核心素养专题：古代问题中的勾股定理
人教版八年级下册数学核心素养专题练习题(含答案)
人教版八年级下册数学核心素养专题练习题核心素养专题：古代问题中的勾股定理◆类型一勾股定理应用中的实际问题1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺第1题图第2题图2．(2017·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．解决下列问题：(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；(2)设户斜长x，则可列方程为________________．3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．4．(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．◆类型二 勾股定理的证明问题 5．(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，求(a ＋b)2的值；(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法：第一步S 6＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘以k ，得三边长．当面积S ＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．参考答案与解析1．D 2.(1)4 2 (2)(x －4)2＋(x －2)2＝x 23.14.54．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC ＝3尺，CD ＝205＝4(尺)，∴AD ＝32＋42＝5(尺)，∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．5．106．解：(1)根据勾股定理可得a 2＋b 2＝13，四个直角三角形的面积是12ab ×4＝13－1＝12，即2ab ＝12，则(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝13＋12＝25，即(a ＋b )2＝25.(2)当S ＝150时，k ＝m ＝S 6＝1506＝25＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.类比归纳专题：有关中点的证明与计算——遇中点，定思路，一击即中◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离( )A ．变小B ．不变C ．变大D ．无法判断。
指向核心素养的勾股定理教学设计
三、总结
指向核心素养的勾股定理教学研究不仅要注重数学知识的学习，更重要的是 要培养学生的核心素养。通过创设情境、探究式学习、利用现代技术等策略，让 学生感受到数学与生活的紧密，培养其创新思维和实践能力。教师也应该不断更 新教育观念和教学方法，以适应新时代教育发展的需要。
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创造性地使用教材，积极开发、利用课程资源，使学生在解决问题的过程中 探究、体验、理解和掌握数学知识、思想和方法，真正体现“人人学有价值的数 学，人人都能获得必需的数学”的教学理念。
【教学内容分析】
1、内容与地位
勾股定理是初中数学的重要内容之一，是几何中一个重要的基础知识，又是 进一步学习与探讨其他数学知识的基础。它主要研究直角三角形三边的关系，即 两锐角平方和等于直角平方。它有着悠久的历史和丰富的文化内涵。从古至今， 从东方到西方，
【教学设计说明】
本教学设计以义务教育课程标准实验教科书华东师大版数学八年级下册第十 二章第二节“勾股定理”为研究对象，以《全日制义务教育数学课程标准（实验 稿）》为指导，学生的核心素养的培养和发展，坚持“以学生发展为本”的理念，
体现“以人为本，以学生的生活、经验、兴趣为出发点，让学生在学习活动 中积累经验，发展数学素养”的设计思想，以“问题情境——建立模型——解释、 应用与拓展”的基本模式进行设计，立足于学生的现实生活经验和已有的数学活 动经验，
2、反馈方式：及时反馈学生的学习情况，对学生的学习进行指导和帮助， 同时对教学方法和策略进行调整和完善。
【教学流程图】
1、复习旧知识引入新课（5分钟）
通过复习与新知识有关的旧知识， 为新知识的探究作铺垫。
