随机波动率与股票价格的波动率PPT课件
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随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
第十单元：BS公式PPT课件
价值为:
VT M X N M
33
此时，认股权证持有者的盈利收入为:
N
N M
VT N
X
只当盈利为正时，认股权证才会被执行，所以，认股 权证持有者的盈利收入为:
N
N M
max
VT N
X , 0
N
结论:认股权证的价值是 N M 份基于V/N的普通看涨
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这就是Black-Scholes微分方程
⑩ 不同的衍生证券，对应的Black-Scholes微分方 程边界条件不同，求解该方程，就能得到衍生证 券的价值；不同的边界条件，对应不同的衍生证 券!!!
21
2020/1/12
22
例：基于不付红利股票的远期合约，记其价值为f。 则
11
3. 从历史数据估计波动率
① 估计股票价格的波动率(观测时间间隔固定)
n+1:观测次数(样本个数) Si: 第i个观测时期的股票价格(i=0,1,2,...,n) Τ:以年为单位表示的时间间隔长度
令
i
iln( SSlini1
) Si Si1
,
i
1,
2,
,n
μi的标准差s
S
④ 定义这个证券组合的价值为Π,于是 fffSf S S S
⑤ Δt时间后证券组合的价值变化为ΔΠ: f f S S
19
⑥ 将 S 和f 代入证券组合的变化中，可得
d
(ftt
112 2f 22SS2
① 股票价格的波动率仅仅是由于股票的未来收益 的新消息的随机到来而产生的?
VT M X N M
33
此时，认股权证持有者的盈利收入为:
N
N M
VT N
X
只当盈利为正时，认股权证才会被执行，所以，认股 权证持有者的盈利收入为:
N
N M
max
VT N
X , 0
N
结论:认股权证的价值是 N M 份基于V/N的普通看涨
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这就是Black-Scholes微分方程
⑩ 不同的衍生证券，对应的Black-Scholes微分方 程边界条件不同，求解该方程，就能得到衍生证 券的价值；不同的边界条件，对应不同的衍生证 券!!!
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例：基于不付红利股票的远期合约，记其价值为f。 则
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3. 从历史数据估计波动率
① 估计股票价格的波动率(观测时间间隔固定)
n+1:观测次数(样本个数) Si: 第i个观测时期的股票价格(i=0,1,2,...,n) Τ:以年为单位表示的时间间隔长度
令
i
iln( SSlini1
) Si Si1
,
i
1,
2,
,n
μi的标准差s
S
④ 定义这个证券组合的价值为Π,于是 fffSf S S S
⑤ Δt时间后证券组合的价值变化为ΔΠ: f f S S
19
⑥ 将 S 和f 代入证券组合的变化中，可得
d
(ftt
112 2f 22SS2
① 股票价格的波动率仅仅是由于股票的未来收益 的新消息的随机到来而产生的?
波动率讲解 PPT
例
估计一个变量服从均值为0得正态分布得方差
Maximize: or:
This gives:
n i1
1 2v
exp
ui2 2v
n
i 1
ln(v)
ui2 v
v
1 n
n i 1
ui2
GARCH(1,1)得应用
选择参数,最大化下式
n
i 1
ln(vi
)
ui2 vi
日元汇率数据得计算
/ 2)T
d1
T
VIX指数 VIX指数就是S&P500指数得波动率指数
VIX指数
VIX 就是芝加哥期权期货交易所 使用得市场波动性指数。通过该指数,可以了解 到市场对未来30天市场波动性得预期。
VIX由CBOT(芝加哥期权期货交易所)编制,以S&P500指数期权得隐含波动率计算 得来(1993年从8只成分股为基础计算,现在覆盖了标普500所有成分股)。若隐含 波动率高,则VIX指数也越高。该指数反映出投资者愿意付出多少成本去对冲投资 风险(用股票期权对冲风险得成本)。因此,VIX广泛用于反映投资者对后市得恐慌 程度,又称“恐慌指数”。指数愈高,意味着投资者对股市状况感到不安;指数愈低, 表示股票指数变动将趋缓。
日波动率得最新估计为每天1、53%
