直角三角形中考试题汇编答案

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中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)

中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。

沪科版九年级数学上册解直角三角形的应用中考题汇编(含答案)

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——高斯沪科版九年级数学上册解直角三角形的应用中考题汇编（含答案）一、选择题1. (2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100 m，∠PCA＝35°，则P，A两点的距离为()A. 100 sin 35° mB. 100 sin 55° mC. 100 tan 35° mD. 100 tan 55° m第1题第2题2. (2018·金华)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD 的长度之比为()A. tan αtan β B.sin βsin α C.sin αsin β D.cos βcos α3. (2018·益阳)如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300 m到达点B，则小刚上升的高度为()A. 300 sin α mB. 300 cos α mC. 300 tan α mD. 300 tan αm第3题第4题4. (2018·长春)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为()A. 800 sin α mB. 800 tan α mC. 800sin αm D.800tan αm5. (2018·淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米. 在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是()第5题A. 2ndF sin0.15）＝B. sin0.15）2ndF＝C. 2ndF cos0.15）＝D. tan0.15）2ndF＝6. (2018·苏州)如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A. 40海里B. 60海里C. 203海里D. 403海里第6题第8题7. (2018·绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于点A 处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C 时，测得海岛B 在点C 的北偏东15°方向，则海岛B 离此航线的最近距离是(结果精确到0.01海里，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)( )A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里8. (2018·重庆)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7 m ，升旗台坡面CD 的坡度i ＝1∶0.75，坡长CD ＝2 m ．若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1 m ，则旗杆AB 的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.6) ( )A. 12.6 mB. 13.1 mC. 14.7 mD. 16.3 m9. (2018·重庆)如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20 m 到达点C ，再经过一段坡度为i ＝1∶0.75、坡长为10 m 的斜坡CD 到达点D ，然后沿水平方向向右行走40 m 到达点E (点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A. 21.7 mB. 22.4 mC. 27.4 mD. 28.8 m第9题第10题10. (2018·威海)如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( ) A. 当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 水平距离为3 mB. 小球距点O 水平距离超过4 m 呈下降趋势C. 小球落地点距点O 的水平距离为7 mD. 斜坡的坡度为1∶2二、填空题11. (2018·广州)如图，旗杆高AB ＝8 m ，某一时刻，旗杆影子长BC ＝16 m ，则tan C 的值为________．第11题第12题12. (2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12 m ，则大厅两层之间的高度BC 为________m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 31°≈0.515，cos 31°≈0.857，tan31°≈0.60)13. (2018·阜新)如图，在点B 处测得塔顶A 的仰角为30°，点B 到塔底C 的水平距离BC 是30 m ，那么塔AC 的高度为________m ．(结果保留根号)第13题第14题14. (2018·大连)如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 6 m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)15. (2018·广西)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D 处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是________m．(结果保留根号)第15题第16题16. (2018·荆州)如图，荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7 m，某校学生测得古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a m后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°，那么a的值约为________．(结果精确到0.1，参考数据：3≈1.73)17. (2018·黄石)如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，45°.如果无人机距地面高度CD为100 3 m，点A，D，B在同一水平直线上，那么A，B两点间的距离是________m．(结果保留根号)第17题第18题18. (2018·葫芦岛)如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内．当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100 m，则两景点A，B间的距离为________m．(结果保留根号)19. (2018·咸宁)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高度BC约为________m．(结果保留整数，3≈1.73)第19题第20题20. (2018·宁夏)如图，一艘货轮以18 2 km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30 min后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.21. (2018·济宁)如图，在笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.(结果保留根号)第21题第22题第23题22. (2018·天门)我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C 恰好位于渔船B的正北方向18(1＋3)n mile处，则海岛A，C之间的距离为________n mile.