2、探究新知识（15分钟）
通过观察、猜想、验证等方法探 究新知识。
立足整体设计 发展核心概念 奠定核心素养发展基础——以“勾股定理(第一课时)”的教学设计为例
立足整体设计发展核心概念奠定核心素养发展基础——以“勾股定理（第一课时）”的教学设计为例池雪妮1柯跃海21福建省福州屏东中学（350000）2福建师范大学数学与信息学院（350117）《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性．”“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想．”为体现义务教育阶段数学课程的发展性及其培养关注，《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性和发展性．”“数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养．”“数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．”“还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．”整体研读两个课程标准的相关表述，容易明确：义务教育阶段十个数学核心概念的发展旨在为高中教育阶段六个数学学科核心素养的发展奠定基础．基于这样的理解，如何立足整体设计，将核心概念的发展有效地融入初中数学教学设计，为与核心概念相关联的数学学科核心素养的发展提供基础性的保障，应该是初中数学教学设计的重要关注，本文拟以《义务教育教科书·数学八年级下册》“17.1勾股定理（第一课时）”为例，阐释笔者的相关认识与实践．1 教学设计的基础准备基于高中教育阶段六个数学学科素养的发展准备，并基于教学实施的可操作性而审视义务教育阶段十个数学核心概念的发展，则应该认为：明晰数学核心概念与学科核心素养的外显表现、明确数学核心概念与学科核心素养的内在关联、明了数学核心概念与学科核心素养的内容载体，是将核心概念发展有效融入初中数学教学设计的三个必要的基础准备．1.1 数学核心概念与学科核心素养的外显表现研读关于数学核心概念与学科核心素养内涵的相关表述，可以将其外显表现明晰如下：表1 义务教育阶段数学核心概念的外显表现核心概念外显表现数感数与数量关系、运算结果估计的感悟．符号意识运用符号表示数、数量关系和变化规律；使用符号进行运算和推理，得到一般性结论．空间观念根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出实际物体；想象出物体方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形．几何直观利用图形描述和分析问题．数据分析观念调查、收集、分析数据，体会数据中蕴含的信息；了解多种数据分析的方法，根据问题选择合适的方法；体验数据的随机性．运算能力根据法则和运算规律正确地进行运算．推理能力合情推理；演绎推理．模型思想体会和理解数学与外部世界的联系；了解建立和求解模型的过程．应用意识有意识的利用数学概念、原理和方法解释现象，解决问题；将现实问题抽象成数学问题，予以解决．创新意识发现和提出问题；独立思考、学会思考；得到猜想和规律，加以验证．表2 高中教育阶段数学学科核心素养的外显表现学科核心素养外显表现数学抽象获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．逻辑推理掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．数学建模发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．直观想象建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．数学运算理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．数据分析收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识．1.2 明确数学核心概念与学科核心素养的内在关联进一步审视表1和表2，可以明确数学核心概念与学科核心素养存在着如下的内在关联：表3 数学核心概念与学科核心素养的内在关联核心概念学科核心素养数感数学抽象符号意识创新意识推理能力逻辑推理模型思想数学建模应用意识空间观念直观想象几何直观运算能力数学运算数据分析观念数据分析1.3 明了数学核心概念与学科核心素养的内容载体基于表1～3，审视“17.1勾股定理（第一课时）”的教学内容，可以明了教学内容与数学核心概念和学科核心素养发展之间的载体关系．