2017届河北省衡水中学高三高考压轴卷(二)文科数学试题 及答案 精品
衡水中学2017年高考压轴卷二
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一． 选择题：（每小题5分，共60分.下列每小题所给出选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.）
1设集合{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( )
A. 1a <
B. 1a ≤
C. 2a <
D.2a ≤ 2. 已知复数2
1z i
=-+，则( ) A.
2z = B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为-1
D.z 的共轭复数为1+i
3.已知等差数列{}n
a 的公差为(0)d d ≠，且3
6101332a
a a a +++=，若8m a =，
则m 为( )
A.12
B. 8
C.6
D.4
4. 已知向量a ，b 满足2a = ，1b = 且()
a b b +⊥
，则a 与b 的夹角为
( )
A. 3
π B.23
π C. 2
π D. 6
π
5. 已知点(),P a b 与点()1,0Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0a >，0b >则2w a b =-的取值范围是( )
A. 21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.2,03⎛⎫- ⎪⎝
⎭
C.10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D. 21,32⎛⎫-
⎪⎝⎭
6. 某几何体的三视图如右，其中俯视图是一个半圆，
侧
视图下方是一个正方形，则该几何体的体积是( )
A.223
π+ B. 23
π+ C. 43
π+ D. 243
π+
7.已知函数
()(
)2,011,0x x f x f x x ⎧<⎪
=⎨
-+≥⎪⎩，则()2014f = ( ) A.40312
B.40292
C.2015
D. 2017
8. 已知双曲线
22
21(0)9x y b b
-=>，过其右焦点F 作圆2
29x
y +=的两条
切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0
150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )
B.32
9. 将奇函数()()sin 0,0,22
f x A x A x ππωφω⎛⎫=+≠>-<< ⎪
⎝
⎭
的图象向左平移6
π
个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.2
10.把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数…，循环分为（1），（3,5），（7,9,11），（13），（15,17），（19,21,23），（25），（27,29），…，
则第50个括号内各数之和为 ( )
A.390
B.392
C.394
D. 396 11.在三棱锥
A BCD
-中，侧棱
AB
,AC
,
AD
两两垂直，
ABC
∆,ACD ∆,ADB ∆的面积分别为
,
的表面积为 ( )
A.
2π B.6π C. D. 24π
12.已知函数()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )
A.ln 31,3
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ln 31,9
3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ln 31,9
2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D. ln 3ln 3,93⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.如果执行下列程序框图，那么输出的S = .
14.一组数据如茎叶图所示，若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于 .
15.已知点F 为抛物线2
8y
x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线
准线上一动点，A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO
+的最小值
是 .
16. 已知函数()3
212653
2
m
g x x
x x x =-+-+
-图象上存在点Q ，使得过点Q 的直线能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，且这两个封闭图
形的面积总相等，则点Q 坐标为 . 三、解答题
17.（本小题满分12分） 在ABC ∆中，设角
A
,
B
,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
cos A =
,cos B =
（1） 求角C 的大小；
（2） 若ABC ∆的面积为1，求abc .
18.（本小题满分12分）
为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行抽查，得到如下频数分布表：
（1）完成下面的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）试由上图估计该单位月平均工资；
（3）若从月工资在[)
25,35和[)
45,55，两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱台ABC DEF -中，CF ⊥平面DEF ,AB BC ⊥
（1）设平面AEC ⋂平面DEF a =，求证//DF a ；
（2）若2EF CF BC ==，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b +=>>，直线()0y kx k =≠与椭圆M 交于A 、
B 两点，直线1
y x k
=-与椭圆M 交于C 、D 两点，P 点坐标为(),0a ，
直线PA 和PB 斜率乘积为12
-.
（1）求椭圆M 离心率；
（2）若弦AC ，求椭圆M 的方程.
21.（本小题满分12分） 已知函数
()2
1
x
e f x ax x =++，其中a R ∈ （1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；
（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.
请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
作答时请在答题卡涂上题号.
22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，点A 在直径为15的O 上，PBC 是过点O 的割线，且
10PA =,5PB =.