(结果保留根号)23. (2018·潍坊)如图，一艘渔船以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)三、解答题24. (2018·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(1) 当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为________m；(2) 如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)第24题25.(2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．第25题26. (2018·长沙)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80 km，∠A＝45°，∠B＝30°.(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1) 开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2) 开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？第26题27.(2018·常德)如图①是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2 m，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)．将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图②，求此时B与C之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，2≈1.4)28. (2018·徐州)如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90 m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD＝42 m．(参考数据：sin 32.3°≈0.53，cos 32.3°≈0.85，tan 32.3°≈0.63，sin 55.7°≈0.83，cos 55.7°≈0.56，tan 55.7°≈1.47)(1) 求楼间距AB；(2) 若2号楼共30层，层高均为3 m，则点C位于第几层？第28题29. (2018·泸州)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从点E(点A，E，B在同一水平线上)测得点D的仰角为30°，测得点C的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．第29题30. (2018·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控无人机指令测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC ＝30 m，求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第30题31.(2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在点C测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得点B，E间距离为10 m，立柱AB高30 m．求立柱CD的高．(结果保留根号)第31题32. (2018·宿迁)如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10 m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C.求：(1) ∠BPQ的度数；(2) 树PQ的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.73)第32题33. (2018·镇江)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(点B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第33题34. (2018·黄冈)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60 m，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一条直线上．求：(1) 斜坡下的点C处到大楼的距离；(2) 斜坡CD的长度第34题35. (2018·大庆)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．(参考数据：6≈2.449，结果保留整数)第35题36. (2018·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号．经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60 n mile；经指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30 n mile/h，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1 h)第36题37. (2018·淮安)如图，某数学兴趣小组为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，在公路l上的点A 处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上．求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第37题38. (2018·青岛)如图是某区域平面示意图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC ＝840 m ，BC ＝500 m ．请求出点O 到BC 的距离．(参考数据：sin 73.7°≈2425，cos 73.7°≈725，tan 73.7°≈247)第38题39. (2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 地表示)开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13 km ，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B ，C 两地的距离．(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)第39题40. (2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L ∶(H －H 1)，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF 朝北，EF 长为15 m ，坡度为i ＝1∶0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为22.5 m 的楼房AB ，底部A 到E 处的距离为4 m.(1) 求山坡EF 的水平宽度FH ；(2) 欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为0.9 m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远？第40题41. (2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿着坡度为1∶3的坡面AD走了200 m达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山BC的高度．第41题42. (2018·连云港)如图①，水坝的横截面是梯形ABCD(DC∥AB)，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i为1∶0.5，坝底AB＝14 m.(1) 求坝高；(2) 如图②，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)第42题参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 10.A二、11.1212.6.2 13.103 14.9.5 15.403 16.24.1 17.100(1＋3) 18.100(1＋3) 19.300 20.18 21.3 22.182 23.18＋635三、24. (1) 11.4 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝64°，AC ＝5m ，∴AB ＝AC cos64°≈50.44≈11.4(m)． (2) 如图，过点D 作DH ⊥地面于点H ，交水平线AC 于点E ，则EH ＝1.5m ，DE ⊥AE .