导数构造函数13种题型(解析版)

合集下载

专题01 函数与导数之构造函数(解析版)

专题01 构造函数一、考情分析函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。

题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。

构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。

二、经验分享（常见函数构造类型）（1）.常见函数的变形1. 对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()b kx x f x g +-=.2. 对于不等式()()0'>+x f x xf ，构造函数()()x xf x g =3. 对于不等式()()0'>-x f x xf ，构造函数()()xx f x g =()0≠x 4. 对于不等式()()0'>+x nf x xf ，构造函数())(x f x x g n=5. 对于不等式()()0'>-x nf x xf ，构造函数()n x x f x g )(=6. 对于不等式()()0'>-x f x f ，构造函数()x e)(x f x g =7. 对于不等式()()0'>+x f x f ，构造函数())(x f e x g x=8. 对于不等式()()0'>+x kf x f ，构造函数())(x f e x g kx = （2）.双变量函数的变形1.形如()b a f f ab ⎛⎫⎪⎝⎭或的函数，构造函数，令b a t t a b ==或者，求(t)f ； 2.对于(x)f ,形如1212(x )(x )f f x x --的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；3.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值 .三、题型分析(一) 与圆锥曲线（双参数）有关的构造函数例1.【四川省成都市2019届高三第一次诊断性考试，理科，12】设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（） A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -，点P 在双曲线上，得()01220220>>=+b a bya x C ：，220222)(a x a b y -=，所以a x y m +=00，a x y m -=00，化简,22a b mn -= 原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222 所以设1>=b a t ，构造函数t t t t t f ln 63232)(23++-=，求导可以得到： 2t = 时，函数取得最小值=)2(f ，2=ba，23=e 。

