2021届新中考数学精品冲刺复习与圆有关的证明和计算
(1)证明：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠BDE＋∠BAC＝ 180°， ∵∠BDE＋∠EDC＝180°，∴∠BAC＝∠EDC.同理∠AEF＝∠B.∵AB是 ⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，AD⊥BC.∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAD.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠AEF＋∠EAF＝ 90°，∴∠BAD＝∠EAF，∴∠BAC＝2∠EAF，∴∠EDC＝2∠CAF；
2021届新中考数学精品冲刺复习 与圆有关的证明和计算
【例2】(南平质检)在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交 边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F.
(1)求证：∠EDC＝2∠CAF； (2)若 cos ∠ADE＝24 ，求AB 的值.
25 BC 【分析】(1)由圆内接四边形易知∠BAC＝∠EDC，转化为求证∠BAC＝ 2∠CAF.由AB是直径和等腰三角形可得∠BAC＝2∠BAD，进而证∠BAD＝ ∠CAF即可；(2)连接BE，设出BE，结合勾股定理和三角函数求出AB，BC即 可．
在 Rt△OPE 中，OP＝ OE2＋PE2 ＝ 15 .∵OE＝1 BE＝ 3 ，∴PF＝PO－OF 2
＝ 15 － 3 .∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∵CF 为⊙O 直径，∴∠FEC＝90°， ∴∠C ＋∠O FE ＝90°，又∵∠FE P ＋∠O E F ＝90°，∠O FE ＝∠O E F，∴∠C
2
第 3 题图
(1) 证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝ ∠ACB；
第 3 题解图
(2) 解 ： 2∠GOD ＋ ∠ADC ＝ 240 ° . 如 解 图 ， 作 OM⊥DC 于 点 M ， 连 接 OC.∵AD∥BF，∴AB＝DF.∵F 为 CD 中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF ＝∠DBF.∵AC⊥BD，∴∠BG C ＝∠AGD＝90°，∴∠DBF ＋∠C BF ＋∠ACB ＝90°，∴∠ACB＝∠C BF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB ＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°.∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°.设 GE＝x，
∴2∠GOD＋∠ODG＋∠ADB＋∠ODC＝240°，即 2∠GOD＋∠ADC＝240°.
4．(福州适应性训练)四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB＝ DC.过点C作CG⊥BD，垂足为点E，交AB于点F，交DA的延长线于点G.
＝∠FEP.∵∠FPE ＝∠EPC ，∴△FPE ∽△EPC ，∴ FE ＝FP ＝ 15－ 3 ＝
EC EP
23
5C F＝EFEC
＝
5－1 2
.
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AE∥BD交CD的 延长线于点E.
(1)求证：AE＝DE； (2)若∠BCD－∠CBD＝60°，BD＝21，CD＝9，求AE的长．
则 AG＝ 6 x，∴DG＝3 2 x，BG＝ 3 x，GC＝3x，DC＝ DG2＋CG2 ＝3 6 x，
2
2
2
DM＝3 6 4
x，∵∠DOM ＝1 2
∠DOC＝1 2
×2∠DBC＝60°，∴OD＝sinD6M0°
＝
3 2 x，∴DG＝OD，∴2∠GOD＋∠ODG＝180°.∵∠ADB＋∠ODC＝60°， 2
(2)解：如解图，连接 BE.∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°.在⊙O 中， ∵∠ADE＝∠ABE，∴cos ∠ADE ＝cos ∠ABE＝BE ＝24 .设 BE＝24k，则
AB 25 AB＝AC＝25k.在 Rt△ABE 中，AE＝ AB2－BE2 ＝7k，∴EC＝18k.在 Rt△BCE 中，BC＝ CE2＋BE2 ＝30k，∴AB ＝25k ＝5 .
＝37 ，∴AE 的长为37 .
4
4
3．如图，已知点 D 是△ABC 外接圆⊙O 上的一点，AC⊥BD 于点 G，连接 AD， 过点 B 作直线 BF∥AD 交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，若点 F 是 CD 的中点， 连接 OG，OD，CD.
(1)求证：∠DBF＝∠ACB； (2)若 AG＝ 6 GE，试探究∠GOD 与∠ADC 之间的数量关系．
第 2 题图
(1)证明：如解图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠1＝∠ABC， ∵AE∥BD，∴∠2＝∠3，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4，∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2，∴AE＝AD；
(2)解：∵∠5＝∠6，∠ABC＝∠4，∴∠BCD＝∠4＋∠6＝∠5＋∠CBD＋ ∠6.∵∠BCD－∠CBD＝60°，∴∠5＝∠6＝30°.如解图，作AM⊥BD于点 M，AN⊥EC于点N.∵∠5＝∠6，AB＝AC，∠AMB＝∠ANC＝90°， ∴△AMB≌△ANC(AAS)，∴AM＝AN，BM＝CN.∵∠3＝∠1，AD＝AD， ∠AND＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△ADN(AAS)，
∴DN＝DM，∴DM＝DN＝1 (BD－CD)＝6.在 Rt△AMB 中，∵∠5＝30°，BM 2
＝15，∴BM2＋AM2＝AB2，AB＝2AM，AM＝5 3 ，设 AE＝x，则 DE＝x， NE＝x－6.在 Rt△ANE 中，AN2＋NE2＝AE2，即(5 3 )2＋(x－6)2＝x2，解得 x
BC 30k 6
【对应训练】 1．如图①，四边形 ABDE 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的直径 BE＝2 3 ，∠BAD
＝60°. A 为 BE 的中点，延长 BA 到点 P 使 BA＝AP，连接 PE. (1)求线段 BD 的长； (2)如图②，连接 PO 交⊙O 于点 F，延长 PO 交⊙O 于另一点 C，连接 EF，
EC.求 tan ∠ECF 的值．
解：(1)∵BE 是直径，∴∠BDE＝90°.由圆周角定理得∠BED＝∠BAD＝ 60°.在 Rt△BDE 中，sin ∠BED＝BD ，∴BD＝3；
BE
(2)∵A 为 BE 的中点，∴ AB ＝ AE ，∴AB＝AE.∵BE 为⊙O 的直径，∴∠
BAE＝90°，∴∠ABE＝45°.∵BA＝PA，∴AE 垂直平分 BP，∴EP＝EB＝2 3 .
