2019届中考复习解直角三角形专题试卷含答案
2019届中考复习解直角三角形专题试卷含答案一、解答题1、如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）2、如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3、如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）4、如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）5、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．6、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）7、某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．8、如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．9、保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）10、芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）11、如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）12、（2016•黔东南州）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）13、如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距30米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．求旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数）14、（2015•张家界）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．(1)求点B到AC的距离.(2)求线段CD的长度．15、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）(1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．16、如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）17、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）(2)求旗杆CD的高度．18、如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）答案解析部分一、解答题1、解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x，AN=MN=x．在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB=MN=x．∵AN+BN=AB，∴x+x=300（+l），∴x=300，∴MA=2x=600，MB=x=300．故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．2、解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD=．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB=．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．3、解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，∴EF=10米，DF=米，∵DH=DF+EC+CN=（+30）米，∠ADH=30°，∴AH=×DH=（10+）米，∴AN=AH+EF=（20+）米，∵∠BCN=45°，∴CN=BN=20米，∴AB=AN﹣BN=≈17米，答：条幅的长度是17米．4、解：过点B作BD⊥AP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°，在Rt△ABD中，∵AB=40，∠A=30，∴BD=AB=20，在R t△BDP中，∵∠P=45°，∴PB=BD=≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里．5、解：如图：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM=AP=10海里，AM=cos30°AP=海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=（10+）海里，∴BP==海里，即小船到B码头的距离是海里，A、B两个码头间的距离是（10+）海里．6、【答案】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+=（35+）m，答：建筑物AB的高为（35+）m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】首先过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出EF、FC的长，求出AB的长即可．7、【答案】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=30，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，则tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．答：该船与B港口之间的距离CB的长为：（30+10）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30 ，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．8、【答案】解：过点C作CD⊥AB于D，∴AD=CD•cot45°=CD，BD=CD•cot30°= CD，∵BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），∴CD=250，250米＞200米．答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．9、【答案】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴sin53°= = ≈0.8，解得：BD=24，cos53°= ≈0.6，解得：DC=18，∴AD=22﹣18=4（cm），∴AB= = = ＜，∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出BD，AD的长是解题关键．10、【答案】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°= x，∴BH=BC+CH=2+ x，∵∠A=30°，∴AH= BH=2 +3x，∵AH=AD+DH，∴2 +3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+ （10﹣）=10 ﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】设DH=x米，由三角函数得出= x，得出BH=BC+CH=2+ x，求出AH= BH=2 +3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．11、【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= = =10 （m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10 ≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF 的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．12、【答案】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2 ，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG= = =6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG= = = x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，由三角函数求出求出CH、DH的长，得出CG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，得出方程，解方程即可．13、【答案】解：过A作AE⊥MN，垂足为E，过C作CF⊥MN，垂足为F设ME=x，Rt△AME中，∠MAE=45°，∴AE=ME=x，Rt△MCF中，MF=x+0.2，CE= = （x+0.2），∵BD=AE+CF，∴x+ （x+0.2）=30∴x≈11.0，即AE=11.0，∴MN=11.0+1.7=12.7≈13．【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．二、综合题14、【答案】（1）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m∴点B到AC的距离为30m.