双曲线中的焦点三角形性质整理
双曲线中焦点三角形面积公式推导
双曲线中焦点三角形面积公式推导在数学中，双曲线是一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和应用。
其中，双曲线中焦点三角形的面积公式推导是一个非常有趣且富有深度的数学问题。
在本文中，我将围绕这个主题，深入探讨双曲线的基本性质，并逐步推导出双曲线中焦点三角形的面积公式。
1. 双曲线的基本性质双曲线是平面上一类重要的曲线，其定义是一组点的集合，满足到两个给定点的距离之差为常数的性质。
可以用以下方程来表示一个标准的双曲线：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a、b为正实数。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点，分别记作F1和F2，它们的坐标可以通过双曲线的方程求解得到：\[F_1 = (-c, 0), F_2 = (c, 0)\]其中c为双曲线的一半焦距，即c=\sqrt{a^2 + b^2}。
3. 双曲线中焦点三角形面积公式推导我们假设双曲线上有一点P(x, y)，连接点P与双曲线的两个焦点F1和F2，可以得到焦点三角形FPF1和FPF2。
我们可以求出FPF1和FPF2两条边的长度。
由于双曲线的性质，我们可以利用双曲线的方程和点到直线的距离公式来计算两条边的长度。
利用三角形的面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到焦点三角形的面积。
4. 个人观点和理解通过对双曲线中焦点三角形面积公式的推导，我们不仅可以加深对双曲线性质的理解，还可以锻炼数学推导的能力。
双曲线作为重要的数学对象，在几何、微积分等各个领域都有广泛的应用。
深入理解双曲线的性质对于后续的数学学习和应用具有重要意义。
总结回顾通过本文的介绍和推导，我们深入探讨了双曲线中焦点三角形的面积公式。
首先我们了解了双曲线的基本性质和定义，然后介绍了双曲线的焦点和准线的概念。
我们以推导的方式得到了双曲线中焦点三角形的面积公式，并进行了总结回顾。
在学习数学的过程中，深入理解数学概念的推导过程和数学原理是至关重要的。
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
设 犉１犇 ＝ 犉１犎 ＝犿， 犉２犇 ＝ 犉２犈 ＝狀， 犘犈 ＝ 犘犎 ＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的 定 义 及 圆 的 切 线 长 性 质，可 得 犘犉１ － 犘犉２ ＝
犉１犇 － 犉２犇 ＝犿 －狀＝２犪． 而 犉１犉２ ＝ 犉１犇 ＋ 犉２犇 ＝犿 ＋狀＝２犮，可求
得 犿 ＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月 解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学 赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和 难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与 几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方 面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与 应变能力，是 考 查 数 学 能 力，体 现 选 拔 功 能 的 主 阵 地 之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性 质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右焦点，△犘犉１犉２ 的内 切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２ 的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１ ２ ＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线 犆 的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２ －犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右
焦点，△犘犉１犉２ 的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪 上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘 为双曲线 犆 右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２ 的内切 圆的圆心犐 在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎 ．
双曲线焦三角形的若干性质
目 】
固 ２
图
性质 ２ 双曲线 焦三角形的 内切 圆必切实轴于距 离较短焦半径较近 的那一个 端点 证 明 如 图 ３ 设 内切 圆切 Ｆ Ｆ ， ． Ｐ分 别 于 ＾， ． ， ｌ １ ｌ ｌ ｌ Ｉ ｌ — ｌＢｌ ｌ Ｐｌ Ｐ ＝ ， Ｉ ２ Ｆ Ｐ． ｃ 则 ， ＝Ｉ ＝ Ｐｌ Ｐ ＝ Ｆ。 —ｌ Ｃｌ Ｆ Ｆ ｌ Ｐｌ １ 一（ ｌ ｃＩ ＝ｌ Ｐｌ Ｐ ＋ｌ Ａｌ ２ ＋ｌ ： ． —Ｉ ） Ｆ． —Ｉ Ｆ Ｉ ＝ Ｄ Ｆ Ａ１于是 ｌ 。 —ｌ Ａｌ ２ ， ＾为双 曲线 的顶点 ． Ｆ Ａｌ ＝ ａ故 在 非扳限状态下 ． 我们假定 ｌ ＰＩ Ｆ Ｐｌ从而 ＾为实轴的距离 较短焦半径较 近的那一个端点 ． 焦三角形 的极 限状态 ＞ｌ ， 在 下 ， 内切圆为点 圆， 其 即非 焦顶点 ， 正为双曲线 实轴 的一个端点 ． 其 命题显然也成立 证毕 双曲线焦三角形中 ， 非焦顶点的内、 外角平分线与实轴所在直线 的交点分 别称为 焦 内点 ． 外点 焦 性质 ３ 双 曲线焦三角形 中 ， 焦外点到一 焦点 之距 离与该焦点 为端点 的焦 点半 径之 比为双 曲线 的离 心率 证明 如图 ４ 为双曲线三角形 的非 焦顶点 的外 角平 分线 ， 为 焦外点 ， ， 由外 角平分线性质及等比定理有
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４
第２ ０卷
第 ３期
黔东南民族师 范高等专科学技学 报
Ｊ ｕ ａ ｏ ￣ ｕｈ ａ ｔ ｏｒ ｌ ｆ ｎ ｔｅ ａ Ｇ ｚ 。 ａ ０ Ｔ ｔｈ ｒ ＢＣ ｌ ｇ ｜ｕ ｌ ⅡⅡ ｅ ｅ ｏｌ ｅ ｅ
ｖ０ ． ０ Ｎｏ． １２ ３
