2021年上半年教资考试初中数学真题及答案

2021年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（初级中学）注意事项：1. 考试时间为120分钟，满分150分。

2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。

在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

1. 在空间直角坐标系下，直线1141132+=-=-z y x 与平面01523=+--z y x 的位置关系是（ ）。

A. 相交且垂直B. 相交不垂直C. 平行D. 直线在平面上2. 使得函数xx f 1)(=一致连续的x 的取值范围是（ ）。

A. (0,1) B. (0,1] C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2131,1 D. ),(+∞-∞3. 方程046334=-+-x x x 的整数解的个数是（ ）。

A. 0B. 1C. 2D. 34. 设函数)(x f y =在0x 的自变量为x ∆，相应的函数改变量为y ∆，)(x ∆ο表示x ∆的高阶无穷小，若函数)(x f y =在0x 可微，则下列表述不正确的是（ ）。

A.dx x f y )(0'=∆B.dx x f dy )(0'=C.)()(0x x x f y ∆+∆'=∆οD.)(x dy y ∆+=∆ο5. 抛掷两粒正方体骰子（每个面上的点数分别为1，2，…6），假定每个面朝上的可能性相同，观察向上的点数，则点数之和等于5的概率为（ ）。

A.3651 B. 91 C. 121 D. 1816. 对于n m ⨯矩阵A 。

存在s n ⨯矩阵B （B ≠0）使得AB=0成立的充要条件是矩阵A 的秩r（A ）满足（ ）。

A. r （A ）< nB.r （A ）≤ nC. r （A ）>nD. r （A ）≥ n7. 一个五边形与其经过位似变换后的对应图形之间不满足下列关系的是（ ）。

A. 对应线段成比例 B. 对应点连线共点C. 对应角不相等D. 面积的比等于对应线段的比的平方8. 试题“设123)1(1222++-++-=x x x x x T ，求当32+=x 时T 的值”。

主要考察学生的（ ）。

A. 空间观念B. 运算能力C. 数据分析观念D. 应用意识二、简答题（本大题共5 小题，每小题7分，共 35分）9. 已知平面上一椭圆，长半轴为a ，短半轴为b ，a >b >0，求该椭圆绕着长轴旋转一周所得到得旋转体的体积。

10. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （min ）的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>-0,21,02)(x e x xX f 其他，用变量Y 表示顾客对银行服务质量的评价值，若顾客等待时间不超过5（min ），则评价值为Y=1；否则，评价值为Y= -1，即⎪⎩⎪⎨⎧=>-≤515,1X X Y ，（1）求X 的分布函数；（4分） （2）求Y 的分布律。

（3分）11. 已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323122322211131211b a y a x a b a y a x a b a y a x a ，则行列式333231232221131211a a a a a a a a a 有唯一解（当且仅当行列式不等于零）。

请回答下列问题：（1）行列式的几何意义是什么？ （2）上述结论的几何意义是什么？12. 某教师在引领学生探究“圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想，进一步寻找证明猜想的思路并进行严格的证明，最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。

从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法。

13. 数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考，深入理解问题，教师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教学方式可以称之为“课堂留白”，请你谈谈课堂留白的必要性及其意义。

三、解答题（本大题1小题，10分）14. 已知非线性齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+-=--+-=---=--+ 8531412952226542432143214314321ax x x x x x x x x x x x x x x ，请回答下列问题（1）当a 为何值时，对应齐次线性方程组解空间的维数为2；（5分）（2）对于（1）中确定的a 值，求该非齐次线性方程组的通解。

（5分）四、论述题（本大题1小题，15分）15. 数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力。

学生的数学运算能力具体表现为哪些方面？请以整式运算为例予以说明。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16. 下面是初中“三角形的内角和定理”的教学案例片段。

教师请学生回忆小学学过的三角形内角和是多少度？并让学生用提前准备好的三角形纸片进行剪拼并演示。

下面是部分学生演示的图形（如图1、图2）：在图1中，三角形的三个内角拼在一起后， B 、C 、D 在一条直线上，看似构成一个平角。

教师质疑，看上去是平角就是平角了吗？学生的回答是“不一定”。

接着，教师利用图1启发学生思考：①既然不能判定B 、C 、D 是否一定在同一直线上（即组成平角），可以换个角度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线构造平角。

学生想到了作BC 的延长线BD ，如图3所示。

②图1中，∠1与∠A 是什么关系？启发学生在 ∠ACD 内作∠=∠A ，或过点C 作CE//AB ，如图4所示。

③现在只要证明什么？（证明∠2=∠B ） 问题：（1）该教师让学生回忆并用拼图的方法感知三角形的内角和，请简述其教学意图；（6分） （2）利用图2设计问题串，使得这些问题能够引导学生发现三角形的内角和定理的证法；（8 分）（3）请再给出其他2种三角形纸片的拼法，并画图表示。

