三角函数、解三角形中的实际微点突破

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2019-2020年高考数学小题高分突破5三角函数与解三角形(2021年整理)

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2019—2020年高考数学小题高分突破5 三角函数与解三角形1．已知cos x＝34，则cos 2x等于（）A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案D解析cos 2x＝2cos2x－1＝2×错误!2－1＝错误!.故选D。

2．已知sin α＝1010，α∈错误!，则cos错误!的值为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!答案A解析∵sin α＝错误!，α∈错误!，∴cos α＝错误!＝错误!,∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝错误!，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×错误!2＝错误!.∴cos错误!＝错误!cos 2α－错误!sin 2α＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.3．将周期为π的函数f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!（ω〉0)的图象向右平移错误!个单位长度后,所得的函数解析式为( )A．y＝2sin错误!B．y＝2cos错误!C．y＝2sin 2x D．y＝2cos错误!答案A解析由题意得f(x)＝2sin错误!＝2sin错误!，因为函数的周期是π,所以错误!＝π,所以ω＝2.所以f（x)＝2sin错误!。

届数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析

把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。

（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。

(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。

思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。

设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。

答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。

【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。

巧用“图话”突破三角难点

巧用“图话”突破三角难点四川省安岳中学唐开兵三角函数知识多而杂，本文仅用一个图形，两句话将其突破，让人尽收眼底，熟记于心，突破难点。

一、一图如右图所示，将六种三角函数依次标在正六边形的六个顶点上，要求从左到右是“正→余”的关系，从上到下是“弦→切→割”的关系，正六边形的中心标注1，下面就按由里到外逐一阐述，证明。

难点一，同角三角函数关系1．平方关系如图三个阴影部分的等边三角形体现了三个平方关系，每个三角形的左右两个顶点的平方和等于等三个顶点的平方，即222sin cos 1αα+=①、222tan 1sec αα+=②、2221cot csc αα+=③，下面就③用定义法简证之，其余等式可类比证之。

2222222221csc x y x r y y y α++===。

2．商数关系（乘积关系）每一个类似于如图所示的一个顶角为120°的等腰三角形都反映了一个商数关系（乘积关系）即sin tan (cos tan sin )cos αααααα==、cos cot (sin cot cos )sin αααααα==、cot csc (cos csc cot )cos αααααα==、tan sec (sin sec tan )sin αααααα==、csc sec (cot sec csc )cot αααααα==、csc sec (cot sec csc )cot αααααα==、sec csc (tan csc sec )tan αααααα==。

这些等式都可用定义法逐一证之，但需注意记忆方法：120°所对应顶点的三角函数等于另两个顶点的三角函数的乘积。

3．例数关系均分正六边形的三条对角形呈现出三个倒数关系即11sin (csc )csc sin αααα==、11sec (cos )cos sec αααα==、这些等式同样可用定义法证之。

难点二，符号问题六种三角函数在直角坐标平面内第一象限的符合都是“+”，之外sin α、csc α在第二象限的符号为“+” tan α、cot α在第三象限的符号为“+”、cos α、sec α，在第四象限的符号为“+”，按图那样从上到下，依次标上序数“二、三、四”和“四、三、二”岂不妙哉，by the way ，除了符号为正的象限外，这种三角函数在另外两个象限的符号都为“—”，终边落在坐标轴上的角为特殊角，其三角函数值别当别论。