2021年中考数学一轮复习训练27 涉及圆的证明与计算问题(解析版)
专题27 涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。
2021中考数学压轴题 – 圆的专题含答案解析
2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．（1）求证：∠PAB＝∠ACB；（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC ＝13，过点O作OD⊥AC于点D．（1）求证：∠B＝∠COD；（2）求AB的长．5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．6．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．7．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，AD＝AB．（1）求证：∠CAO＝2∠CDB；（2）如图2，过点O作OH⊥AD，垂足为点H，求证：2OH+CE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DM⊥AC，垂足为M交AB于N，若BC＝12，AF＝3BF，求MN的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．10．直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．11．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求的长（结果保留π）；②当时，求线段AF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．参考答案1．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，＝．∴OB＝5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°．在△CDE与△OBE中，．∴△CDE≌△OBE（AAS）．∴S阴影＝S扇OBC＝π•42＝（cm2），答：阴影部分的面积为cm2．2．（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．3．解：（1）证明：如图，连接OA，∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠OAB+∠PAB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA+∠PAB＝90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠ACB+∠OBA＝90°，∴∠PAB＝∠ACB；（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，∴，∵AB＝12，∴AC＝16，∴，∴OB＝10，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB＝∠FAB，，∴，∴，∴在Rt△ABF中，，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△PBF∽△POA，∴，∴，∴．答：PB的长为．4．解：（1）作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAE＝∠OCD，∴∠OCD+∠E＝90°，∵OD⊥AC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠B＝∠COD；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB，∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝，∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝．5．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，∴OC⊥AE，∵CD⊥AB，∴∠CHF＝∠FDA＝90°，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．6．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．7．解：（1）如图，连接AO、DO，∵AB＝AD，∴，∴∠AOB＝∠AOD，∴AO＝OB，AO＝OD，∴△AOB≌△AOD，∴∠BAO＝∠DAO，延长AO交BD于点H，∵AB＝AD，∴AH⊥BD，∴∠AHB＝∠AHD＝90°，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠CAB＝∠BAO＝∠OAD，∴∠CAO＝2∠CDB．（2）过点O作OT⊥CD，则CT＝DT，∵CD⊥AB，CD⊥OT，OQ⊥AB，∴∠OQB＝∠OTE＝∠AED＝90°，∴四边形OTEQ为矩形，∴OQ＝ET，∵TD＝CT＝ET+CE，∵AB＝AD，∴OQ＝OH，∴2OH+CE＝DE．（3）如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝∠FCB，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FDA，∴，∵CB＝12，∴AB＝AD＝36，∵∠BCD＝∠BAD，∠AEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴，设BE＝x，则AE＝36﹣x，ED＝3x，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，则在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，（36﹣x）2+（3x）2＝362，解得：，∴BD＝∵CD⊥AB，∴∠BED＝90°，∠NMA＝90°，∠ANM＝∠END，∴∠NED＝∠MAN，∴∠BDE＝∠EDN，∵ED＝ED，∴△BED≌△NED，∴，∵∠CDB＝∠CAB，∠NMA＝∠BED，∴△AMN∽△DEB，∴，∴，∴MN＝．8．（1）证明：连接BD，DO，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°，又∵E为AB的中点，∴DE＝EB＝EA，∴∠EDB＝∠EBD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，∴∠EDB+∠OBD＝90°．即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵，∴．9．解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．10．证明：（1）连接OA，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵OB⊥l，∴∠ACB+∠BPC＝90°，∴∠BAC+∠OAP＝90°，即OA⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴，即，解得，AP＝．11．（1）证明：连接OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．12．（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，∴BD＝5．连接OD；由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．13．证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EFA＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴的长＝＝；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵，∴＝，∴AD＝2，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AH＝3，∴CH＝5，∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥AC，∴EH＝CH＝5，∴AE＝2，∵OD∥AC，∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AF＝．14．（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AC∥EF，∴∠ACD＝∠E，∴∠ADC＝∠E，∴＝，∴＝，∴AD＝EF，∵AD＝AC，∴AC＝EF，∵AC∥EF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：连接BD，∵四边形ACEF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠EDF＝∠AFD，∵所对圆周角∠B和∠AFD，∴∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠EDF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠EDF＝，∴sin B＝sin∠EDF＝＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AC＝AD，BC＝4，∴3x﹣2x＝4，解得：x＝4，即AB＝3x＝3×4＝12，∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径是6．15．（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝AC＝3，∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB＝＝＝8．。
2021年中考数学压轴题冲刺提升专题 圆中证明及计算问题(原卷版)
专题圆中证明及计算问题【例1】（2019·叶县一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△BAD∽△CDP，∴AB BD CD CP，∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13，由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝132 2，∵AB•CP＝BD•CD．∴PC＝169 10．【变式1-1】（2018·焦作一模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，BE=8，则EF的长为．【例2】（2019·省实验一模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交⊙O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．（1）求证：△CDE ≌△CBE ；（2）若AB ＝4，填空：①当弧CD 的长度是时，△OBE 是等腰三角形；②当BC ＝时，四边形OADC 为菱形．【答案】（1）见解析；（2）2；2．【解析】（1）证明：延长AD 交直线l 于点F ，∵AD 垂直于直线l ，∴∠AFC ＝90°，∵直线l 为⊙O 切线，∴∠OCF ＝90°，∴∠AFC ＝∠OCF ＝90°，∴AD ∥OC ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OC⊥DB，∴DE＝BE，∠DEC＝∠BEC＝90°，∵CE＝CE，∴△CDE≌△CBE；（2）①如图2，连接OD，由（1）知∠OEB＝90°，当△OBE是等腰三角形时，则△OEB为等腰直角三角形，∴∠BOE＝∠OBE=45°，∵OD＝OB，OE⊥BD，∴∠DOC＝∠BOE＝45°，∵AB＝4，∴OD＝2，∴弧CD的长=452180π⨯=2π；②当四边形OADC为菱形时，则AD＝DC＝OC＝AO＝2，由（1）知，BC＝DC，∴BC＝2.【变式2-1】（2019·河南南阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长为（）A.2πB.πC.2πD.3π1.（2018·洛阳三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O ，与斜边AB 交于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）填空：①若∠B =30°，AC =23，则BD =②当∠B =时，以O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形.2.（2018·河南第一次大联考）已知△ABC 内接于以AB 为直径的⊙O ，过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点D ，且DA ∶AB =1∶2．（1）求∠CDB 的度数；（2）在切线DC 上截取CE =CD ，连接EB ，判断直线EB 与⊙O 的位置关系，并证明．3.（2019·偃师一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径的⊙O 与斜边AB 交于点D ，E 为BC 边上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：BE =EC ；（2）填空：①若∠B=30°，AC则DE=；②当∠B=°时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．4.如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．（1）求证：△CDE≌△EFC；（2）若AB=4，连接AC．①当AC=时，四边形OBEC为菱形；②当AC=时，四边形EDCF为正方形．5.（2019·三门峡二模）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．（1）求证：∠BED＝∠C．（2）连接BD，OD，CD．填空：①当∠ACO的度数为时，四边形OBDE为菱形；②当∠ACO的度数为时，四边形AODC为正方形．6.（2019·开封模拟）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当弧AB的长为cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形．7.（2019·西华县一模）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．8.（2019·郑州联考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．9.（2019·安阳二模）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝12，BC＝4，求⊙O的半径．10.（2019·平顶山三模）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=12 AC，（1）求证：△ABF是直角三角形；（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．。
2021人教版中考数学总复习专题四 圆的相关证明与计算
解：(1)∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠ADC＋2∠ACD＝180 °，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ ABC＝2∠ACD (2)连接OD交AC于点E，∵PD是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝ 90°，又∵ AD ＝ CD ，∴OD⊥AC，AE＝EC，∴∠DEC＝90°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECP＝90°，∴四边形
专题四 圆的相关证明与计算
圆的基本性质证明与计算 【例1】(2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交 于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【思路引导】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证 明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知 ∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，由三角形的内角和定理可知∠DEA ＝90°，于是可得到DE⊥AC；(2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾 股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
解：(1)连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝ 45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC (2)过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，
∴sin
∠ADB＝AADB
【思路引导】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠ACD，由圆内接 四边形的性质得出∠ABC＋∠ADC＝180°，则可得出答案；(2)连接OD 交AC于点E，由切线的性质得出∠ODP＝90°，由垂径定理得出∠DEC ＝90°，由圆周角定理∠ACB＝90°，可得出四边形DECP为矩形，则 DP＝EC，求出EC的长，则可得出答案．
初中考数学专题总复习《圆》与圆性质有关证明及计算的方法
第3题图
第4题图
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法3 构造相似三角形
方法解读
如图①，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB. 如图②，∠A为公共角，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角， 易得△ABD∽△AEC.
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
如图③，A为圆外一点，B、C分别为圆上两点，易得△AEC∽△ADB； 如图④，AB为圆O的直径，CD⊥AB，易得△ACD∽△CBD∽△ABC.
第1题图
第2题图
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法2 构造直角三角形
方法解读 (1)当题图中含有直径时，构造直径所对的圆周角. 如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则有∠ACB＝90°.