（1）求证：PA 与O 相切； （2）求ACB
S ∆的值.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数
方程为：31
43
x t y t =+⎧⎨
=+⎩（t 为参数） （1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；
（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1211f x x x =-+++ （1）求不等式()6f x <的解集； （2）若曲线
()13a
y a R ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
与函数()y f x =的图象有公共点，求实数a 的取值区间.。
河北省衡水中学2017届高三押题II卷文数试题(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2. 若复数（，）满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，解得：，则.本题选择C选项.3. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，结合两角和差正余弦公式有：.本题选择A选项.4. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. 函数在区间的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，则且，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；当时，，则函数值，排除选项B.本题选择A选项.8. 已知函数若，则为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9. 执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（）A. 81B.C.D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y= =1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y= = ,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y= =，时不满足条件y2≥x，输出 .10. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则的最小值为【答案】C【解析】由函数的最值可得，函数的周期，当时，，令可得，函数的解析式 .则：结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，则：或 .14. 已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15. 设，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；当时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得.则.(2)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.在中，由余弦定理，得.解得.18. 如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..【答案】（1）.（2）见解析;（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21. 设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，（），证明.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）在给出的直角坐标系中作出函数的图象，并从图中找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。
河北衡水中学2017届全国高三大联考文科数学试卷
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2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i2．设U=R，集合A={x|x＞0}，B={x∈Z|x2﹣4≤0}，则下列结论正确的是（）A．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1，0}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0]C．（∁U A）∩B={1，2}D．A∪B=（0，+∞）3．已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是周期函数D．f（x）在上为减函数4．若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．4055．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和6．设p：x2﹣x＜1，，则非p是非q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若双曲线的渐近线与抛物线x2=4y的准线所围成的三角形面积为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．9．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．10．在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，正三棱锥的底面边长为，则正三棱锥的高等于（）A．B． C．D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若平面向量和垂直，则=．14．设动直线x=a与函数f（x）=2sin2x和的图象分别交于M、N 两点，则|MN|的最大值为．15．甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为．16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y=e x+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，则φ（A，B）的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．18．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．19．如图：ABCD是菱形，SAD是以AD为底边等腰三角形，，，且二面角S﹣AD﹣B大小为120°，∠DAB=60°．（1）求证：AD⊥SB；（2）求SC与SAD平面所成角的正弦值．20．已知E（1，0），K（﹣1，0），P是平面上一动点，且满足．（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）过点K的直线l与C相交于A、B两点（A点在x轴上方），点A关于x轴的对称点为D，且，求△ABD的外接圆的方程．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2017年河北省衡水市武邑中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则复数的虚部为：﹣3．故选：C．2．设U=R，集合A={x|x＞0}，B={x∈Z|x2﹣4≤0}，则下列结论正确的是（）A．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1，0}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0]C．（∁U A）∩B={1，2}D．A∪B=（0，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A得∁U A={x|x≤0}，集合B={x∈Z|x2﹣4≤0}={﹣2，﹣1，0，1，2}，即得结论．【解答】解：由题意可得∁U A={x|x≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以（∁U A）∩B={﹣2，﹣1，0}，（∁U A）∪B={x|x≤0或x=1或x=2}，A∪B={x|x≥0或x=﹣1或x=﹣2}，故选：A．3．已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是周期函数D．f（x）在上为减函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用偶函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=f（x），同理，x＜0，f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数．故选B．4．若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣405 D．405【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的x为1，求出展开式的各项系数和，求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，求出r，将r 的值代入通项，求出该展开式中含x3的项的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和为2n∴2n=32解得n=5=（﹣1）r35﹣r C51x5﹣2r∴=展开式的通项为T r+1令5﹣2r=3得r=1所以该展开式中含x3的项的系数为﹣34C51=﹣405故选C5．阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和【考点】程序框图．【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选：C．