∵在Rt △ADE 中，AD ＝20m ，∠DAE ＝64°，∴DE ＝AD ·sin64°≈20×0.90＝18.0(m)．∴DH ＝DE ＋EH ＝18.0＋1.5＝19.5(m)．答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m第24题第25题25.如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则易得四边形CHED 为矩形．∴HE ＝CD ＝40m ．设CH ＝DE ＝x m ．∵在Rt △BDE 中，∠DBA ＝60°，∴BE ＝DE tan60°＝33x m ．∵在Rt △ACH 中，∠BAC ＝30°，∴AH ＝CH tan30°＝3x m ．又∵AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160m ，∴3x ＋40＋33x ＝160，解得x ＝30 3.∴CH ＝303m ．答：该段运河的河宽为303m 26. (1) 如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵在Rt △BDC 中，sin B ＝CD BC，BC ＝80km ，∴CD ＝BC ·sin30°＝80×12＝40(km)．∵在Rt △ADC 中，sin A ＝CD AC ，∴AC ＝CD sin45°＝40÷22＝402(km)．此时AC ＋BC ＝402＋80≈40×1.41＋80＝136.4(km)．答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走136.4km(2) ∵在Rt △BDC 中，cos B ＝BD BC ，BC ＝80km ，∴BD ＝BC ·cos30°＝80×32＝403(km)．∵在Rt △ADC 中，tan A ＝CD AD ，CD ＝40km ，∴AD ＝CD tan45°＝401＝40(km)．∴AB ＝AD ＋BD ＝40＋403≈40＋40×1.73＝109.2(km)．∴AC ＋BC －AB ＝136.4－109.2＝27.2(km)．答：汽车从A 地到B 地大约可以少走27.2km第26题第27题 27.如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得CM ＝BE ，连接BC ，EM.∵在题图①中，AB ＝CD ，AB ＋CD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝CD ＝1m ．在Rt △ABE 中，∵AB ＝1m ，∠A ＝37°，∴BE ＝AB ·sin A ≈0.6m ，AE ＝AB ·cos A ≈0.8m ．在Rt △CDF 中，∵CD ＝1m ，∠D ＝45°，∴CF ＝CD ·sin D ≈0.7m ，DF ＝CD ·cos D ≈0.7m ．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM .又∵BE ＝CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形．∴BC ＝EM .在Rt △MEF 中，∵EF ＝AD －AE －DF ＝0.5m ，FM ＝CF ＋CM ＝CF ＋BE ＝1.3m ，∴EM ＝EF 2＋FM 2≈1.4m ．答：B 与C 之间的距离约为1.4m28. (1) 如图，过点C 作CE ⊥PB ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥PB ，垂足为F ，则∠CEP ＝∠PFD ＝90°，CE ＝DF ＝AB ，CD ＝EF ＝42m ．设AB ＝x m ．∵在Rt △PCE 中，tan32.3°＝PE x，∴PE ＝x ·tan32.3°m ．∵在Rt △PDF 中，tan55.7°＝PF x，∴PF ＝x ·tan55.7°m ．由PF －PE ＝EF ，得x ·tan55.7°－x ·tan32.3°＝42，解得x ≈50.答：楼间距AB 为50m (2) 由(1)，得PE ＝50×tan32.3°≈31.5(m)，∴CA ＝EB ＝90－31.5＝58.5(m)．由于2号楼层高均为3m ，且3×19<58.5<3×20，∴点C 位于第20层第28题29.由题意，得∠DAB ＝∠ABC ＝90°，BC ＝6AD ，AE ＋BE ＝AB ＝90m ．设AD ＝x m ，则BC ＝6x m ．∵在Rt △ADE 中，tan30°＝AD AE ，sin30°＝AD DE ，∴AE ＝3x m ，DE ＝2x m ．∵在Rt △BCE 中，tan60°＝BC BE，sin60°＝BC CE，∴BE ＝23x m ，CE ＝43x m ．由AE ＋BE ＝90m ，得3x ＋23x ＝90，解得x ＝103，∴DE ＝203m ，CE ＝120m ．∵∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°，∠DEA ＝30°，∠CEB ＝60°，∴∠DEC ＝90°.∴CD ＝DE 2＋CE 2＝（203）2＋1202＝15600＝2039(m)．答：这两座建筑物顶端C ，D 间的距离为2039m 30.∵∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，∴∠CAD ＝60°，∠BAD ＝30°.∴在Rt △ADC 中，CD ＝AD ·tan ∠CAD ＝3AD ；在Rt △ADB 中，BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝33AD .∵BC ＝CD －BD ＝30m ，∴3AD －33AD ＝30m ，解得AD ＝153≈25.98(m)．答：无人机飞行的高度AD 为25.98m31.如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，易得四边形HBDC 为矩形．∴BH ＝CD ，BD ＝CH ，BD ∥CH.∴∠HCE ＝∠CED.由题意，得∠ACH ＝30°，∠HCE ＝30°，∴∠CED ＝30°.设CD ＝x m ，则AH ＝AB －BH ＝AB －CD＝(30－x )m.∵在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝AH HC ，∴HC ＝30－x tan30°＝3(30－x )m.∴BD ＝3(30－x )m.∵在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝CD DE ，∴DE ＝x tan30°＝3x m ．∵BE ＝BD －DE ＝10m ，∴3(30－x )－3x ＝10，解得x ＝15－53 3.答：立柱CD 的高为(15－533)m 第31题第33题32. (1) 由题意，得PC ⊥AC ，∠PBC ＝60°，∴在Rt △PCB 中，∠BPQ ＝90°－60°＝30° (2) 由题意，得∠P AC ＝45°，∠QBC ＝30°，AB ＝10m ．设CQ ＝x m ．在Rt △QCB 中，BQ ＝CQ sin30°＝2x m ，BC ＝CQ tan30°＝3x m ．∵∠PBQ ＝∠PBC －∠QBC ＝30°，∠BPQ ＝30°，∴∠PBQ ＝∠BPQ .∴PQ ＝BQ ＝2x m ．∴PC ＝PQ ＋CQ ＝3x m ．在Rt △PCA 中，AC ＝PC tan45°＝PC ＝3x m ．由AC －BC ＝AB ，得3x －3x ＝10，解得x ＝(5＋533)m ，∴PQ ＝2x ＝10＋1033≈15.8(m)．答：树PQ 的高度约为15.8m 33.如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M.由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6m ，HF ＝GE＝8m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24m ．设AM ＝x m ，则CN ＝x m ．在Rt △AMF 中，MF ＝AM tan45°＝x m ，在Rt △CNH 中，HN ＝CN tan30°＝3x m ．由HF ＝MF ＋HN －MN ，得8＝x ＋3x －24，解得x ＝163－16，∴AB ＝AM ＋BM ＝163－16＋1.6≈13.3(m)．