GARCH(p,q)
p
q
2 n
w
aiun2i
j
2 n
j
i 1
j 1
其它模型
许多其它得GARCH模型已被提出 比如,我们可以设计一个GARCH模型,使其赋予 ui2 得权重依赖
于 ui 得正负值
方差目标
一种估计GARCH(1,1)参数得很好方法就是所谓得方差目标 将长期平均方差设定为由数据计算出得抽样方差 模型只需要估计两个参数
掌握股票技术分析中的波动率指标
掌握股票技术分析中的波动率指标波动率指标是股票技术分析中常用的工具，通过衡量价格波动的程度来预测未来的走势。
在股市中，价格的波动性一直是投资者关注的重要指标之一。
了解股票波动率指标可以帮助投资者更好地把握市场情况，制定合理的投资策略。
一、波动率指标的概念和作用在股票市场中，波动率指标是衡量价格波动的程度和变化速度的指标。
它可以帮助投资者判断市场的风险和机会，提高投资决策的准确性和效率。
二、常用的波动率指标1. 平均真实波动率（ATR）平均真实波动率是根据市场的真实波动程度进行计算的指标。
它使用每日最高价和最低价之间的差异来衡量波动性，并通过计算多日的平均波动率来减小单日波动率的影响。
2. 震荡指标震荡指标是一种用来衡量市场价格波动程度的指标，包括相对强弱指标（RSI）和随机指标（KDJ）等。
这些指标通常与股价走势进行对比，更好地理解市场的震荡情况。
3. 布林带指标布林带指标是一种通过计算股价的标准差来衡量价格波动性的指标。
它由上、中、下三条轨道组成，可以根据股价在布林带中的位置来判断市场的超买和超卖情况。
4. 相对波动指数（RSI）相对波动指数是一种衡量价格上涨和下跌幅度的指标，通过计算相对强弱指数来反映市场情绪和趋势的强弱。
三、波动率指标的使用技巧1. 结合其他技术指标波动率指标通常需要结合其他技术指标一起使用，以提高预测市场走势的准确性。
例如，可以将布林带指标与相对波动指数结合使用，来判断股价未来的波动情况和趋势方向。
2. 根据波动率指标进行交易决策波动率指标对于制定交易决策非常重要，可以根据指标的数值进行买入或卖出的判断。
例如，当波动率指标较高时，表明市场波动较大，可以考虑适当减仓或止盈；而当波动率指标较低时，表明市场波动较小，可以考虑适当加仓或抄底。
3. 合理设定止损和止盈位在使用波动率指标进行交易时，要合理设定止损和止盈位，以避免大幅度亏损或错失机会。
通过合理的风险控制和止损策略，可以更好地应对市场波动性带来的风险。
第5章随机波动率
第5章 随 机 波 动 率*Eric Ghysels, Andrew C. Harvey and Eric Renault1．引言随机波动率（SV）类模型产生于数理金融学和金融计量学。
事实上，SV模型的几种变形来源于对非常不同问题的研究，例如，Clark（1973）认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变（time deformation）方法产生了资产收益率的时变（time-varying）波动率模型。
Tauchen和Pitts（1983）对此做了改进，提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型。
Hull和White（1987）并不直接关心资产收益率与信息到达的联系，而是对欧式期权的定价感兴趣，并假定标的资产服从连续时间SV模型。
他们提出资产价格服从扩散过程，其波动率为正扩散过程。
另一种方法源于Taylor（1986）的研究，他建立了替代自回归条件异方差（ARCH）模型的离散时间SV模型。
直到不久以前，估计Taylor模型或者任何其它SV模型几乎仍是不可能的，经济计量理论的最新发展使估计SV模型变得容易得多。
从而，它们变成了一类很有吸引力的模型，并可替代其它类模型如ARCH。
在数理金融学和经济计量学文献中均可以找到关于SV模型的研究。
因此，我们面对着一系列广泛的主题。
本文将很少涉及ARCH模型，因为最近已有几篇关于该主题的优秀综述，包括Bera和Higgins（1995），Bollerslev、Chou和Kroner（1992），Bollerslev、Engle和Nelson（1994），以及Dievold和Lopez（1995）的研究成果。
而且，由于本文是为《统计学手册》写的，我们力图最小限度地涉及数理金融学的内容。
不过，期权定价的内容显然是不必要的。
事实上，在第2节定义波动率时已广泛涵盖Black-Scholes隐含波动率问题。
第2节还概括了经验类型化事实（stylized facts），及波动率统计建模的结论。
波动率PPT课件
2020/1/10