6．设p：x2﹣x＜1，，则非p是非q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据对数的性质化简q，根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】解：设p：x2﹣x＜1，=log21，0＜x2﹣x＜1，则p是q的必要不充分条件，则非p是非q的充分不必要条件，故选：A7．若双曲线的渐近线与抛物线x2=4y的准线所围成的三角形面积为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，结合三角形的面积，推出双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线x2=4y的准线：y=﹣1，双曲线的渐近线与抛物线x2=4y的准线所围成的三角形面积为2，可得渐近线上的一个交点坐标为：（2，﹣1）．双曲线的渐近线方程为：bx+ay=0，可得2b﹣a=0，可得4c2﹣4a2=a2，解得e=．故选：A．8．某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图想想几何体的侧棱，底面的关系，侧面与底面的关系，得出几何体即可判断，A图一般放在正方体中研究即可．【解答】解：根据三棱锥的正视图如图所示，第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型．故选；C9．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．10．在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，正三棱锥的底面边长为，则正三棱锥的高等于（）A．B． C．D．【考点】球内接多面体．【分析】画出图形，设三棱锥的高PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt △POD，即可求出高的值．【解答】解：根据题意，画出图形如下，其中，立体图形只画出了半球的底面．∵正三棱锥的底面边长为，∴OD=，设三棱锥的高PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，∴，∴x=故选：D．11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由b2+c2+bc﹣a2=0，利用余弦定理可得cosA==﹣，A=120°．再利用正弦定理可得==，化简即可得出．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．12．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数即方程f[f（kx）+1]+1=0的解的个数，从而解方程可得．【解答】解：令f[f（kx）+1]+1=0得，或解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=；由f（kx）+1=0得，或；即x=0或kx=；由f（kx）+1=得，或；即e kx=1+，（无解）或kx=；综上所述，x=0或kx=或kx=；故无论k为何值，均有3个解；故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若平面向量和垂直，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据便可得出，从而求出x的值，从而得出的坐标，进而求出的值．【解答】解：；∴；∴x=2；∴；∴；∴．故答案为：．14．设动直线x=a与函数f（x）=2sin2x和的图象分别交于M、N 两点，则|MN|的最大值为3．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】用二倍角公式化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，再化为正弦型函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x=cos2x﹣1，函数；∴f（x）﹣g（x）=cos2x﹣1﹣sin2x=﹣2（sin2x﹣cos2x）﹣1=﹣2sin（2x﹣）﹣1；若直线x=a与函数f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点，则|MN|=|f（a）﹣g（a）|=|﹣2sin（2a﹣）﹣1|≤|﹣2﹣1|=3，∴|MN|的最大值为3．故答案为：3．15．甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为．【考点】几何概型．【分析】分别设出两个人解答一道几何题所用的时间为x，y，则5＜x＜7，6＜y ＜8，甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＜y，因此求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．【解答】解：设两个人解答一道几何题所用的时间为分别为x，y，则5＜x＜7，6＜y＜8，对应区域的面积为4，甲、乙各解同一道几何题，则乙比甲先解答完的满足x＞y，对应区域面积=，由几何概型的个数得到所求概率为；故答案为：．16．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线y=e x+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，则φ（A，B）的取值范围是（0，] ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y′=e x，+1，由定义求出两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“平方弯曲度”，由题意可令t=e﹣e，可设f（t）=，t＞0，求出导数和单调区间、极大值和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：y=e x+x的导数为y′=e x+1，k A=e+1，k B=e+1，φ（A，B）===，x1﹣x2=1，可得x1＞x2，e＞e，可令t=e﹣e，可设f（t）=，t＞0，f′（t）==，当0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）递增；当t＞时，f′（t）＜0，f（t）递减．则当t=处f（t）取得极大值，且为最大值=．则φ（A，B）∈（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N*．数列{b n}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求a1，d和T n；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．【分析】（I）在中，令n=1，n=2，得，解得a n=2n﹣1，由足=，能求出a1，d和T n．（II）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，需不等式恒成立，解得λ＜﹣21．由此能够求出λ的取值范围．【解答】解：（I）在中，令n=1，n=2，得，即，解得a1=1，d=2，（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是随n的增大而增大，∴取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．综合（1）（2）可得λ＜﹣21∴λ的取值范围是{λ|λ＜﹣21}．18．某市举行的“国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球（取出后不再放回），若抽到的两个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖．并停止取球；否则继续抽取，第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘快乐马拉松’的小球？”主持人说：“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是‘美丽绿城行’标志的概率是（1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数；（Ⅱ）若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是，由对立事件的概率能求出n．（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是，由对立事件的概率：．即，解得n=3；（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1，2，3，，，P（η=3）=1﹣P（η=1）．则η的分布列为：．19．如图：ABCD是菱形，SAD是以AD为底边等腰三角形，，，且二面角S﹣AD﹣B大小为120°，∠DAB=60°．（1）求证：AD⊥SB；（2）求SC与SAD平面所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AD的中点E，连SE，BE，证明AD⊥平面SBE，即可证明：AD ⊥SB；（2）过S作SO⊥直线BE，垂足为O，证明∠SEB为二面角的平面角，再求SC 与SAD平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点E，连SE，BE，由题意知△ABD为正三角形，∴SE⊥AD，BE⊥AD．又SE∩BE=E，∴AD⊥平面SBE，SB⊂平面SBE，∴AD⊥SB．（2）解：过S作SO⊥直线BE，垂足为O，由（1）知平面ABCD⊥平面SBE，则SO⊥平面ABCD，连OE，则AD⊥OE．∴∠SEB为二面角的平面角，∠SEO=60°，∴．∵BC∥SAD，C到SAD距离为B到SAD距离，由B作SE垂直BO1，由（1）知平面ASD⊥平面SBE，平面BO1⊥平面SAD，BE=3，．OE=3，EB=3，∴OABD是平行四边形，O在直线CD上，SC2=SO2+OC2=27+48=75，．设线面角为α，，∴SC与平面SAD所成角的正弦值为．20．已知E（1，0），K（﹣1，0），P是平面上一动点，且满足．