表4 教学内容与数学核心概念和学科核心素养发展之间的载体关系序号教学内容发展的核心概念关联的学科核心素养1 教材P22，图17．1-1几何直观直观想象应用意识数学建模创新意识数学抽象2教材P22，思考几何直观直观想象运算能力数学运算模型思想数学建模3 教材P23，探究推理能力逻辑推理几何直观直观想象运算能力数学运算4教材P23-24，命题1符号意识数学抽象几何直观直观想象运算能力数学运算推理能力逻辑推理5 教材P24，练习1运算能力数学运算6 教材P24，练习2几何直观直观想象运算能力数学运算2 教学设计的方案呈现基于上述的基础准备，同时综合考量《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本课时教学内容的水平要求和教学设计的可操作性，可以得出如下旨在为数学学科核心素养发展奠定基础的、指向数学核心概念发展的教学设计．2.1 知识导入环节的方案设计教学内容设置1 图17.1-1（图1）中图形面积的数量关系的探究．处理方式预设（1）简单介绍毕达哥拉斯学派的历史，激发学习兴趣．（2）提出探究方向——图形中相邻的直角三角形的面积与正方形的面积之间的数量关系．（3）学生交流探究所得，教师引领形成猜想：等腰直角三角形两直角边所在的正方形的面积之和等于斜边所在的正方形的面积．核心发展关注上述过程，基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“将现实问题抽象成数学问题”发展了应用意识，为数学建模素养构筑了发展基础；基于“发现和提出问题、得到猜想和规律”发展了创新意识，为数学抽象素养构筑了发展基础．2.2 知识探索环节的方案设计教学内容设置1 借助图17.1-2（图2）验证进而明确等腰直角三角形的三边之间的数量关系．图1 图2处理方式预设（1）引导学生由正方形的面积联想边长的平方，进而得到等腰直角三角形三边长关系的猜想．（2）引导学生借助图3，计算分别以同一个等腰直角三角形的三边长为边长的正方形面积，并发现它们之间存在的数量关系，进而明确建立表示等腰直角三角形的三边之间数量关系的数学模型：等腰直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和．核心发展关注上述过程，基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展了运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础；基于“建立和求解模型”发展了模型思想，为数学建模素养构筑了发展基础．教学内容设置2 借助图17.1-3（图4）提出一般直角三角形的三边之间的数量关系．验证进而明确任意直角三角形三边之间的数量关系．处理方式预设 （1）引导学生基于一般化的思考，提出关于任意直角三角形三边之间的数量关系的猜想：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．（2）引导学生借助图17.1-3（图4）验证所提出的猜想．核心发展关注 上述过程，基于“合情推理”发展了推理能力，为逻辑推理素养构筑了发展基础；基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础．教学内容设置3 基于内容2探究环节所得，运用文字语言、符号语言和图形语言表征任意直角三角形三边之间的数量关系，并探究完成该数量关系的证明．处理方式预设 （1）引导学生运用文字语言、符号语言和图形语言表征任意直角三角形三边之间．（2）引导学生了解、进而明确借助“赵爽弦图”（图5）证明任意直角三角形三边之间的数量关系（勾股定理）（图6）．图6（3）引导学生了解、进而明确借助“邹元治图”（图7）证明任意直角三角形三边之间的数量关系．核心发展关注 上述过程，基于“运用符号表示数、数量关系和变化规律”发展了符号意识，为数学抽象素养构筑了发展基础；基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础；基于“演绎推理”发展了推理能力，为逻辑推理素养构筑了发展基础．图72.3 知识巩固环节的方案设计教学内容设置1 运用勾股定理完成教材P24的两道练习题．处理方式预设 （1）学生独立探索完成练习题的求解．（2）学生代表展示求解方案，师生共同完善求解方案．核心发展关注 上述过程，强调了知识导入和知识探索环节中为主发展的核心概念，强化了相关学科核心素养发展的基础．教学内容设置2 课堂学习所得回顾．