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
(2)在圆中常过圆心作弦的垂线或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和弦的 一半组成一个直角三角形，再利用勾股定理或者三角函数进行计算． 如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB于点E，则有OE2＋AE2＝ OA2(或OE2＋BE2＝OB2)．
微专题 与圆性质有关证明及计算的方法
方法应用
3. (2020龙东地区改编)如图，AD是△ABC的外接圆O的直径，若∠BAD＝40°，则 ∠ACB＝___5_0____°. 4. (2020甘孜州)如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则 OH的长度为___3_____．
2021 北部湾 经济区
数学
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2021年九年级数学中考复习：与圆相关的证明与计算(含答案) (1)
中考复习与圆相关的证明与计算强化训练（含答案）̂的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°.求：1.如图，AB(1) 弦AB的长；̂的长．(2) AB2.如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.(1) 求证：EC是⊙O的切线；̂的长(结果保留π)．(2) 若AD＝2√3，求AM3.如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB.(1) 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若∠A＝30°，OP＝1，求图中涂色部分的面积．4.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.(1) 求证：DE与⊙A相切；(2) 若∠ABC＝60°，AB＝4，求涂色部分的面积．5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1) 求证：BE是⊙O的切线；(2) 设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求EF的长；(3) 在(2)的条件下，求涂色部分的面积．6.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以 1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．(1) 求证：四边形PBQE为平行四边形；(2) 求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比7.如图，OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，且MA＝MB， OA，OB分别交⊙O于点C，D.求证：AC＝BD.8.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．9.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.(1) 如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的度数；(2) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的度数．10.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD ＝BC ，AC 与BD 相交于点F. BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E. (1) 求证：△CBA ≌△DAB ；(2) 若BE ＝BF ，求证：AC 平分∠DAB.11.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F. (1) 求证：BF ＝DF ；(2) 若AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，求半圆O 的半径长12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D.(1) 求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2) 若ADAB ＝23，AC ＝2√6，求CD 的长．̂于点D，13. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线．(2) 过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形̂＝CD̂＝DB̂，连接14. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，ACAD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 若直径AB＝6，求AD的长．̂上一点，DE⊥AB于15. 如图①，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AC点E，交AC于点F，连接BD，交AC于点G，且AF＝FG.̂.(1) 求证：点D平分AC(2) 如图②，延长BA至点H，使AH＝AO，连接DH.若E是线段AO的中点，求证：DH是⊙O的切线．16. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.(1) 请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；(2) 若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2√3a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点，OG⊥BC，垂足为G，OG＝a，连接OB，OE，OF.(1) 若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；(2) 若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A.̂的中点，过18. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是BC点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D，连接OP.(1) 求证：DP是⊙O的切线；(2) 若AC＝5，sin ∠APC＝5，求AP的长．1319. 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O 为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA，DC于点M，N.点E在边BC上，OE交̂的中点．⊙O于点G，G为MN(1) 求证：四边形ABEO为菱形；(2) 已知cos ∠ABC＝1，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长3答案1.解：(1)∵ OC ⊥AB ，∠AOC ＝60°，∴ ∠OAC ＝90°－∠AOC ＝30°.∴ OC ＝12OA＝1.∴ AC ＝√OA 2−OC 2＝√3.∵ OA ＝OB ，OC ⊥AB ，∴ AB ＝2AC ＝2√3(2) ∵ OA ＝OB ，OC ⊥AB ，∴ ∠AOB ＝2∠AOC ＝120°.∵ OA ＝2，∴ AB̂的长为120π×2180＝4π32.解：(1) 如图，连接OB.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝60°，∴ ∠ABC ＝∠D ＝60°.∵ BE ＝AB ，∴ ∠E ＝∠BAE.∵ ∠ABC ＝∠E ＋∠BAE ＝60°，∴ ∠BAE ＝∠E ＝30°.∵ OA ＝OB ，∴ ∠ABO ＝∠OAB ＝30°.∴ ∠OBC ＝∠ABC ＋∠ABO ＝90°.∴ OB ⊥CE.∴ EC 是⊙O 的切线(2) 如图，连接OM ，过点O 作OH ⊥AC 于点H.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ BC ＝AD ＝2√3.∵ AC ⊥BC ，∠E ＝30°，∴ ∠EAC ＝60°.∵ OA ＝OM ，∴ △AOM 是等边三角形．∴ ∠AOM ＝60°.∵ OH ⊥AC ，∠OBC ＝ 90°，AC ⊥BC ，∴ 四边形OBCH 是矩形．∴ OH ＝BC ＝2√3，OH ∥EC.∴ ∠AOH ＝∠E ＝30°.∴ 在Rt △AHO 中，AH ＝12AO. 根据勾股定理，得AH 2＋OH 2＝AO 2，即(12AO)2＋(2√3)2＝AO 2，解得AO ＝4(负值舍去)．∴ AM̂的长＝60·π×4180＝4π33.解：(1) 直线BC 与⊙O 相切理由：连接OB.∵ OA ＝OB ，∴ ∠OAB ＝∠OBA.∵ CP ＝CB ，∴ ∠CPB ＝∠CBP.∵ ∠CPB ＝∠APO ，∴ ∠CBP ＝∠APO.∵ OC ⊥OA ，∴ 在Rt △AOP 中，∠OAB ＋∠APO ＝90°.∴ ∠OBA ＋∠CBP ＝90°， 即∠OBC ＝90°.∴ OB ⊥CB.又∵ OB 是⊙O 的半径，∴ 直线BC 与⊙O 相切．(2) ∵ 在Rt △AOP 中，∠A ＝30°，OP ＝1，∴ OA ＝OP tan 30°＝√3.∵ OA ＝OB ＝√3，∠A ＝30°，∴ ∠A ＝∠OBA ＝30°.∴ 在△OAB 中，∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.∵ OC ⊥OA ，∴ ∠AOP ＝90°.∴ ∠COB ＝30°.∴ 在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·tan 30°＝1.∴ S 涂色＝S △OBC －S 扇形OBD ＝12×1×√3−30·π×(√3)2360＝√32−π44.解：(1) 连接AE.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝BC ，AD ∥BC.∴ ∠DAE ＝∠AEB.∵ AE ＝BA ，∴ ∠AEB ＝∠CBA.∴ ∠DAE ＝∠CBA.∴ △AED ≌△BAC(SAS)．∴ ∠DEA ＝ ∠CAB.∵ ∠CAB ＝90°，∴ ∠DEA ＝90°.∴ DE ⊥AE. ∵ AE 是⊙A 的半径，∴ DE 与⊙A 相切(2) ∵ ∠ABC ＝60°，AB ＝AE ＝4，∴ △ABE 是等边三角形．∴ ∠EAB ＝60°.∵ ∠CAB ＝90°，∴ ∠CAE ＝90°－∠EAB ＝90°－60°＝30°.∵ ∠CAB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴ ∠ACB ＝30°.∴BC ＝2AB ＝8.∴ AC ＝√BC 2−AB 2＝4√3.∴ S 涂色＝S △CAB －S △ABE － S 扇形EAF ＝12×4×4√3−√34×42－30π×42360＝4√3−4π35.解：(1) 连接OC.∵ CE 为⊙O 的切线，∴ OC ⊥CE.∴ ∠OCE ＝90°.∵ OC ＝OB ，OD ⊥BC ，∴ CD ＝BD ，即OD 垂直平分BC.∴ EC ＝EB. ∵ OC ＝OB ，OE ＝OE ，∴ △OCE ≌△OBE(SSS)．∴ ∠OBE ＝∠OCE ＝90°.∴ OB ⊥BE.∴ BE 是⊙O 的切线(2) ∵ BC ＝4√3，CD ＝BD ，∴ BD ＝12BC ＝2√3.设⊙O 的半径为x ，则OD ＝OF －DF ＝x －2，OB ＝x.∵ 在Rt △OBD 中，OD 2＋BD 2＝OB 2，∴ (x －2)2＋(2√3)2＝x 2，解得x ＝4.∴ OD ＝2，OB ＝4.∴ 在Rt △OBD 中，OD ＝12OB.∴ ∠OBD ＝30°.∴ ∠BOD ＝60°.∴ 在Rt △EBO 中，∠BEO ＝30°.∴ OE ＝2OB ＝8.∴ EF ＝OE －OF ＝8－4＝4(3) 在Rt △EBO 中，BE ＝√OE 2−OB 2＝4√3.