答：教学楼AB 的高度为13.3m34. (1) ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠BCA ＝60°，AB ＝60m ，∴AC ＝AB tan60°＝603＝203(m)．答：斜坡下的点C 处到大楼的距离是203m (2) 如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，易得四边形AEDF 为矩形．∴DF＝AE ，DE ＝AF .设CD ＝2x m.∵在Rt △CED 中，∠DCE ＝30°，∴DE ＝12CD ＝x m ，CE ＝CD ·cos30°＝3x m ．∴BF ＝AB －AF ＝AB －DE ＝(60－x )m.∵在Rt △BFD 中，∠FDB ＝45°，∴DF ＝BF tan45°＝(60－x )m.由DF ＝AE ，得60－x ＝203＋3x ，解得x ＝403－60，∴CD ＝(803－120)m.答：斜坡CD 的长度为(803－120)m第34题第35题 35.由题意，得PA ＝80海里．如图，过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠APC ＝90°－60°＝30°，∠BPC ＝90°－45°＝45°.∵在Rt △ACP 中，cos ∠APC ＝PC P A，∴PC ＝P A ·cos ∠APC ＝80×cos30°＝403(海里)．∵在Rt △PCB 中，cos ∠BPC ＝PC PB ，∴PB ＝PC cos ∠BPC ＝403cos45°＝406≈98(海里)．答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里36.由题意，得点A 在点B 的正西方，∴如图，延长AB 交南北轴于点D ，则AB ⊥CD.∵∠BCD ＝45°，∴∠CBD＝45°＝∠BCD .∴BD ＝CD .在Rt △BDC 中，由sin ∠BCD ＝BD BC，BC ＝60nmile ，得BD ＝60×sin45°＝302(nmile)，CD ＝BD ＝302nmile.在Rt △ADC 中，由tan ∠ACD ＝AD CD，得AD ＝302×tan60°＝306(nmile)．∴AB ＝AD －BD ＝(306－302)nmile.∵海监船A 的航行速度为30nmile/h ，∴渔船在B 处需要等待的时间为AB 30＝6－2≈2.45－1.41≈1.0(h)．答：渔船在B 处需要等待1.0h 才能得到海监船A 的救援第36题第38题 37.过点P 作PD ⊥l ，垂足为D.设BD ＝x 米，则AD ＝(x ＋200)米．由题意，得∠PAB ＝90°－60°＝30°，∠PBD＝90°－45°＝45°.在Rt △ADP 中，tan30°＝PD AD ，∴PD ＝AD ·tan30°＝33(x ＋200)米．在Rt △PDB 中，tan45°＝PD BD ，∴PD ＝BD ·tan45°＝x 米．∴33(200＋x )＝x ，解得x ＝2003－1≈273.∴PD ＝273米．答：凉亭P 到公路l 的距离为273米38.如图，过点O 分别作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，易得四边形ONCM 为矩形．∴ON ＝MC ，OM ＝NC.设OM ＝xm ，则NC ＝x m ，AN ＝(840－x )m.在Rt △ANO 中，∵∠OAN ＝45°，∴易得ON ＝AN ＝(840－x )m.∴MC ＝ON ＝(840－x )m.在Rt △BOM 中，BM ＝OM tan ∠OBM ≈x 247＝724x (m)，由BM ＋MC ＝BC ＝500m ，得724x ＋840－x ＝500，解得x ＝480.答：点O 到BC 的距离为480m 39.如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则∠BAD ＝60°，∠DBC ＝90°－37°＝53°.设AD ＝x km.在Rt △ADB中，BD ＝AD ·tan60°＝3x km ，在Rt △BDC 中，CD ＝BD ·tan53°≈3x ·43＝433x (km)．由AC ＝AD ＋CD ，可得x ＋433x ＝13，解得x ＝43－3，此时BD ＝3x ＝(12－33)km.∴在Rt △BDC 中，BC ＝BD cos53°≈(12－33)×53＝(20－53)km.答：B ，C 两地的距离为(20－53)km 第39题第41题40. (1) ∵在Rt △EFH 中，∠H ＝90°，∴tan ∠EFH ＝i ＝1∶0.75＝43＝EH FH.∴设EH ＝4x (x >0)m.则FH ＝3x m ，EF ＝EH 2＋FH 2＝5x m ．∵EF ＝15m ，∴5x ＝15，解得x ＝3.∴FH ＝9m ．答：山坡EF 的水平宽度FH 为9m (2) 由(1)，得EH ＝12m ．设CF ＝y m ．∵L ＝CF ＋FH ＋EA ＝y ＋9＋4＝(y ＋13)m ，H ＝AB ＋EH ＝22.5＋12＝34.5(m)，H 1＝0.9m ，∴日照间距系数＝L ∶(H －H 1)＝y ＋1334.5－0.9＝y ＋1333.6.∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴y ＋1333.6≥1.25，∴y ≥29，即CF ≥29m ．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少29m 远41.根据题意，得AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝200m ，∠BDE ＝60°.如图，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F .∵i AD ＝1∶3，∴在Rt △ADF 中DF ∶AF ＝1∶3，即tan ∠DAF ＝33.∴∠DAF ＝30°.∴∠BAD ＝∠BAC －∠DAF ＝45°－30°＝15°.∵在Rt △AFD 中，AD ＝200m ，∴DF ＝12AD ＝100m ．∵AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BCA ＝∠DFC ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EC ＝DF ＝100m ．∵在Rt △DEB 中，∠DBE ＝90°－∠BDE ＝30°，在Rt △ACB 中，∠ABC ＝90°－∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBE＝45°－30°＝15°.∴∠ABD ＝∠BAD .∴AD ＝BD ＝200m ．∵在Rt △BDE 中，sin ∠BDE ＝BE BD，∴BE ＝BD ·sin60°＝200×32＝1003(m)．∴BC ＝BE ＋EC ＝(100＋1003)m.答：山BC 的高度为(100＋1003)m 42. (1) 如图①，分别过点D ，C 作DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.∵背水坡AD 的坡度i 为1∶0.5，∴在Rt △ADM 中，tan ∠DAB ＝DM AM＝2.∴设AM ＝x (x >0)m ，则DM ＝2x m ．根据题意，易得四边形DMNC 是矩形，∴DC ＝MN ＝3m ，DM ＝CN ＝2x m ．∵在Rt △BNC 中，tan ∠ABC ＝CN BN ，即tan37°＝2x BN ≈34，∴BN ≈2x ·43＝83x m ．由x ＋3＋83x ＝14，得x ＝3，∴DM ＝6m ．答：坝高为6m (2) 如图②，过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H ，DM ⊥AB ，垂足为M .由(1)，得FH ＝DM ＝6m ，FD ＝HM .设FD ＝y m ，则AE ＝2y m ．∵AM ＝3m ，∴EH ＝3＋2y －y ＝(3＋y )m ，BH ＝14＋2y －(3＋y )＝(11＋y )m.由EF ⊥BF ，FH ⊥AB ，得∠EHF ＝∠FHB ＝90°，∴∠E ＋∠EFH ＝∠EFH ＋∠HFB ＝90°.∴∠E ＝∠HFB .∴△EFH ∽△FBH .∴FH BH ＝EH FH，即FH 2＝BH ·EH .∴62＝(11＋y )(3＋y )，即y 2＋14y －3＝0.解得y 1＝－7＋213，y 2＝－7－213(不合题意，舍去)．∴DF ＝(213－7)m.答：DF 的长为(213－7)m第42题一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