处理方式预设 （1）学生依托学习笔记，独立回顾课堂学习过程．（2）学生代表回顾课堂学习所得，师生共同完善．核心发展关注 上述过程，夯实了知识的研习、强调了核心概念的发展，进而强化了相关学科核心素养的发展基础．3 结束语就广义的教学设计而言，本文呈现的方案至少必须添加“知识应用巩固（课后作业布置）环节”，方可被认为是完整的．之所以将该环节略去，纯属基于明晰本文主题的考量——数学教学设计，必须聚焦核心概念和核心素养的发展．正是基于这样的理解，本文试图给出关于初中数学核心概念、高中数学学科核心素养发展的共识：发展初中数学核心概念的终极目标是发展高中数学学科核心素养，因而，初中数学教学设计，必须基于知识载体，确定相关数学核心概念的发展着力点，方能未雨绸缪地为与数学核心概念相关联的学科核心素养的发展奠定基础．a bac cb a bc c cc a b a a bb baacac b 黄实 朱实Ac BCb a 朱实朱实 朱实参考文献[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018[2]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2012[3]人民教育出版社．义务教育教科书·数学八年级下册[M]．北京：人民教育出版社，2014[4]余文森．核心素养导向的课堂教学[M]．上海：上海教育出版社，2017 [5]柯跃海．浅析指向学科核心素养培养的数学教学设计[J]．福建中学数学，2019（11）：10-13[6]杨恩彬，柯跃海．知识能力素养，三位一体并进[J]．中学数学教学参考，2018（5）：8-10（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《学科核心素养导向的中学数学教学设计研究》（立项编号：FJJKCG18-044）的阶段研究成果）核心素养视域下的关键教学点研究——以等腰三角形性质为例王淋淋1张弘21福建省福州第十一中学（350001）2福建省普通教育教学研究室（350003）初中数学中的关键教学点是指在初中数学教学中，属于基础性、本质性的核心教学内容．这些“关键教学点”对初中数学的教学发挥奠基、示范、归纳、引领、启迪等作用，是发展学生核心素养的关键抓手．等腰三角形性质作为第一个严格地按照定义、性质、判定展开教学的封闭几何图形，体现了研究几何图形性质的一般方法，是初中几何教学的一个关键教学点．1 等腰三角形性质为什么是关键教学点“等腰三角形性质”是人教版教材（以下简称教材）八年级上册第十三章第3节（第1课时）的内容．结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）以及教材的要求，从知识、素养两个层面考虑，笔者认为等腰三角形性质的教学对后续几何学习具有示范、引领的作用，是初中几何教学的一个关键教学点．1.1 知识层面等腰三角形是最常见的轴对称图形之一，是初中阶段研究图形与变换的基础．等腰三角形性质是轴对称图形的性质、全等三角形等知识的深化和应用，不仅进一步丰富了证明两角相等、线段相等和垂直的方法，又是后续研究等边三角形、菱形、正方形及圆等几何图形性质的基础，是平面几何体系中支柱性定理之一，在几何学习中具有不可替代的地位和作用．1.2 素养层面（1）借助图形的变换研究图形的性质，是几何教学中常用的方法．利用等腰三角形的轴对称性，不仅是发现等腰三角形性质的关键所在，也为培养学生的几何直观能力提供素材，同时也为后续学习中利用对称性探索其它几何图形的性质提供了方法与策略上的参考．（2）本节课运用合情推理和演绎推理相结合的模式探究等腰三角形的性质，让学生经历“操作（实验）→猜想→证明”的探究过程，从中发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，培养学生严谨的思维习惯．另外，等腰三角形性质的探究过程中，渗透的类比、转化、特殊与一般等中学阶段重要的数学思想，也影响着学生核心素养的培养和发展．（3）等腰三角形是第一个严格地按照定义、性质、判定展开教学的封闭几何图形．对等腰三角形性质的探究所渗透的几何图形性质的研究经验、解决几何问题的思路和方法，是研究几何对象的“一般方法”，是后续研究等边三角形、四边形、圆等几何图形的范例，更是发展学生的数学学科核心素养的需要，在几何图形的研究中占有极其重要的地位．基于对数学学科的核心素养的培养，本节课能力发展的长期目标定位为以下三个方面：（1）如何培养学生的几何直观能力？具体如何操作？（2）如何发展学生的推理能力？体现在哪些方面？（3）如何让学生体会、感悟本节课用到的研究几何图形的思路和方法？2 教学实施2.1 几何直观的培养数学实验则是培养学生几何直观的有效方式，在实验过程中，学生经历操作、观察、探究等活动，。