∵ △OCE ≌△OBE(SSS)，∴ ∠COE ＝∠BOE ＝60°. ∴ ∠BOC ＝120°. ∴ S 涂色＝S 四边形OBEC －S 扇形OBC ＝2S △EBO －S 扇形OBC ＝2×12×4×4√3−120·π×42360＝16√3−16π36.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以 1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．(1) 求证：四边形PBQE为平行四边形；(2) 求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比解：(1) ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C 运动，∴ AP＝DQ＝t cm，PF＝QC＝(6－t)cm.在△ABP和△DEQ中，{AB=DE，∠A=∠D，AP=DQ，∴△ABP≌△DEQ(SAS)．∴ BP＝EQ.同理，可证PE＝QB，∴四边形PBQE为平行四边形(2) 连接BE，OA，则∠AOB＝360°6＝60°.∵ OA＝OB，∴△AOB是等边三角形.∴ AB＝OA＝OB＝6 cm，BE＝2OB＝12 cm.当t＝0 s时，点P与点A重合，点Q 与点D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图①所示，则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°－30°＝90°.∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形.当t＝6 s时，点P与点F 重合，点Q与点C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图②所示，同理可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形.∴当t＝0 s或6 s时，四边形PBQE是矩形．∴ AE＝√BE2−AB2＝6√3 cm.∴S矩形PBQE ＝S矩形ABDE＝AB·AE＝6×6√3＝36√3(cm2)．∵ S正六边形ABCDEF＝6S△AOB ＝6×14S矩形ABDE＝6×14×36√3＝54√3(cm2)，∴ S矩形PBQE∶S正六边形ABCDEF ＝√354√3＝237.如图，OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，且MA＝MB， OA，OB分别交⊙O于点C，D.求证：AC＝BD.解：∵OM是⊙O的半径，过点M作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB.∵MA＝MB，∴直线OM垂直平分AB.∴ OA＝OB.∵ OC＝OD，∴ OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD8.如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．解：连接OB.∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.∵四边形OABC是平行四边形，∴ AB∥OC，OA∥BC.∴ OB⊥OC.∴∠BOC＝90°.∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形．∴∠C＝∠OBC＝45°.∵ AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°.∠AOB＝22.5°∴∠E＝129.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.(1) 如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的度数；(2) 如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的度数．解：(1) ∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠APC＝∠C＋∠ABC.∵∠ABC＝63°，∠APC＝100°，∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°.∵BD̂＝BD̂，∴∠BAD＝∠C＝37°.∵AĈ＝AĈ，∴∠ADC＝∠ABC＝63°.∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°(2) 连接OD.∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°.∴∠PCB＝90°－∠ABC＝90°－63°＝27°.∴∠BOD＝2∠PCB＝54°.∵ DE是⊙O的切线，∴ DE⊥OD.∴∠ODE＝90°.∴∠E＝90°－∠BOD＝90°－54°＝36°10.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F. BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.(1) 求证：△CBA≌△DAB；(2) 若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB.解：(1) ∵ AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中，{BC=AD，BA=AB，∴ Rt△CBA≌Rt△DAB(HL)(2) 由(1)，知∠ACB＝90°，∴BC⊥EF.∵BE＝BF，∴∠EBC＝∠FBC.∵CD̂＝CD̂，∴∠FBC＝∠DAC.∵ BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°.∴∠EBC＋∠ABC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴在△ACB中，∠BAC＋∠ABC＝90°.∴∠EBC＝∠BAC.∴∠DAC＝∠BAC.∴ AC平分∠DAB11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB 于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F.(1) 求证：BF＝DF；(2) 若AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，求半圆O 的半径长解：(1) 连接OD.∵ 过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ，∴ ∠ODF ＝90°.∴ ∠ADO ＋∠BDF ＝90°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠OAD ＝∠ODA.∴ ∠OAD ＋∠BDF ＝90°.∵ ∠C ＝90°，∴ ∠OAD ＋∠B ＝90°.∴ ∠B ＝∠BDF.∴ BF ＝DF(2) 连接OF.设半圆O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r.∵ AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，∴ OC ＝4－r ，DF ＝BF ＝3－1＝2.在Rt △ODF 和Rt △OCF 中，由勾股定理，得OD 2＋DF 2＝OF 2＝OC 2＋CF 2，即r 2＋22＝(4－r)2＋12，解得r ＝138.∴ 半圆O 的半径长为13812.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D.(1) 求证：∠CAD ＝∠CAB ；(2) 若AD AB ＝23，AC ＝2√6，求CD 的长．解：(1) 连接OC.∵ CD 是⊙O 的切线，∴ OC ⊥CD.∵ AD ⊥CD ，∴ AD ∥OC.∴ ∠DAC ＝∠ACO.∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAO ＝∠ACO.∴ ∠DAC ＝∠CAO ，即∠CAD ＝∠CAB(2) 连接BC.∵ AD AB ＝23，∴ 设AD ＝2x ，AB ＝3x.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∵ AD ⊥DC ，∴ ∠ADC ＝90°.∴ ∠ADC ＝∠ACB.∵ ∠DAC ＝∠CAB ，∴ △ACD ∽△ABC.∴ AD AC ＝AC AB .∴ 2√6＝2√63x ，解得x 1＝2，x 2＝－2(不合题意，舍去).∴ AD ＝4.∴ CD ＝√AC 2−AD 2＝2√213. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线AD 交BĈ于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 的延长线于点E.(1) 求证：DE 是⊙O 的切线．(2) 过点D作DF⊥AB于点F，连接BD.若OF＝1，BF＝2，求BD的长解：(1) 连接OD.∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵ DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°.∵ OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO.∵ AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD. ∴∠ADO＝∠DAE.∴ OD∥AE.∴∠E＋∠ODE＝180°.∴∠ODE＝180°－∠E＝90°，即OD⊥DE.∴ DE是⊙O的切线(2) ∵ OF＝1，BF＝2，∴ OD＝OB＝3.∵ DF⊥AB，∴∠OFD＝∠BFD＝90°.∴在Rt△OFD中，DF2＝OD2－OF2＝8.∴ BD2＝DF2＋BF2＝8＋22＝12.∴ BD＝2√314. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B.(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形解：(1) 连接OC.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A.∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°.∴ OC⊥CD.∴ CD是⊙O的切线(2) ∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，∴∠A＋∠DCA＝90°.∵ DE⊥AB，∴∠A＋∠EFA＝90°.∴∠DCA＝∠EFA.∵∠EFA＝∠DFC，∴∠DCA＝∠DFC.∴ DC＝DF.∴△DCF是等腰三角形̂＝CD̂＝DB̂，连接14. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，ACAD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 若直径AB＝6，求AD的长．解：(1) 连接OD.∵ AB 为⊙O 的直径，AC ̂＝CD ̂＝DB ̂，∴ ∠BOD ＝13×180°＝60°.∵ ∠BOD 是△AOD 的外角，∴ ∠OAD ＋∠ADO ＝60°. ∵ OA ＝OD ，∴ ∠ADO ＝∠DAB ＝30°.∵ CD̂＝DB ̂，∴ ∠EAD ＝∠DAB ＝30°.∵ DE ⊥AC ，∴ ∠E ＝90°. ∴ 在Rt △AED 中，∠EDA ＝90°－∠EAD ＝60°.∴ ∠EDO ＝∠EDA ＋∠ADO ＝90°.∴ OD ⊥DE.∴ DE 是⊙O 的切线(2) 连接BD.∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∵ ∠DAB ＝30°，AB ＝6，∴ BD ＝12AB ＝3.∴ AD ＝√AB 2−BD 2＝3√315. 如图①，AB 是半圆O 的直径，AC 是一条弦，D 是AĈ上一点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连接BD ，交AC 于点G ，且AF ＝FG.(1) 求证：点D 平分AĈ. (2) 如图②，延长BA 至点H ，使AH ＝AO ，连接DH.若E 是线段AO 的中点，求证：DH 是⊙O 的切线．解：(1) 连接AD.