（6 分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17. 平方差公式“))((22b a b a b a -+=-”是初中乘法公式的内容之一。

某教师教学时，将引导学生归纳猜想平方差公式作为教学过程的环节之一，设计思路如下：假定b=1，问题简化为?12=-a当2=a 时，)1-2)(12(31-22+== ① 当3=a 时，)1-3)(13(81-32+== ② 当4=a 时，)1-4)(14(151-42+== ③ 观察上面式子：猜想)1)(1(122-+=-a a a 。

取b=2,3,4…，仿照上面。

猜测等式左右两边的数之间的关系进而猜想一般规律：))((22b a b a b a -+=-。

（证明过程略）（1）简述该教师在该缓解的教学设计意图；（6 分） （2）简述平方差公式在初中数学中的地位；（6 分）（3）请给出平方差公式的数学目标，并设计教学流程；（12 分） （4）请通过图示给出平方差公式的几何背景。

（6 分）2021年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案及解析一、选择题1.【答案】D 。

解析：本题考查的是空间解析几何空间平面与直线关系的相关知识。

由题意可知直线的方向向量为s=(3,4,1)，过定点(2,11,-1)，平面的法向量n=(3,-2,-1)，因为s ·n=3×3+4×(-2)+1×(-1)=0，定点(2,11,-1)在平面上，故直线与平面的位置关系是直线在平面内，D 项正确。

故本题选D 。

2.【答案】C 。

解析：本题考查的是连续的一致性的相关知识。

根据一致连续性定理，如果函数在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一致连续。

因为xx f 1)(=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，故)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 内连续，但不一致连续，而),1()1,(1,2131,1+∞-∞∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- ，故函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2131,1 上一致连续，C 项正确。

故本题选C 。

3.【答案】C 。

解析：本题考查的是方程的相关知识。

由已知可知046334=-+-x x x ，两边同除以2x 得0)32)(2()2(3)4(3642222=-+-=---=-+-xx x x x x x x x x x x ，解得2±=x ，或1=x ，2=x ，因此方程的整数解为1=x ，2=x ，共2个，C 项正确。

故本题选 C 。

4.【答案】A 。

解析：本题考查的是微分的定义的相关知识。

A 项：dx x f y )(0'=∆不是微分的增量公式，故错误； B 项：dx x f dy )(0'=是微分的概念，正确，排除；C 项：)()(0x x x f y ∆+∆'=∆ο是微分的有限增量公式，正确，排除；D 项：)(x dy y ∆+=∆ο表示函数增量与微分的关系，正确，排除；故本题选A 。

5.【答案】B 。

解析：本题考查的是等可能事件求概率的相关知识。

抛掷两粒正方体骰子出现的总情况数为6×6=36种，向上的点数和为5的情况有（1,4），（4,1），（2,3）（3,2）共4种情况，故点数和为5的概率为91364=，B 项正故本题选 B 。

6.【答案】A 。

解析：题考查的是线性方程组的相关知识。

必要性，由条件可设),,(21s B βββ =，则),,(),,(2121s s A A A A AB ββββββ ==，由题可知)0(≠B B ，即B 为非零向量，故中至少有一个非零向量。

因此，0=AX 有非零解，故 r （A ）< n ，充分性：若 r （A ）< n ，则0=AX 有非零解，设非零解为s βββ ,,21，即),3,2,1(0s i A i==β，令)0)(,,(21≠=B B s βββ ，A 项正确。

故本题选 A 。

7.【答案】C 。

解析：本题主要考查课标的相关知识。

本题考查位似图形的性质。

两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)。

位似图形面积的比等于相似比的平方。

位似图形对应点连线的交点是位似中心。

位似图形对应线段的比等于相似比。

位似图形高。

周长的比都等于相似比。

位似图形的对应角都相等。

C 选项不正确，符合题意，C 项正确。

故本题选 C 。

8.【答案】B 。

解析：本题主要考查课标的相关知识。

本题可以先利用平方差公式、完全平方公式和因式分解等将原式进行化简后，代入取值，整个过程均是对运算能力的考查。

B 项正确。

故本题选 B 。

9. 【解析】根据题意可知，该立体图形为一个旋转椭球面，由x 2a 2+y 2b 2=1绕x 轴旋转一周，所以所求立体图形的体积为V =2∫b 2π(1−x 2a 2)dx =πab 2ab 。