高考数学导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造f x =ln xx比较大小此函数定义域为0,+∞，求导f x =1−ln xx2，当x∈0,e时，f x >0，故f x 为增函数，当x∈e,+∞时，f x <0，故f x 为减函数，当x=e时，f x 取得极大值为f e =1e，且f4 =ln44=2ln2 4=ln22=f2 ，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】(2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习)若a=1e,b=ln22,c=ln33，则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c 【答案】A【解析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数f x =ln xx，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：a=1e=ln ee,b=ln22=ln44,c=ln33，设f x =ln xx,f x =1-ln xx2，则x>e时，fx <0，故f x 在e,+∞上单调递减，则f e >f3 >f4 ，即ln ee>ln33>ln44，所以a>c>b．故选：A.【例2】(2023·全国·高三专题练习)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=1e，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a 【答案】C【解析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数f x =ln xx,然后结合导数与单调性关系分析出x=e时,函数取得最大值f e =1e,可得c最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当x>e时,f x <0,函数单调递减,当0<x<e时,f x >0,函数单调递增,故当x=e时,函数取得最大值f e =1 e,因为a=22-ln2e2=ln e22e22=f e22,b=ln22=ln44=f4 ,c=1e=f e ,∵e<e22<4,当x>e时,f x <0,函数单调递减,可得f4 <fe22<f e ,即b<a<c.故选:C【例3】(2022·吉林·高二期末)下列命题为真命题的个数是( )①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2>42．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题首先可以构造函数f x =ln xx，然后通过导数计算出函数f x =ln xx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f x =ln xx的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，x>e时，f x <0，所以函数f x =ln xx在0,e上递增，在e,+∞上递减，所以当x=e时f x 取得最大值1 e，ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33<ln22，由3<2<e可得f3<f2 ，故①正确；lnπ<πe⇔lnππ<ln ee，由e<π<e，可得f e<fπ，故②错误；215<15⇔15ln2<ln15⇔ln22<ln1515⇔ln44<ln1515，因为函数f x =ln xx在e,+∞上递减，所以f4 <f15，故③正确；因为22>e，所以f22<f e ，即ln2222<ln e e，即3ln222<1e，则3e ln2<22，即3e ln2<42，故④错误，综上所述，有2个正确.故选：B．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】(2021·陕西汉中·高二期末(理))已知a，b，c均为区间0,e内的实数，且a ln5=5ln a，b ln6= 6ln b，c ln7=7ln c，则a，b，c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0，函数F(x)在0,e上单调递增，当x>e时，f x <0，函数f x 在e,+∞上单调递减，因为7>6>5>e，所以f7 <f6 <f5 ，因为a，b，c均为区间0,e内的实数，且ln55=ln aa，ln66=ln bb，ln77=ln cc，所以f a >f b >f c ，所以a>b>c，故选：B.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))设a=ln28，b=1e2，c=ln612，则( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<ae>6>e，所以a<b<c．故选：B．【题型专练】1.(2022·四川省资阳中学高二期末(理))若a=ln22,b=1e,c=2ln39，则( )A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b【答案】A【解析】令f x =ln xx，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a、c，即可得解；【详解】解：令f x =ln xx，则f x =1-ln xx2，所以当0<x<e时fx >0，当x>e时f x <0，所以f x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以f x max=f e =ln ee=1e，所以1e>ln22又ln22-2ln39=9ln2-4ln318=ln29-ln3418=ln512-ln9118>0所以ln22>2ln39，即b>a>c.故选：A2.(2022·浙江台州·高二期末)设a=4-ln4e2，b=ln22，c=ln33，则( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a 【答案】B【解析】由题设a=ln e22e22，b=ln44，c=ln33，构造f(x)=ln xx并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.由题设，a =4-ln4e 2=ln e22e22，b =ln22=ln44，c =ln 33=ln33，令f (x )=ln x x 且x >0，可得f (x )=1-ln xx 2，所以f (x )>0有0<x <e ，则(0,e )上f (x )递增；f (x )<0有x >e ，则(e ,+∞)上f (x )递减；又4>e 22>3>e ，故c >a >b .故选：B3.(2022·四川广安·模拟预测(理))在给出的(1)e ⋅ln3>3(2)e 43ln3<4(3)e π>πe .三个不等式中，正确的个数为( )A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】根据题目特点，构造函数f x =ln x x ，则可根据函数f x =ln xx的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数f x =ln xx，则f x =1-ln xx 2，令f x >0,解得0<x <e ，令f x <0,解得x >e ，故f x =ln xx在区间0,e 上单调递增，在区间e ,+∞ 单调递减，所以，(1)f e <f 3 ，即ln e e <ln 33，即e ⋅ln3>3，则正确；(2)f e 43<f 3 ，即ln e43e 43<ln33，即e 43⋅ln3>4，则错误；(3)f e >f π ，即ln e e >lnππ⇒πln e >e lnπ⇒ln e π>lnπe ，所以，e π>πe ，则正确故选：C .4.(2022·四川资阳·高二期末(文))若a =ln33，b =1e ，c =3ln28，则( )A.b >a >cB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b【解析】设函数f(x)=ln xx,(x>0)，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设f(x)=ln xx,(x>0)，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f (x)>0，f(x)递增，当x>e时，f (x)<0，f(x)递减，当x=e时，函数取得最小值，由于e<3<8 ，故ln ee>ln33>ln88，即b>a>c，故选：A5.(2022·山东日照·高二期末)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，33，e e，eπ，π3，3π，πe八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】 e e 3π【解析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数f x =ln xx的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e.∵函数y=3x是增函数，且e<3<π，∴3e<33<3π；函数y=e x是增函数，且e<3<π，e e<e3<eπ；函数y=πx是增函数，且e<3<π，πe<π3；函数y=x e在0,+∞是增函数，且e<3<π，e e<3e<πe，则八个数中最小的数是e e 函数y=xπ在0,+∞是增函数，且e<3，eπ<3π，八个数中最大的数为π3或3π，构造函数f x =ln x x，求导得f x =1-ln xx2，当x∈e,+∞时f x <0，函数f x 在e,+∞是减函数，f3 >fπ ，即ln33>lnππ，即πln3>3lnπ，即ln3π>lnπ3，∴3π>π3，则八个数中最大的数是3π.故答案为：e e；3π．6.(2022·安徽省宣城中学高二期末)设a=4-ln4e2,b=1e,c=ln2，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【答案】D设f(x)=ln xx(x>0)，利用导数求得f(x)的单调性和最值，化简可得a=fe22，b=f(e)，c=f(2)，根据函数解析式，可得f(4)=ln44=f(2)且e<e22<4，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设f(x)=ln xx(x>0)，则f (x)=1x⋅x-ln xx2=1-ln xx2，当x∈(0,e)时，f (x)>0，则f(x)为单调递增函数，当x∈(e,+∞)时，f (x)<0，则f(x)为单调递减函数，所以f(x)max=f(e)=1 e，又a=4-ln4e2=2(ln e2-ln2)e2=ln e22e22=f e22，b=1e=f(e)，c=ln2=12ln2=f(2)，又f(4)=ln44=ln224=ln22=f(2)，e<e22<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(2)=f(4)<fe22 ，所以b>a>c.故选：D7.(2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末)已知实数a，b，c满足ln ae a=ln b b=-ln c c<0，则a，b，c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】判断出0<a<1,0<b<1,c>1，构造函数f(x)=ln xx,(x>0)，判断0<x<1时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.【详解】由ln ae a=ln b b=-ln c c<0，得0<a<1,0<b<1,c>1 ，设f(x)=ln xx,(x>0) ，则f (x)=1-ln xx2，当0<x<1时，f (x)>0，f(x)单调递增，因为0<a<1，所以e a>1>a，所以ln a e a >ln a a ，故ln a ea =lnb b >ln aa ，∴fb >f a ，则b >a ，即有0<a 0，所以f x 为增函数，所以当x =0时，f x 取得最小值为f 0 =0，所以f x ≥0，即e x ≥x +1 2.常见的对数放缩：1−1x ≤ln x ≤x −1(x =1);ln x ≤xe(x =e )3.常见三角函数的放缩：x ∈0,π2,sin x <x <tan x 【例1】(2022·湖北武汉·高二期末)设a =4104，b =ln1.04，c =e 0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a >b >c B.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【答案】D 【解析】分别令f x =e x -1-x x >0 、g x =ln 1+x -x x >0 、h x =ln 1+x -x1+xx >0 ，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x -1-x x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x -1>x ，则e 0.04-1>0.04；令g x =ln 1+x -x x >0 ，则g x =11+x -1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即ln 1+x <x ，则ln1.04<0.04；∴e 0.04-1>ln1.04，即c >b ；令h x =ln 1+x -x 1+x x >0 ，则h x =11+x -11+x 2=x 1+x2>0，∴h x 在0,+∞ 上的单调递增，∴h x >h 0 =0，即ln 1+x >x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b >a ；综上所述：c >b >a .故选：D .【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】(2022·山东菏泽·高二期末)已知a=910，b=e-19，c=1+ln1011，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<ax+1x≠0，从而得到1b>1a，设g x =ln x-x+1，利用导数得到ln x<x-1x≠1，从而得到ln 1110<110和c>a，即可得到答案.【详解】解：设f x =e x-x-1，f x =e x-1，令f x =0，解得x=0. x∈-∞,0，f x <0，f x 单调递减，x∈0,+∞，f x >0，f x 单调递增.所以f x ≥f0 =0，即e x-x-1≥0，当且仅当x=0时取等号.所以e x>x+1x≠0.又1b=e19>19+1=109=1a，a>0,b>0，故1b>1a，所以b<a；设g x =ln x-x+1，g x =1x-1=1-xx，令g x =0，解得x=1.x∈0,1，g x >0，g x 单调递增，x∈1,+∞，g x <0，g x 单调递减.所以g x ≤g1 =0，即ln x-x+1≤0，当且仅当x=1时取等号.所以ln x<x-1x≠1，故ln 1110<1110-1=110，又c-a=ln 1011+110>ln1011+ln1110=ln1=0，所以c>a，故b<a<c.故选：B.【例3】(2022·四川凉山·高二期末(文))已知a=e0.01，b=1.01，c=1-ln 100101，则( )．A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c 【答案】C【解析】构造函数f(x)=e x-1-x，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设f(x)=e x-1-x，则f (x)=e x-1>0，在x>0时恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以e x-1-x>f(0)=0，即e x>1+x，x>0，∴e0.01>1.01，又ln1.01>0，∴e ln1.01>1+ln1.01，即1.01>1-ln100101，所以a>b>c．故选：C．【例4】(2022·四川绵阳·高二期末(理))若a=ln 87，b=18,c=ln76，则( )A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c 【答案】D【解析】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，利用导数分析函数f x 的单调性，可比较得出a、b的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数f x =ln x+1x-1，其中x>1，则f x =1x-1x2=x-1x2>0，所以，函数f x 在1,+∞上为增函数，故f x >f1 =0，则f 87 =ln87+78-1=ln87-18>0，即a>b，∵ln76>ln87，因此，b<a<c.故选：D.【例5】(2022·全国·高考真题(理))已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 【答案】A【解析】由cb=4tan14结合三角函数的性质可得c>b；构造函数f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，利用导数可得b>a，即可得解.【详解】因为cb=4tan14,因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x所以tan 14>14,即cb>1,所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f 14 >f(0)=0,所以cos14-3132>0，所以b>a,所以c>b>a，故选：A【题型专练】1.(2022·福建·莆田一中高二期末)设a=ln1.01，b=1.0130e，c=1101，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，证明ln x≤x-1，令x=1.01，排除选项A,B,再比较a,b大小，即得解.【详解】解：构造函数f x =ln x-x+1(x>0)，f1 =0，f x =1x-1=1-xx，所以f x 在0,1上f x >0，f x 单调递增，f x 在1,+∞上f x <0，f x 单调递减，所以f (x)max=f(1)=0,∴ln x-x+1≤0,∴ln x≤x-1，令x=1.01，则 a=ln x，b=x30e，c=1-1x，考虑到ln x≤x-1，可得ln1x≤1x-1，-ln x≥1-1x等号当且仅当 x=1时取到，故x=1.01时a>c，排除选项A，B.下面比较a,b大小，由ln x≤x-1得ln1.01<1.01<1.0130e，故b>a，所以c<a<b.故选：D.2.