中考数学解直角三角形试题汇编

中考数学解直角三角形试题分类汇编含答案一、选择题1、（2007山东淄博）王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）D（A ）350m（B ）100 m（C ）150m （D ）3100m解：作出如图所示图形，则∠BAD ＝90°－60°＝30°，AB ＝100，所以BD ＝50，cos30°＝ADAB，所以，AD ＝503，CD ＝200－50＝150，在Rt △ADC 中， AC ＝22AD CD +＝22(503)150+＝1003，故选（D ）。

2、（2007浙江杭州）如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）AA.82米B.163米C.52米D.70米3、（2007南充）一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）．B （A ）30海里（B ）40海里（C ）50海里（D ）60海里4、（2007江苏盐城）利用计算器求sin30°时，依次按键则计算器上显示的结果是( )AA ．0．5B ．0．707C ．0．866D ．15、(2007山东东营)王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )D（A ）150m（B ）350m（C ）100 m（D ）3100m6、（2007浙江台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为（）Ａ．68米Ｂ．70米Ｃ．121米Ｄ．123米图145︒30︒BAD C（注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）B二、填空题1、（2007山东济宁）计算45tan 30cos 60sin -的值是。

中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

解直角三角形一.选择题1．（2018·某某市B卷）5.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM==8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2018·某某某某·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2018·某某某某·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==；【解答】解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．二.填空题1. （2018·某某江汉·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile 处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：182. （2018·某某荆州·3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．3．(2018·某某省某某市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）．【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．∵CD=100米，∴AD=CD=100米，D B=米，∴AB=AD+DB=100+100（米）．故答案为：100+100．4. （2018·某某某某·3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．5.（2018·某某某某·3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．故答案为：9.5．三.解答题1. （2018·某某贺州·8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，∴AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，解得：AM=CM=40，∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里．2. （2018·某某某某·8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6m．∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布AB的高度约为45.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．3. （2018·某某某某·7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=AC=50海里，在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50≈193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里．【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4.（2018·某某省某某·7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；【解答】解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．5.（2018·某某省某某·8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，X角∠HAC 为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．6．（2018·某某省某某市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和B D均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH=CD=30m．∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．7．（2018·某某省某某市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8. （2018•呼和浩特•8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作DH⊥BC于H．设AE=x．∵DH：BH=1：3，在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，∴DH=60，BH=180，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x，∵又HC=ED，EC=DH，∴HC=x，EC=60，在Rt△ABC中，tan33°=，∴x=，∴AC=AE+EC=+60=．答：山顶A到地面BC的高度AC是米9. （2018•某某•8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．10. （2018•莱芜•9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠×0.9=0.72，AF=AB•cos∠×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=，∴≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2018·某某某某·6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则=xm，在Rt△AFM中，MF=，在Rt△H中，HN=，∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m．12．（2018·某某某某·8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，∴BE=xm，在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即CH=30m，则该段运河的河宽为30m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．。