推论 ２ 双 曲线三角形中， 半焦 距、 内点与双曲线中心的连线段 ， 焦 焦外 点与 同侧焦点连 线段 ， 内点与同侧焦点的 焦 连线段成为 比倒 线段 性质 ６ 双曲线焦 三角形 中 过 任一焦点 向非焦 顶点 的内角平分 线引垂线 双 曲线 中心与 垂足莲 线必 与另 一焦 半 则 径 所 在 直线 平 行 证明
双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
吴爱龙;黄园军;徐招平
【期刊名称】《中学生数理化：高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2017(0)14
【摘要】椭圆或双曲线的两个焦点与曲线上的一点为顶点组成的三角形称为焦点三角形,焦点三角形涉及圆锥曲线的定义,具有许多性质。
下面介绍其一个有趣性质,然后举例说明该性质的应用。
【总页数】2页(P9-9)
【关键词】焦点三角形;双曲线;性质;应用;椭圆;圆锥曲线;举例说明;顶点
【作者】吴爱龙;黄园军;徐招平
【作者单位】江西省丰城中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
2.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
3.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质 [J], 刘才华
4.椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一个性质 [J], 刘才华[1]
5.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质的推广 [J], 刘刚
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双曲线焦点三角形内心的性质及其应用
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复习
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备考
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焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质
２
槡
２ ２ ２ ｂ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ θ ＝ ． ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒ ｃ ｓ ａ， ｒ ｃ ｓ ａ， ｅ ｃ ｅ ｃ θ＋ θ－ １＝ ２＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ） 则ｒ ｒ ｃ（ ａ＝ ｂ＋ ｃ ｔ １＋ － ｔ ａ ｎθ ａ ｎ θ， １ ２＝ ｒｒ 所以 Ｒ＝ １ ２ ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ｂ ｔ ａ ｎ θ） 由三角形内心坐标公式知Ｉ（ ａ， ． １＋ｓ ｅ ｃ θ
ｓ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ α α 故ｔ ＝ ａ ｎ α＝ ２ ｃ ｏ ｓ α 槡 １－ｓ ｉ ｎ α ＝
ｃ ｓ ｃ ｉ ｎ θ ＝ ｓ ｉ ｎ θ． ２ ２ ２ ２ ｂ ｂｃ ａｓ ｃｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ－ ｉ ｎθ θ＋ 槡
２ ２
ｒ １＋ ｅ 由 ① 知ｔ ａ ｎ α＝ ｂ １－ ｅ
槡
④
槡 （
ｂ－ ｃｓ ｉ ｎθ ＝ ２ ｂ ｓ ｉ ｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２ ８ １＋ ｅ ｅ时取等 当ｒ ＝ １－ Ｒ Ｓ≤ ｒ． ． ｅ ｂ １＋ ｅ 性质 １ 证毕 ．
数学通报 ２ ０ １ ７年 第５ ６卷 第４期 ｔ ａ ｎ θ 得ｒ＝ ｂ １＋ｓ ｅ ｃ θ （ ｒ Ｒ １＋ｓ ｅ ｃ ｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ） １ ２ ＝２ 由 ⑥ 两边平方整理得 ２ ２ ２ ２ （ ２＋２ ＝ ｒ ｂ ｔ ｓ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂ ｃ－ ａ ｓ ｓ ｃ） ｅ ｃ ｅ ｃ θ（ ａ θ＋ ， ｘ－ ａ ｎ θ＝ ｙ－ ｔ ２ ｔ ２ ｂ ａ ｎ θ
２ ２ ２ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ） ， 故令 ｘ＝０ 知 Ｗ （ ０， ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ２ ２ ２ ２ ） （ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ２ 得 Ｒ ＝ ＷＦ２ ＝ ｃ ＋ ２ ２ ４ ｂｔ ａ ｎθ
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双曲线中的焦点三角形
江苏省盱眙中学 赵福余
1.设双曲线19
42
2=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .
设双曲线为()0,0122
22>>=-b a b
y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .
性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .
（1）设双曲线14
42
2=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .
（2）若1F 、2F 分别是双曲线19
162
2=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .
2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .
3.设双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 2
1+=的范围是 .
性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .
4.设双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan
2tan
β
α .
性质5：=2tan
2tan
β
α .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e .
性质6：=e .（用BA ，AP 表示）
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