(2022·吉林·长春市第二中学高二期末)已知a=cos15，b=4950，c=5sin15，则( )A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b 【答案】D【解析】构造函数f(x)=cos x+12x2-1，利用导数求解函数f(x)的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设f(x)=cos x+12x2-1,(0<x<1)，则f (x)=x-sin x，设g(x)=x-sin x,(0<x<1)，则g (x)=1-cos x>0，故g(x)在区间(0,1)上单调递增，即g(x)>g(0)=0，即f (x)>0，故f(x)在区间(0,1)上单调递增，所以f 15 >f(0)=0，可得cos15>4950，故a>b，利用三角函数线可得x∈0,π2时，tan x>x，所以tan 15>15，即sin15cos15>15，所以5sin 15>cos15，故c>a综上，c>a>b故选：D.3.(2022·湖北武汉·高二期末)设a=4104，b=ln1.04，c=e0.04-1，则下列关系正确的是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】分别令f x =e x-1-x x>0、g x =ln1+x-x x>0、h x =ln1+x-x1+x x>0，利用导数可求得f x >0，g x <0，h x >0，由此可得大小关系.【详解】令f x =e x-1-x x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴f x >f0 =0，即e x-1>x，则e0.04-1>0.04；令g x =ln1+x-x x>0，则g x =11+x-1=-x1+x<0，∴g x 在0,+∞上单调递减，∴g x <g0 =0，即ln1+x<x，则ln1.04<0.04；∴e0.04-1>ln1.04，即c>b；令h x =ln1+x-x1+x x>0，则h x =11+x-11+x2=x1+x2>0，∴h x 在0,+∞上的单调递增，∴h x >h0 =0，即ln1+x>x1+x，则ln1.04>0.041.04=4104，即b>a；综上所述：c>b>a.故选：D.题型三：构造其它函数比大小(研究给出数据结构，合理构造函数)【例1】(2022·河南河南·高二期末(理))已知a-12=ln2a，b-13=ln3b，c-e=lnce，其中a≠12，b≠13，c≠e，则a，b，c的大小关系为( )．A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b【答案】A 【解析】构造函数f x =x -ln x x >0 ，并求f x ，利用函数f x 的图象去比较a 、b 、c 三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得a -ln a =12-ln 12，b -ln b =13-ln 13，c -ln c =e -ln e ，构造函数f x =x -ln x x >0 ，f x =1-1x =x -1x，令f x =0，得x =1，所以f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，函数f x 的大致图象如图所示．因为f a =f 12，f b =f 13 ，f c =f e ，且a ≠12，b ≠13，c ≠e ，则由图可知b >a >1，0<c <1，所以c <a a >c B.c >a >bC.a >c >bD.a >b >c【答案】D 【解析】可判断a =e 1.01>2，b =3e <2，c =ln3<2，再令f (x )=ln x -x e ，x ∈[e ，+∞)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解：a =e 1.01>2，b =3e<2，c =ln3<2，令f (x )=ln x -x e，x ∈[e ，+∞)，f (x )=1x -1e =e -xex <0，故f (x )在[e ，+∞)上是减函数，故f 3 <f e ，即ln3-3e <0，故ln3<3e <e 1.01，即c a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【解析】根据给定条件构造函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数f(x)=ln xx-1(x≥e)，求导得f (x)=1-ln x-1xx-12，令g x =1-ln x-1x，则g x =1-xx2<0,(x≥e)，故g x =1-ln x-1x，(x≥e)单调递减，又g1 =1-ln1-11=0，故g x <0,(x≥e)，即f (x)<0,(x≥e)，而e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)，即1e-1>ln32>ln43，所以b>a>c，故选：A【例4】(山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题)设a=110，b=ln1.1，c=e-910，则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】D【解析】利用指数函数的性质可比较a,c的大小，再构造函数f(x)=x-ln(1+x)，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出a,b，从而可比较出三个数的大小【详解】因为y=e x在R上为增函数，且-1<-9 10，所以e-1<e-910，因为110<e-1，所以110<e-910，即a<c，令f(x)=x-ln(1+x)(x>0)，得f (x)=1-11+x=x1+x>0，所以f(x)在(0,+∞)上递增，所以f(x)>f(0)=0，所以x>ln(1+x)，令x=0.1，则0.1>ln1.1，即110>ln1.1，即a>b，所以b<a<c，故选：D【例5】(2022·四川南充·高二期末(理))设a=0.01e0.01，b=199，c=-ln0.99，则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.a<c0,t>0，则ln y-ln t=ln x+x-[ln x-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，令f(x)=x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，求导得f (x)=1+1x-1=xx-1<0，即f(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，f(x)<f(0)=0，即ln y<ln t⇔y<t，因此当x∈(0,2-1)时，xe x<x1-x，取x=0.01，则有a=0.01e0.01<0.011-0.01=199=b，令g(x)=y-u=xe x+ln(1-x)，x∈(0,2-1)，g (x)=(x+1)e x+1x-1=(x2-1)e x+1x-1，令h(x)=(x2-1)e x+1，x∈(0,2-1)，h (x)=(x2+2x-1)e x<0，h(x)在(0,2-1)上单调递减，∀x∈(0,2-1)，h(x)<h(0)=0，有g (x)>0，则g(x)在(0,2-1)上单调递增，∀x∈(0,2-1)，g(x)>g(0)=0，因此当x∈(0,2-1)时，xe x>-ln(1-x)，取x=0.01，则有a=0.01e0.01>-ln(1-0.01)=-ln0.99=c，所以c<a<b.故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.3π，b=0.9π2，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系正确的是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c 【答案】B【解析】作差法比较出a>b，构造函数，利用函数单调性比较出c>a，从而得出c>a>b.【详解】a-b=0.3π-0.9π2=0.3π-0.9π2>0.3×3-0.9π2=0，所以a-b>0，故a>b，又f x =πsin x-3x，则f x =πcos x-3在x∈0,π6上单调递减，又f 0 =π-3>0，f π6 =3π2-3<0，所以存在x0∈0,π6，使得f x0 =0，且在x∈0,x0时，f x >0，在x∈x0,π6时，f x <0，即f x =πsin x-3x在x∈0,x0上单调递增，在x∈x0,π6单调递减，且f π12 =6+24π-3>0，所以x0>π12，又因为f0 =0，所以当x∈0,x0时，f x =πsin x-3x>0，其中因为110<π12，所以110∈0,x0，所以f110=πsin0.1-0.3>0，故sin0.1>0.3π，即c>a>b.故选：B【例7】(2022·河南洛阳·三模(理))已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】构造函数f x =18-xln x，x≥8，求其单调性，从而判断a，b，c的大小关系.【详解】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】(2022·河南·模拟预测(理))若a=e0.2，b= 1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【答案】B【解析】构造函数f x =e x-x-1x>0，利用导数可得a=e0.2>1.2>b，进而可得e1.2>3.2，可得a>c，再利用函数g x =ln x-2x-1x+1，可得ln3.2>1.1，即得.【详解】令f x =e x-x-1x>0，则f x =e x-1>0，∴f x 在0,+∞上单调递增，∴a=e0.2>0.2+1=1.2> 1.2=b，a=e0.2>1.2=ln e1.2，c=ln3.2，∵e1.25=e6> 2.76≈387.4,3.25≈335.5，∴e1.2>3.2，故a>c，设g x =ln x-2x-1x+1，则g x =1x-2x+1-2xx+12=x-12x x+12≥0，所以函数在0,+∞上单调递增，由g1 =0，所以x>1时，g x >0，即ln x>2x-1x+1，∴ln3.2=ln2+ln1.6>22-12+1+21.6-11.6+1=1539>1550=1.1，又1<1.2<1.21,1<b= 1.2<1.1，∴c>1.1>b，故a>c>b.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式e x>x+1x>0与ln x>2x-1x+1(x>1)进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1.(2022·山东烟台·高二期末)设a=0.9，b=0.9，c=ln910e，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】B【解析】构造函数f(x)=x-ln x-1，g(x)=x-x，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.【详解】令f(x)=x-ln x-1，因为f (x)=1-1x=x-1x所以，当0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，所以f (0.9)=0.9-ln0.9-1>f (1)=0，即0.9>ln0.9+1=ln 910e，a >c ；令g (x )=x -x ，因为g (x )=1-12x=2x -12x所以，当14<x <1时，g (x )>0，g (x )单调递增，所以g (0.9)<g (1)，即0.9-0.9<0，0.9<0.9，即a b >a B.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b【答案】C 【解析】构造函数得出a ,b 大小，又c <0即得出结论.【详解】构造函数f x =2ln x -2x -1 =2ln x -x +1 ，则a -b =f π3，f x =21x-1<0在1,+∞ 上恒成立，则y =f x 在1,+∞ 上单调递减，故a -b =f π3<f 1 =0，则b >a >0，π3=1+x x >0 ，则1+x -1=π-33>0.123=0.04，由对于函数g x =sin x -x 0<x <π2 ，g x =cos x -1<0,0<x <π2恒成立，所以， g x =sin x -x <g 0 =0即sin x <x 在0,π2上恒成立.所以，sin0.04-121+x -1<sin x -121+x -1=sin x -12x <x -12x =x x -12 <0(注：0.04<x <0.09,0.2<x <0.3<0.5)所以，b >a >c 故选：C3.(2022·湖北襄阳·高二期末)设a =34e 25，b =25e 34，c =35，则( )A.b <c <a B.a f 34，即可判断出a>b.记g x =e x-2x,0<x<1，推理判断出b>c.【详解】a b=34e2525e34=e2525e3434.记f x =e xx,0<x<1，则f x =e x x-1x2<0，所以f x =e x x在0,1上单调递减.所以f 25 >f34 ，所以a>b.b-c=25e34-35=25e34-2×34.记g x =e x-2x,0<x<1，则g x =e x-2.所以在x∈0,ln2上，g x <0，则g x 单调递减；在x∈ln2,1上，g x >0，则g x 单调递增；所以g x min=g ln2=e ln2-2×ln2=21-ln2>0，所以g 34 >g x min>0，即b-c=25e34-2×34>0.所以b>c.综上所述：c<b<a.故选：C4.(2022·福建宁德·高二期末)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )A.e a-e b<ln a-ln bB.b ln a<a ln bC.b a>e a-bD.sin a-sin ba-b<1【答案】D【解析】由题设有a>b>0，分别构造y=e x-ln x、y=ln xx、y=xe x、y=x-sin x，利用导数研究在x∈(0,+∞)上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由2a>2b>1，即a>b>0，A：若y=e x-ln x且x∈(0,+∞)，则y =e x-1x，故yx=12=e-2<0，yx=1=e-1>0，即y 在12,1上存在零点且y 在(0,+∞)上递增，所以y在(0,+∞)上不单调，则e a-ln a<e b-ln b不一定成立，排除；B：若y=ln x x且x∈(0,+∞)，则y =1-ln xx2，所以(0,e)上y >0，y递增；(e,+∞)上y <0，y递减；故y在(0,+∞)上不单调，则ln aa<ln bb不一定成立，排除；C：若y=xe x且x∈(0,+∞)，则y =e x(x+1)>0，即y在(0,+∞)上递增，所以ae a>be b，即ba<e a-b，排除；D：若y=x-sin x且x∈(0,+∞)，则y =1-cos x≥0，即y在(0,+∞)上递增，所以a-sin a>b-sin b，即sin a-sin ba-b<1，正确.故选：D5.(2022·贵州贵阳·高二期末(理))设a=e1.01，b=3e，c=ln3，则a，b，c的大小关系是( )A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】分析可得a>2，b∈(1,2)，c∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，利用导数可得f(x)的单调性，根据函数单调性，可比较ln3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得a=e1.01>e1>2，b=3e∈(1,2)，c=ln3∈(1,2)，令f(x)=ln x-xe,x∈[e,+∞)，则f (x)=1x-1e=e-xxe≤0，所以f(x)在[e,+∞)为减函数，所以f(3)<f(e)，即ln3-3e<ln e-ee=0，所以ln3<3e，则e1.01>3e>ln3，即a>b>c.故选：D6.(2022·重庆南开中学高二期末)已知a=65ln1.2，b=0.2e0.2，c=13，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】A【解析】b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，令f x =x ln x，利用导数求出函数f x 的单调区间，令g x =e x-x-1，利用导数求出函数g x 的单调区间，从而可得出e0.2和1.2的大小，从而可得出a,b的大小关系，将b,c两边同时取对数，然后作差，从而可得出b,c的大小关系，即可得出结论.【详解】解：b=0.2e0.2=e0.2ln e0.2，a=65ln1.2=1.2ln1.2，令f x =x ln x，则f x =ln x+1，当0<x<1e时，f x <0，当x>1e时，f x >0，所以函数f x 在0,1 e上递减，在1e,+∞上递增，令g x =e x-x-1，则g x =e x-1，当x<0时，g x <0，当x>0时，g x >0，所以函数g x 在-∞,0上递减，在0,+∞上递增，所以g0.2>g0 =0，即e0.2>1+0.2=1.2>1 e，所以f e0.2>f1.2，即e0.2ln e0.2>1.2ln1.2，所以b>a，由b=0.2e0.2，得ln b=ln0.2e0.2=15+ln15，由c=13，得ln c=ln13，ln c-ln b=ln13-ln15-15=ln53-15，因为535=625×5243>10>e，所以53>e15，所以ln53>15，所以ln c-ln b>0，即ln c>ln b，所以c>b，综上所述a<b<c.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.(2022·湖北恩施·高二期末多选)已知a2-14=2ln2a>0，b2-1e2-2=2ln b>0，c2-13=ln3c2> 0，则( )A.c<bB.b<aC.c<aD.b<c【答案】AC【解析】根据题意可将式子变形为a2-ln a2=14-ln14，b2-ln b2=1e2-ln1e2，c2-ln c2=13-ln13，构造函数f x =x-ln x，利用导数求解函数f x 的单调性，即可求解.【详解】解：由题意知，a>12,b>1,c2>13，对三个式子变形可得a2-ln a2=14-ln14，b2-ln b2=1e2-ln1e2，c2-ln c2=13-ln13，设函数f x =x-ln x，则f x =1-1x=x-1x.由f x >0，得x>1；由f x <0，得0<x<1,则f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，因为0<1e2<14<13<1，所以b2>a2>c2,所以c<a<b.故选：AC.8.(2022·安徽·歙县教研室高二期末)已知x、y、z∈(0，1)，且满足e2x=2e x，e3y=3e y，e4z=4e z，则( )A.x<y<zB.x<z<yC.z<y<xD.z<x<y【答案】C【解析】先对已知条件取对数后得到ln x-x=ln2-2，ln y-y=ln3-3，ln z-z=ln4-4.根据式子结构，构造函数m x =ln x-x，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由e2x=2e x得2+ln x=ln2+x,即ln x-x=ln2-2.同理得：ln y-y=ln3-3，ln z-z=ln4-4.令m x =ln x-x,则m x =1x-1=1-xx.故m x 在0,1上单调递增，(1，+∞)上单调递减.所以z<y<x.故选：C.。