直角三角形与勾股定理(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)解析

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√64【分析】根据勾股定理得到AC =√AB 2+BC 2=5，求得△ABC 的周长＝3+4+5＝12，得到AD ＝3，CD＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，根据相似三角形的性质得到DE =65，CE =85，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=5，∴△ABC 的周长＝3+4+5＝12，∵BD 平分△ABC 的周长，∴AB +AD ＝BC +CD ＝6，∴AD ＝3，CD ＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AB =CD AC =CE CB ， ∴DE 3=25=CE 4，∴DE =65，CE =85，∴BE =125，∴BD =√BE 2+DE 2=√(125)2+(65)2=6√55，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，从而可得∠DAC ＝∠C ，再结合已知易得BD ＝AD ，从而可得∠B ＝∠BAD ，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC ＝90°，从而在Rt △ABC 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∵BD ＝CD ，∴BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠B +∠BAD +∠C +∠DAC ＝180°，∴2∠BAD +2∠DAC ＝180°，∴∠BAD +∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD +CD ＝2AD ＝10，∴AB =√BC 2−AC 2=√102−82=6，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m ，n 进行验证、辨别．【解答】解：∵当m ＝3，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（32﹣12）＝4，b ＝mn ＝3×1＝3，c =12（m 2+n 2）=12×（32+12）＝5，∴选项A 不符合题意；∵当m ＝5，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（52﹣12）＝12，b ＝mn ＝5×1＝5，c =12（m 2+n 2）=12×（52+12）＝13，∴选项B 不符合题意；∵当m ＝7，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（72﹣12）＝24，b ＝mn ＝7×1＝7，c =12（m 2+n 2）=12×（72+12）＝25，∴选项D 不符合题意；∵没有符合条件的m ，n 使a ，b ，c 各为6，8，10，∴选项C 符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且1，则BM 2+2BN 2的最小值是（）A ．132B ．293C ．394D ．10【分析】过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，根据直角三角形的性质得到CE =√32CD =√3，求得BF =CE =√3，要使BM 2+2BN 2的值最小，则BM 和BN 越小越好，MN 显然在点B 的上方（中间位置时），设MF ＝x ，FN ＝1﹣x ，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，∵∠D ＝60°，CD ＝2，∴CE =√32CD =√3，∵AD∥BC，∴BF=CE=√3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．2√3B．2√3−3C．2√3或√3D．2√3或2√3−3【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH 的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH=12AC=32，AH=√3CH=32√3，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH=√BC2−CH2=√3−94=√32，∴AB＝AH+BH=3√32+√32=2√3，AD＝AH﹣DH=3√32−√32=√3，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．8．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、正确；∴CE=√DE2−CD2=4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC=CDCE，tan∠FDB=BFDF，∴34=BF3，解得BF=94，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2【分析】作BH ⊥OC 于H ，利用含30°角的直角三角形的性质得OB ＝2，再由勾股定理得OC =√5，再根据cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，得OB OC =BH BC，代入计算可得答案．【解答】解：作BH ⊥OC 于H ，∵∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，∴OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，∵∠CBO ＝∠BHC ＝90°，∴∠CBH ＝∠BOC ，∴cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，∴OB OC =BH BC ， ∴√5=BH1，∴BH =2√55，故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．10．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（） A ．3√32 B ．5√32 C ．3√3 D ．7√32【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 并延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2S0，∴S 1=12S 0， ∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0=√34×62＝9√3，∴S 1=9√32，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△P AB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT ⊥AB ，CT ⊥PM ，∴12•AB •RT =9√32，CR ＝3√3，OR =√3， ∴RT =3√32， ∴OT ＝OR +TR =5√32， ∵OP ≥OT ，∴OP 的最小值为5√32，当点P 在②区域时，同法可得OP 的最小值为7√32，如图，当点P 在①③⑤区域时，OP 的最小值为5√32，当点P 在②④⑥区域时，最小值为7√32， ∵5√32＜7√32，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△P AB 的面积是定值．11．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10，∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB =AF AC ， ∴AE 10=28， ∴AE =52，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE=12AC•BC÷12÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE=√AC2−CE2=√32−2．42=1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP=√52+32=√34，CN=√52+42=√41，∵√41＞√34＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为（）A．√5B．3+√52C．2√2D．√10【分析】设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF ＝AB =√5m ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，可解得x ＝m ，有AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ，从而可得AP =√5m 2，FP =52m ，BP =√5m 2，即知P 为AB 中点，CP ＝AP ＝BP =√5m 2，由△CPN ∽△FP A ，得CN ＝m ，PN =12m ，即得AN =√5+12m ，而tan ∠BAC =BC AC =CN AN =2√5+1，又△AEC ∽△BCH ，得BC AC =CH CE，即√5+1=√10+√2，故CH ＝2√2．【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ，∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2，∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去），∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =AP AF =AL FL =m 2m =12，∴√5m=12， ∴AP =√5m 2，∴FP =√AP 2+AF 2=√(5m 2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m 2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB ＝90°，∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，∴CP FP =CN AF =PN AP ，即√5m 252m =5m =√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12=25+1， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ，∴BC AC =CH CE ，∵CE =√10+√2，∴√5+1=10+2，∴CH ＝2√2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A．√3B．32C．√2D．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC=√5，BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√(√5)2−12=2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB=12OB＝1，∴OA=√OB2−AB2=√22−12=√3，故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1⋅m2=(a2+b2)⋅(c2+d＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD=12AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt △ABC的中位线是解决问题的关键．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3cm，故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC =12AC ＝2，故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．24．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【分析】根据题意可知：MN 是线段AC 的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D 为AB 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD 的长．【解答】解：由已知可得，MN 是线段AC 的垂直平分线，设AC 与MN 的交点为E ，∵∠ACB ＝90°，MN 垂直平分AC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，AE ＝CE ，∴ED ∥CB ，∴△AED ∽△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴12=AD AB， ∴AD =12AB ，∴点D 为AB 的中点，∵AB ＝3，∠ACB ＝90°，∴CD =12AB ＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB 的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．26．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【分析】作AD ⊥BC 于点 D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，又∵AD ⊥BC ，∴AD =12AB =12×12＝6（m ），故选：B ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握3027．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，∠DAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，将△AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM ⊥AE ；②四边形EFBC 是正方形；③∠EBM ＝30°；④S 四边形BCEM ：S △BFM ＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．③④【分析】延长BM 交AE 于N ，连接AM ，由垂直的定义可得∠AFE ＝∠EFB ＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF ＝67.5°，从而有∠EAF +∠FBM ＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=√2FM，推导得出AM＝EM=√2FM，从而EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM=√2FM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM=√2FM，∴EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=√AB2+BC2=√302+40250（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DF A＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DF A＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF′=12AD=2，∴BO=√52+22=√29，∴线段BF的最小值为√29−2，故答案为：√29−2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠C ＝90°，∴CD ⊥BC ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，{CD =DE BD =BD， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ），∴BC ＝BE ＝6，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∴AE ＝AB ﹣BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则AD ＝AC ﹣CD ＝8﹣x ，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2＝AD 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AD ＝8﹣x ＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若b ﹣a ＝4，c ＝20，则每个直角三角形的面积为．【分析】根据勾股定理可知a 2+b 2＝c 2，再根据b ﹣a ＝4，c ＝20，即可得到a 、b 的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a 2+b 2＝c 2，∴{a 2+b 2=202b −a =4且a 、b 均大于0，解得{a =12b =16， ∴每个直角三角形的面积为12ab =12×12×16＝96，故答案为：96．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．33．（2022•常州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点H ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点H ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点G ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=√DF2+EF2=√32+42=5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15，∵12•DF•EF=12•DE•GF，∴FG=12 5，∴BG=√BF2−FG2=√32−(125)2=95，∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE=165，∴F′H＝FG=12 5，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM=BFAC=13，∴BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，∴MN＝15−154−154=152，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+152）×125=21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH=AB2=√3，而∠C＝60°，知CH=12AC，由勾股定理有（12AC）2+（√3）2＝AC2，即可解得答案．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠B ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴BH ＝AH =AB 2=√62=√3， ∵∠C ＝60°，∴∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ，在Rt △ACH 中，CH 2+AH 2＝AC 2，∴（12AC ）2+（√3）2＝AC 2，解得AC ＝2（负值舍去），故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含45°，30°角的直角三角形三边的关系．35．（2022•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在AB 、AC 上，点A 关于EF 的对称点A '落在BC CA '＝x ．若AE ＝AF ，则x ＝；设AE ＝y ，请写出y 关于x 的函数表达式：．【分析】连接A 'E ，A 'F ，由点A 关于EF 的对称点A '落在BC 上，AE ＝AF ，可得A 'E ＝AE ＝A 'F ＝AF ，四边形AEA 'F 是菱形，即知A 'B ＝2A 'E ，而CA '＝x ，在Rt △A 'CF 中，可得x 2+（12x ）2＝（2−12x ）2，解得x =√5−1；若AE ＝y ，过E 作EH ⊥BC 于H ，由△BHE ∽△BCA ，可得BH ＝4−2√55y ，HE ＝2−√55y ，在Rt △A 'HE 中，有（2√55y ﹣x ）2+（2−√55y ）2＝y 2，变形可得答案．【解答】解：连接A 'E ，A 'F ，如图：。