专题一微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题

微点突破三角函数、解三角形中的实际应用问题【例】 (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m).乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内. 探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.【训练1】如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在AB ︵上取不同于A ，B 的点C ，用渔网沿着AC ︵(AC ︵在扇形AOB 的AB ︵上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA ＝1 km ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度；(2)求所需渔网长度(即图中AC ︵、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围. 解 (1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)设渔网的长度为f (θ).由(1)可知，f (θ)＝θ＋1＋233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，所以f ′(θ)＝1－233cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以π3－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，所以π3－θ＝π6，即θ＝π6. 列表如下：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 f ′(θ) ＋ 0 － f (θ)极大值且f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π＋6＋236，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝π3＋1，所以f (θ)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236. 故所需渔网长度的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236(单位：km). 【训练2】 (2017·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2 km ，BC ＝1 km.现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分.(1)如图1，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； (2)如图2，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度. 解 (1)因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以AB ＝ 3.如图1，取AB 的中点G ，连接EG ，则EG ＝32，则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ，即12×12×3×(1＋2)＝12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋12×GF ×32，解得GF ＝36，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362 ＝213(km).答：灌溉水管EF 的长度为213 km. (2)如图2，连接AC ，设DE ＝a ，DF ＝b ，图2在△ABC 中，CA ＝12＋（3）2＝2，所以在△ADC 中， AD ＝DC ＝CA ＝2，所以∠ADC ＝60°，所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12ab sin 60°＝34ab ，又S 梯形ABCD ＝12×3×(1＋2)＝332，所以S△DEF＝12S梯形ABCD，即34ab＝334，即ab＝3.在△DEF中，由余弦定理，得EF＝a2＋b2－ab≥ab＝3，当且仅当a＝b＝3时，取等号.故灌溉水管EF的最短长度为 3 km. 答：灌溉水管EF的最短长度为 3 km.。

三角函数突破策略

三角函数突破策略
三角函数的突破策略可以从以下几个方面展开：
1. 掌握基础概念：三角函数是描述三角形中边长和角度关系的函数。

要理解并掌握这些基本概念，包括正弦、余弦、正切等。

2. 理解性质：三角函数具有多种性质，如周期性、对称性、最值等。

深入理解这些性质，将有助于更好地解决三角函数问题。

3. 熟悉公式：掌握常用的三角函数公式，如和差角公式、倍角和半角公式等，是解决复杂三角函数问题的关键。

4. 练习题海战术：大量的练习是提高解题能力的有效途径。

从基础题开始，逐步增加难度，有助于更好地理解和掌握三角函数。

5. 寻求帮助：遇到困难时，不要害羞，积极寻求帮助。

可以向老师请教，和同学讨论，或者在网上寻找学习资源。

6. 建立知识体系：将所学的知识系统化，形成知识网络。

这有助于加深对三角函数的理解，并更好地解决相关问题。

7. 培养数学思维：数学思维是解决数学问题的关键。

通过培养数学思维，可以更好地理解和应用三角函数。

8. 总结与反思：定期总结学习经验，反思学习中的不足，找到改进的方法。

这样可以帮助你更好地掌握三角函数。

通过以上策略，相信你可以在三角函数的学习上取得突破。

祝你学习顺利！。

高中数学—三角函数中的“小技巧、大突破”！

高中数学—三角函数中的“小技巧、大突破”！“已知三角函数值求角”问题在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明：“利用三角函数的单调性比较大小”问题通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此类问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数在区间（0，⺎/2）内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增，学生是非常熟悉的。

“利用正、余弦定理解三角形”问题定理的内容以及变形学生们一般都能记住，但是遇到具体问题时到底该用哪个定理？有的学生就拿不准了．下面我们来探讨这个问题，首先我们要清楚解三角形问题中三角形的三个角和三条边六个元素至少得已知三个，而且这三个已知的元素中至少得有一条边，这样我们才可以解这个三角形．那么我们就可以以已知条件中边的条数将此类问题进行分类：1、已知“一边两角”（实际上第三个角也知道了），用正弦定理（因为这条边肯定是已知角的对边）；2、已知“两边一对角”，用正弦定理；已知“两边一夹角”，用余弦定理；3、已知“三边”，用余弦定理．当然，有时在一道题目中正、余弦定理都可以用，我们选择其一就可以了．另外，如果已知条件允许的话，我们尽量去求三角形内角的余弦值，这是因为在三角形中余弦值可以把锐角、直角、钝角分的清清楚楚，余弦值为正，角为锐角；余弦值为负，角为钝角；余弦值为0，角为直角．而正弦值分不清锐角和钝角．最后别忘了三角形中“内角和等于180 ”；“大边对大角，大角对大边”；“两边之和大于第三边”；“三角形面积公式”；“射影定理”；“已知两边一对角时，可能两解、一解、无解”等．下面我们来看一些例题：。