专题18构造函数法解决导数问题(解析版)

专题18 构造函数法解决导数问题1．以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x )”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．2．(1)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x )±g ′(x )”时，不妨联想、逆用“f ′(x )±g ′(x )＝[f (x )±g (x )]′”．构造可导函数y ＝f (x )±g (x )，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题． (2)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )”时，可联想、逆用“f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′”，构造可导函数y ＝f (x )g (x )，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．(3)当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )”时，可联想、逆用“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＝⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′”，构造可导函数y ＝f (x )g (x )，再利用该函数的性质巧妙地解决问题． 3．构造函数解决导数问题常用模型(1)条件：f ′(x )>a (a ≠0)：构造函数：h (x )＝f (x )－ax . (2)条件：f ′(x )±g ′(x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )±g (x )． (3)条件：f ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝e x f (x )． (4)条件：f ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )e x .(5)条件：xf ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝xf (x )． (6)条件：xf ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )x.题型一构造y ＝f (x )±g (x )型可导函数1．设奇函数f (x )是R 上的可导函数，当x >0时有f ′(x )＋cos x <0，则当x ≤0时，有()A ．f (x )＋sin x ≥f (0)B ．f (x )＋sin x ≤f (0)C ．f (x )－sin x ≥f (0)D ．f (x )－sin x ≤f (0)解析：观察条件中“f ′(x )＋cos x ”与选项中的式子“f (x )＋sin x ”，发现二者之间是导函数与原函数之间的关系，于是不妨令F (x )＝f (x )＋sin x ，因为当x >0时，f ′(x )＋cos x <0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减，又F (－x )＝f (－x )＋sin(－x )＝－[f (x )＋sin x ]＝－F (x )，所以F (x )是R 上的奇函数，且F (x )在(－∞，0)上单调递减，F (0)＝0，并且当x ≤0时有F (x )≥F (0)，即f (x )＋sin x ≥f (0)＋sin 0＝f (0)，故选A.2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论一定错误的是()A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1解析：根据条件式f ′(x )>k 得f ′(x )－k >0，可以构造F (x )＝f (x )－kx ，因为F ′(x )＝f ′(x )－k >0，所以F (x )在R 上单调递增．又因为k >1，所以1k －1>0，从而F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)，即f ⎝⎛⎭⎫1k －1－kk －1>－1，移项、整理得f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1，因此选项C 是错误的，故选C.3．已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对于任意x ∈R ，都有f ′(x )＋2>0，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log2|3x－1|的解集为()A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：根据条件中“f ′(x )＋2”的特征，可以构造F (x )＝f (x )＋2x ，则F ′(x )＝f ′(x )＋2>0，故F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，因为由f (log 2|3x －1|)<3－log2|3x－1|可化为f (log 2|3x －1|)＋2log 2|3x －1|<3，令t ＝log 2|3x －1|，则f (t )＋2t <3.即F (t )<F (1)，所以t <1.即log 2|3x －1|<1，从而0<|3x －1|<2，解得x <1且x ≠0，故选A.4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝2，f ′(x )<1，则不等式f (x 2)>x 2＋1的解集为________．解析：由条件式f ′(x )<1得f ′(x )－1<0，待解不等式f (x 2)>x 2＋1可化为f (x 2)－x 2－1>0，可以构造F (x )＝f (x )－x －1，由于F ′(x )＝f ′(x )－1<0，所以F (x )在R 上单调递减．又因为F (x 2)＝f (x 2)－x 2－1>0＝2－12－1＝f (12)－12－1＝F (12)，所以x 2<12，解得－1<x <1，故不等式f (x 2)>x 2＋1的解集为{x |－1<x <1}．5．定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )＜12，则不等式f (lg x )＞lg x ＋12的解集为__________．解析：由题意构造函数g (x )＝f (x )－12x ，则g ′(x )＝f ′(x )－12＜0，所以g (x )在定义域内是减函数．因为f (1)＝1，所以g (1)＝f (1)－12＝12，由f (lg x )＞lg x ＋12，得f (lg x )－12lg x ＞12.即g (lg x )＝f (lg x )－12lg x ＞12＝g (1)，所以lg x ＜1，解得0＜x ＜10. 所以原不等式的解集为(0,10)．题型二构造f (x )·g (x )型可导函数1．设函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是()A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：利用构造条件中“f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )”与待解不等式中“f (x )g (x )”两个代数式之间的关系，可构造函数F (x )＝f (x )g (x )，由题意可知，当x <0时，F ′(x )>0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递增．又因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F (x )是定义在R 上的奇函数，从而F (x )在(0，＋∞)上单调递增，而F (3)＝f (3)g (3)＝0，所以F (－3)＝－F (3)，结合图象可知不等式f (x )g (x )>0⇔F (x )>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.2．设y ＝f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，f (1)＝2，(x －1)[2f (x )＋xf ′(x )]>0(x ≠1)恒成立．若曲线f (x )在点(1,2)处的切线为y ＝g (x )，且g (a )＝2 018，则a 等于()A ．－501B ．－502C ．－503D ．－504解析：由“2f (x )＋xf ′(x )”联想到“2xf (x )＋x 2f ′(x )”，可构造F (x )＝x 2f (x )(x >0)．由(x －1)[2f (x )＋xf ′(x )]>0(x ≠1)可知，当x >1时，2f (x )＋xf ′(x )>0，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0，故F (x )在(1，＋∞)上单调递增；当0<x <1时，2f (x )＋xf ′(x )<0，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )<0，故F (x )在(0,1)上单调递减，所以x ＝1为极值点，则F ′(1)＝2×1×f (1)＋12f ′(1)＝2f (1)＋f ′(1)＝0. 由f (1)＝2可得f ′(1)＝－4，曲线f (x )在点(1,2)处的切线为y －2＝－4(x －1)，即y ＝6－4x ，故g (x )＝6－4x ，g (a )＝6－4a ＝2 018，解得a ＝－503，故选C.3．设定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋f (x )＝3x 2e －x ，且f (0)＝0，则下列结论正确的是()A ．f (x )在R 上单调递减B ．f (x )在R 上单调递增C ．f (x )在R 上有最大值D ．f (x )在R 上有最小值解析：根据条件中“f ′(x )＋f (x )”的特征，可以构造F (x )＝e x f (x )，则有F ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]＝e x ·3x 2e －x ＝3x 2，故F (x )＝x 3＋c (c为常数)，所以f (x )＝x 3＋c e x ，又f (0)＝0，所以c ＝0，f (x )＝x 3e x .因为f ′(x )＝3x 2－x 3e x，易知f (x )在区间(－∞，3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (3)＝27e 3，无最小值，故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的增函数，其导函数为f ′(x )，且满足f (x )f ′(x )＋x <1，则下列结论正确的是()A ．对于任意x ∈R ，f (x )<0B ．对于任意x ∈R ，f (x )>0C ．当且仅当x ∈(－∞，1)时，f (x )<0D ．当且仅当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0解析：因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，又因为f (x )f ′(x )＋x <1，则f ′(x )≠0，综合可知f ′(x )>0.又因为f (x )f ′(x )＋x <1，则f (x )＋xf ′(x )<f ′(x )，即f (x )＋(x －1)f ′(x )<0，根据“f (x )＋(x －1)f ′(x )”的特征，构造函数F (x )＝(x －1)f (x )，则F ′(x )<0，故函数F (x )在R 上单调递减，又F (1)＝(1－1)f (1)＝0，所以当x >1时，x －1>0，F (x )<0，故f (x )<0.又因为f (x )是定义在R 上的增函数，所以当x ≤1时，f (x )<0，因此对于任意x ∈R ，f (x )<0，故选A.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )＋f (x )>2，f (0)＝5，则不等式f (x )<3e x ＋2的解集为________．解析：因为f ′(x )＋f (x )>2，所以f ′(x )＋f (x )－2>0，不妨构造函数F (x )＝e x f (x )－2e x .因为F ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )－2]>0，所以F (x )在R 上单调递增．因为f (x )<3e x ＋2，所以e xf (x )－2e x <3，即F (x )<3，又因为F (0)＝e 0f (0)－2e 0＝3，所以F (x )<F (0)，则x <0，故不等式f (x )<3ex ＋2的解集为(－∞，0)．6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是()A ．f (x )＞0B ．f (x )＜0C ．f (x )＞xD ．f (x )＜x解析：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]．当x ＞0时，g ′(x )＞0，∴g (x )＞g (0)，即x 2f (x )－14x 4＞0，从而f (x )＞14x 2＞0；当x ＜0时，g ′(x )＜0，∴g (x )＞g (0)，即x 2f (x )－14x 4＞0，从而f (x )＞14x 2＞0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)＞0，∴f (0)＞0.综上可知，f (x )＞0.7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ′(x )＞0恒成立，且f (2)＝1e (e 为自然对数的底数)，则不等式e x f (x )－e 2x ＞0的解集为________．解析：由f (x )＋2f ′(x )＞0得2⎣⎡⎦⎤12f (x )＋f ′(x )＞0，可构造函数h (x )＝e 2xf (x )，则h ′(x )＝12e 2x [f (x )＋2f ′(x )]＞0，所以函数h (x )＝e 2xf (x )在R 上单调递增，且h (2)＝e f (2)＝1.不等式e xf (x )－e 2x ＞0等价于e 2x f (x )＞1，即h (x )＞h (2)⇒x ＞2，所以不等式e x f (x )－e 2x ＞0的解集为(2，＋∞)．题型三构造f (x )g (x )型可导函数 1．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0, 当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.由题意知，当x ＞0时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵f (x )是奇函数，f (－1)＝0，∴f (1)＝－f (－1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0， ∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，从而f (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，从而f (x )＜0. 又∵f (x )是奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＞0；当x ∈(－1,0)时，f (x )＜0. 综上，所求x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．2．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )，则不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )<0的解集为________．解析：因为f (x )>xf ′(x )，所以xf ′(x )－f (x )<0，根据“xf ′(x )－f (x )”的特征，可以构造函数F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为x >0，所以x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )<0可化为xf ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )x <0，即f ⎝⎛⎭⎫1x 1x －f (x )x <0，即f⎝⎛⎭⎫1x 1x <f (x )x，即F ⎝⎛⎭⎫1x <F (x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1x >x ，解得0<x <1，故不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )<0的解集为(0,1)． 3．已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )＞f ′(x )，则有()A ．e 2 019f (－2 019)＜f (0)，f (2 019)＞e 2 019f (0)B ．e 2 019f (－2 019)＜f (0)，f (2 019)＜e 2 019f (0)C ．e 2 019f (－2 019)＞f (0)，f (2 019)＞e 2 019f (0)D ．e 2 019f (－2 019)＞f (0)，f (2 019)＜e 2 019f (0)解析：构造函数h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ＜0，即h (x )在R 上单调递减，故h (－2 019)＞h (0)，即f (－2 019)e－2 019＞f (0)e 0⇒e 2 019f (－2 019)＞f (0)；同理，h (2 019)＜h (0)，即f (2 019)＜e 2 019f (0)，故选D. 4．已知定义在R 上函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )>0，g (x )>0，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0. 若a ，b ∈R ＋且a ≠b ，则有() A ．f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )g (ab )B ．