐标是)4,0(或)4,23(--－--－--－----－－－-－(2分）18．（１)证明：∵△AOC 绕ＡＣ的中点旋转18０°， 点O 落到点B 的位置，∴△ＡＣO ≌△CA Ｂ. ………１′ ∴AO ＝ＣB ,CO=AB ，……1′ ∴四边形AB ＣO 是平行四边形． …………1′(２)解:∵抛物线x ax y 322-=经过点A , 点Ａ的坐标为(2，０),……1′ ∴0344=-a ,解得:3=a . …1′ ∴x x y 3232-=. ∵四边形A ＢCO 是平行四边形, ∴OA ∥C Ｂ.∵点Ｃ的坐标为(１，33），…………1′ ∴点B 的坐标为（3，33). ………1′ 把3=x 代入此函数解析式,得： 333639332332=-=⨯-⨯=y .∴点B 的坐标满足此函数解析式,点B 在此抛物线上. …１′ ∴顶点Ｄ的坐标为(1，-3)． …1′（３)联接BO ， 过点B 作BE ⊥ｘ轴于点E ， 过点D 作DF ⊥x 轴于点F . tan ∠BOE ＝3，ｔａn ∠DAF ＝3, ∴ta ｎ∠BOE=t ａn ∠ＤAF ． ∴∠BOE ＝∠∵∠A ＰD=∠OAB , ∴△ＡPD ∽△ＯＡB . ……1′设点P 的坐标为（x ，0）, ∴OB AD OA AP =, ∴6222=-x ,解得:34=x ………1′ ∴点P 的坐标为（34,0）.(４))0,1(1P ,)0,1(2-P ，3(3,0)P ………２′19.解:(1) Ｄ在BC 上,ＢC ∥x 轴,C )20(-， 2)-------－-（1分)D在直线xy 32-=上 ∴3322=-=-x x－-----(2分） ∴Ｄ（3,-２）－--－-（1分）(2） 抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、Ｄ、O ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++==++23900416c b a c c b a 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==03832c b a －-----（3分)所求的二次函数解析式为x x y 38322-=----(1分) （3）假设存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形①若以OA 为底，BC ∥x 轴,抛物线是轴对称图形 ∴点M 的坐标为(21-，）----－--－(１分） ②若以ＯD 为底，过点Ａ作OD 的平行线交抛物线为点M直线O Ｄ为x y 32-= ∴直线ＡM 为3832+-=x y ∴=+-3832x x x 38322- 解得:4,121=-=x x (舍去) ∴点M 的坐标为(310,1-)-－－----－--(2分)若以AD 为底,过点O 作AD 的平行线交抛物线为点M直线AD 为82-=x y ∴直线OM 为x y 2= ∴=x 2xx 38322- 解得：0,721==x x （舍去） ∴点M 的坐标为（14,7)----－------（１分）∴综上所述，当点M 的坐标为(21-，）、（310,1-）、（14,7)时以O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形第2520．解:（1)因为直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点Ｂ．由,0=x 得3=y ,0=y ，得4=x ， 所以)0,4(A )3,0(B ………1分把)0,1(-C )3,0(B 代入c ax ax y +-=42中，得 ⎩⎨⎧=++=043c a a c , 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==533a c ……2分 ∴这个二次函数的解析式为3512532++-=x x y ……1分527)2(532+--=x y ，P 点坐标为P )527,2( ………1分（2）设二次函数图象的对称轴与直线343+-=x y 交于E 点，与ｘ轴交于F 点 把2-=x 代入343+-=x y 得，23=y , ∴)23,2(E , ∴103923527=-=PE ………1分 ∵PE//OB ，OF=AF ， ∴AE BE = ∵ＡD ∥BP ，∴DE PE =，5392==PE PD …2分。