高考解答题突破(二) 三角函数与解三角形

高考解答题突破(二) 三角函数与解三角形突破 “三变”——变角、变式、变名[思维流程][技法点拨]1．常用的变角技巧：(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β. 2．常用的变式技巧：主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin x ±cos x 、sin x ·cos x 的问题，常做换元处理，如令t ＝sin x ±cos x ∈[－2，2]，将原问题转化为关于t 的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．3．常用的变名技巧：(1)诱导公式．如sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α. (2)切弦互化．tan α＝sin αcos α.考向一三角变换与三角函数的性质1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．[解]解答此类问题的关键在于“变”，其思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍，幂升一次，角减半”．[对点训练]1．(2018·黄冈中学模拟)已知函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值． [解] (1)由题意知f (x )＝3sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1， ∵T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . (2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， ∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.考向二解三角形1．利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的．2．利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明．[解]解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化．[对点训练]2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c tan C ＝3(a cos B＋b cos A)．(1)求角C；(2)若c＝23，求△ABC面积的最大值．[解](1)∵c tan C＝3(a cos B＋b cos A)，∴sin C tan C＝3(sin A cos B＋sin B cos A)，∴sin C tan C＝3sin(A＋B)＝3sin C，∵0<C<π，∴sin C≠0.∴tan C＝3，∴C＝60°.(2)∵c＝23，C＝60°，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，∴ab≤12，∴S△ABC＝12ab sin C≤33，当且仅当a＝b＝23时，△ABC的面积取得最大值3 3.考向三平面向量与三角函数、解三角形在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[解]破解平面向量与“三角”交汇题的关键3点一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形．[对点训练]3．(2018·沈阳二模)在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n＝(2－sin A，cos A)，若|m ＋n|＝2.(1)求角A的大小．(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．[解](1)∵m＋n＝(2＋cos A－sin A，sin A＋cos A)，∴|m＋n|＝(2＋cos A－sin A)2＋(sin A＋cos A)2，∴4＋22(cos A－sin A)＝4，即cos A＝sin A.∵0<A <π，∴A ＝π4.(2)由已知条件及余弦定理得，a 2＝(42)2＋(2a )2－2·42·2a ·cos π4. 整理得a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝2a ＝8.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12·42·8·sin π4＝16.专题跟踪训练(十七)1．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，且函数的最小正周期为π2.(1)求a 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值． [解] (1)函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π4(a >0)，化简可得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π2＋1＝－3cos2ax ＋sin2ax ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π3＋1， ∵函数的最小正周期为π2，即T ＝π2.由T ＝2π2a ，可得a ＝2，∴a 的值为2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3＋1. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 当4x －π3＝－π3时，函数f (x )取得最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝0，当4x －π3＝π2时，函数f (x )取得最大值为2×1＋1＝3.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为3，最小值为0. 2．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n . (1)求角A 的大小．(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．[解] (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，且m ⊥n ，∴m ·n ＝0. ∴23sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝3sin A －cos A －1＝0，即3sin A －cos A＝1，整理得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. ∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6.∴A －π6＝π6，即A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，∴sin B ＝1－cos 2B ＝63. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423. 3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝ 1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC ＝5.4．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin3A ＋ 3.(1)求A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①， ∵3A ＝2A ＋A ，∴sin3A ＝sin(2A ＋A )＝sin2A cos A ＋cos2A sin A ②，又sin2A ＝2sin A cos A ③，cos2A ＝2cos 2A －1 ④，将①②③④代入已知，得2sin2A cos A ＋3cos A ＝sin2A cos A ＋cos2A sin A ＋3，整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3. (2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形，∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B ＝3tan B ＋1，又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1,4)， ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23.。