八年级上册历史知识点勾股
八年级上册历史知识点勾股历史课程的内容丰富多彩，其中必然有人们熟知的知识点，也有相对冷门的知识在内。
在八年级上册历史学习中，勾股定理会是其中一个比较冷门的知识点。
勾股定理是中国古代数学的基石之一，也是人类历史上重要的发现之一。
它的传统表述是：直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和。
这个定理的发现者是古代中国数学家毕氏。
在勾股定理得到应用的领域，数不胜数，比如测量土地、建筑、天文导航都需要用到勾股定理。
勾股定理公式简单明了，y²=x²+z²，其中x、y、z都是直角三角形的边，且x和z之间成直角，y为斜边。
不过，勾股定理的历史和传播不仅仅是这些。
从毕氏到欧几里德、印度数学家、伊朗数学家、俄国数学家、日本数学家均为勾股定理做出过重要的贡献，也传承了很多美丽的数学故事。
通过勾股定理，也可以更深入地认识中西数学文化间的交流和影响。
如今，在各类科技产品和工程项目中，勾股定理仍然发挥着非
常重要的作用，而它也让我们明白数学这一学科的深远影响。
通过八年级上册历史学习中的勾股定理，我们可以拓展对数学、科技、文化等的认知，不仅让我们更好地认识古代数学史和世界
的数学发展史，也让我们更好地理解现代社会的科技和文化，为
我们更好地掌握现代世界发展规律打下了基础。
第一章勾股定理复习课教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-对于实际问题，教师需设计不同难度的题目，如斜边未知、一条直角边未知或者需要用到勾股定理的变形等，帮助学生克服在应用中遇到的困难。
-在证明难点上，教师应详细解释每种证明方法的思路，如几何拼贴法中如何通过面积相等来推导出勾股定理，代数推导法中如何利用平方差公式等。
-对于勾股数的创造性应用，教师可以通过提供不完整的直角三角形信息，让学生尝试用勾股数去补全信息，锻炼学生的思维能力和创新意识。
4.学生小组讨论环节，大家积极分享自己的观点和想法，有助于提高他们的表达能力和思维能力。但在今后的教学中，我需要关注每个学生的参与程度，鼓励他们大胆发表自己的见解，使讨论更加全面和深入。
5.总结回顾环节，学生对勾股定理的理解和掌握程度得到了巩固。但在今后的教学中，我应加强对学生的引导，帮助他们从多个角度理解和运用勾股定理，提高他们的综合运用能力。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一数学概念。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.导入新课环节，以生活中的实际例子引导学生思考，激发了他们的学习兴趣。然而，在今后的教学中，我应更加注重引导学生从实际问题中发现数学规律，提高他们的问题意识。
3.提升学生的数学建模素养，将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
勾股定理教学中的核心素养培育
勾股定理教学中的核心素养培育作者：徐萍来源：《数学教学通讯·初中版》2019年第12期[摘要] 在初中数学教学中，要建立对核心素养的准确理解，应当结合具体的教学初中来进行. 勾股定理是初中数学中的重要知识点，也是充满探究意味的学习过程. 在这样的过程中，可以发掘到核心素养培育的多个元素. 站在学生的角度来看，学生经历了从生活事物到数学对象的转变，经历了在生活事物中发现数学规律，并通过数学运算、数据分析、逻辑推理得出这个数学规律的数学表达，于是就真正实现了用数学语言去描述数学规律的教学目标. 学生看到直角三角形后的第一反应往往就是勾股定理，这就是数学学科核心素养的表现.[关键词] 初中数学;勾股定理;核心素养在当前比较热门的核心素养的讨论语境当中，笔者感觉作为初中数学教师，需要清醒地认识到：核心素养的概念提出，固然是教育教学的一大进步，其具体到数学学科的六个要素（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）的表述，更加是为数学教学指明了目标;同时应当注意到的是，核心素养的培育不应当是一个空洞的过程，任何离开了数学知识学习与运用过程的教学目标，都是无法达成的，核心素养也不可能例外. 基于这一认识，笔者以为在初中数学教学中，要建立对核心素养的准确理解，还应当结合具体的教学来进行.勾股定理是初中数学中的重要知识点，也是充满探究意味的学习过程，在这样的过程中，可以发掘到核心素养培育的多个元素. 