（2）解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m，∴AC=AE+CE=（30+30）m，在Rt△ADC中，sinA=，则CD=（30+30）×=（15+15）m．【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．【分析】此题考查了构造直角三角形利用三角函数求线段长的知识点.15、【答案】（1）解：由题意可得：tan50°= ≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）解：设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°= = ≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）直接利用tan50°= ，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°= ，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．16、【答案】（1）解：作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH= ，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m（2）解：在Rt△CBE中，∵sin∠CBE= ，∴CE=200•sin45°=100 141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．17、【答案】（1）解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，∴AD= = =4 （m），答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m．（2）解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m，∴CD=AD•tan60°=4 ×=12（m），答：旗杆CD的高度是12m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；（2）利用（1）中所求，结合CD=AD•tan60°求出答案．此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．18、【答案】（1）解：如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，则DC=60海里，故cos30°= = ，解得：AC=40 ，答：点A到岛礁C的距离为40 海里．（2）解：如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，设AA′=x，则A′E= x，故CA′=2A′N=2×x= x，∵x+x=40 ，∴解得：x=20（﹣1），答：此时“中国海监50”的航行距离为20（﹣1）海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【分析】（1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°= ，进而求出答案；（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。
天津市河西区2019届中考《解直角三角形实际问题》专项练习含答案.doc
2019年九年级数学中考复习解直角三角形实际问题解答题强化练习1.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．2.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC．（1）求证：BA=BC；（2）若AG=2，cosB=0.6，求DE的长．3.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B，C两岛及A，C两岛的距离.(结果保留到整数,≈1.41,≈2.45)4.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）5.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为多少？6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）7.如图，已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AC边的中点,BC=14,AD=12,sinB=0.8.（1）求线段CD的长；（2）求tan∠EDC的值.8.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i=1:，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）10.某型号飞机的机翼形状如图,AB∥CD,∠DAE=37º,∠CBE=45º，CD=1.3m,AB、CD之间的距离为5.1m.求AD、AB的长．（参考数据：，，）11.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°, tanB=34，AC=18，求BC、AB的长.C A12.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°，AC=，试求CD的长.13.如图,在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE=1.5,且sin∠CFD=0.6,求⊙O的半径与线段AE的长.14.如图是我市投入使用的“大鼻子”校车，其安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组设计了如下检测公路上行驶汽车速度的实验，先在笔直的车道l旁边选取一点A，再在l上确定点B，使AB⊥l，测得AB的长为30米，又在l上选取点C，D，使∠CAB=30°，∠DAB=60°，如图所示．（1）求CD的长；（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）已知本路段对校车的限速为40千米/时，若测得某校车从点C到点D用时3秒，则这辆校车是否超速？并说明理由．参考答案1.解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB∵BD﹣BC=CD=200∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．2.（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠C，∴BA=BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B=∠DOG，∴cos∠DOG=cosB=0.6，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=，即=，∴r=3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH==，∴OH=，∴AH=3﹣=，在Rt△ADH中，AD==，∵∠DEC=∠C，∴DE=DC，而OA=OB，OD∥BC，∴AD=CD，∴DE=AD=．3.解：由题意知∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里，过B点作BD⊥AC于点D，∵∠BAC=45°，∴△BAD为等腰直角三角形，∴BD=AD=50，∠ABD=45°，∴∠CBD=180°-30°-45°-45°=60°，∴∠C=30°，∴在Rt△BCD中，BC=100≈141(海里)，CD=50，∴AC=AD＋CD=50＋50≈193(海里)4.解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．5.GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。
初三数学中考复习解直角三角形专项复习课堂练习题含答案