全国各地中考数学分类：直角三角形的边角关系综合题汇编附详细答案

全国各地中考数学分类：直角三角形的边角关系综合题汇编附详细答案一、直角三角形的边角关系1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．2．在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE=12∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ．（1）当点P 与点C 重合时（如图1）．求证：△BOG ≌△POE ；（2）通过观察、测量、猜想：BF PE= ，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE 的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ． ∴BM BN PE PN=．在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF =tan PE α． ∴BF 1=tan PE 2α．（1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论．（3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BN tan =PN α即可求得BF 1=tan PE 2α．3．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ．（2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3 ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t + 如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，直线DE 交x 轴于点E （30，0），交y 轴于点D （0，40），直线AB ：y ＝13x +5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交直线DE 于点P ，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AB 于点F ，以EF 为一边向右作正方形EFGH ．（1）求边EF 的长；（2）将正方形EFGH 沿射线FB 的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E 1F 1G 1H 1，在平移过程中边F 1G 1始终与y 轴垂直，设平移的时间为t 秒（t ＞0）． ①当点F 1移动到点B 时，求t 的值；②当G 1，H 1两点中有一点移动到直线DE 上时，请直接写出此时正方形E 1F 1G 1H 1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF ＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E （30，0），点D （0，40），求出直线DE 的直线解析式y=-43x+40，可求出P 点坐标，进而求出F 点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'10，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中， 43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=；当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

