分类与整合思想例析
例谈分类与整合思想的应用
例谈分类与整合思想的应用作者：伍利美来源：《师道·教研》2014年第02期分类与整合思想的考查在高考中占有比较重要的位置，通常以解答题为主进行考查.为什么要分类？如何分类？如何整合？这就要求学生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力.一、对含有参数的字母进行分类与整合例1：已知a∈R，求f（x）=x2eax的单调区间.解：函数f（x）的导数：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax；（1）当a=0时，若x0，则f'（x）>0.所以当a=0，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（2）当a>0时，由2x+ax2>0，解得x0，由2x+ax2所以，当a>0时，函数f（x）在区间（-∞，-■）内为增函数，在区间（-■，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（3）当a0，解得0-■.所以，当a评注：数学问题中含有变量或参数，这些变量或参数取不同的值时会导致不同的结果，故需要对参数进行分类讨论，再适当进行整合.二、对排列、组合、概率问题中各种可能出现的结果进行分类与整合例2：盒子有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ，求ξ的分布列.解：记ξ=k为所取两球标号之和，则k=2，3，4，6，7，10.P（ξ=2）=■×■=■；P（ξ=3）=2×■×■=■；P（ξ=4）=■×■=■；P（ξ=6）=2×■×■=■；P（ξ=7）=2×■×■=■；P（ξ=10）= ■×■=■.∴ξ的分布列为评注：排列、组合、概率问题是考查分类与整合思想的重要载体，应使学生学会如何分步研究解决或分类研究解决，然后再由它们整合出所要求的结果.三、对几何问题中元素的形状、位置变化情况进行分类整合例3：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的边长为2，宽为1、AB、AD边分别在x 轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC 上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.解：（1）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=■；（2）当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，l），所以A与G关于折痕所在的直线对称，有kOGk=-1，■k= -1？圯a=-k；故G点坐标为G（-k，l），从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-■，■），折痕所在的直线方程y-■=k（x+■），即y=kx+■+■.（Ⅱ）（1）当k=0时，折痕的长为2.（2）当k≠0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N（0，■），P（-■，0），设PN=d，d=PN2=（■）2+（-■）2=■d'=■令d'=0，解得k=-■∴PN■■=■，PNmax=■由折痕可知k评注：涉及各种图形元素的位置关系时应考虑周密，不重不漏.在重视分类与整合思想的应用时，也应防止见凡参数就讨论的轻率做法，能整体解决的就不必分类讨论，辩证地运用分类与整合来解题.责任编辑罗峰。
分类与整合,高中数学解题中重要思想论文
分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。
分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。
其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。
那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。
一、由数学概念引起的分类例1：设且，比较与| |的大小.解: .①当时，，所以| .②当时，所以| .由①、②可知| .评：本题是由对数函数的概念内涵引发的分类，称为概念分类型，由概念内涵分类的还有很多，如：绝对值；直线的斜率；指数函数等.二、由定理、公式引起的分类例2：设等比数列的公比为，前项和（ =0，1，2，3…）（1）求的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较与的大小。
分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。
三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。
高中数学七大基本思想方法讲解
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（2）从具体出发，选取适当的分类标准
（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用
（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五： 特殊与一般思想
（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法
高中数学x思想方法-分类讨论与整合
分类讨论与整合思想方法例题解析高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题。
下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等. 例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意. 综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log nn b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为. 分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2 B ．2π C ．π2或2π D ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同.变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解: 由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和 为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a 为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3B ．253或3C ．5D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案. 点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种．变式练习答案及专题总结:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭ 故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1． 综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m a c -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．【命题预测】分类讨论的思想在高考中占有非常重要的地位，应用它求解能减少思维时间、提高书写的逻辑性和条理性，此类试题在高考试卷中的比例，总体上有逐年增加的趋势，这种趋势产生的根本原因是：分类讨论题往往覆盖知识点较多，有利于考查学生掌握的知识面；解分类讨论题需要学生有一定的分析能力，具有一定的逻辑划分思想和技巧，及较好的思维概括性，有利于对学生能力的考查；试卷中占有一定比例的分类讨论题，有利于拉开考生得分的距离，实现高考的选拔的目标。
分类与整合思想
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝02．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16D ．323．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实 数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，124．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值 范围是________．二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或8336．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12 C ．0D ．0或－127．已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为______．8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三 角形，则这样的点P 的个数为________．9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0D ．x ≠010．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB ．若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实 数m 的取值范围是________．6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三 棱锥P －ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2407．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足 －1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－23．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是()A ．(0,2e)B ．(0，e)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 8．已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A ．[－2，－1]B ．[－2，2]C ．[－2，－1)∪(1，2]D ．(－2，－1)∪(1，2)9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．11．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________， 最大值是________．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________．。
高考数学第3讲 分类与整合思想——巧分善合
33a，
33a，＋∞.