f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<f (ab )g (ab )C ．f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g (ab )>g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2f (ab )D ．f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g (ab )<g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2f (ab )解析：根据条件中“f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )”的特征，可以构造函数F (x )＝f (x )g (x )，因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0，F (x )在R 上单调递减．又因为a ＋b 2>ab ，所以F ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<F (ab )，即f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<f (ab )g (ab )，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2g (ab )<g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (ab )，故选D.5．设f ′(x )是函数f (x )(x ∈R)的导函数，且满足xf ′(x )－2f (x )>0，若在△ABC 中，角C 为钝角，则()A ．f (sin A )·sin 2B >f (sin B )·sin 2A B ．f (sin A )·sin 2B <f (sin B )·sin 2AC ．f (cos A )·sin 2B >f (sin B )·cos 2AD ．f (cos A )·sin 2B <f (sin B )·cos 2A 解析：根据“xf ′(x )－2f (x )”的特征，可以构造函数F (x )＝f (x )x2，则有F ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝x [xf ′(x )－2f (x )]x 4，所以当x >0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为π2<C <π，所以0<A ＋B <π2，0<A <π2－B ，则有1>cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝sin B >0，所以F (cos A )>F (sin B )，即f (cos A )cos 2A >f (sin B )sin 2B，f (cos A )·sin 2B >f (sin B )·cos 2A ，故选C.6．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系为()A ．e x 11f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系不确定解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x2f (x 1)．专项突破练构造函数法解决导数问题一、单选题1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x ≥时，()20f x x '->，且()13f =，则()22f x x >+的解集是（）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,00,1-D ．()(),10,1-∞-⋃【解析】令()()2g x f x x =-，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()()2g x f x g x x ---==-，所以函数()g x 也是偶函数，()()2g x f x x ''=-，因为当0x ≥时，()20f x x '->，所以当0x ≥时，()()20g x f x x '-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上递增，不等式()22f x x >+即为不等式()2g x >，由()13f =，得()12g =，所以()()1g x g >，所以1x >，解得1x >或1x <-，所以()22f x x >+的解集是()(),11,-∞-⋃+∞.故选：B.2．定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线，且()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为（） A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】设()()212g x f x x =-，根据题意，()()()()221122g x f x x x f x g x -=--=-=-，所以()g x 为R 上的奇函数，当0x <时，()()0g x f x x ''=-<，因为()g x 在R 上的图象连续不断，所以()g x 为R 上的减函数，()()112f x f x x +≥-+可化为()()()2211111222g x x g x x x ++≥-+-+，即()()1g x g x ≥-，所以1x x ≤-，故不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D.3．()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且()32e f =，()1e f =，则不等式()2121e0x f x --->的解集为（） A ．(),1-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令函数()()x f x g x =e ，则()()()e xf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '>，所以()0g x '>， ()g x 在R 上单调递增.又()()111ef g ==，而()2121e0x f x --->等价于()21211e x f x -->，即()()211g x g ->，所以211x ->，解得1x >.故选：C.4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()()0xf x f x '->成立，则不等式()0xf x >的解集是（）A ．()()22-∞-⋃+∞，， B ．()()202-⋃+∞，， C ．()()202-∞-⋃，， D ．()2+∞，【解析】()()0xf x f x '->成立设()()f xg x x=，则()()()()20f x f x x f x g x x x ''⎡⎤-'==>⎢⎥⎣⎦，即0x >时()g x 是增函数，当2x >时，()()20g x g >=，此时()0f x >；02x <<时，()()20g x g <=，此时()0f x <．又()f x 是奇函数，所以20x -<<时，()()0f x f x =-->；2x <-时()()0f x f x =-->则不等式()0x f x ⋅>等价为()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，可得2x >或2x <-，则不等式()0xf x >的解集是()()22-∞-⋃+∞，，，故选：A ． 5．已知函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，若()1.5 1.522a f =，()()ln3ln3b f =，112211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称，可知函数()y f x =的图像关于直线0x =对称，即()y f x =为偶函数，构造()()g x xf x =，当(),0x ∈-∞，()()()0g x f x xf x =+'<'，故()y g x =在(),0∞-上单调递减，且易知()g x 为奇函数，故()y g x =在()0,∞+上单调递减，由 1.512122log ln 304>=>>，所以()()1.51212log ln34g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：D. 6．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且满足()()0f x xf x '+>（f x 是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．1,2D ．1,2【解析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，即()g x 在()0,+∞上递增，又10x +>，则()()()2111x f x f x --<+等价于22(1)(1)(1)(1)x f x x f x --<++，即2(1)(1)g x g x -<+，所以22101011x x x x ⎧->⎪+>⎨⎪-<+⎩，解得12x <<，原不等式解集为1,2.故选：C7．已知f （x ）为定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，且()()f x f x '<恒成立，其中e 是自然对数的底数，则（） A ．()()20222023f ef 【解析】设函数()()x f x g x e =，可得()()()xf x f xg x e '-'=，因为()()f x f x '<，可得()()0f x f x '->，所以()0g x '>，可得()g x 单调递增，则()()2022202320222023f f e e <，即()()20222023ef f <.故选：B. 8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数为()f x '，若()()2xf x f x '>，则下列式子一定成立的是（） A ．()()422f f >B ．()()442f f >C ．()()24e 2>f fD ．()()44e 2f f >【解析】令2()()(0)f x g x x x =>，则3()2(())xf x x x f x g '-='，又不等式()()2xf x f x '>恒成立，所以()()20xf x f x '->，即()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，故()()24g g <，即()()224242f f >，所以()()442f f >，故选：B ． 9．已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x '+<恒成立，()02022f =，则不等式()2021e 1xf x -<+的解集为（）A ．()e,+∞B ．(),e -∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+【解析】构造函数()e [()1]x g x f x =-，(0)(0)12021g f =-=,则()e [()()1]0x g x f x f x '=+'-<，故()e [()1]x g x f x =-为R 上的单调减函数，不等式()2021e 1-<+xf x ，即[()1e 2021}x f x -<，即()(0)g x g <，0x ∴>，故选：D10．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x '++≥.若不等式()()221331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】构造函数()()2F x f x x x =++，当0x ≥时，()()()''210,F x f x x F x =++≥递增，由于()()2f x f x x =--，所以()()()()22f x x x f x x x ++=-+-+-，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，所以当0x <时，()F x 递减.不等式()()221331f x x x f x +++>+等价于：()()()()()()22212121111f x x x f x x x +++++>+++++，即()()211F x F x +>+，所以211x x +>+，两边平方并化简得()320x x +>，解得23x <-或0x >，所以不等式()()221331f x x x f x +++>+的解集为()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D11．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足2()1()f x f x x x'+=，且2(e)e f =，e 为自然对数的底数，若关于x的不等式()20f x ax x x--+≤恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞C ．2,e e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．322,e e e ⎡⎫-+++∞⎪⎢⎣⎭【解析】由2()1()f x f x x x'+=，得1()()xf x f x x '+=，设()()g x xf x =，1()()()g x xf x f x x ''=+=，则()ln g x x c =+，从而有ln ()x cf x x+=. 又因为12(e)e ec f +==，所以1c =，ln 1()x f x x +=，2ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==. 因为不等式()20f x ax x x--+≤恒成立，所以2()20f x x x a -+-≤，即2()(1)1f x x a --+≤，又因为2()(1)12f x x --+≤，所以2a ≥.故选：B.12．已知函数()1f x +为定义域在R 上的偶函数，且当1≥x 时，函数()f x 满足()()2ln 2xxf x f x x '+=，14ef=，则()4e 1f x <的解集是（）A ．(),2-∞⋃+∞B ．(2C ．()(),2e e,-∞-⋃+∞D ．()2e,e -【解析】由题可知，当1≥x 时，()2ln x x f x x '⎡⎤=⎣⎦．令()()2g x x f x =，则()()2g x f x x=， ()()()()2432ln 2x g x xg x x g x f x x x'--'==，令()()ln 2h x x g x =-，()()112ln 2x h x g x x x -''=-=，令()0h x '=，解得x =()h x 在)+∞上单调递减﹐在(上单调递增．又20hg==，所以()0h x ≤，()0f x '≤，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，()4e 1f x <，可化为()14ef x f <=，又函数()f x 关于1x =对称，故11,11x x --<11x ->，所以不等式的解集为(),2-∞⋃+∞．故选：A13．已知函数()y f x =，若()0f x >且()()0f x xf x '+>，则有（）A ．()f x 可能是奇函数，也可能是偶函数B ．()()11f f ->C ．42x ππ<<时，cos22s (os )(in c )x f e f x x <D ．(0)(1)f <【解析】若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又因为()0f x >，与()()f x f x -=-矛盾，所有函数()y f x =不可能时奇函数，故A 错误；令()()22ex g x f x =，则()()()()()()222222eeex x x g x x f x f x xf x f x '''=+=+，因为22e 0x >，()()0f x xf x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为增函数，所以()()11g g -<，即()()1122e 1e 1f f -<，所以()()11f f -<，故B 错误；因为42x ππ<<，所以0cos x <<sin 1x <<，所以sin cos x x >，故()()sin cos g x g x >，即()()22sin cos 22e sin ecos x xf x f x >，所以()()()22cos sin cos222sin ecos ecos x xx f x f x f x ->=，故C 错误；有()()01g g <，即()()01f ，故D 正确. 故选：D.14．定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>-，且()06f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e ⋅>+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()(),01,-∞⋃+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()0,∞+D ．()3,+∞【解析】设()()()x xg x e f x e x R =⋅-∈，可得()()()()()1x x x xg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦．因为()()1f x f x '>-，所以()()10f x f x -'+>，所以()0g x '>，所以()y g x =在定义域上单调递增，又因为()5x xe f x e ⋅>+，即()5g x >，又由()()0000615g e f e =⋅-=-=，所以()()0g x g >，所以0x >，所以不等式的解集为()0,∞+.故选：C ．15．设函数()f x '是定义在()0π，上的函数()f x 的导函数，有()cos ()sin 0f x x f x x '->，若1023a b f π⎛⎫==⎪⎝⎭，，34c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>【解析】设()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，又因为()cos ()sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)π上单调递增，又0cos ()22a f ππ==，1()cos ()2333b f f πππ==，333()cos ()444c f f πππ==，因为3324πππ<<，所以33cos ()cos ()cos ()332244f f f ππππππ<<，所以c a b >>.