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
2020/1/10
21
2020/1/10
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
不同的标准下，波动率可以进行不同的分类，这里按照 波动率的计算方法与应用不同，将波动率分为：隐含波动 率、历史波动率和已实现波动率(高频波动率/日内波动率) 等几类。
隐含波动率 历史波动率 1预2 测波动率 已实现波动率 其他高频波动率
2020/1/10
隐含波动率
S
T
r
其中： 2
—期权价格；
—期权执行价格N(d；),N(— d ) 标的资产即
1
2
期率价；格—；年—度期化权方有差效，期隐；含— 波率连；续21 复X利eX2计2d— x无标风准险正利态
2020/1/10
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2020/1/10
历史波动率的估计
也是一种静态波动率的估计，假定一定时期内波动 率保持不变。
目前，最常用的条件异方差模型是GARCH(1,1)模型， 基本能反映金融时间序列方差(或波动率)的特征。
2020/1/10
ARCH模型法：
在模型中，我们也可以给长期方差率指定权重，VL为长期
平均方差
2 n
VL
u m
2
i1 i ni
三个8 层次
波动率估计（方法研究）
波动率特征（自相关、长记忆、杠杆效应）
波动率预测（参数估计、模型评价）
2020/1/10
波动率研究发展的三个阶段
从纵向看，波动率模型经历了三个发展阶段： 第一个阶段：经典的金融分析模型中的波动率，如Black-Scholes的期权定价模型，这些模型假定市场收益率呈正 态分布，波动率是恒定的，遵从随机游走过程。 第二个阶段：Engle(1982)提出了ARCH模型，Bollerslev(1986)把这个模型一般化，得到GARCH，由此产生出 一个新的条件波动率研究领域，条件波动率模型层出不穷，它们大多是对GARCH的拓展，以更好的模拟某种特定 的市场效应。与此同时，Taylor(1986)、Hull和White(1987)以及Chesney和Scott(1989)提出了随机波动率模 型。随机波动率模型更易于写成连续形式，往往用于对衍生工具的理论分析（例如期权定价）。 第三阶段：近十年来，用高频分时数据估计波动率的方法开始流行，Andersen、Bollerslev、Diebold、Labys等 （1998、1999、2000、2001）对此方法进行了一系列的研究。以往的波动率都是无法观测到的，它们隐含在价 格曲线或收益率曲线中，人们只能通过收益曲线的时间序列来估计随机波动率模型的参数，继而预测波动率以及评 价各种波动率模型。高频估计能得到准确的波动率估计值，因而可以把波动率的高频估计当做一个观测到的时间序 列，以此为基础，波动率的实证检验和预测研究将能大大拓展。
Ch波动率PPT课件
可编辑
9.15
实际波动率（Realized Volatility）
Andersen等（1998,2001）提出了一种度量波动率的新方法，称之 为实际波动率（Realized Volatility），是通过加总某一频率下的日 内分时数据的收益平方来得到真实波动率的一个估计。
理论证明：在日内频率选取适当的情形下，该估计量是真实波动率的 无偏一致且有效的估计量。因此，近期国外大量的文献致力于利用高 频样本数据来研究非参数的实际波动率。而对于最优样本频率的选取， 则成为计算实际波动率过程中最为关键的问题。若样本频率过小，则 不会得到真实波动率的一个一致的估计量；若样本频率过大，由于收 益受到市场微观结构噪声的影响，度量结果会有较大的误差。因此， 最优的样本频率一定存在且是某个中间值，它可以对这两方面的制约 进行平衡。
的自相关系数来检验
GARCH模型的正确性。
在最大似然估计方法中，我们选择合适 的参数以使得观测值发生的概率最大。
可编辑
9.34
例1
观察一个实验，在进行的十次实验中假设 某个事件为随机事件，那么这个事件发生 一次的概率是多少呢？ 计算的结果是： p(1 p)9
使得表达式取得最大值的极大似然估计值:
p=0.1
可编辑
9.35
例2
估计一组服从正态分布的，均值为零的观 测值得方差
金融风险管理
第九章 波动率
可编辑
9.1
本章主要内容
波动率定义 波动率估计
历史波动率 隐含波动率 已实现波动率估计 指数加权移动平均模型 条件方差模型（ARCH，GARCH）
可编辑
9.2
波动率研究的发展
三个阶段
✓ 金融分析模型中的波动率。假设市场收益正态分布， 波动率常数。
第九章 波动率