高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱

专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===．注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值α0︒ 30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒ 180︒ 270︒360︒π6π4π3π22π3 3π4 5π6 π3π22π sin α12 223213222121-cos α132 221212-22- 32- 1-1tan α3313 不存在3-1- 33-不存在补充：6262sin15cos 75,sin 75cos15,44︒=︒=︒=︒= tan1523,tan 752 3.︒=︒=+二、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=；（3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π+α（k ∈Z ）π+α−απ−α2π−α 2π+α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α−sin α 正切 tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一三角函数的定义【例1】已知角θ的终边经过点(,3)(0)P x x <，且10cos 10x θ=，则x 等于 A ．1-B ．13-C ．3-D ．223-【答案】A【解析】因为角θ的终边经过点(,3)(0)P x x <，所以角θ是第二象限角，所以210cos 109x x x θ==+，求解可得1x =-（正值舍去）.故选A.备考指南1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二象限角的判断【例2】“sin 0α>”是“角α是第一象限角”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B备考指南1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设(0,π)α∈.若25cos 5α=，则tan α= A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】A 【解析】因为25cos 5α=，且(0,π)α∈，所以5sin 5α=,所以sin 1tan cos 2ααα==.故选A ．备考指南1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化． 2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.考点四诱导公式及其应用【例4】点(sin 2019,cos 2019)A 位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C备考指南1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等；常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.考点五三角函数公式的综合应用【例5】已知角,αβ的顶点均为坐标原点，始边均为x 轴的正半轴，若,αβ的终边分别与单位圆相交于,A B两点，且πtan 24α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（1）求tan α的值，并确定点A 所在的象限；（2）若点B 的坐标为34,55⎛⎫-⎪⎝⎭，求()()()()ππsin cos cos cos sin π3sin sin 22cos πcos 3sin sin ααβααβααβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+--的值. 【解析】（1）ππtan tan 44αα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππtantan 44=3ππ1tan tan 44αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭.因为tan 0α<，所以α的终边在第二或第四象限，所以点A 在第二或第四象限. （2）由B 34,55⎛⎫-⎪⎝⎭知4tan 3β=-，则()()()()ππsin cos cos cos sin π3sin sin 22cos πcos 3sin sin ααβααβααβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-- sin cos 3cos sin cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+=-+tan 3tan 13tan tan αβαβ+=-+()433734131333⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫+⨯-⨯- ⎪⎝⎭.备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破 1．已知角π6α-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点P （−5，12），则7πcos(+)12α= A ．B ．7226-C ．226D ．226【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，πsin()6α-=1213，π5cos()613α-=-，∴ =π3πcos[()]64α-+=π3ππ3πcos()cos sin()sin 6464αα---=52122(1313-⨯-72，故选B ．【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2．已知sin 3cos 0αα-=，则3cos 4sin sin cos αααα-=+A ．94-B ．49C ．34D ．3-【答案】A【解析】方法一：因为sin 3cos 0αα-=，所以sin 3cos αα=，所以3cos 4sin 3cos 12cos sin cos 3cos cos αααααααα--==++94-，故选A ．方法二：由sin 3cos 0αα-=，得tan 3α=，所以3cos 4sin 34tan 9sin cos tan 14αααααα--==-++. 【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查. 3．角A 为ABC △的一个内角，若2sin cos 3A A +=，则这个三角形为 A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形． 4．已知26sin θ=，3ππ2θ<<.（1）求cos θ，tan θ的值；（2）求π3π[sin(π)sin()][cos()cos(5π)]22θθθθ+++⋅-+-的值. 【解析】（1）因为3ππ2θ<<，所以cos 0θ<，由于221cos 1sin 25θθ=-=，所以1cos 5θ=-，所以sin tan 26cos θθθ==. （2）原式()()sin cos sin cos θθθθ=-+⋅--.()2222sin cos sin cos θθθθ=--=- 24123252525=-=. 【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换. 高考通关1．（2018北京）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．B ．CDC ．D ．GH【答案】C【解析】由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线. A 选项：当点P 在上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误； B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确； D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.2．已知tan 2α=-，则212sin sin cos 45ααα+的值为 A ．125 B ．257C ．725D ．2517【答案】A 【解析】，∴原式，故选A ．3．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________．【答案】13【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．（2017新课标Ⅰ）已知π(0)2α∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．【答案】31010【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．（2018新课标Ⅱ）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此6．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos65β=-或16cos65β=-.你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。