故选：C ． 16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0xf x f x '+>，且()12f =，则()2e e x xf >的解集为（） A ．()0,+∞B ．()ln2,+∞C ．()1,+∞D ．0,1【解析】设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，故()g x 为R 上的增函数，而()2e exx f >可化为()()e e 211x x f f >=⨯即()()g e 1x g >，故e 1x >即0x >，所以不等式()2e e xxf >的解集为()0,+∞，故选：A. 二、多选题17．设()f x ，()g x 是定义在R 上的恒大于零的可导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ''->，则当a x b <<时，有（）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x <D ．()()()()f x g x f a g a >【解析】令()()()f x h x g x =，则()()()()()()2f xg x f x g xh x g x ''-'=⎡⎤⎣⎦．由()()()()0f x g x f x g x ''->，得()0h x '>，所以函数()h x 在R 上单调递增．当a x b <<时，有()()()()()()f a f x f bg a g x g b <<，又()f x ，()g x 是定义在R 上的恒大于零的可导函数，所以()()()()f x g a f a g x >，()()()()f x g b f b g x <．故选：BC18．已知定义在R 上的函数()f x 图像连续，满足()()6sin 2f x f x x x --=-，且0x >时，()3cos 1f x x '<-恒成立，则不等式()()3sin()333f x f x x πππ≥--++中的x 可以是（）A ．6π-B ．0C ．6πD ．3π 【解析】由()()6sin 2f x f x x x --=-整理得()3sin ()()3sin()f x x x f x x x +-=-+---，设()()3sin g x f x x x =+-，则有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数，因为0x >时，()3cos 1f x x '<-，所以()()13cos 0g x f x x ''=+-<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递增，又不等式()()3sin()333f x f x x πππ≥--++等价于()3sin f x x x +-()()33f x x ππ≥-+-3sin()3x π--，即()()3g x g x π≥-，根据()g x 的单调性和奇偶性可得3x x π≤-，解得6x π≤，故选：ABC19．定义在[0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2()0f x x x f x '++<恒成立，则必有（）A ．3(3)2(1)f f D ．2(3)3(7)f f >【解析】设函数()()1xf x g x x =+，0x ≥，因为()()2()0f x x x f x '++< 则()()()222()()(1)()()0(1)(1)f x x x f x f x xf x x xf x g x x x ''++++-⎡⎤⎣⎦'==<++，所以()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而()()()()()12357g g g g g >>>>，即(1)2(2)3(3)5(5)7(7)23468f f f f f >>>>，则必有()()3321f f <，4(2)5(5)f f >，3(1)5(5)f f >，6(3)7(7)f f >. 又()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以x >0时，()()00g x g <=，所以x >0时，()0f x <，又6(3)7(7)f f >，所以72(3)(7)3(7)3f f f >>.故选：ACD. 20．已知()f x 是R 上的可导函数，且()()f x f x '<对于任意x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f ，()()211f e f >-C ．()()1e 0f f <，()()211f e f <- D ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f >【解析】设()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上是减函数，所以()()10g g <，()()20200<g g ，()()11-<g g ，即()()1e 0f f <，()20002020e f <，()()()201e 1f f f <-，故选：AC.三、填空题21．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________【解析】令()()()f x h x g x =，则()()()()[]2()()f x g x f x g x h x g x ''-'=，当0x >时，()0h x '<，故()h x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()h x 是奇函数，()h x 在(),0∞-上单调递减，又()20,(0)0f f ==，可得(2)0,(2)0,(0)0h h h =-==，故()h x 在()2,0,(2,)-+∞上小于0，由()()lg (lg )0lg f x h x g x =<，得2lg 0-<<x 或lg 2x >，解得11100<<x 或100x >.故答案为：11(100,)100⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭,. 22．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()20f =，对()0,x ∀∈+∞，()()0f x xf x '+>成立，则()()10x f x -≥的解集为_________．【解析】设()()F x xf x =，则对()0,x ∀∈+∞，()()()0F x f x xf x ''=+>，则()F x 在()0,+∞上为单调递增函数，∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴()()()()()F x x f x xf x F x -=--==，∴()F x 为偶函数，∴()F x 在(),0-∞上为单调递减函数，又∵()20f =，∴()()220F F -==，由已知得()00F =，所以当2x <-时，()()0,0F x f x ><；当20x -<<时，()()0,0F x f x <>；当02x <<时，()()0,0F x f x <<；当2x >时，()()0,0F x f x >>；若()()10x f x -=，则0,1,2,2x =-；若()()10x f x ->，则()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩，解得2x >或2x <-或01x <<；则()()10x f x -≥的解集为(][][),20,12,-∞-+∞.23．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x ∈R ，()()0f x f x '-<，若()22e f =，()e tf t <，则t 的取值范围是___________. 【解析】构造函数()()x f x g x =e ，则()()()0xf x f xg x e '-'=<，故函数()g x 在R 上单调递减，由已知可得()()2221e f g ==，由()e tf t <可得()()()12e tf tg t g =<=，可得2t >. 故答案为：()2,+∞.24．定义在R 上的函数满足()11f =，且对任意R x ∈都有()'102f x -<，则不等式()122x f x ->的解集为__________.【解析】构造函数()()()()111,1102222x F x f x F f =--=--=，()()''102F x f x =-<，所以()F x 在R 上递减，由()122x f x ->，得()1022x f x -->，即()()1F x F >，所以1x <，即等式()122x f x ->的解集为(),1-∞. 25．若()f x 为定义在R 上的连续不断的函数，满足2()()4f x f x x +-=，且当(,0)x ∈-∞时，1()42f x x '+<.若3(1)()32f m f m m +≤-++，则m 的取值范围___________. 【解析】2()()4f x f x x +-=，22()2()20f x x f x x ∴-+--=，设21()()22g x f x x x =-+，则()()0g x g x +-=，()g x ∴为奇函数，又1()()402g x f x x '='-+<，()g x ∴在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又3(1)()32f m f m m +≤-++，等价于22(1)2(1)()2()f m m f m m +-+≤---，即(1)()g m g m +≤-， 1m m ∴+≥-，解得12m ≥-，故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.26．已知函数()f x 是定义在()()00,-∞+∞，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()21120f x x f -+-<的解集为___________. 【解析】函数()f x 是定义在()()00,-∞+∞，的奇函数，构造函数()()()0f x F x x x =≠，()()()()f x f x F x F x x x--===-，所以()F x 为偶函数，当0x >时，()()()''20xf x f x F x x-=<，()F x 递减，当0x <时，()F x 递增. ()()()21120f x x f -+-<，()()()2112f x x f -<-，当10x ->，即1x <时，()()1212f x f x -<-，()()12F x F -<，121x x ->⇒<-. 当10x -<，即1x >时，()()()()()12,12212f x f F x F F x->->=--，21013x x -<-<⇒<<.综上所述，不等式()()()21120f x x f -+-<的解集为()(),11,3-∞-.故答案为：()(),11,3-∞-27．已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为___________. 【解析】令()()f xg x x =，则()()()20xf x f x g x x '-'=<，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，又由()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得()11f f x xx x⎛⎫⎪⎝⎭<，即()1g g x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10x x ∴>>，解得01x <<，故答案为：()0,1.28．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________．【解析】构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x x e f x e f x F f x f x e x e ''-=-='，函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()xf x e >⇔3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．29．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->﹐2021(2021)e f =，则不等式1(ln )3f x <的解集为___________.【解析】令()()x f x g x =e ，所以()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，且()()20212021e 20211e f g ==，因为1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭(f <(f f g==，所以(1g <，所以(()2021gg <，所以02021x >⎧⎪⎨⎪⎩，所以60630e x <<，所以解集为()60630,e. 30．已知函数()f x 在R 上可导，对任意x 都有()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '<-，若π2π()33f t f t t ⎛⎫⎛⎫≤-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为_________【解析】由()()2sin f x f x x --=得()sin ()sin()f x x f x x -=---，令()()sin g x f x x =-，则()()g x g x =-，()g x 是偶函数，0x ≤时，()1f x '<-，则()()cos 0g x f x x ''=-<，()g x 是减函数，因此0x ≥时，()gx 是增函数，π2ππ2π2π()cos cos sin sin 33333f t f t t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫≤--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭π3sin 32f t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()π1ππsin sin sin 3233f t t f t t t f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即π()3g t g t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，()π3g t g t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，所以π3t t ≤-，22π3t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，π6t ≤．故答案为：π6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．31．已知函数()2ln f x a x x=-. (1)若1a =，求()f x 的图象在1x =处的切线方程； (2)若对于任意的()12,1,3x x ∈，当12x x >时，都有()()12212f x f x a x x ->-，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为1a =，所以()()2212ln ,f x x f x x x x '=-=+，所以()()12,13f f =-'=，所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为()()231y x --=-，即35y x =-；(2)因为12x x >，所以()()12212f x f x a x x ->-等价于()()()21212f x f x a x x ->-，即()()221122f x a x f x a x ->-，令函数()22ln g x a x a x x=--，由题可知()g x 在()1,3上单调递增，所以()()()22222221220ax ax a a x ax g x a x x x x -+--=+-=-=-'在()1,3上恒成立，若0a =，则()220g x x ='>恒成立，显然()g x 在()1,3上单调递增，符合题意；若0a >，则210ax x+-<，则20ax -在()1,3上恒成立，即320a -，解得203a <；若0a <，则220ax x-->，则10ax +在()1,3上恒成立，即310a +，解得103a -<. 综上，实数a 的取值范围为12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.32．已知曲线()()()ln f x x a x a =+∈R 在点()()1,1f 处的切线平行于直线230x y -+=． (1)求a 的值；(2)若对[)1,x ∀∈+∞，都有()()21f x m x ≤-恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由题意得：()ln x af x x x+'=+，所以()112f a '+==，即1a = (2)由()()21ln 1x x m x +≤-恒成立，可得()ln 10x m x --≤在[)1,x ∀∈+∞上恒成立设()()ln 1h x x m x =--，()11mx h x m x x'-=-= ①当m 1≥时，()0h x '<恒成立，即()h x 在[)1,x ∞∈+上为单调减函数所以()()10h x h ≤=符合题意； ②当1m <时，由()0h x '>得11x m<< 由()0h x '<得1x m>即()h x 在11,x m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为单调增函数，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上为单调减函数又()10h =，所以存在011,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x >，不符合题意综上：m 1≥33．设函数()ln ()af x x a R x =+∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，求a 的取值范围，并证明：121x x +<．。