（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）过点K的直线l与C相交于A、B两点（A点在x轴上方），点A关于x轴的对称点为D，且，求△ABD的外接圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设P（x，y），则，，，．由P是平面上一动点，且满足．能求出点P的轨迹C对应的方程．（2）设l的方程为x=my﹣1（m＞0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式，结合题意能求出△ABD的外接圆M的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），，，，．∵，∴，整理，得点P的轨迹C对应的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），l的方程为x=my﹣1（m＞0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，由△＞0，解得m＞1，从而y1+y2=4m，y1y2=4．x1+x2=（my1﹣1）+，．∵，，∴=．∴8﹣4m2=﹣8，解得m=2，∴l的方程为x﹣2y+1=0．设AB中点为（x0，y0），则，，AB中垂线方程y﹣4=﹣2（x﹣7）．令y=0得x=9，圆心坐标（9，0），到AB的距离为．．圆的半径，△ABD的外接圆M的方程（x﹣9）2+y2=40．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），因为g′（a）=＞0，所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna在a ∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．…2017年4月11日。
精品解析：河北省衡水中学2017届高三押题II卷文数试卷(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅱ）注意事项：1.本试题卷分为选择题和非选择题两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和本试题卷上。
2.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题卷和草稿纸上无效。
3.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。
写在本试题卷和草稿纸上无效。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则集合为.本题选择B选项.2.若复数满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则化简复数，再由复数相等即可得出.详解：由，可得，即，可得，所以，所以，点睛：本题主要考查了复数的运算与复数相等的概念，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴∈（，），又因为，∴故sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin== ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：(2,4),(4,2), (4,6),(6,4)，共有4个，∴两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2的概率：.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，设双曲线的渐近线与轴的夹角为，双曲线的渐近线为，则，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.本题选择D选项.6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.已知函数，若，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：.本题选择D选项.9.执行如图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y==1，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y==,时满足条件y2≥x，执行n=n+1=3 ，进入第三次循环，x=n y=2,y==，时不满足条件y2≥x，输出 .10.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且：，两式做差可得：，则：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】很明显，且恒成立，即：由均值不等式的结论：，据此有：，解得：.本题选择A选项.12.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】，函数的周期，由函数的最值可得当时，，可得，函数的解析式 .则：令结合函数的解析式有，而，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．【答案】-8【解析】由题意可得：或，或 .则：14.已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为__________．【答案】16【解析】【详解】圆的方程即：，设圆上的点P的坐标为，则：，计算可得：，，由正弦函数的性质有：，求解关于实数的不等式可得：，则的最小值为16.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．15.设，满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由题意可设：，则：，则：当时，面积有最大值；当时，面积有最小值；结合二次函数的性质可得：的取值范围为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，为的中点，求的长.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理把角的关系转化为，由余弦定理可得的值.（2）由可以得到，从而为等腰三角形，利用面积公式得到边长后用余弦定理计算的长.【详解】（1）由正弦定理，可化为，整理得到，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.在中，由余弦定理，得，解得.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】试题分析：(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.试题解析：（1）过点存在直线使，理由如下：由题可知为的中点，又为的中点，所以在中，有.若点在直线上，则直线即为所求作直线，所以有；若点不在直线上，在平面内，过点作直线，使，又，所以，即过点存在直线使.（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：三棱锥与几何体（如图所示）.因为平面平面，且交线为，又，所以平面.故为几何体的高.又四边形为菱形，，，，所以，所以.又，所以平面，所以，所以几何体的体积.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级名学生中随机抽取名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；（2）若等级、、、、分别对应分、分、分、分、分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的名学生（其中男生人，女生人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的人中任意抽取名，求恰好抽到名男生的概率.【答案】（1）该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.（2）这100名学生成绩的平均分为（分），因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20.已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值. 试题解析：（1）由题意可知，所以，即，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，，③又由题知，即，整理为.将③代入上式，得.化简整理得，从而得到.21.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若，则当时，数单调递减，当时，函数单调递增；②若，函数单调递增；③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.(2)原问题即证明，构造新函数，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若，则当在内恒成立，函数单调递增；③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.试题解析：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.23.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即. 所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.。