大二轮复习 数学（文）
几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性的问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
大二轮复习 数学（文）
2．(2019·东营模拟)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲 线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 C 的离心 率等于________．
大二轮复习 数学（文）
解析：不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中，t≠0.若该曲 线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
解析：选 A.①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1，解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去． 所以 f(a)＝－2.故选 A.
大二轮复习 数学（文）
(2)(2019·阜阳二模)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18， 则{an}的前 9 项和 S9＝________．
解析：由题意得 q2＝aa13＋＋aa46＋＋aa79＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26 ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18 ＝14， 所以 S9＝14 或 26. 答案：14 或 26
大二轮复习 数学（文）
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
2014年高考三轮复习数学思想方法专题三 分类与整合思想教师版
答案D解析当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.
当0<a<1时，y＝ax－为减函数，且在y轴上的截距为1－<0，故选D.
4．(2013·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若
2．(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()
A．－B．－C.D.
答案B解析设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t>0时，cosθ＝；当t<0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．
(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．
答案B解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1.
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，∴πa2＝2kπ＋(k∈Z)．
∴a2＝2k＋(k∈Z)，k只取0，此时a2＝.∵－1<a<0，∴a＝－.
反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．
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分类与整合思想例析
1.分类与整合的思想的含义
分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重
对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.
2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；
(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不
越级)；
(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳
3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.
(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；
(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
如等比数列的前n 项和公式，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的单调性，等。
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图像类型，位置需要分类，如角的终边所在的象限，立体几何中的点线面的位置关系，二次函数对称轴位置的变动，函数问题中区间的变动，函数图象形状的变动，直线由斜率引起的位置变动，圆锥曲线由焦点引起的位置变动或离心率引起的形状变动等。
(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，如含参数的函数，方程，不等式，
由于 参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
(6)由实际意义引起的分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.
4.其他
1.数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立. 这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论. 常见的“个别”情形略举以下几例
（1）“方程ax 2+bx +c =0有实数解”转化为“Δ=b 2－4ac ≥0 ” 时忽略了个别情形：当a =0
1(1)
1n a q q
--
时，方程有解不能转化为Δ≥0；
（2）等比数列{a 1qn －1}的前n 项和公式Sn =
中有个别情形：q =1时，公式不再成立，而是Sn =na 1；
（3） 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别
情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑； （4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为 ，但有个别情形：a =0时，则不能如此设，应另行考虑.
2.分类讨论问题已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：
其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；
其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类思想与分类技巧，有利于
对学生能力的考查；
其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关.
3.分类讨论要注意的几点：
在运用分类讨论解题时，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？分几个类
别？不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性。
(1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏;
(2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，是解好分类讨
论问题的前提条件;
(3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性;
(4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程
4.分类原则：
①施行分类的集合的全集必须是确定的；
②每一次分类的标准必须是统一的；
③分类必须是完整的，不出现遗漏；
④各子集必须是互斥的，不出现重复；
⑤实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级．
5.分类方法：
①明确讨论对象，确定对象的全体
②确定分类标准，正确进行分类；
③逐步进行讨论，获取阶段性结果；
④归纳小结，综合得出结论．
5．解题时严把“四关”：
①基础关——深刻理解基本知识与基本原理；
②分类关——找准划分标准；
③逻辑关——分类条理分明，层次清晰；
④检验关——注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍
6.分类讨论的类型：
1.问题中含有需要讨论的变量或参数时，要进行分类讨论。
2. 问题中的条件是分类给出的，要进行分类讨论。
3.解题过程不能同一叙述的，必须要进行分类讨论。
4.有关几何问题中，几何元素的形状，位置的变化，需要进行分类讨论。
7.简化分类的策略
由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述繁琐，且极易在完备性上造成失误，因此它并非一定是解决问题的良策．我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，要注意克服思维1x y a a +=
定势，处理好“分”与“合”、“局部”与“整体”之间的辩证统一的关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。