i i i 1
利用有关 ui 的 m 天观测数据（从第n天开始往前 推），得出：
m 1 n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
1 m u un i m i 1
当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益 率替代 定义： ui （Si -Si 1）Si 1 假定 ui 的均值 u 为0 m-1被m代替 于是方差公式简化为
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
2 n 由最近的u的观测值以及最
令 VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n a un 1 n 1
其中
VL 1a
2 2 2 n a i un j n j i i 1 j 1
p
q
许多其它的GARCH模型已被提出 如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的权重依赖于 ui2 的正负值
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
利用有关 ui 的 m 天观测数据（从第n天开始往前 推），得出：
m 1 n2 ( un i u ) 2 m 1 i 1
1 m u un i m i 1
当时间间隔很小时，对数收益率可以用百分比收益 率替代 定义： ui （Si -Si 1）Si 1 假定 ui 的均值 u 为0 m-1被m代替 于是方差公式简化为
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
T
提问：年波动率如何计算？
假设Si为金融资产在第i日的价格，该资产的对数收 益率为：
ui ln( Si Si 1 )
ui 的波动率用其标准差 衡量。
假设日对数收益率 ui 服从正态分布，则可以根据日 波动率 计算该资产的T日波动率：
2 n 由最近的u的观测值以及最
令 VL
，可以将GARCH（1,1）模型写成
2 2 2 n a un 1 n 1
其中
VL 1a
2 2 2 n a i un j n j i i 1 j 1
p
q
许多其它的GARCH模型已被提出 如，我们可以设计一个GARCH模型，使其赋予 ui 的权重依赖于 ui2 的正负值
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测
在分析很多市场变量的收益行为时，利用幂律似乎 要比利用正态分布更好。
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瞬时波动率
假设给定It (t时已获得的信息)，资产的收益具有有限条件期望 和有限条件方差，资产价格动态的一个表达式：
dSt s (It )Stdt s (It )StdWt 我们定义瞬时波动率过程为 s (It )，也可以写为：
h s (It )=[min 1Vt (Sth /St )]1/2 h0
▪
dz dt
（3）
Black-Scholes模型
▪ 假设： ▪ ①股票价格遵循Ito（伊藤）过程； ▪ ②没有交易成本、税收和卖空限制，不存在无风险套利
机会； ▪ ③标的资产在期权到期时间之前不支付股息和红利； ▪ ④市场交易是连续的，价格波动也是连续的； ▪ ⑤无风险利率 r 为常数，且对所有的到期日都相等。
Ct =St F ( st , xt , ) 是参数的真实未知值，如果对任意给定的(xt , )，F函数是
一一对应的，就可求反函数，得到一个隐含瞬时波动率：
imp
(
)
G[
St
,
Ct
,
xt
,
]
▪ 期权隐含波动模型首先由Latane和Rendlema在1976年 提出。其基本原理是根据B-S期权定价公式从期权价格 倒推出市场波动性。
含波动率，它是定义如下的imp (t,t h)过程：
d1t
( xt
Ct St [ (d1t ) ext (d2t )] / imp (t, t h) h imp (t, t h)
h / 2)
d2t d1t imp (t, t h) h
其中Ct是观测到的期权价格。
(5.23)
隐含平均波动率
第5章 随机波动率
引言 BS模型和隐含波动率 波动率的一些特征事实 离散时间模型 连续时间模型
第6章 股票价格的波动率
引言 统计问题——非模型估计法
基于模型估计法
引言