河北省衡水中学2017届高三押题卷(I卷)文数试题(解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，则，故选D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得的半焦距相等，它们的渐近线方程相同，的焦点均在以原点为圆心，为半径的圆上，离心率不相等，故选D.5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率，故选A.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】，当时，时，则，所以，故选D.7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，易求得，则 .在中，由勾股定理，，解得，由，知，所以，当过点的截距与垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为；当过点的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为，故选B.【方法点睛】本题主要考查正三棱锥的性质及空间想象能力、圆的性质、勾股定理的应用.属于难题. 化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解,在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．【答案】【解析】,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．【答案】1【解析】不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，，故当取最大值时，取最大值. 由图可知，当时，取最大值，此时取最大值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．【答案】16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．【答案】【解析】由题知，，准线的方程是 . 设，由，消去，得 . 因为直线经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知，裂项相消法求和，放缩法即可证明.试题解析：（1），故的最小值为.又，所以，即.所以当时，；当时，也适合上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面，，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离.由已知可得，，所以为正三角形，所以.又点为的重心，所以.故点到平面的距离为.所以.19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.【答案】（1），平均数是74，中位数是；（2）1200；（3）．【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为可得第4组的频率为，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于、、的方程组，结合性质，，求出、、，即可得结果；（2）设，，则，.因为点，都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明，即可得结论.试题解析：（1）由题意得，则.由椭圆与圆：的公共弦长为，其长度等于圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）证明：设，，则，.因为点，都在椭圆上，所以所以，即.又，所以，即，所以所以又，所以，所以，，三点共线.21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】（1）在处取得极大值，且极大值为，无极小值；（2）见解析．试题解析：（1）的定义域为，.①当时，，故在内单调递减，无极值；②当时，令，得；令，得.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证法一：当时，. 设函数，则.记，则.当变化时，，的变化情况如下表：由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.证法二：当时，.因为且，故只需证.当时，成立；当时，，即证.令，则由，得.在内，；在内，，所以.故当时，成立.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．试题分析：（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。
全国普通高等学校2017届高考数学二模试卷(文科)(衡水金卷)+Word版含解析
2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣2，1]2．若复数z=（i是虚数单位），则=（）A．i B．2i C．3i D．5i3．已知p：a＞2，q：a2＞4，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知分段函数y=，若执行如图所示的程序框图，则框图中的条件应该填写（）A．x≥1？B．x≥﹣1？C．﹣1≤x≤2？D．x≤1？5．已知函数f（x）=2x+x﹣4，g（x）=e x+x﹣4，h（x）=lnx+x﹣4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b6．若点P是以F1，F2为焦点的双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此双曲线的标准方程是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．x2﹣=17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=21，则数列{}的前4项和为（）A．或B．或C．或D．或8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm39．我国自主研制的第一个月球探测器﹣﹣“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是，（如图所示），则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为（）A．B．C．D．10．已知O是坐标原点，点P（2，1），若M（x，y）满足约束条件，且的最大值为10，则实数a的值是（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．1011．已知函数f（x）=，若方程f（x2﹣x）=a有六个根，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）12．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣（ω＞0），函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣5，1]C．[﹣2，4]D．[﹣5，4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（﹣2017）=．14．观察下列式子：13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，按照上述规律，则83=．15．已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则•的最小值为．16．已知数列{a n}满足a n=（2n+m）+（﹣1）n（3n﹣2）（m∈N*，m与n无关），≤k2﹣2k﹣1对任意的m∈N*恒成立，则正实数k的取值范围为．若a2i﹣1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量=（a﹣c，a﹣b），=（a+b，c），且∥．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若M是BC的中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．18．（12分）互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势，推动了互联网餐饮行业的发展，而“80后”、“90后”逐渐成为餐饮消费主力，年轻人的餐饮习惯的改变，使省时、高效、正规的外送服务逐渐进入消费者的视野，美团外卖为了调查市场情况，对50人进行了问卷调查得到了如下的列联表，按照出生年龄，对喜欢外卖与否，采用分成抽样的方法抽取容量为10的样本，则抽到喜欢外卖的人数为6．（Ⅰ）请将下面的列联表补充完整：（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关？说明你的理由；（Ⅲ）把“80后”中喜欢外卖的10个消费者从2到11进行编号，从中抽取一人，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到6号或10号的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；（2）若a=4，求四棱锥G﹣BCEF的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程是x2+y2=4．（Ⅰ）过点（5，3）作直线l与圆C相交于E，F两点，若OE⊥OF，求直线l的斜率；（Ⅱ）如图，设M（x1，y1），P（x2，y2）是圆C上两个动点，点M关于原点的对称点为M1，关于x轴的对称点为M2，若直线PM1，PM2与y轴的交点坐标分别为（0，m）和（0，n），试问：mn是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a=﹣1时，关于x的方程2m[f（x）﹣a]=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．四、请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在曲线C上，求点P到直线l的最大距离．五、[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．（Ⅰ）证明：ab+bc+ac≤1；（Ⅱ）若a+b+2c≤|x﹣1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，求实数m的取值范围．2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣2，1]【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出结果．