构造函数导数小题(专业版)

3.（-1,0）∪（0,1） 4.（-1,0）∪（0,1） 5.C 6.B
三、f(x)与 f’(x)型：f(x)与指数函数 enx 乘除类：
g(x) = enxf (x), g'(x) = nen xf (x) + enxf '(x) = enx [f '(x) + nf (x)] ⇒ 含f '(x) + nf (x)加法结构
2.R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1，且 f’(x)<1/2,则不等式 f(log2x)>(log2x+1)/2 的解集是
；
3（. 0，+∞）上的 f（x）满足 x2f′（x）+1＞0，f（2）= 9/2，则不等式f (lg x) < 1 + 4 的解集为
；
lg x
4.f(x)的导函数 f’(x)满足 f’(x)>2x, f(1/2)=e,则不等式 f(lnx)<x2 的解集为
二、f(x)与 f’(x)型：f(x)与幂函数 xn 乘除类：
g(x) = x nf (x), g'(x) = nx f n-1 (x) + x nf (x) = x n-1[nf (x) + f '(x)] ⇒
f (x) g(x) = xn ,
g'(x)
=
f '(x)x n - nx n f-1 (x) x 2n
；
4、f(x)是 R 上的奇函数，在（-∞，0）上有 2xf’(2x)+f(2x)<0,且 f(-2)=0,不等式 xf(2x)<0 的解集为
；
5、(-∞,0)上函数 f(x)满足：xf’(x)>x2+2f(x),则不等式 4f(x+2014)-(x+2014)2f(-2)>0 的解集为（）