反之，如果从核心素养的角度去审视勾股定理的教学，并将这些环节明晰化，那么对核心素养的培育也是非常有帮助的. 本文就以勾股定理为例，谈谈笔者的相关思考.核心素养的培育需要基于知识教学强调核心素养的培育需要基于数学知识的教学，主要是从数学学科核心素养的六个要素来看，其都必须依靠具体的知识教学过程而进行，而初中数学因其知识内容相对较为抽象，核心素养的培养更加需要采取科学、合理的教学方式. 那么，基于知识教学的核心素养培育，还需要建立什么样的理解呢？笔者在分析了相关的理论研究成果与自身的实践案例的基础上，提出了如下几点认识：一是数学学科核心素养与数学知识之间是“神”“形”关系. 这个判断其实很容易理解，以数学抽象为例，数学抽象的对象是什么？是对生活事物、事例的抽象;数学抽象的目标是什么？是凸显生活事物、事例中的数学元素，并且用数学语言来描述;数学抽象的方法是什么？是包括分析与综合，是归纳，是逻辑推理等;数学抽象的结果是什么？是建立数学研究对象（常常以数学模型的形式存在）.在“勾股定理”的教学中，教学常常以毕达哥拉斯研究生活中的实例来创设情境. 当学生进入这个情境后，首先思考的是实例中的内容，在思考的过程中，会将实例抽象成图形，然后去寻求其中的数量关系（这也就实现了数形结合）. 通过这样的分析就可以看出，这样的一个学习过程中，学生的思维就已经经历了数学抽象、逻辑推理等过程，相应的这两个核心素养就可以得到培养.二是在数学知识生成的过程中建立核心素养视角，是核心素养落地的重要保证. 笔者在教学分析的过程中，有一个观点越来越清晰，那就是在核心素养提出之前，数学教学中并非不存在核心素养培育的环节，只不过在那样的教学情境中，核心素养可能被其他概念进行表述，也有可能是没有被教师和学生认识到，但其应当是存在的，否则就无法说明为什么传统的数学教学同样培养出了那么多优秀的人才. 但这种隐性的存在，对于教学来说最大的不足，就是不能将核心素养更加显著地凸显出来，因而也就不能针对核心素养的落地进行有针对性的教学. 因此在初中数学教学中，将核心素养作为教学及其研究的视角，让核心素养培育变得更加显性化，就可以保证核心素养的落地.“勾股定理”教学中培育核心素养的分析笔者在“勾股定理”的教学中，尝试以核心素养的视角去设计并实施，取得了较好的教学效果. 当然，这个过程中有对他人研究成果的借鉴，比如说有同行提出在“勾股定理”的教学中，通过创设教学情境，设计系列问题，引导学生探索、发现勾股定理，并引导学生从特殊到一般，用度量、数格子、拼图等多种方法验证、证明勾股定理，这样就可以让学生经历勾股定理建构的过程. 而且在这一过程中，可以让学生更积极地思考、尝试、探索，以一个创造者的身份探究知识，激发学生的学习热情，这样就可以发展学生的数学学科核心素养. 笔者在教学中，对其中的这样几个环节重点进行了引导：在创设情境环节，笔者用现代教学手段向学生展示如图1所示的地面砖，然后用颜色凸显出其中的关键图形，如图2. 在这个过程中，学生对图1的观察，对图2的分析，其实就是一个数学抽象的过程，因为图1是实物，而图2是数学，从实物到数学，就是数学抽象的基本体现.在探究的环节：其后，笔者引导学生对A，B，C三个图形进行分析，尤其是从面积关系的角度进行分析，其实就是在数形结合的基础上，通过逻辑推理、数学运算、数据分析等，去发现数量关系（面积关系）. 当学生基于这个图形得出a2+b2=c2时，还有两个重要的核心素养培育的契机：一个就是对于其他普通的直角三角形，这个结论是否成立，这是从特殊到一般的演绎，而演绎原本就是思想方法之一，也是逻辑推理的体现之一;另一个就是证明勾股定理的新的方法的探究，因为勾股定理的证明方法非常多，适当地介绍或者是让学生探究新的证明方法，对于拓展初中学生的思维是非常有好处的，这是可以提升学生的数学学习品质的，因此是核心素养培育的空间之一，即使学生不能自主想出证明方法，教师向学生介绍“赵爽弦图”之类的数学史料，对于学生的数学思维拓展来说，也是非常有益的.在这样的教学过程中，可以发现数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析非常丰富. 而当勾股定理的表达式最终出现并确认为定理时，其实际上又成为学生分析直角三角形的工具，是以模型的形态存在的，是数学建模的体现. 除此之外，在上述教学过程中，还应当结合数学实验来进行教学，因为数学实验能够促进学生的数学体验. 事实证明，将实验巧妙地与数学探究相结合，可以极大地激发学生学习数学的兴趣，通过学生主动参与实践过程，有利于深入探究解决问题，明确数学知识的来源、发展和应用，形成数学知识体系的核心素养.