【解答】解：∵集合A={y|y=x2+2x﹣1，x∈R}={y|y=（x+1）2﹣2}={y|y≥﹣2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B=[﹣1，1]．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数z=（i是虚数单位），则=（）A．i B．2i C．3i D．5i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则化简复数z，利用共轭复数的性质可得：，进而得出．【解答】解：复数z===﹣i，==．则==5i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知p：a＞2，q：a2＞4，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a2＞4，可得a＞2，或a＜﹣2．可得￢q：﹣2≤a≤2．￢p：a≤2．即可判断出关系．【解答】解：由a2＞4，可得a＞2，或a＜﹣2．∴￢q：﹣2≤a≤2．￢p：a≤2．∴￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知分段函数y=，若执行如图所示的程序框图，则框图中的条件应该填写（）A．x≥1？B．x≥﹣1？C．﹣1≤x≤2？D．x≤1？【考点】EF：程序框图．【分析】根据函数的解析式，分析程序中各变量、各语句的作用，即可得解．【解答】解：根据函数的解析式，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知中间的条件应该填写x≤1？．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．5．已知函数f（x）=2x+x﹣4，g（x）=e x+x﹣4，h（x）=lnx+x﹣4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】转化函数的零点与函数的图象的交点的横坐标，利用数形结合转化求解判断即可．【解答】解：在同一个坐标系中画出3个函数函数f（x）=2x，g（x）=e x，h（x）=lnx的图象，函数y=4﹣x的图象与3个函数的图象的交点的横坐标，就是已知的3个函数的零点，易知b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，考查计算能力．6．若点P是以F1，F2为焦点的双曲线x2﹣=1（b＞0）上一点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此双曲线的标准方程是（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．x2﹣=1【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴+=，∴c2=5a2，∵a=1，∴c2=5，b2=4，故双曲线的x2﹣=1，故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=21，则数列{}的前4项和为（）A．或B．或C．或D．或【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式可得公比q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出数列{}的前4项和．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则由a1=2，=21，得==21，整理得q4+q2﹣20=0，解得q=2或q=﹣2，∴或．当时，数列{}的前4项和为：，当时，数列{}的前4项和为：=．故选：C．【点评】本题考查等比数列的前4项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．9．我国自主研制的第一个月球探测器﹣﹣“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是，（如图所示），则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质；K5：椭圆的应用．【分析】根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a==，c=OF1=﹣﹣R=R，由椭圆的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是，，则a==，c=OF1=﹣﹣R=R，则e===；故选：A．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是分析题意中的实际问题，得到a、c 的关系．10．已知O是坐标原点，点P（2，1），若M（x，y）满足约束条件，且的最大值为10，则实数a的值是（）A．﹣3 B．﹣10 C．4 D．10【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可．【解答】解：不等式组约束条件，它的可行域如图：O为坐标原点，点A的坐标为（2，1），点P（x，y），z==2x+y，的最大值为10，可得2x+y=10，如图：红线，经过可行域的A，由：可得A（3，4），（3，4）代入y=a，可得a=4．故选：C．【点评】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是中档题．11．已知函数f（x）=，若方程f（x2﹣x）=a有六个根，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令x2﹣x=t，得出关于x的方程x2﹣x=t的解得分布情况，作出f（t）的函数图象，讨论关于t的方程f（t）=a的解得情况，从而得出方程f（x2﹣x）=a 的解的个数．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，令x2﹣x=t（x≠0），则t≥﹣，且t=﹣或t=0时，方程x2﹣x=t只有一解，当﹣＜t＜0或t＞0时，方程x2﹣x=t有两解，∴f（t）=，∴f（t）在[﹣，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，作出y=f（t）的函数图象如图所示：由图象可知，当a＜2时，关于t的方程f（t）=a无解，∴方程f（x2﹣x）=a无解，不符合题意；当a=2时，关于t的方程f（t）=a有两解t1=﹣，t2=1，∵x2﹣x=﹣只有一解，x2﹣x=1有两解，∴方程f（x2﹣x）=a有三解，不符合题意；当a＞2时，关于t的方程f（t）=a有三解，不妨从t1＜t2＜t3，显然﹣＜t1＜0，0＜t2＜1，t3＞1，又关于x的方程x2﹣x=t i（i=1，2，3）都有两解，∴方程f（x2﹣x）=a有六解，符合题意．故选D．【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）﹣（ω＞0），函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[﹣5，1]C．[﹣2，4]D．[﹣5，4]【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的对称中心到对称轴的最小距离为，可得周期T=π，求出ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求出g（x），x∈[0，]上，求出g（x）范围，可得m的范围．【解答】解：由题意，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，∴周期T=π，即∴ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．f（x）的图象向右平移个单位长度，得到：sin（2x﹣﹣）﹣=sin（2x﹣）=g（x）；∵x∈[0，]上，∴2x﹣∈[，]sin（2x﹣）∈[，]则g（x）∈[﹣2，1]要使g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，则：1﹣3≤m≤﹣2+3，可得：﹣2≤m≤1，故选A．【点评】本题主要考查三角函数的性质求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，恒成立的问题转化为最值为，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=，则f（﹣2017）=e．【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=e1=e．故答案为：e．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．观察下列式子：13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，按照上述规律，则83= 57+59+61+63+65+67+69+71．【考点】F1：归纳推理．【分析】观察可看出：观察题目等式可知，第8个等式的右边是8个连续的奇数之和，所以可以逐行写出，最终可求得结果．【解答】解：观察题目等式可知，第8个等式的右边是8个连续的奇数之和，13=123=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，73=43+45+47+49+51+53+55，83=57+59+61+63+65+67+69+71，故答案为：57+59+61+63+65+67+69+71【点评】这是一道考查归纳推理的问题，一般是根据前面的几项（或式子），找出一般性的规律，然后再对所求的情况求解，本题因为8不大，所以可以采用列举法．15．已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则•的最小值为3．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点，设E（0，y），则y∈[0，2]；又D（2，2），C（2，0），∴=（2，2﹣y），=（2，﹣y），∴•=2×2+（2﹣y）×（﹣y）=y2﹣2y+4=（y﹣1）2+3，当y=1时，•取得最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查向量数量积的计算问题，解题时要注意数形结合法的合理运用．