∵ AB 是半圆O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∴ ∠ADE ＋∠BDE ＝90°.∵ DE ⊥AB ，∴ 在Rt △DEB 中，∠ABD ＋∠BDE ＝90°.∴ ∠ADE ＝∠ABD.又∵ 在Rt △ADG 中，AF ＝FG ，∴ DF ＝AF.∴ ∠DAC ＝∠ADE.∴ ∠ABD ＝∠DAC.∴ AD̂＝DC ̂.∴ 点D 平分AC ̂ (2) 连接OD ，AD.∵ DE ⊥AB ，E 是线段OA 的中点，∴ DE 垂直平分AO.∴ AD ＝OD.∵ AO ＝OD ，∴ AD ＝OD ＝AO.∴ △OAD 是等边三角形．∴ ∠ADO ＝∠DAO ＝60°.∵ AH ＝AO ，∴ AH ＝AD.∴ ∠H ＝∠ADH ＝30°.∴ ∠HDO ＝∠ADH ＋∠ADO ＝90°.∴ HD ⊥OD.∴ DH 是⊙O 的切线16. 如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点A ，且∠CAD ＝∠ABC.(1) 请判断直线AC 是否是⊙O 的切线，并说明理由；(2) 若CD ＝2，CA ＝4，求弦AB 的长．解：(1) 直线AC 是⊙O 的切线理由：如图，连接OA.∵ BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°＝∠OAB ＋∠OAD.∵ OA ＝OB ，∴ ∠OAB ＝∠ABC. 又∵ ∠CAD ＝∠ABC ，∴ ∠OAB ＝∠CAD.∴ ∠OAC ＝∠OAD ＋∠CAD ＝90°.∴ AC ⊥OA.又∵ OA 是半径，∴ 直线AC 是⊙O 的切线．(2) 如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E.设⊙O 的半径为r.∵ 在Rt △OAC 中，OC 2＝AC 2＋OA 2，∴ (r ＋2)2＝16＋r 2，解得r ＝3.∴ OC ＝5，BC ＝8.∵ S △OAC ＝12OA ·AC ＝12OC ·AE ，∴ AE ＝3×45＝125.∴ 在Rt △AEO 中，OE ＝√OA 2−AE 2＝95.∴ BE ＝OB ＋OE ＝245.∴ 在Rt △AEB 中，AB ＝√AE 2+BE 2＝12√5517. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2√3a ，∠ABC ＝60°，过点B 的⊙O 与边AB ，BC 分别交于E ，F 两点，OG ⊥BC ，垂足为G ，OG ＝a ，连接OB ，OE ，OF.(1) 若BF ＝2a ，试判断△BOF 的形状，并说明理由；(2) 若BE ＝BF ，求证：⊙O 与AD 相切于点A.解：(1) △BOF 为等腰直角三角形 理由：∵ OB ＝OF ，OG ⊥BC ，BF ＝2a ， ∴ △BOF 为等腰三角形，BG ＝FG ＝12BF ＝a.∵ OG ＝a ，∴ BG ＝OG ，FG ＝OG.∴ △BGO 和△OGF 都是等腰直角三角形．∴ ∠BOG ＝∠FOG ＝45°.∴ ∠BOF ＝90°.∴ △BOF 为等腰直角三角形．(2) 连接EF.∵ ∠EBF ＝60°，BF ＝BE ，∴ △BEF 为等边三角形.∴ EB ＝EF.∴ 点E 在BF 的垂直平分线上．∵ OB ＝OF ，OG ⊥BC ，∴ 直线OG 垂直平分BF.∴ 点E ，O ，G 共线，即EG ⊥BF.∴ ∠BEG ＝90°－∠ABC ＝30°.∵ OB ＝OE ，∴ ∠EBO ＝∠BEG ＝30°.∴ ∠OBG ＝∠ABC －∠EBO ＝30°.∴ 在Rt △BGO 中，OB ＝2OG ＝2a ，BG 2＝(2a)2－a 2＝3a 2.∴ EG ＝OE ＋OG ＝OB ＋OG ＝3a.∴ 在Rt △BGE 中，BE ＝√BG 2+EG 2＝2√3a.∵ AB ＝2√3a ，∴ 点A 与点E 重合.∵ AD ∥BC ，AG ⊥BF ，∴ AG ⊥AD.∴ ⊙O 与AD 相切于点A18. 如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，P 是BĈ的中点，过点P 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点D ，连接OP.(1) 求证：DP 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝5，sin ∠APC ＝513，求AP 的长．解：(1) ∵ P 是BĈ的中点，∴ PC ̂＝PB ̂.∴ ∠PAD ＝∠PAB.∵ OA ＝OP ，∴ ∠APO ＝∠PAO.∴ ∠DAP ＝∠APO.∴ AD ∥OP.∵ PD ⊥AD ，∴ PD ⊥OP.∴ DP 是⊙O 的切线(2) 连接BC ，交OP 于点E.∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠DCE ＝180°－∠ACB ＝90°.∵ PD ⊥AD ，PD ⊥OP ，∴ ∠D ＝∠DPE ＝90°.∴ 四边形CDPE 是矩形.∴ CD ＝PE ，PD ＝CE ，∠CEP ＝90°.∴ OP ⊥BC.∴ CE ＝BE ＝12BC.∵ AO ＝OB ，∴ OE ＝12AC ＝52.∵ AĈ＝AC ̂，∴ ∠APC ＝∠ABC.∴ sin ∠APC ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝513.∵ AC ＝5，∴ AB ＝13，BC ＝√132−52＝12.∴ PD ＝CE ＝12×12＝6，PE ＝OP －OE ＝132−52＝4，即CD ＝4.∴ AD ＝AC ＋CD ＝9.∴ 在Rt △ADP 中，AP ＝√AD 2+PD 2＝√92+62＝3√1319. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ，OD ＝4，以点O 为圆心，OD 长为半径作⊙O ，分别交边DA ，DC 于点M ，N.点E 在边BC 上，OE 交⊙O 于点G ，G 为MN̂的中点． (1) 求证：四边形ABEO 为菱形；(2) 已知cos ∠ABC ＝13，连接AE ，当AE 与⊙O 相切时，求AB 的长解：(1) 如图①，连接MN.∵ G 为MN̂的中点，∴ OE ⊥MN.∵ MD 是⊙O 的直径，∴ ∠MND ＝90°.∴ MN ⊥CD.∴ CD ∥OE.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，BC ∥AD.∴ AB ∥OE ，BE ∥AO.∴ 四边形ABEO 是平行四边形．∵ BO 平分∠ABC ，∴ ∠ABO ＝∠OBC.∵ AD ∥BC ，∴ ∠OBC ＝∠AOB.∴ ∠ABO ＝∠AOB.∴ AB ＝AO.∴ 四边形ABEO 为菱形(2) 如图②，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，AE 交OB 于点P.∵ 四边形ABEO 是菱形，∴ AB ∥OE ，BO ＝2OP ，BE ＝OE.∴ ∠ABC ＝∠OEH.∵ cos ∠ABC ＝13，∴ cos ∠OEH ＝13.∴ 在Rt △OEH 中，EH OE ＝13.设EH ＝a ，则OE ＝3a ，OH ＝2√2a ，BH ＝BE ＋EH ＝4a.当AE 与⊙O 相切时，OP ⊥AE ，∴ OP ＝OD ＝4，OB ＝8.∴ 在Rt △OBH 中，OH 2＋BH 2＝OB 2，即(2√2a)2＋(4a)2＝82，解得a ＝2√63(负值舍去)．∴ AB ＝3a ＝2√6。
2021年九年级数学中考复习专题：圆的综合(考察切线证明、长度计算等)(二)
中考复习专题：圆的综合（考察切线证明、长度计算等）1．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC和∠BPC的度数试；（2）探究PA、PB、PM之间的关系；（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．2．如图所示，线段AC是⊙O的直径，过A点作直线BF交⊙O于A、B两点，过A点作∠FAC的角平分线交⊙O于D，过D作AF的垂线交AF于E．（1）证明DE是⊙O的切线；（2）证明AD2＝2AE•OA；（3）若⊙O的直径为10，DE+AE＝4，求AB．3．如图1，△ABC内接于⊙O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，∠B＝∠ACP．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若PC＝4，PA＝2，求AB的长；（3）如图2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证：．4．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD＝4，在DC上取点E，DE＝8．（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP＝t．①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．5．如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP＝DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC（1）求证：∠A＝∠D；（2）填空：①若AB＝10cm，当AP＝cm时，四边形AOCP是菱形；②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC＝°．6．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．7．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，以AB为直径作⊙O．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝3，连接BD，求阴影部分的面积．（结果保留π）8．定义：已知点O是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O叫做该三角形的等距点．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，O在斜边AB上，且点O 是△ABC的等距点，试求BO的长．（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，点P在边AB上，AP＝2BP，D为AC中点，且∠CPD＝90°．①求证：△CPD的外接圆圆心是△ABC的等距点；②求tan∠PDC的值．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．10．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，FG是⊙O的切线，FG∥BD，DF 与AB交于点E．（1）求证：BE＝BD；（2）若AB＝8，DH＝3，求EH的长．11．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．12．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM 于点A，过点A作AD⊥BO于点D．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．13．如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形．已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M．（1）当AN经过圆心O时，求AN的长；（2）如图2，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长；（3）当时，求△MON的面积．14．MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM．（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM•MB+AN•NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF ＝5，求线段PE的长．