站在学生的角度来看，通过上述教学过程的参与，学生经历了从生活事物到数学对象的转变，经历了在生活事物中发现数学规律，并通过数学运算、数据分析、逻辑推理去得出了这个数学规律的数学表达，于是就真正实现了用数学语言去描述数学规律的教学目标. 从此以后，学生看到直角三角形，往往第一反应就是勾股定理所描述的关系，这显然是数学学科核心素养的表现. 即使从更为宏观的核心素养的角度来看，在这样的过程中，学生也更容易形成关键能力，且数学史的加入与数学探究的经历，对于培养学生的必备品格也多有帮助.初中数学教学中培育核心素养的分析勾股定理只是研究中的案例之一，当然也是较为成功的案例之一. 通过勾股定理的教学，来思考初中数学教学中核心素养的培育，笔者以为关键在于数学教学传统与数学学科核心素养的衔接. 也就是说，只有真正发掘传统教学中的核心素养培育因子，然后对其进行研究与表达，这样才可以让数学教师在教学中形成更加清晰的核心素养培育意识.这一点其实非常关键，因为只有教师自身具有了核心素养培育的意识，那么在实际教学中才有可能捕捉到核心素养培育的时机，学生也才有可能经历核心素养培育的過程. 特别需要指出的是，在数学学科核心素养的六个要素中，对学生来说最直接、最重要的可能应当是逻辑推理. 在勾股定理的教学中可以发现，正是逻辑推理衔接了前面的数学抽象与后面的数学建模，正是逻辑推理使得学生有进行数学运算与数据分析的空间，因此逻辑推理常常是打开数学学科核心素养培育的钥匙. 而且，逻辑推理其实可以向演绎推理与合情推理延伸. 众所周知，演绎推理和合情推理是数学核心素养下推理的重要组成部分，合情推理用于发现结论，培养学生的创新意识，演绎推理用于证明结论，培养学生严谨的分析问题、解决问题的能力. 显然，推理的过程也是推动核心素养落地的重要动力.由此也可以认为，在包括勾股定理在内的初中数学教学中，核心素养的培育与数学知识的教学，应当成为数学课堂上的两条主线，这两条主线互相影响、互相促进，两者之间的螺旋交替、螺旋上升的关系，实际上就印证了学生的核心素养落地的一个个步骤. 如此，核心素养落地自然也就有了空间.。
第十七章勾股定理核心素养评估(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与到课堂中来。我发现这种互动式学习不仅提高了学生的学习热情，也帮助他们更好地理解了勾股定理。小组讨论的环节，学生们积极思考，提出了很多有创意的想法，这让我感到很欣慰。
-理解并掌握勾股定理的证明过程，特别是构造辅助线的方法；
-在复杂问题中，能够准确识别直角三角形，并灵活运用勾股定理解决问题；
-理解勾股定理在非直角三角形中的应用限制。
举例解释：
-难点一：在证明勾股定理时，学生可能对如何构造辅助线、如何进行推理感到困惑，需要教师通过图示和步骤分解进行详细讲解；
-难点二：在综合应用题中，学生可能难以识别问题中的直角三角形，需要教师引导学生学会分解问题，明确勾股定理的使用条件；
4.培养学生的数据分析和数学表达素养，使学生能够准确、清晰地表达勾股定理及其应用过程；
5.增强学生的数学文化意识，了解勾股定理的历史背景，体会数学在人类文明发展中的作用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其证明方法；
-学会运用勾股定理解决直角三角形中边长计算问题；
-掌握勾股定理在实际问题中的灵活运用。
第十七章勾股定理核心素养评估（教案）-2022-2023学年八年级下册数学（人教版）
一、教学内容
《第十七章勾股定理核心素养评估》-2022-2023学年八年级下册数学（人教版）
1.理解勾股定理的概念及表述；
勾股定理培优(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理指的是直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和的数学关系。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量三角形形的边长，应用勾股定理计算斜边长度，展示其在实际中的应用。
五、教学反思