中考数学专题解直角三角形含答案

4、在 ABC 中， C 1350 ,a 2,b 2 求：①c 的长 ②sinA 的值 ③求 AB 边上的高 h
5、如图 8，在 ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3,BAC 的平分线 AD=12，求 ABC 其余各边的长，各角的度数和 ABC 的内切圆的半径的长。
6、如图 9，要测铁塔的高 AB，从与铁塔底部在同一水平直线上的 C、D 两处，用测角仪器测得铁塔顶 B 的仰角分别为 300 和 450 ，C、D 间距离为 14 米，测角仪器的
2
A、＞600
B、＜600
C、＞300
D、＜300
13、若 00＜＜1800，且 cos 3 ，则角的度数是：
2
A、300
B、600
C、1500
D、300 或 1500
14、在 ABC 中， A 900 ，AD⊥BC，若 AB＝2AC，则 BC 与 DC 之间的关系为：
A、BC=2DC
A、12, 3 3
B、12, 3
C、 4 3, 3 3
D、 4 3, 3
11、若 , 互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：
A、 sin sin ＞0
B、cos -cos ＞0
C、 sin sin ＝0
D、cos ＋cos ＝0
12、是直角三角形的一个锐角， cos ＞ 1 则：
为：
A、16 和 9
B、9 和 16
C、16 和 12
D、12 和 16
三、解答题
1、已知 00＜＜1800，00＜θ ＜1800，且 cos 3 ,sin 1 ，
2
2
求 tg ctg 的值。
2、 RtABC 中， C ＝900，c=17，内切圆半径 r＝3，求两条直角边 a、b。

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直角三角形中考试题汇编答案及分析2、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．3、（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（）A．B．C．D．2考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解答：解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，即PA+PC的最小值是，故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．4、（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6B．8C．10 D．12考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．分析：M N表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE 中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．解答：解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B，过点B作BE⊥A A′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，BE==，在Rt△A′EB中，A′B==8．故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．5、（2013•绥化）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD 与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2，∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，而BD2≠2AB2，本选项错误，综上，正确的个数为3个．故选C点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6、（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5B．C．D．5或考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．解答：解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选D．点评：题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．7、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解答：解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．8、（2013台湾、14）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．解答：解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D为AB中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，故选C．点评：本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．9、（10-4图形变换综合与创新·2013东营中考）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对m（容器厚度忽略不计）.16. 1.3.解析：因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF 上找一点P ，使PA+PB 最短，过A 作EF 的对称点A '，连接A B '，则A B '与EF 的交点就是所求的点P ，过B 作BM AA '⊥于点M ，在Rt A MB '∆中， 1.2A M '=，12BM =，所以22 1.3A B A M BM ''=+=，因为A B AP PB '=+，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.16题答案图10、（2013•滨州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为 2．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：根据勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴AC===2．故答案为：2．点评：本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观．11、（2013山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为______.【答案】103 【解析】由勾股定理求得：BD=13，DA=D 'A =BC=5，∠D 'A E=∠DAE=90°，设AE=x ，则'A E=x ，BE=12－x ，B 'A =13－5＝8，在Rt △E 'A B 中，222(12)8x x -=+，解得：x ＝103，即AE 的长为10312、（2013四川宜宾）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG 、DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为 20 ．考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD =FD ，则可判断四边形BGFD 是菱形，设GF =x ，则AF =13﹣x ，AC =2x ，在Rt △ACF 中利用勾股定理可求出x 的值．解答：解：∵AG ∥BD ，BD =FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴BD =DF =AC ，∴四边形BGFD 是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，故四边形BDFG的周长=4GF=20．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．13、（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．考点：勾股定理．专题：规律型．分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．解答：解：由勾股定理得：OP4==，∵OP1=；得OP2=；依此类推可得OP n=，∴OP2012=，故答案为：．点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．14、（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．考点：勾股定理；坐标与图形性质．专题：分类讨论．分析：需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．解答：解：如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）．则+=6，解得，b=2或b=﹣2，此时C（0，2），或C（0，﹣2）．如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）．则|﹣﹣a|+|a﹣|=6，即2a=6或﹣2a=6，解得a=3或a=﹣3，此时C（﹣3，0），或C（3，0）．综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．故答案是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．点评：本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．15、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF 中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．16、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．考点：解直角三角形，钝角三角形的高分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，分两种情况，点D与C在AB同侧，D与C在AB异侧，考虑要全面；解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=22,作CE⊥BD于E,CD=BD=22,ED=322,由勾股定理CD=5当点D与C在AB异侧，BD=AB=22,∠BDC=1350，作DE⊥BC于E,BE=ED=2,EC=3，由勾股定理CD=13故填5或1317、（2013哈尔滨）如图。