用样本估计总体

用样本估计总体

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．

(2)决定组距与组数．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表．

(5)画频率分布直方图．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．

4．标准差和方差

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．

(2)标准差：

s＝1

n[(x1－x)

2＋(x

2

－x)2＋…＋(x n－x)2].

(3)方差：s2＝1

n[(x1－x)

2＋(x

2

－x)2＋…＋(x n－x)2](x n是样本数据，n是样本容

量，x是样本平均数)．

知识拓展

1．频率分布直方图的特点

(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率

组距

，频率＝组距

×频率组距

.

(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．

(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．

2．平均数、方差的公式推广

(1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n ＋a的平均数是m x＋a.

(2)数据x1，x2，…，x n的方差为s2.

①数据x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的方差也为s2；

②数据ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(√)

(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(×)

(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(√)

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)

(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√)

(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(×)

题组二教材改编

2．[P100A组T2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()

A．4 B．8 C．12 D．16

答案 B

解析设频数为n，则n

32＝0.25，∴n＝32×

1

4＝8.

3.[P81A组T1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()

A．91.5和91.5 B．91.5和92

C．91和91.5 D．92和92

答案 A

解析∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是91＋92

2＝

91.5，

平均数x＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96

8＝91.5.

4．[P71T1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有______人．

答案25

解析0.5×0.5×100＝25.

题组三易错自纠

5．若数据x1，x2，x3，…，x n的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的平均数和方差分别为()

A．5,2 B．16,2

C．16,18 D．16,9

答案 C

解析∵x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，

∴x1＋x2＋x3＋…＋x n

n＝5，

∴3x1＋3x2＋3x3＋…＋3x n

n＋1＝3×5＋1＝16，

∵x1，x2，x3，…，x n的方差为2，

∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3x n＋1的方差是32×2＝18.

6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”连接)

答案n

解析由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；

x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10

30≈5.97.

故n

题型一茎叶图的应用

1．(优质试题·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()

A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7

答案 A

解析甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，

∴1

5×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝

1

5×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.