导数中的构造函数(最全精编)

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

导数中的构造函数-玩转压轴题(解析版)

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ； 22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=； ()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是专题6.1 导数中的构造函数（） A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．2B C ．2D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C 【解析】()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-， ()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈， ∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-2221a b -21a b =-， 221ln ln(2)ln a a a bb b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b+-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：a b ==，2a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,]22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞- D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m -- ()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x xx-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是fx ，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．1,D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦， ∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<． ∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A. 【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()xg x e f x = ，则()(()())0xg x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（） A ．(0)02(1)f f <，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ． 4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+，，∞∞ B ．()()2002-，，C ．()()202-+，，∞D ．()()202--，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减， ()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<-，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001-，，B ．()()11--+，，∞∞C ．()()101-+，，∞D ．()()101--，，∞ 【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x =，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x'=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<， ∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101--，，∞ 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()f x 为减函数 D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0xg x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]xg x xf x =。

微专题：运用导数运算法则构造函数(解析版)

微专题：运用导数运算法则构造函数一、知识梳理导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；特别的 [cf (x )]′＝cf ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常见函数的变形1、对)()(x g x f '>'，构造)()()(x g x f x h -=；对()k x f >'()0≠k ，构造()()b kx x f x g +-=.2、对于形如'fxkf x ，构造函数())(x f e x g kx =；特别的，对'f xf x ，构造())(x f e x g x =3、对形如'fxf x ，构造函数()xe )(x f x g =4、对形如'xf xnf x ，构造函数())(x f x x g n =，特别的'xf xf x ，构造()()x xf x g =5、对形如'xfxnf x ，构造函数()nxx f x g )(=；特别的'xf x f x ，构造()()xx f x g =()0≠x 6、对形如()()ln f x f x x x'+，构造()()ln h x f x x =. 7、对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=．二、常见题型剖析题型一、根据导数运算公式构造函数【例1】设(),()f x g x 是R 上的可导函数，(),()f x g x 分别是(),()f x g x 的导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ，则当a x b <<时，有（）.()()()()A f a g b f b g a > .()()()()B f a g a f a g b > .()()()()C f a g a f b g b > .()()()()D f a g a f b g a >【答案】【解析】因为''()()()g ()0f x g x f x x +<不等式左边的原函数为()()f x g x ，令()()()h x f x g x =，可知'()0h x <，则函数()h x 是单调递减函数，因此当a x b <<，有()()h a h b >即C【变式1】设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时()()()()0f x g x f x g x ，且(3)0f ，则不等式()()0f x g x 的解集是（）A ．()()303－，，＋ B ．()()3003－，，C ．()()33－，－，＋ D ．())303(－，－，【答案】D【解析】构造函数()()()f x h xg x ，易知()h x 为奇函数且(3)0h ．2()()()()()()f xg x f x g xh x g x ．故当0x时，()0h x ，()h x 单调递增．所以()h x 在(−∞，0)上为增函数，且ℎ(−3)＝0，当R ∈(−∞，−3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，因为函数()h x 为奇函数，当R ∈(0，3)时，()0h x ，此时()()0f x g x ，综上，不等式()()0f x g x 的解集是())303(－，－，(－∞，－3)∪(0，3)．故选：D题型二、根据()()f x g x ''±构造函数()()f x g x c ±+【例2】函数的定义域为，对任意则的解集为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令，则，因为对任意所以对任意恒成立；因此，函数在上单调递增；()f x R (1)7,f =,x R ∈()3,f x '>()34f x x >+(1,1)-(1,+)∞(,1)-∞-(,+)-∞∞()()3g x f x x =-()()3g x f x ''=-,x R ∈()3,f x '>()()30g x f x ''=->x R ∈()()3g x f x x =-R又所以，因此不等式可化为，所以.故选B【变式2】已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()12f x '<，则不等式()122x f x <+的解集为（） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．()1,1- D ．()(),11,-∞+∞【答案】A【解析】因为()122x f x <+可化为()1022x f x --<，令()()122x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，因为()12f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()122x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A ．题型三、根据()()xf x nf x '+(或()()xf x nf x '-)构造函数【例3】已知定义在(0,)上的函数f (x )满足22()()0xf x x f x ，3(2)4f ，则关于x 的不等式23()f x x的解集为（） A ．(0,4) B ．(2,) C ．(4,) D ．(0,2)【答案】D 【详解】令2()()h x x f x ，则2()2()()0h x xf x x f x ，所以ℎ(x )在(0,)单调递减，不等式23()f x x以转化为()(2)h x h ，所以02x故选：D.【变式3】定义域为R 的奇函数()f x ,当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,若()()33,1a f b f ==,()22c f =--,则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>(1)7,f =(1)(1)34g f =-=()34f x x >+()(1)g x g >1x >【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =,因为()f x 是奇函数,所以()()g x xf x =为偶函数当(),0x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<恒成立,即()'0g x <,所以()()g x xf x =在(),0x ∈-∞时为单调递减函数 ()()g x xf x =在()0,x ∈+∞时为单调递增函数根据偶函数的对称性可知()()33,1a f b f ==,()22c f =--所以a c b >>,所以选D题型四、根据()()f x nf x '+(或()()f x nf x '-)构造函数【例4】已知奇函数f (x )的定义域为R ，当0x 时，02()()f x f x ，且(2)0f 则不等式()0f x 的解集为___________．【答案】()()202－，，＋【解析】构造函数2()()=xg x e f x ，则当0x时，2()()())0=(2x g x e f x f x 所以当0x时()g x 单调递增．因为(2)0f ，所以4(2)(2)0g e f ，所以当x ＞2时()0g x ，从而()0f x ．当0＜x ＜2时，()0g x ，从而()0f x ．又奇函数f (x )的图像关于原点中心对称，所以()0f x 的解集为()()202－，，＋故答案为：()()202－，，＋．【变式4】已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()0f x f x '-<,且(ln 2)2f =,则(ln )20f x x >的解集是（）A ．(0,2)B ．2)C ．(0,)eD ．)e【答案】A【解析】令ln ,x t t R =∈,构造函数'22''222()(2)()()22()()(2()())242t t tt tf t e e f x f tg t g t f t f t e e --=⇒==-, 由已知可知：'2()()0f t f t -<,所以'()0()g t g t <⇒是R 上的减函数, 当ln 2t <时,ln 21ln 222(ln 2)2()(ln 2)122()f g t g ee >===,22()()1()22t t f t g t f t e e=>⇒>,所以当ln ln 2x <时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒>成立,也就是当02x <<时,ln 2(ln )22(ln )20x f x ex f x x >=⇒->成立,故本题选A.题型五、根据()()tan f x f x x '+(或()()tan f x f x x '-)构造函数【例5】已知定义在(0,)2π上的函数f(x),f’(x)是它的导函数,且对任意的(0,)2x π∈,都有()'()tan f x f x x <恒成立,则（）A 3()2()43ππ>B 2()()64f ππ>C 3()()63f ππ>D ．(1)2()sin16f f π>【答案】D【解析】由题得()cos '()sin f x x f x x <,即()cos '()sin 0f x x f x x -<,令()()sin f x g x x=(0,)2x π∈,导函数2'()sin ()cos '()0sin f x x f x xg x x-=>,因此g(x)在定义域上为增函数.则有()()(1)()643g g g g πππ<<<,代入函数得(1)2()2()()64sin133f f f πππ<<<,由该不等式可得(1)2()sin16f f π>,故选D.【变式5】已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【解析】设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x ---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减， 4244sin 4f a g ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>.故选：D题型六、根据()()ln f x x xf x '±构造函数【例6】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为( ) A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞ D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】 D【解析】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0g x >得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D【变式6】设定义在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，其导函数为()f x '，若()()()()1ln 10f x x f x x '-++<，则（）A ．()()2130f f >>B ．()()2130f f <<C ．()()2310f f >>D ．()()2310f f <<【答案】B【解析】由题意，在[)0,∞+上的函数()0f x ≠恒成立，构造函数ln(1)()()x g x f x +=，则()()2()ln(1)1()f x f x x x g x f x '-++'=，∵[)0,∞+上()()()()()1ln ()ln(1)0111f x x f x x f x f x x x x -+'-+'+=<++，即()0g x '<， ∴()g x 在[)0,∞+上单调递减，而(0)0g =，故0(1)(3)g g >> ∴ln 2ln 42ln 20(1)(3)(3)f f f >>=，可得2(1)(3)0f f <<.题型七、根据()()()f x f x g x ±-=构造函数【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R ∀∈,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --≥-+-,则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞【答案】B【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=--令3()()()()2x g x f x g x g x =-∴=-即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ''=->即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --≥-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+≥即(2)()g m g m -≥,所以2m m -≥,解得1m ≤ ,故选B.【变式7】设函数f （x ）在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上，x x f <')(，若0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为（） A ．),2[+∞ B ．),3[+∞ C ．[-3，3] D ．),2[]2,(+∞--∞ 【答案】B【解析】令221)()(x x f x g -=，∵021)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，∴函数g （x ）为奇函数，∵),0(+∞∈x 时，0)()(<-'='x x f x g ，函数g （x ）在),0(+∞∈x 上为减函数，又由题可知，f （0）=0，g （0）=0，所以函数g （x ）在R 上为减函数，061821)()6(21)6(618)()6(22≥+----+-=+---m m m g m m g m m f m f ，即0)()6(≥--m g m g ，∴)()6(m g m g ≥-，∴m m ≤-6，∴3≥m。

导数大题10种主要题型导学案含详解

导数大题10种主要题型（一）预习案题型一：构造函数1.1 “比较法”构造函数例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．1.2 “拆分法”构造函数例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．1.3 “换元法”构造函数例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．1.4 “二次（甚至多次）”构造函数例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．题型二：隐零点问题例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．导数大题10种主要题型（一）预习案答案例1．解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．（2）证明：方法一（作差法）令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x例2．解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），，由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当时，g '（x ）＜0，当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．方法二（放缩法）例3．解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，∵n ＞m ＞0，∴，∴f （）＞f （1）＝1即，∴lnn ﹣lnm ＞；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增，又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，∴f （x 0）＝＝＝﹣＝﹣，又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．例4．解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．例6．解：（1）证明：f（x）＝f'（x）＝e x（）＝∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）＝＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（t）＝＝＝记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）＝k（t）∈（，]．导数大题10种主要题型（二）预习案题型三：恒成立、存在性问题3.1 单变量恒成立、存在性问题例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．3.2 双变量恒成立、存在性问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第7讲导数构造函数13类【题型一】利用x nf （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【详解】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()x g x e f x =，()()xf xg x e =，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性．详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>，∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤ C ．(x)x f ≥ D ．()f x x ≤【答案】A 【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【详解】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>，从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n构造型【典例分析】函数()f x 在定义域0,内恒满足：①()0f x >，①()()()23f x xf x f x '<<，其中f x 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f <，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <，令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<， ∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【变式演练】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =，利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，又()f x 为偶函数，21y x =为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <，当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ；当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（） A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222x f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是A ．()()10f f D ．()()330e f f >【答案】D 【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可. 【详解】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()xe f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【变式演练】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xef x f x -->-的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可．【详解】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数，因为[]2()()2()xh x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ． 2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)【答案】A 【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>，因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（） A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．[)1,+∞ D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】用f （x ）/e nx 构造型【典例分析】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有 A ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -<< C ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -><【答案】D 【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【详解】因为()()'f x f x >。