▪ 随机波动率（SV）模型产生于数理金融学和金融 计量学。SV模型的几种变形来源于对不同问题的 研究：Clark认为资产收益率是信息到达这一随机 过程的函数，这种所谓的时间形变方法产生了资 产收益率的时变波动率模型；Tauchen和Pitts提 出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布 模型；Hull和White提出资产价格服从扩散过程， 其波动率为正扩散过程等。
根据这个基准，把连续复利收益率log(Sth /St )的期望值和方差 看成与投资的到期期限h成比例是合理的。
▪ Wt 是一个标准布朗运动。标准布朗运动（维纳过程）定 义如下：
▪ 设 t代表一个小的时间间隔长度，z 代表变量z在时间 t内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：
▪ 特征1：t和 z的关系满足（1）：
dSt / St rtdt stdWt
( st )t[0,T ], (Wt )t[0,T ] 独立马尔科夫过程
▪ Hull和White期权定价公式
Ct =St Et [ (d1t ) ext (d2t )]
d1t (xt / (t,t h) h) (t,t h) h / 2
d2t d1 (t,t h) h
函数，得到一个隐含瞬时波动率：
imp
(ห้องสมุดไป่ตู้
)
G[St
,
Ct
,
xt
,
]
(5.22)
显然，只有知道真实未知值
，或至少能算出它他足够
0
精确的估计值时，隐含瞬时波动率（5.22）才能在实践
中用于定价或作为套期保值的衍生工具。
Lat an e和Re ndleman(1976)提出了Black Sholes隐
▪
z t
（1）
▪ 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1
的正态分布）中取的一个随机值。
▪ 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t , z 的值相互独立
▪ 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：
▪
N
z(T ) z(0) i t
（2）
i 1
▪ 当 t 0 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
▪ 由于期权价格反映的是市场未来的波动性， 因此应用该 模型可以预测波动。
为了使其更精确，假设风险中性概率分布属于一个参
数族，Hull和White给出期权价格的一个函数表达式：
Ct St F[ St , xt ,0 ] (5.21) 其中0是参数的真实未知值。事实上，对任意给定的 (xt , )，F ( , xt , )是一一对应的，那么将等式(5.21)求反
其中 (t,t h)
h 0,并且 2 (t,t h)= 1
h
t t
h
2 s
d
在给定
s
时，
根据 (t,t h)的条件概率分布可计算出其中的期望值。
▪ 如果假定期权价格服从Hull-White公式，就会产生两类 隐含波动：瞬时隐含波动和平均隐含波动。
▪ 假设风险中心概率分布属于一个参数族，产生一个函数 表达式：
dSt / St rtdt sdWt
Ct C(St , K , h, t) B(t, t h)EtQ (Sth K ) Q是风险中性的概率测度，EtQ是在Q下的期望值，当给定St时，根据 Sth的对数正态性可计算其出来，从而得到t时的看涨期权公式：
Ct St(dt ) KB(t, t h)(dt s h ) 其中是累计标准正态分布函数，上式即是BS期权定价公式。
因此，期权价格Ct依赖于股票价格St、执行价K和贴现因子B(t,t h)， 定义：
xt LogSt / KB(t,t h), dt =(xt / s h /2)，
那么，有：
Ct / St =(dt ) ext(dt s h )
随机波动期权定价模型
▪ 由于B-S模型的一些假设在实际中并不成立，特别是假 设波动为常数，因此Hull和White提出了随机波动下的期 权定价公式，该模型假设：
可以把Black-Scholes隐含波动率imp (t,t h)解释为隐含平均波动率，
因为imp (t,t h)可视为 (t,t h)的条件期望值。
期权价格：
Black Scholes的期权定价模型是建立在资产价格可用对数 正态分布或几何布朗运动建模的基础上：
dSt sStdt sStdWt 其中s和 s是固定参数，具有执行价K和到期日t h的欧式
看涨期权可得收益：
[St h
K
]=
St
h
0,
K,
Sth K 其他情况
由于其假定连续的无成本交易时可行的，在风险中性世界中，有：