三角函数突破

１例
在△ABC中，内角A，
B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b=
5c，C=2B，则 cosC等于（）
A. 7 25
B. - 7 25
C. ± 7 25
D. 24 25
破解思路由于等式 “8b=5c”
的两边都是边长的一次方，故可用
正弦定理把边化为角，得到8sinB=
【破解技巧】
（1）求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或三角函数图象来求解．
（2）求解涉及三角函数的值域（最值）的方法：①利用有界性；②转化为 Asin（ωx+φ）+k的形式，再根据单调性求解；③ 运用换元法：令 sinx= （t 或cosx=t），根据角度的范围来确定 t的范围．
， 2 对于第（2）问，代入点 π ，0 求出λ，得 4
， 2 到三角函数表达式 y=2sin 5 x- π 36
%
姨
2
，再根据
x
的取值范围求出函数
f（x）的取值范围.
经典答案（1）由已知得 f（x）=
sin2ωx
-cos2ωx
+2
%姨3源自sinωx·cosωx +
λ
=
-
cos2ωx
+
%
经典答案（1）因为acosC+姨% 3·
asinC－b－c=0，由正弦定理得sinAcosC+
%
姨
3
sinAsinC=sinB+sinC.
又因为B=

2021高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题03三角恒等变换学案理

2021高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题03三角恒等变换学案理知识必备一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且 3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=1cos 2α-±（2）cos2α=1cos 2α+±（3）tan2α=1cos sin 1cos 1cos 1cos sin αααααα--±==++ 【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-.核心考点考点一三角函数式的化简与求值【例1】（三角函数式的化简）()sin47sin17cos30cos17sin20cos10cos160sin10︒-︒︒=︒︒︒-︒︒__________．【答案】1 【解析】()sin47sin17cos30cos17sin20cos10cos160sin10︒-︒︒︒︒︒-︒︒()()sin 3017sin17cos30cos17sin20cos10cos20sin10︒+︒-︒︒=︒︒︒+︒︒sin30cos17cos30sin17sin17cos30cos17sin30︒︒+︒︒-︒︒=︒︒cos17sin301cos17sin30︒︒==︒︒．故答案为1．备考指南1．三角化简、求值的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，专门值与专门角的三角函数互化．2．三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值． 3．在化简时要注意角的取值范畴.【例2】（给角求值）cos75cos15sin 255sin165︒︒-︒︒的值是 A ．12-B ．12C 3D ．0【答案】B【解析】cos75cos15sin255sin165cos75cos15sin(18075)sin(18015)︒︒-︒︒=︒︒-︒+︒︒-︒1cos75cos15sin75sin15cos(7515)cos602=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故选B．备考指南给角求值中一样所给出的角差不多上非专门角，从表面上来看是专门难的，但认真观看会发觉非专门角与专门角之间总有一定的关系．解题时，要利用观看得到的关系，结合公式将非专门角的三角函数转化为专门角的三角函数，从而得解.【例3】（给值求值）“2cos1sin24θθ=-”是“tan2θ=-”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C备考指南已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一样思路：（1）先化简所求式子．（2）观看已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【例4】（给值求角）已知1tan3α=，tan2β=-，090α︒<<︒，90180β︒<<︒，则角αβ+的值为A．45︒B．60︒C．120︒D．135︒【答案】D【解析】∵1tan3α=，tan2β=-，∴()()12tan tan3tan111tan tan123αβαβαβ-++===---⋅-，∵090α︒<<︒，90180β︒<<︒，()90,270,135αβαβ∴+∈∴+=，故选D.备考指南通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范畴是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范畴是(0，π)，则选余弦较好；若角的范畴为ππ(,)22-，则选正弦较好.考点二三角恒等变换的应用【例5】（与三角函数定义的综合应用）如图，点A为单位圆上一点，π4xOA∠=，已知点A沿单位圆按逆时针方向旋转α到点34,55B⎛⎫⎪⎝⎭，则sin2α的值为A．2425B．725C．1225D．1425【答案】B【解析】由题意可得，cos（π4+α）=35，sin（π4+α）=45，α∈（0，π4）．∴cos（π2+2α）=22πcos4α⎛⎫+⎪⎝⎭﹣1=2×925﹣1=﹣725，即﹣sin2α=﹣725，∴sin2α=725，故选B．备考指南1．明白得三角函数定义.2．熟练把握三角恒等变换公式——二倍角公式，以及诱导公式.【例6】（在三角形中的应用）在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan 222222A B B C A C++的值是 . 【答案】1备考指南1．把握三角恒等变换公式的逆用.2．熟悉并经历三角形中隐含条件：三角形内角和为π.【例7】（在三角函数图象与性质中的应用）已知函数23()3cos cos 2f x x x x =++. （1）当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()()212x g x f ωπ=+，若函数()g x 在区间[,]362ππ-上是增函数，求ω的最大值. 【解析】（1）31cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-，∴1sin(2)126x π-≤+≤，∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2）()()sin()22123xg x f x ωωππ=+=++，当[,]36x 2ππ∈-时，2[,]33363x ωωωπππππ+∈-++， ∵()g x 在区间[,]362ππ-上是增函数，且0ω>， ∴2[,][2,2],336322k k k ωωππππππ-++⊆-+π+π∈Z ，即22,3322,632kk k k ωωπππ⎧-+≥-+π∈⎪⎪⎨πππ⎪+≤+π∈⎪⎩Z Z ，化简得53,4112,k k k k ωω⎧≤-∈⎪⎨⎪≤+∈⎩Z Z， ∵0ω>，∴15,1212k k -<<∈Z ， ∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1.