在上完这节勾股定理培优课后，我对教学过程进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解勾股定理的推导和应用过程中存在一定难度。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从具体的实例中抽象出数学规律，帮助他们理解并掌握勾股定理。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的案例和实际操作，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。这种教学方法得到了学生的积极响应，他们表现出浓厚的兴趣。但同时，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时仍显得有些吃力。针对这一点，我计划在接下来的教学中，增加一些更具挑战性的实际问题，让学生在解决问题的过程中，提高勾股定理的应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）勾股定理的表述及证明：让学生掌握勾股定理的表述，理解其证明过程，并能够运用定理解决相关问题。
举例：a² + b² = c²，其中c为直角三角形的斜边，a、b为两个直角边。
基于学科核心素养下的教学与思考—《勾股定理》教学设计
基于学科核心素养下的教学与思考—《勾股定理》教学设计《新数学课程标准》提出了数学学科核心素养，即：直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模六个方面的要求和标准；同时也阐述了每一个个数学核心素养的内涵与价值以及表现和目标。
数学核心素养其实就是人才培养在数学学科层面的所应达到的质量标准表现，是数学学科本质的进一步提取和凝练，目的是让学生通过数学知识、数学方法的学习和数学思想、数学价值的领悟，以及态度、情感的交流，形成正确的价值观念和关键能力。
培养学生数学核心素养的主体是教师，培养数学核心素养的主渠道是教师的课堂。
因此，教师在教学过程中要不断思考和创新改变原有的教学方式，备好每一节课，上好每一节课，在课堂教学中要有培养学生学科核心素养的形成的思想认识，从而促进学生学科核心素养的形成。
一、教学背景勾股定理是几何学中是一个最具有历史及基础的最基本的定理，它是解析几何教学、几何推理证明的起始，在数学史上具有重要的地位。
此课时是江苏凤凰科学技术出版社八上第三章“勾股定理”第1节勾股定理（第1课时），是在七年级的平行和八年级全等、轴对称的学习后，对几何的进一步认识和推理，同时，也是在具备一定的观察能力和动手操作能力后，对勾股定理的探究还是在操作的基础上得出的结论，因此学生对勾股定理的理解认识应该没有困难，通过对勾股定理的学习，为含有根号的无理数的学习做好铺垫，也是为锐角三角函数的学习提供重要依据。
二、教学目标及重、难点教学重、难点重点：探索勾股定理即直角三角形三边之间的数量关系。
难点：借助网格图运用割补法拼图的形式，利用等面积的思想探索勾股定理的过程。
教学目标（1）通过在网格图中三个正方形的位置摆放探究三个图形面积间的关系转化为三边数量关系的过程，写出勾股定理三种语言形式，并能用勾股定理解决简单问题。
（2）通过合情推理，有特殊推理到一般情况的过程；培养学生动手操作、抽象概括能力。
（3）通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学生的学习热情.。
基于数学核心素养的“勾股定理”教学实践研究
为一种常见 的 数 学 思 想 方 法,是 培 养 学 生 几 何 直 观、
史宁中 认 为,数 学 基 本 思 想 是 数 学 发 展 所 依 赖、
推理能力和应用意 识 等 素 养 的 重 要 载 体 ．
勾股定理是
所依靠的思 想,是 研 究 数 学 学 科 不 可 缺 少 的 思 想,也
苏霍姆林斯基曾经说 过,学 生 动 手 操 作 是 培 养 学
生推理能力有效途 径 ．
我国著名教育家陶行知先生提
出了“手 脑 并 用 ”的 理 论,他 提 倡 让 孩 子 通 过 自 己 的
口、眼、手,在亲自感知、观察、操作的过程中习 得 知 识 ．
本研究认为,教师在课 堂 上 组 织 学 生 观 察、动 手 操 作,
学片断中,师 生 围 绕 直 角 三 角 形 的 三 边 关 系 问 题,经
历从特殊直 角 三 角 形 到 一 般 直 角 三 角 形,层 层 深 入,
得出直角三角形的 三 边 关 系 ．
教师在学生的最近发展
的数学抽象素养 ．
区设置问题,启发学生思 考,引 导 他 们 亲 历“猜 想 － 验
２．
２ 学习数学新知,发展几何直观素养
３９
学生培养
证和证明猜想”是 合 情 推 理、演 绎 推 理 课 堂 教 学 模 式 ．
２０２４ 年 ４ 月下半月
发展了几何直观素养 ．
如在探究勾 股 定 理 时,先 从 特 殊 情 况 入 手,在 网 格 纸
上画格点 等 腰 直 角 三 角 形,以 三 边 为 边 向 外 作 正 方
形,利用面积 法 探 究 出 等 腰 直 角 三 角 形 三 边 关 系,然
关键词:数学核心素养;勾股定理;课堂教学