参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵，，∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M＝180°，∠PCM＝∠BPC＝60°，∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，∴∠M＝∠BPC＝60°，∴∠PCM﹣∠PCA＝∠ACB﹣∠PCA，即∠ACM＝∠BCP，又∵BC＝AC，∴△ACM≌△BCP（AAS），∴AM＝BP，∵PM＝PA+AM，∴PM＝PA+PB；（3）∵△ACM≌△BCP，∴CM＝CP，又∵∠M＝60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM＝CP＝PM＝1+2＝3，如图，过点P作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，∴PH＝，∴S梯形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝．2．（1）证明：连接OD，∴DE为⊙O切线；（2）证明：连接CD．∵AC为⊙O的直径，DE⊥AF∴∠ADC＝90°，∠DEA＝90°，∴∠ADC＝∠AED，∴在△ACD和△ADE中，∠DAC＝∠EAD，∠ADC＝∠AED，∴△ACD∽△ADE，∴．∴AD2＝AE•AC．∵AC＝2OA，∴AD2＝2AE•OA；（3）解：过点O作OM⊥AB于点M，则四边形ODEM为矩形，设DE＝OM＝x，则AE＝4﹣x，∴AM＝5﹣（4﹣x）＝1+x，在Rt△AMO中，OA2＝AM2+OM2，即：（1+x）2+x2＝52解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．∴AM＝4．∵OM⊥AB，由垂径定理得：AB＝2AM＝8．3．（1）证明：如图1，连结OA、OC，则OA＝OC．∴∠OAC＝∠OCA．∴∠AOC+2∠OCA＝180°．由圆周角定理，得∠AOC＝2∠B．∴2∠B+2∠OCA＝180°．∴∠B+∠OCA＝90°．∵∠B＝∠ACP．∴∠ACP+∠OCA＝90°，即∠OCP＝90°．∴CP是⊙O的切线；（2）∵∠B＝∠ACP，∠ACP＝∠CPB，∴△APC∽△CPB．∴＝，∴PB＝＝＝8．∴AB＝PB﹣PA＝8﹣2＝6；（3）如图2，延长ED至F，使DF＝ED，连结BF，易得△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，∠CED＝∠F．∴BF∥EC，∴＝＝．由（2）得，PB＝，∴＝，∴．4．解：（1）如图1，连接OE，BE，若点E是O，B两点的勾股点，则∠OEB＝90°，∴∠OED+∠CEB＝90°，∵∠OED+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠CEB，又∵∠C＝∠ODE，∴△BCE∽△EDO，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴OB＝DE＝8+2＝10；（2）①如图2﹣1，设以EF为直径的圆的圆心为Q，与直线l的切点为M，直线l与OB 的交点为H，连接QM，则∠FME＝90°，QM⊥PH，∴∠HMF+∠PME＝90°，∵∠PME+∠PEM＝90°，∴∠HMF＝∠PEM，又∵∠MHF＝∠EPM＝90°，∴△MHF∽△EPM，∴＝，∵QM⊥PH，l∥y轴，∴HF∥MQ∥PE，∴＝，∵FQ＝QE，∴HM＝MP＝2，又∵DP＝OH＝t，DE＝8，OF＝5，∴HF＝5﹣t，PE＝8﹣t，∴＝，解得，t1＝4，t2＝9（点P在DE之间，舍去），∴t＝4；②如图2﹣2，当直线l在⊙Q的右侧与⊙Q相切时，由①知△MHF∽△EPM，∴＝，此时，HM＝MP＝2，HF＝t﹣5，PE＝t﹣8，∴＝，解得，t1＝4，t2＝9，∴当t＝4或9时直线l与⊙Q相切，∵点E，F以及直线l上的点均可为直角三角形的直角顶点，∴当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，相应t的取值范围为0≤t＜4或t＝5或t＝8或9＜t≤12．5．（1）证明：如图，连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP＝PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：①∵AP＝PD，BC＝DC，∴，∵AB是⊙O的直径，∴，∴OA＝PC，∴四边形AOCP是平行四边形，∴当时，平行四边形AOCP是菱形，故答案为：5；②当四边形OBCP是正方形时，∠POB＝90°，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝45°＝POB，∴PC∥AO，∴∠DPC＝∠A＝45°，故答案为：45．6．解：（1）设点Q的运动速度为acm/s，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B 处，∵AP＝6t，∴S△PDQ＝（60﹣6×5）×5a＝450，∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，6；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝QC，即4t＝（90﹣6t），解得，t＝；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP＝QH，∴150﹣20t＝30，∴t＝；如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝QH，∴20t﹣150＝30，∴t＝，综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．7．解：（1）过点O作OE⊥CD于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠OED＝90°，∴四边形ADEO是矩形，∴AD＝OE，∵AB＝2BC，∴AB＝2AD＝2OE，∴AO＝OE，∴CD是⊙O的切线；（2）∵四边形ADEO是矩形，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形BOE＝＝．8．解：（1）CB＝4，AC＝3，则AB＝5，①当OH⊥BC时，只有OH＝OA一种情况，设OB＝x，则OH＝OA＝5﹣x，则sin B＝＝＝，解得：x＝；②当OH′⊥AC时，同理可得：OH′＝OB，解得：x＝，综上，OB＝或；（2）①设△CPD的外接圆圆心为点O，连接OP、OB，则OD＝OP＝OC，设圆的半径为R，AP＝2BP＝2a，则AD＝2R，OD＝R，则，故PD∥OB，故∠BOP＝∠DPO，∠COB＝∠ODP，而∠ODP＝∠OPD，∴∠POB＝∠COB，而BO＝BO，OP＝OC，∴△BCO≌△BPO（SAS），∴∠BPO＝90°，即OP⊥AB，且OP＝OC，故：△CPD的外接圆圆心是△ABC的等距点；②∵△BCO≌△BPO（SAS），∴BC＝BP＝a，而AB＝3a，AC＝4R，故（3a）2＝（4R）2+a2，解得：a＝，tan∠PDC＝tan∠COB＝＝＝＝．9．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）如图，设AC与GD交于点M，∵，∴∠GCM＝∠ADM，又∵∠GMC＝∠AMD，∴△GMC∽△AMD，∴＝＝＝，设CM＝x，则DM＝3x，由（1）知，AC＝AD，∴AC＝6，AM＝6﹣x，在Rt△AMD中，AM2+DM2＝AD2，∴（6﹣x）2+（3x）2＝62，解得，x1＝0（舍去），x2＝，∴AM＝6﹣＝，∴sin∠ADG＝＝＝；（3）S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，∵点G是上一动点，∴当点G在的中点时，△ACG的的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，∴GA＝GC，∴∠GAC＝∠GCA，∵∠GCD＝∠F+∠FGC，由（1）知，∠FGC＝∠ACD，且∠GCD＝∠ACD+∠GCA，∴∠F＝∠GCA，∴∠F＝∠GAC，∴FC＝AC＝6．10．解：（1）如图，连接OF，∵FG是⊙O的切线，∴∠GFD+∠OFD＝90°，∵AB⊥CD，∴∠DEH+∠ODE＝90°，∵OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF．∴∠DEH＝∠GFD，∵FG∥BD，∴∠GFD＝∠BDF，∴∠DEH＝∠BDF，∴BE＝BD；（2）∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，∴，∵DH＝3，∴BD＝5，∵BE＝BD，∴BE＝5，∴EH＝BE﹣BH＝1，答：EH的长为1．11．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠3＝∠2，∵AD平分∠CAM，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠3，∴MN∥OD，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝3（cm），∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠AED，又∵∠2＝∠1，∴△ADC∽△AED，∴＝，即＝，∴AC＝15（cm），∴OA＝AC＝cm，即⊙O的半径为cm．12．解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵O为∠MBN角平分线上一点，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BCO＝∠D＝90°，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝、BC＝6，∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴，∴OE＝3，OB＝＝3，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即＝，∴AD＝2．13．解：（1）如图1中，连接FO延长FO交AB于H．则FH⊥AB，FH⊥DE．∵FA＝FB，FH⊥AB，∴AH＝HB＝4，在Rt△AOH中，∵OH＝1，AH＝4，∴OA＝＝＝，∴AN＝OA+ON＝+2．（2）如图2中，连接OM，作OJ⊥MN．在Rt△AHN中，∵AH＝4，NH＝ON+OH＝2+1＝3，∴AN＝＝＝5，由△△OJN∽△AHN，可得＝，∴＝，∴JN＝，∵OJ⊥MN，∴JM＝JN，∴MN＝2JN＝，∴△MON的周长＝2+2+＝．（3）如图3﹣1中，连接AO，延长AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，连接OM，ON．设AM＝MN＝x，OJ＝y，则有，解得，∴MN＝，OJ＝，∴S△MON＝•MN•OJ＝××＝．如图3﹣2中，连接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．∵AM＝MN，MK∥AJ，∴NK＝JK＝OH＝1，∵NJ⊥AB，DE∥AB，∴NK⊥OE，∴sin∠NOK＝＝，∴OK＝NK＝，∵四边形OKJH是矩形，∴HJ＝OK＝，∴AJ＝4+，∴MK＝AJ＝2+，∴OM＝MK﹣OK＝2﹣，∴S△MON＝•OM•NK＝•（2﹣）×1＝1﹣，综上所述，满足条件的△MON的面积为或1﹣．14．解：（1）如图1，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°．∵，∴∠AMN＝∠BMN＝45°．∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM＝30°，∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°；（2）如图2，连接OA，OB，ON．∵，∴∠AON＝∠BON．又∵OA＝OB，∴ON⊥AB．∵OD∥AB，∴∠DON＝90°．∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM．∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°，∴∠MOD+2∠DMO＝90°；（3）如图3，延长MB至点M′，使BM′＝AM，连接NM′，作NE⊥MM′于点E．设AM＝a，BM＝b．∵四边形AMBN是圆内接四边形，∴∠A+∠MBN＝180°．∵∠NBM′+∠MBN＝180°，∴∠A＝∠NBM′．∵，∴AN＝BN，∴△AMN≌△BM′N（SAS），∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a．∵NE⊥MM′于点E．∴．∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2，∴．化简得ab+NB2＝16，∴AM•MB+AN•NB＝16．15．解：（1）如图1，连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，∴AD∥CO，而CD⊥AD，∴CO⊥PD，故PC是⊙O的切线；（2）PC是⊙O的切线，则∠BCP＝∠CAB＝α，即tan，则sin，cos ，∵∠DAC＝∠CAB＝α，∴△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，故R＝m；（3）连接OF、OC，CF平分∠ACB，则FO⊥AB，∵∠ECP＝90°﹣∠OCE，∠CEP＝90°﹣∠OFC，而∠OCE＝∠OFC，∴∠ECP＝∠CEP，∴PC＝PE，BF ＝5＝R，则R＝5，AD＝AC cosα＝×＝8，同理CD＝4，∵CO∥AD，∴，即，解得：PC＝＝PE．。