备考指南1．熟练应用三角恒等变换公式变形. 2．把握三角函数的图象与性质.【例8】（在解三角形中的应用）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos b A a B c +=，2a b ==，则ABC △的周长为A ．5B ．6C ．7D ．7.5【答案】A【解析】由正弦定理可得sin cos sin cos sin B A A B c C +=，即sin()sin sin A B C c C +==， ∵sin 0C >，∴1c =，故ABC △的周长为1225++=，故选A ．备考指南1．熟练应用三角恒等变换公式变形. 2．把握正、余弦定理.1．若(,)2απ∈π，3cos 2sin()4ααπ=-，则sin 2α的值为A ．1718- B ．1718 C ．118-D ．118【答案】A2．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()5cos 5αβ+=，则cos2β= A ．35B ．23 C ．45D ．210【答案】C【解析】()()()π21,0,0,πcos sin ,255αβαβαβαβ⎛⎫∈∴+∈+=∴+= ⎪⎝⎭，，， 117tan ,sin ,cos 75252ααα=∴==，∴()()()cos cos cos cos sin sin 51010βαβααβααβα=+-=+++== 294cos22cos 121105ββ=-=⨯-=,选C ． 3．设[],0,παβ∈,且满足sin cos cos sin 1αβαβ-=,则()cos 2αβ-的取值范畴为 A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．22,22⎡-⎢⎣⎦【解析】()sin cos cos sin sin 1αβαβαβ-=-=，又[],0,παβ∈，则[]π,παβ-∈-，B ． 4．已知a 为正整数，tan 1lg ,tan lg a a αβ=+=，且4αβπ=+，则当函数()()sin [0,]f x a θθθ=∈π取得最大值时，θ=___________．【答案】56π 【解析】由条件知π4αβ-=，则由()tan 1αβ-=，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+＝()()1lg lg 111lg lg a a a a +-=++，即()1lg lg 0a a +=，解得1a =或110a =（舍去），则()sin 2sin 3f x θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．因为[0,π]θ∈，因此2[,]333θπππ-∈-，则当32θππ-=，即56θπ=时，函数()f x 取得最大值．5．设(0,)3απ∈αα+=（1）求cos()6απ+的值；（2）求cos(2)12απ+的值.【解析】（1αα=∴sin()64απ+=， ∵(0,)3απ∈， ∴(,)662απππ+∈，∴cos()64απ+=.（2）由（1）可得：221cos(2)2cos ()12(13644ααππ+=+-=⨯-=，∵(0,)3απ∈， ∴2(,)33αππ+∈π， ∴15sin(2)34απ+=. ∴302cos(2)cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 123434348ααααπππππππ++=+-=+++=. 高考通关1．（2021新课标Ⅱ理）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D【名师点睛】关于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一样表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一样与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 2．（2021新课标Ⅲ理）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】方法一：由tan α=,cos 2α+sin 2α=1,得或,则sin 2α=2sin αcosα=,则cos 2α+2sin 2α=+.方法二：cos 2α+2sin 2α=2222cos 4sin cos 14tan 13649cos sin 1tan 25116ααααααα+++===+++.故选A ．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非专门角向专门角转化，通过相消或相约消去非专门角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．（2021北京理）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．（2020新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【答案】【解析】因为，，因此，因此5．（2021四川理）cos 2π8–sin 2π8= . 【答案】22【解析】由三角函数的半角公式得，22ππcos sin 88-=ππ1cos 1cos π44cos 224+--== 【名师点睛】本题也能够看作来自于课本的题，直截了当利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题差不多上通过三角函数公式把一样的三角函数求值转化为专门角的三角函数求值而得解．6．（2021浙江理）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，因此 1.A b =【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对比()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．7．（2020江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，因此4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，因此29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，因此(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+= 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，因此22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非专门角的三角函数转化为专门角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一样有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范畴，进而确定角．你都把握了吗？有哪些问题？整理一下！。