2019 初三数学中考复习解直角三角形专项复习讲堂练习题1.如图，为丈量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ ABO 为α，则树 OA 的高度为 ()A. 30米B．30sin α米C．30tan α米D．30cos α米tan α2.如图，某飞机在空中 A 处探测到它的正下方地平面上目标 C，此时遨游高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角α＝ 30°，则飞机 A 与指挥台 B 的距离为 ()A ．1200m B．1200 2m C．1200 3m D．2400m3. 如图，数学实践活动小组要丈量学校周边楼房CD 的高度，在水平川面 A 处部署测倾器测得楼房CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米抵达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5，°已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为 (结果精准到 0.1 米， 2≈ 1.414)()A ．34.14 米B ．34.1 米C．35.7 米D．35.74 米4. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 米，从 A点经过旗杆极点恰巧看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角α为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角β为30°，若旗杆底点 G 为 BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为()A．20 米B．10 3米 C.15 3米D．5 6米5.如图，学校环保社成员想丈量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C处测得树顶 B 的仰角为 60°，此后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°，已知斜坡CD 的长度为 20m，DE 的长为 10m，则树 AB 的高度是 ()A ．20 3m B．30m C.30 3m D．40m6. 如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线 BC 的长度为 (A 、D、B 在同一条直线上 )()h h hA.sin αB．tan α C.cos αD．h· cos α127. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 米，已知 cos α＝13，则小车上涨的高度是 ()A．5 米B．6 米 C.6.5 米D．12 米8.如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50m，则迎水坡面 AB 的长度是 ()A ．100 3m B．120m C．150m D．50 3m9.如图，创新小组要丈量公园内一棵树的高度 AB ，此中一名小构成员站在距离树 10 米的点 E 处，测得树顶 A 的仰角为 54°.已知测角仪的架高 CE＝1.5 米，则这颗树的高度为 ______米(结果保存一位小数．参照数据：sin54 ＝°0.8090，cos54 °＝0.5878，tan54 ＝°1.3764)．10.小明站在地面上，看楼上露台的小红，其仰角为 45°，那么小红看小明的俯角是 _______.度。
【中考专题】2019年 九年级数学中考二轮 解直角三角形实际问题 专题复习 20题(含答案)
2019年九年级数学中考二轮解直角三角形实际问题专题复习1.为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为60°（如图①）.（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）；（2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？2.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离.3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向.求该船航行的速度.4.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60 1.414，1.732）5.如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】6.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由. 。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18mC【分析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE V 中，tan30AE DE =o18m AE ∴== 18 1.519.5m AB ∴=+=故选CC A2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（ ） A ．2 B ． C． D ．DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。
天津市河东区2019届中考复习《解直角三角形》专项练习含答案
天津市河东区普通中学2019届初三数学中考复习 锐角三角函数和解直角三角形 专项练习1．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cosA ＝( D )A.52B.12C.255D.552．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为( A )A.13B.2－1 C ．2－ 3 D.143．在△ABC 中，若|cosA －12|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B ) A ．43米 B ．65米 C ．125米 D ．24米5．如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( D )A ．20海里B ．40海里 C.2033海里 D.4033海里 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝7，则sinB ＝__713__．7．如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2 000米，则他实际上升了__1000__米．8．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度．站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是9__m ．(结果保留根号)9．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，若cosB ＝45，EC ＝2，P 是AB 边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是__4.8__．10．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)11．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D ，E ，F ，G ，已知∠CGD＝42° (1)求∠CEF 的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B ，交AC 边于点H ，如图②所示，点H ，B 在直尺上的度数分别为4，13.4，求BC 的长．(结果精确到0.01)(参考数据：sin 42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)解：(1)∵∠CGD＝42°，∠C ＝90°，∴∠CDG ＝90°－42°＝48°，∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG＝48° (2)∵点H ，B 的读数分别为4，13.4，∴HB ＝13.4－4＝9.4(m)，∴BC ＝HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96(m)．答：BC 的长为6.96 m12．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)解：过点D 作DG⊥BC 于G ，DH ⊥CE 于H ，则四边形DHCG 为矩形．故DG ＝CH ，CG ＝DH ，在直角三角形AHD中，∵∠DAH ＝30°，AD ＝6，∴DH ＝3，AH ＝33，∴CG ＝3，设BC 为x ，在直角三角形ABC 中，AC ＝BCtan ∠BAC＝x 1.11，∴DG ＝33＋x 1.11，BG ＝x －3，在直角三角形BDG 中，∵BG ＝DG·tan30°，∴x －3＝(33＋x 1.11)·33，解得：x≈13，∴大树的高度为13米13．如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米，∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米，在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米14．我市准备在相距2千米的M ，N 两工厂间修一条笔直的公路，但在M 地北偏东45°方向、N 地北偏西60°方向的P 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点P 作PD⊥MN 于D∴MD＝PD·1tan45°＝PD ，ND ＝PD·1tan30°＝3PD ，∵MD ＋ND ＝MN ＝2，即3PD＋PD ＝2，∴PD ＝23＋1＝3－1≈1.73－1＝0.73＞0.6.答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（ ）A.3B.4C.6D.82．一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）＝sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°＝sin （60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝112222⨯+⨯＝1．类似地，可以求得s in15°的值是（ ）A ．4- B ．4 C ．2D ．23．在ABC ∆中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE 、AF 分BM 为三段的长分别是x 、y 、z ，若这三段有x y z >>，则::x y z 等于( )A ．3:2:1B ．