16．已知数列{a n }满足a n =（2n +m ）+（﹣1）n （3n ﹣2）（m ∈N *，m 与n 无关），若a 2i ﹣1≤k 2﹣2k ﹣1对任意的m ∈N *恒成立，则正实数k 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】由已知可得，再由等差数列的前n 项和可得a 2i ﹣1=m （4﹣2m ）≤2，结合a 2i ﹣1≤k 2﹣2k ﹣1可得k 2﹣2k﹣1≥2，求解不等式得答案． 【解答】解：由题意， =﹣2i +（m +3），故a 2i ﹣1=[﹣2i +（m +3）]=．当m ∈N *时，a 2i ﹣1=m （4﹣2m ）≤2．又a 2i ﹣1≤k 2﹣2k ﹣1对任意m ∈N *恒成立，∴k 2﹣2k ﹣1≥2，解得k ≥3或k ≤﹣1． 故正实数k 的取值范围为[3，+∞）． 故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查数列求和，考查数学转化思想方法，训练了一元二次不等式的解法，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量=（a﹣c，a﹣b），=（a+b，c），且∥．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若M是BC的中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由∥．得a2+c2﹣b2=ac．即cosB=，求得B．（Ⅱ）．M是BC的中点，且AM=AC，可得4bcosC=a，，，sinC=，cosC=．×=．【解答】解：（Ⅰ）∵=（a﹣c，a﹣b），=（a+b，c），且∥．∴（a﹣c）c=（a+b）（a﹣b），∴a2+c2﹣b2=ac．由余弦定理得cosB=．又因为0＜B＜π，∴．（Ⅱ）∵M是BC的中点，且AM=AC，∴4bcosC=a，∴，∴2sinC=⇒3cosC=sinC，∴，sinC=，cosC=．×=．【点评】本题考查了向量数量积、正余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2017•衡水金卷二模）互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势，推动了互联网餐饮行业的发展，而“80后”、“90后”逐渐成为餐饮消费主力，年轻人的餐饮习惯的改变，使省时、高效、正规的外送服务逐渐进入消费者的视野，美团外卖为了调查市场情况，对50人进行了问卷调查得到了如下的列联表，按照出生年龄，对喜欢外卖与否，采用分成抽样的方法抽取容量为10的样本，则抽到喜欢外卖的人数为6． （Ⅰ）请将下面的列联表补充完整：（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关？说明你的理由；（Ⅲ）把“80后”中喜欢外卖的10个消费者从2到11进行编号，从中抽取一人，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到6号或10号的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）【考点】BO ：独立性检验的应用；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由题意，喜欢外卖的人数为50×0.6=30，不喜欢外卖的人数为20，我们易得到表中各项数据的值．（Ⅱ）我们可以根据列联表中的数据，代入参考公式，计算出K 2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（Ⅲ）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，喜欢外卖的人数为50×0.6=30，不喜欢外卖的人数为20，（Ⅱ）根据列联表中的数据，得到K2=≈8.333＞7.879，因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关；（Ⅲ）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）…（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个，∴P（A）==．【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2，计算出K值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．（12分）（2017•衡水金卷二模）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；（2）若a=4，求四棱锥G﹣BCEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接BH，推导出HG⊥GB，从而CB⊥平面ABGF，进而CB⊥HG，由此能证明HG⊥平面BCG，从而平面EHG⊥平面BCG．（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G 作GK⊥FB于K，由此能求出四棱锥G﹣BCEF的体积．【解答】证明：（1）连接BH，由AH=，AB=a，知：HB==，HG==，GB==，∴HB2=HG2+GB2，从而HG⊥GB，…（3分）∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，∴CB⊥HG，∴HG⊥平面BCG，∵HG⊥平面EHG，∴平面EHG⊥平面BCG．…（6分）解：（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G作GK⊥FB于K，则GK=PO=，…（8分）∴四边形BCEF的面积S=4×，…（10分）==．…（12分）故V G﹣BCEF【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2017•衡水金卷二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程是x2+y2=4．（Ⅰ）过点（5，3）作直线l与圆C相交于E，F两点，若OE⊥OF，求直线l的斜率；（Ⅱ）如图，设M（x1，y1），P（x2，y2）是圆C上两个动点，点M关于原点的对称点为M1，关于x轴的对称点为M2，若直线PM1，PM2与y轴的交点坐标分别为（0，m）和（0，n），试问：mn是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣3=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+3=0，利用圆心到直线l的距离为，建立方程，即可求直线l的斜率；（Ⅱ）先求出M1和点M2的坐标，用两点式求直线PM1和PM2的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，C（0，0），半径r=2，点（5，3）在圆外，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣3=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+3=0，∵圆心到直线l的距离为，∴=，∴k=1或，∴直线l的斜率为1或；（Ⅱ）由于M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，则可得M1（﹣x1，﹣y1）、M2（x1，﹣y1），且x12+y12=4，x22+y22=4．根据PM1的方程为=，令x=0求得y=m=．根据PM2的方程为=，令x=0求得y=n=∴mn=•==4为定值．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．21．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a=﹣1时，关于x的方程2m[f（x）﹣a]=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x ）=﹣a=，a ＞0时，由f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜， a ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，综上，a ＞0时，f （x ）在（0，）递增， a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）递增；（Ⅱ）因为方程2m [f （x ）﹣a ]=x 2有唯一实数解， 所以x 2﹣2mlnx ﹣2mx=0有唯一实数解， 设g （x ）=x 2﹣2mlnx ﹣2mx ，则g′（x ）=，令g′（x ）=0，x 2﹣mx ﹣m=0．因为m ＞0，x ＞0，所以x 1=＜0（舍去），x 2=，当x ∈（0，x 2）时，g′（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）上单调递减， 当x ∈（x 2，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）在（x 2，+∞）单调递增， 当x=x 2时，g （x ）取最小值g （x 2）．则即，所以2mlnx 2+mx 2﹣m=0，因为m ＞0，所以2lnx 2+x 2﹣1=0（*），设函数h （x ）=2lnx +x ﹣1，因为当x ＞0时，h （x ）是增函数，所以h （x ）=0至多有一解．因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，即=1，解得：m=．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．四、请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•衡水金卷二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在曲线C上，求点P到直线l的最大距离．