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π ，3 －
＋
π ＝
π π ＋6＋2 3 ，f 3 ＝ 3 ＋1， 6
π (θ)∈2，
＋6＋2 3 . 6 ＋6＋2 3 (单位：km). 6
π 故所需渔网长度的取值范围是2，
【训练2】 (2017· 徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC
(2)设渔网的长度为 f (θ).
2 3 π 由(1)可知，f (θ)＝θ＋1＋ 3 sin －θ ， 3 2 3 π 所以 f ′(θ)＝1－ cos －θ ， 3 3
因为
π θ∈0， 3
π ，所以 3
π －θ∈0， 3
AB AC 由正弦定理sin C＝sin B，得 1 260 4 AC AB＝sin B·sin C＝ 63 ×5＝1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了 (100＋50t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 12 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×13 ＝200(37t2－70t＋50)，
500 710 1 250 625 由题意得－3≤ v － 50 ≤3，解得 43 ≤v≤ 14 ，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分
1 250 625 钟，乙步行的速度应控制在 43 ， 14 (单位：m/min)
范围内.
探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是
.
令 f ′(θ)＝0，得
π cos3－θ＝
3 ， 2
π π π 所以 3 －θ＝ 6 ，即 θ＝ 6 .
列表如下： θ f ′(θ) f (θ) 且 f (0)＝2，f 所以 f
π 6 π 0， 6
π 6 0 极大值
π 6
＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将
绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图1，若E为CD的中点，F 在边界AB上，求灌溉水管EF 的长度；
(2)如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.
Hale Waihona Puke 解 (1)因为 AD＝DC＝2， BC＝1， ∠ABC＝∠BAD＝90°，所以 AB＝ 3. 3 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，则 EG＝2，
(1)求索道 AB 的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解 12 3 (1)在△ABC 中，因为 cos A＝，cos C＝， 13 5
5 4 所以 sin A＝13，sin C＝5. 从而 sin B＝sin[π －(A＋C)]＝sin(A＋C) 5 3 12 4 63 ＝sin Acos C＋cos Asin C＝13×5＋13×5＝65.
实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.
【训练 1】如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸 OA ︵与 OB 为半径的扇形湖面 AOB.现欲在AB上取不同于 A，︵︵︵ B 的点 C，用渔网沿着AC(AC在扇形 AOB 的AB上)、半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA＝1 km， π ∠AOB＝，∠AOC＝θ. 3
(1)用 θ 表示 CD 的长度；︵ (2)求所需渔网长度(即图中AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和) 的取值范围.
π 解 (1)由 CD∥OA，∠AOB＝ 3 ，∠AOC＝θ， 2π π 得∠OCD＝θ，∠ODC＝ 3 ，∠COD＝ 3 －θ. 在△OCD 中，由正弦定理，
π 2 3 π 得 CD＝ 3 sin －θ，θ ∈0， . 3 3
微点突破
三角函数、解三角形中的实际应用问题
【例】 (2013· 江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 12 3 1 260 m，经测量，cos A＝13，cos C＝5.
1 040 因 0≤t≤ ，即 0≤t≤8， 130 35 故当 t＝37(min)时，甲、乙两游客距离最短. BC AC (3)由正弦定理＝， sin A sin B 1 260 5 AC 得 BC＝ · sin A＝ × ＝500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时，甲已走了 50× (2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min，
则四边形 BCEF 的面积为 1 2S 梯形 ABCD＝S 梯形 BCEG＋S△EFG，
1 1 1 3 3 1 3 即2×2× 3×(1＋2)＝2× 2 ×1＋2＋2×GF×2，解 3 得 GF＝ 6 ，所以 EF＝ EG ＋GF ＝ 21 ＝ (km). 3 21 答：灌溉水管 EF 的长度为 3 km.