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合(考察证明、长度与面积、动点问题等)(含答案)
2021年数学九年级中考复习专题之圆压轴综合（考察证明、长度与面积、动点问题等）1．如图，⊙O的半径为2，OB＝4，OB交⊙O于点D，点C是⊙O上一动点，以BC为边向下作等边△ABC．（1）当点C运动到∠COD＝60°时，①求证：BC与⊙O相切；②试判断点A是否在⊙O上，并说明理由．（2）设△ABC的面积为S，求S的取值范围．2．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证：OE＝AC；（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．3．如图，AC为⊙O的直径，DA为⊙O的切线，AB为弦，连接DB，DC，DC交AB于点E，交⊙O于点F，连接BF，BC，且DA＝DB．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）若∠ADC＝3∠BDC，求证：BC2＝BF•DC；（3）在（2）的条件下，若CE＝4，求DE的长．4．在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）5．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：△PAE∽△PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP．6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD的延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为点G，连接AG交CD于点K．（1）求证：△EKG是等腰三角形；（2）若KG2＝KD•GE，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，若tan E＝，AK＝2，求FG的长．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的中心在原点O处，且AB∥x轴，点P在正方形ABCD的边上，点P从点A处沿A→B→C→D→A→B→…匀速运动，以点P为圆心，以1为半径长画圆，在运动过程中：（1）当⊙P第1次与x轴相切时，则圆心P的坐标为 ；（直接写出结果）（2）当圆心P的运动路程为2019时，判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；（3）当⊙P第一次回到出发的位置时，即⊙P运动一周，求⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积．8．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，试探究四边形ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．9．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，且，过点O作直径DE⊥AC，垂足为点P，过点B的直线交AC的延长线和DE的延长线于点F、G．（1）求线段AP、CB的长；（2）若OG＝9，求证：FG是⊙O的切线．（3）在（2）的条件下，求cos∠BFC的值．10．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为 ．（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．答案1．（1）①证明：连接CD，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴CD＝OC＝2，∵OB＝4，∴CD为OB边的中线且OB＝2CD，△OCB为直角三角形，∠OCB＝90°，∴OC⊥CB，∴BC与⊙O相切；②解：点A在⊙O上；连接OA，∵∠OCB＝90°，∠COD＝60°，∴∠CBO＝30°∵△ABC为等边三角形，∴∠CBA＝60°，BC＝BA，∴∠CBO＝∠ABO，在△CBO与△ABO中，，∴△CBO≌△ABO（SAS），∴OA＝OC，∴点A在⊙O上；（2）解：当点C与点D重合时，△ABC面积最小，S△ABC＝2×2×sin60°＝，当点C运动至AO的延长线时，△ABC的面积最大，S△ABC＝×6×6×sin60°＝9，∴．2．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又∵O为AB中点，∴OE＝AC；（2）解：PC为⊙O的切线，理由：连接CO，DC，∵CO＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC，∴∠OCB+∠BCD+∠PCD＝∠OBC+∠BAD+∠PAC，∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OCP＝90°，即PC为⊙O的切线；（3）解：由（1）可知，OE＝3，BE＝4，DE＝2，在Rt△BED和Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝2，AD＝4，∵点D是劣弧的中点，∴CD＝2，∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，由∠PCD＝∠PAC，则△PCD∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PD•AP，即＝，∴PC＝PD，∴（PD）2＝PD（4+PD），解得：PD＝5，∴PC＝×5＝15．3．（1）证明：如图，连接OD、OB，∵DA是⊙O的切线，∴DA⊥OA，∴∠DAO＝90°，在△DAO和△DBO中，∴△DAO≌△DBO（SAS）∴∠DAO＝∠DBO＝90°，∴DB为⊙O的切线；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DA＝DB，OA＝OB，∴OD垂直平分线段AB，∴OD∥BC，∴∠ODC＝∠BCD，∵△DAO≌△DBO，∴∠ODA＝∠ODB，∵∠ADC＝3∠BDC，∴∠ODC＝∠BDC＝∠BCD，∴BC＝BD，如图，延长DB到点G，∵BD为⊙O的切线，∴∠CBG+∠CBO＝90°，又∠OBC＝∠OCB，∴∠CBG+∠BCA＝90°，又∠BAC+∠BCA＝90°，∠BFC＝∠BAC．∴∠CBG＝∠BFC，即∠DBC＝∠DFB，∴△DBF∽△DCB，∴，∠DBF＝∠BCD＝∠BDF，∴BF＝DF，∴BD2＝DF•DC，∴BC2＝BF•DC；（3）解：如图，设AB与OD交于点H，OH＝a，∵OH∥BC，AO＝OC，∴BC＝2a，∴BC＝DB＝DA＝2a，∵∠AHD＝∠DAO＝90°，∠ADO＝∠ADO，∴△DAH∽△DOA，∴＝，∴DA2＝DH•DO，设DH＝x，则（2a）2＝x•（x+a），整理得，x2+ax﹣4a2＝0．解得，x1＝a，x2＝a（舍去），即DH＝a，∵DO∥BC，∴＝＝，∵CE＝4，∴DE＝﹣1．4．（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．5．解：（1）∵PE2＝PA•PC，∴，∵∠APE＝∠EPC，∴△PAE～△PEC；（2）如图，连接BE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠OBE＝∠PCE，∴∠OEB＝∠PCE，∵△PAE～△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∴∠PEA＝∠OEB，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OEB+∠OEA＝90°，∴∠PEA+∠OEA＝90°，∴∠OEP＝90°，∵点E在⊙O上，∴PE是⊙O的切线；（3）如图，过点O作OM⊥AC于M，∴，∵BC⊥AC，∴OM∥BC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOM＝30°，∴OM＝AM＝AC，∵，∴，∵PC＝AC+AP＝2AP+AP＝3AP，∴PE2＝PA×PC＝PA×3PA，∴，∴OM＝PE，∵∠PED＝∠OMD＝90°，∠ODM＝∠PDE，∴△ODM≌△PDE（AAS），∴DO＝DP．6．（1）证明：如图1，连接OG，∵EG为⊙O的切线，∴∠KGE+∠OGA＝90°．∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°．又∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG．∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE，∴KE＝GE．∴△EKG是等腰三角形．（2）证明：如图2，连接GD，∵KG2＝KD•GE，∴．又∵∠KGE＝∠GKE，∴△GKD∽△EGK．∴∠E＝∠AGD．又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠C．∴AC∥EF．（3）解：如图3，连接OG，OC，由tan E＝tan∠ACH＝，可设AH＝3t，CH＝4t，则AC＝5t．∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5t，∴HK＝CK﹣CH＝t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得t＝2或t＝﹣2（不合题意，舍去）．∴AH＝6，CH＝8．设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣6，CH＝8，由勾股定理得OH2+CH2＝OC2，即（r﹣6）2+82＝r2，解得r＝．∵EF为⊙O的切线，∴△OGF为直角三角形．在Rt△OGF中，OG＝r＝，∵tan∠OFG＝tan∠CAH＝，∴FG＝．7．解：（1）当⊙P第1次与x轴相切时，圆心P在正方形的BC边上，且点P到x轴的距离为1，∴圆心P的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）；（2）⊙P与y轴相切，理由：∵正方形ABCD的边长为4，∴⊙P运动一周时，圆心P的运动路程为4×4＝16，∵，∴⊙P运动了126周多，圆心P在AB上，且AP＝3，∴圆心P的坐标为（﹣1，2），∴圆心P到y轴的距离d＝1，∵⊙P的半径r＝1，∴d＝r，∴⊙P与y轴相切；（3）S＝1×4×4﹣1×1×4+×4＝16﹣4+π＝12+π，∴⊙P运动一周覆盖平面的区域的面积为12+π．8．解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中，，∴，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，这时．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，，∴∵AB＝6，AG＝GB，∴AC＝GB＝3，又∵AD＝9，∴，∴，∵∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG～△EAD，∴，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，连接AC，则△ACD的面积＝过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小．