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式及正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是（α为参数），普通方程为=1；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，即，直角坐标方程为x+y﹣2=0；（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），则点P到直线l距离d==．∴点P到直线l距离的最大值为=+．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式及正弦函数的单调性，属于中档题．五、[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•衡水金卷二模）设实数a，b，c满足a2+b2+c2=1．（Ⅰ）证明：ab+bc+ac≤1；（Ⅱ）若a+b+2c≤|x﹣1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R6：不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得结论．由（Ⅱ）柯西不等式，我们易结合a2+b2+c2=1，得到a+b+2c≤3，再由a+b+2c≤|x﹣1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，得到3≤|x﹣1|+|x+m|，进而解绝对值不等式，即可得到答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，又a2+b2+c2=1，所以ab+bc+ca≤1．（Ⅱ）解：∵（a+b+2c）2≤（2+3+4）（a2+b2+c2）=9∴a+b+2c≤3又∵a+b+2c≤|x﹣1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，∴3≤|x﹣1|+|x+m|，∵|x﹣1|+|x+m|≥|m+1|，∴|m+1|≥3解得m≤﹣4或m≥2．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查柯西不等式、绝对值不等式求解，属于中档题．。
河北省衡水中学2017届全国高三2月大联考(全国卷)数学(文)试题
绝密★启用前河北衡水中学2017届全国高三大联考(全国卷）文数试题本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 A={0, -l ，l ，4}，B={x|x∈A}，则集合A ∩B = (A) {0， 1} (B) {0，-1，1} (C) {1，-1} (D){0} (2)已知bi iia +=+1，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a + b = (A)0 (B)l (C)2 (D)-l (3)“a> +41”是“关于x 的不等式1>2x ax -恒成立”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)已知双曲线1:2221=-y ax C (a>0) 的一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线C 的离心率为(A) 3 (B) 332 (C) 2 (D)3(5)在△ABC 中，内角为A 、B 、C ，若sinA = sinCcosB ，则△ABC 的形状一定是 (A)直角三角形 （B)钝角三角形 （C)锐角三角形 （D)等腰三角形(6)已知函数x x x f 42log 2log )(+=，若在区间]4,41[上任取一实数0x 则使得)(0x f <0的概率为(A) 51 (B) 54 (C) 1615 (D) 21(7)中国古代数学名著《张丘建算经》中记载今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了 700里。
【河北省衡水中学】2017届高三下学期二调数学(文科)试卷 (附答案与解析)
15．设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ，则 的值为________．
16．圆 的切线与椭圆 交于两点 分别以 为切点的 的切线交于点 ，则点 的轨迹方程为____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学（文科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．设 是复数，则下列命题中的假命题是（）
A．若 是纯虚数，则 B．若 是虚数，则
（1）求圆 和直线 的极坐标方程；
（2）已知射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
23．选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的最大值．
河北省衡水中学2017届高三下学期二调数学（文科）试卷
答案
一、选择题
1~5．ABCCD6~10．ADDCB11~12．CD
因此，当 时， 轴为曲线 的切线．
（2）当 时， ，从而 ，
∴ 在 无零点．
当 时，若 ，则 ， ，故 是 的零点；
若 ，则 ， ，故 不是 的零点．
当 时， ，所以只需考虑 在（0，1）的零点个数．
(ⅰ)若 或 ，则 在 无零点，故 在 单调，而 ， ，所以当 时， 在 有一个零点；当 0时， 在 无零点．
17．已知正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
2017年高考押题卷文科数学(二)含答案解析
文 科 数 学（二）本试题卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合0y A yx ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合(){}10B x x x =->，则A B =R ð（ ） A ．{}|01x x ≤≤ B ．{}|01x x << C ．{}0D ∅2．已知复数z 满足1i 1z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．实轴D ．虚轴3．为了得到函数cos 2y x =的图像，可将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度4．某公司准备招聘了一批员工．有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与公司所需专业不对口的概率是（ ） A ．519B ．119C ．14D ．125．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 6．若变量,x y 满足不等式组120x x y x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≤≥≥，则(),x y 的整数解有（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．2aB2C2 D．28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ）A ．80B ．20C ．180D ．1669．已知直线:21l y x =+与圆C ：221x y +=交于两点A ，B ，不在圆上的一点()1,M m -，若MA 1MB ⋅=，则m 的值为（ ） A ．1-，75B ．1，75C ．1，75-D ．1-，75-10．已知函数()()22e x f x x x =-，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(),-∞+∞； ②函数()f x 是区间()0,2上的增函数；③()f x 是奇函数； ④函数()f x在x =其中推断正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF -的取值范围（ ） A ．()0,2B ．()1,6C．(D ．()0,612．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A ．HF //BE B．2BM =C ．∠MBND ．△MBN第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
精品解析：河北省衡水中学2017届高三高考押题2卷理数试题(解析版)
5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过
90 的正角 . 已知双曲线 E ：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) ，当其离心率 e
[
2, 2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（
）
A. [0, ] 6
【答案】 D 【解析】
B. [ , ] 63
C. [ , ] 43
由题意可得： e2
.
4.已知直角坐标原点
O 为椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的中心， F1， F 2为左、右焦点，在区间
(0,2) 任
取一个数 e ，则事件“以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有交点”的概率为（
）
A. 2 4
42
B.
4
【答案】 A
【解析】
满足题意时，椭圆上的点 P a cos , bsin
44
=2 2
21
24
=
2,
3 2 32
6
） cos -cos （
4
4
） sin
4
4
故选 A.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
: 一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角
进行合理的拆分，从而正确使用公式
；二看函数名称，看函数名称之间的结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的 .
1.设集合 A { x | x2 x 6 0, x Z} ， B { z | z x y , x A, y A} ，则 A B （ ）