理由：由（2）知，当F在F1时，F1H最短，这时△ACF的边AC上的高最小，所以△ACF面积有最小值，在Rt△ABC中，，∴，在Rt△ACH中，，∴，∴△ACF面积有最小值是；∴四边形ADCF面积最小值是；②当F在F2时，F2H最大理由：在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，连接PG，则四边形GHMN是矩形，∴GH＝MN，在Rt△GNP中，∠NGF2＝90°，∴PG＞PN，又∵F2G＝PG，∴F2G+GH＞PN+MN，即F2H＞PM，∴F2H是△ACF的边AC上的最大高，∴面积有最大值，∵∴△ACF面积有最大值是；∴四边形ADCF面积最大值是综上所述，四边形ADCF面积最大值是，最小值是．9．解：（1）∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AC，∴AP＝PC＝AC∵AC＝4，∴AP＝2又∵OA＝3，∴OP＝1又AB是⊙O的直径，∴O为AB的中点，∴OP＝21 BC，∴BC＝2OP＝2．（2）∵，，∴∵∠BOG＝∠POA，∴△BOG∽△POA，∴∠OBG＝∠OPA＝90°又∵AB是直径，∴FG是⊙O的切线．（3）由（2）知∠ABF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴∠F＝∠ABC，∴cos∠BFC＝cos∠ABC＝．10．解：（1）以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为：（x+1）2+（y+2）2＝2；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝2．（2）①证明：∵BD⊥OC，∴CD＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO，∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC+∠BOC＝∠ECO+∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在，∵∠BOE＝∠BCE＝90°，∴点C和点O都在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO，∵B点坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，∴，在Rt△BOE中，，∴，∴BE＝5，∴，∴E点坐标为（0，4），∴线段AB的中点P的坐标为，∴以为圆心，以为半径的⊙P的方程为．。
2021-2023年中考复习考点 - 圆的证明与计算(word版含答案)
圆的证明与计算考点一：圆的有关性质1．如图，以△BMC的边为直径的⊙O与边BC交于点D，与BM的延长线交于点E，∠E＝∠B，DE交CM于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）若CF＝3MF，求tan∠E的值．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．（1）求证：CD＝BD；（2）若ABBC＝58，求sin∠BDE的值．BACDEO3．如图，⊙O中，AB是弦，OB，OC为圆的半径，∠BOC＝90°＋∠B．（1）求证：AC＝BC；（2）延长BO交⊙O于点D点，连接AC交BD于E点，AD＝5，DE＝2，求⊙O的半径长．4．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，OD 交BC 于点E ． （1）若BC ＝8，AB ＝10，求sin ∠AEO 的值； （2）若BC ＝8，DE ＝2，求tan ∠BAE 的值．5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，D 是BC 延长线上的一点，⊙O 是△ABD 的外接圆，E 是⊙O 上一点，且AE ＝AD ，AE 交BD 于F ． （1）求证：DE 是⊙O 的直径； （2）若AB ＝32，CD ＝2，求AF 的长6．如图，点P 是⊙O 外一点，PB 交⊙O 于A ，B ，PD 交⊙O 于C ，D ，连接BD ，AD ． （1）求证：AP AD ＝CPBC； （2）若∠DBC ＝∠P ，∠BDC ＝60°，CP DC ＝54，求tan ∠P 的值． CAOPD7．已知⊙O 中，点A ，B ，C 在圆⊙O 上，AB ＝AC ，D 为AB 上一点． （1）如图1，BM ⊥CD 于M ，若∠ADC ＝75°，求证：DM ＝3BM ． （2） 如图2，若tan ∠ADC ＝4，求cos ∠BDC 的值．图1 图28．已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的动点．（1）如图1，点P 是劣弧AC 的中点，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，点P 是劣弧AC 的中点，tan ∠A ＝21，求tan ∠ABC 的值．图1 图2考点二：切线的判定与性质9．如图， AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ＝CA ，CE ⊥BD 于E ． （1）求证CE 是⊙O 的切线； （2）连接CB ，CD ，tan ∠CBE ＝43，求cos ∠BCD 的值．10．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AC 上一点O 为圆心的⊙O 过点C ，与BC 相交于点D ，与AB 相切于点E ，∠DEB ＝∠A ． （1）求证：CD ＝DE；（2）连接OB ，求cos ∠OBC 的值．DBACO11．如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、D 三点的⊙O 交BC 于点E ，且与CD 相切．（1）求证：AD ＝AE ；（2）若45CE CD =，求cos ∠C 的值．EBOA 错误!未指定书签。
2021年中考数学核心考点强化突破-与圆有关的证明与计算(原卷+解析版)
与圆有关的证明与计算(原卷+解析版）原卷类型1 与圆有关的性质有关的证明与计算1．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D 在第一象限内，且∠ADB ＝45°.线段CD 的长的最小值为____．2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，s in P ＝35，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：∵∠C ＝∠P ，∠1＝∠C ，∴∠1＝∠P.∴CB ∥PD.类型2 与圆的切线有关的证明与计算3．已知：如图，P 是⊙O 外一点，过点P 引圆的切线PC(C 为切点)和割线PAB ，分别交⊙O 于A ，B ，连接AC ，BC.(1)求证：∠P CA ＝∠PBC ；(2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．5．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙O的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D两点．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；(3)若⊙O的半径为3，BC＝23，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形(阴影部分)的面积．答案解析类型1与圆有关的性质有关的证明与计算1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(4，0)，C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝45°.线段CD的长的最小值为．2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.(1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：∵∠C ＝∠P ，∠1＝∠C ，∴∠1＝∠P.∴CB ∥PD.(2)连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ，∴BC ︵＝BD ︵.∴∠P ＝∠CAB ，∴sin ∠CAB＝35，即BC AB ＝35.又知，BC ＝3，∴AB ＝5.∴⊙O 直径为5.类型2 与圆的切线有关的证明与计算3．已知：如图，P 是⊙O 外一点，过点P 引圆的切线PC(C 为切点)和割线PAB ，分别交⊙O 于A ，B ，连接AC ，BC.(1)求证：∠PCA ＝∠PBC ；(2)利用(1)的结论，已知PA ＝3，PB ＝5，求PC 的长．解：(1)证明：连接OC ，OA ，∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠CAO.∵PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴PC ⊥OC.∴∠PCO ＝90°，∠PCA ＋∠ACO ＝90°.在△AOC 中，∠ACO ＋∠CAO ＋∠AOC ＝180°，∵∠AOC ＝2∠PBC ，∴2∠ACO ＋2∠PBC ＝180°.∴∠ACO ＋∠PBC ＝90°.∵∠PCA ＋∠ACO ＝90°，∴∠PCA ＝∠PBC.(2)∵∠PCA ＝∠PBC ，∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PCB.∴PC PA ＝PB PC，即PC 2＝PA·PB.∵PA ＝3，PB ＝5，∴PC ＝3×5＝15.4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的值．解：(1)连接CE，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵EF是⊙O的切线，∠FEO ＝90°，∴∠EOC＝2∠B＝90°，∴EF∥OD，又∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；(2)过G作GN⊥BC于N，∴△GMB是等腰直角三角形，∴MB＝GM，∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD＝∠FED，∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD，∴∠CGM＝∠DEF，∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝CMGM＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝3，∴GM＝1，∴BG ＝2GM＝ 2.5．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙O的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D两点．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论；(3)若⊙O的半径为3，BC＝23，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形(阴影部分)的面积．解：(1)证明：∵AC为⊙O的直径，∴OA＝OC，∵BC，AD分别是⊙O的切线，∴∠OCB＝∠OAD ＝90°，∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)四边形AECF是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE，∴∠ACF＝∠CAE，∵AC＝AC，∴△AFC≌△CEA，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC是直径，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；(3)连接EO.∵⊙O的半径为3，∴AC＝6，∵BC＝23，∴∠BAC＝30°，∴∠COE＝60°，所以S 阴影＝2(S △ABC －S △AOE －S 扇形OBC )＝2(12×6×23－12×3×332－3π2)＝1523－3π.。