4:2:1C ．5:2:1D ．5:3:24．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m ，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为( )A ．22.4mB ．23.2mC ．24.8mD ．27.2m5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，AC ＝4，则OD 的长为（ ）A.1B.1.5C.2D.2.56．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm7．已知x+1x=6，则x 2+21x =（ ）A.38B.36C.34D.328．若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N ≥B.M N ≤C.M N >D.M N <9．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个B.3个C.4个D.5个10．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 平分∠ABC ，点A 是BE 的中点．若∠D ＝110°，则∠AEB 的度数是( )A ．30°B ．35°C ．50D ．55°11．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间，且每个房间都住满，则租房方案共有( )种． A ．3 B ．4C ．5D ．6二、填空题13．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC 中，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；（2）作直线MN 交AB 于点D ；（3）连接CD ，若∠BCA ＝90°，AB ＝4，则CD 的长为_____．14．分解因式：xy 2﹣2x 2y+x 3=_____．15．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同.红色、黄色、黑色的个数之比为4：3：2，则从布袋里任意摸出1个球不是红球的概率是___．16．3(2)-=______.17．将直线1y x =-+向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为__________________. 18．一元二次方程23210x x -+=的根的判别式∆_______0.（填“>”，“=”或“<”） 三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，且B （6，4），F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点的反比例函数y=kx（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ，连接AE ．（1）当F 为AB 的中点时，求反比例函数和直线AE 的解析式．（2）设△EFA 的面积为S ，当k 为何值时，S 最大？并求出这个最大值．20．由于部分医疗机构药品储存规范落实不到位，近年来药品抽查不合格率不断上升．药监局对三家制药厂的某一种药品进行检测，抽样和检测结果的数据如表：（1）将不合格率填在表内（用百分数表示）；（2）绘制条形统计图表示这三种药品的不合格率．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式；（2）若直线l⊥x轴，且直线l在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值，并求出此时点M，N的坐标．22．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝12，求AE的长．23．已知二次函数的图像经过点A（－2，0）、B（1，3）和点C．（1）点C的坐标可以是下列选项中的．（只填序号）①（－2，2）；②（1，－1）；③（2，4）；④（3，－4）．（2）若点C坐标为（2，0），求该二次函数的表达式；（3）若点C坐标为（2，m），二次函数的图像开口向下且对称轴在y轴右侧，结合函数图像，直接写出m 的取值范围．24．如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF．设BE＝x（当点E与点B重合时，x的值为0），DF＝y1，CF＝y2．小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程.（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值，请补全表格：（2）根据表中各组数值，在同一平面直角坐标系xOy 中，画出函数y 1的图象.（3）结合图2 ，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，请直接写出BE 长度.（精确到0.1）25．如图，在平行四边形ABCD 中，点H 为DC 上一点，BD 、AH 交于点O ，△ABO 为等边三角形，点E 在线段AO 上，OD ＝OE ，连接BE ，点F 为BE 的中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，且∠GAD ＝60°． （1）若CH ＝2，AB ＝4，求BC 的长； （2）求证：BD ＝AB+AE ．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．214．x （y ﹣x ）2 15．5916．﹣8 17．4y x =-+ 18．＜ 三、解答题19．（1）12y x=,4y x 83=-+；（2）当k=12时，S 最大，最大值是3．【解析】 【分析】（1）先求出点F 的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式，求解点E ，由E 、A 两点即可求得直线AE 的解析式．（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】解：（1）∵B （6，4），点F 是AB 的中点， ∴点F 的坐标为（6，2）， ∵反比例函数y=kx（k ＞0）的图象过点F ， ∴k=6×2=12，∴反比例函数解析式为y=12x， 把y=4代入y=12x 得，4=12x，解得x=3， ∴E （3，4），设直线AE 的解析式为y=ax+b ， ∴3460a b a b +=⎧⎨+=⎩解得438a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线AE 的解析式：4y 83x =-+； （2）设F （6，6k ），则E （,44k），∴S=()221111·612326448248k k k k k ⎛⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当k=12时，S 最大，最大值是3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，表示出△EFA 的面积是解本题的关键．20．(1)见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据不合格率=不合格数÷抽样数，进行计算，即可得到第1问的结论； （2）根据直方图的绘制方法，以纵坐标为不合格率画出直方图．【详解】（1）A厂的不合格率＝110÷110＝100%，B厂的不合格率＝66÷110＝60%，C厂的不合格率＝55÷110＝50%，（2）如图所示：【点睛】本题主要考查频数直方图的知识,准确理解频数分布直方图中几个等量关系:①各小组的频数之和等于数据总数;②各组组距相等;③各长方形的高与该组频数成正比;21．（1）A（3，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）MN有最大值94，M33,22⎛⎫⎪⎝⎭，N315,24⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】(1)求出B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，待定系数法求解析式；(2)M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，M在点N的上方，MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣32)2+94，由0＜a＜3，即可求MN的最大值；【详解】(1)由y＝﹣x2+2x+3可得：B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，设直线AB的解析式y＝kx+b，∴330 bk b=⎧⎨+=⎩，∴13kb=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣x+3；(2)设直线l的解析式为x＝a，∴0＜a＜3，∴M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，∵MN在第一象限，∴点M在点N的上方，∴MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣32)2+94，∴当a＝32时，MN有最大值94，∴N(32，154)，M(32，32)；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数的图象及性质；掌握待定系数法求解析式，利用二次函数求最大值是解题的关键．22．（1）详见解析；（2）AE=【解析】【分析】（1）连接OE、EC，根据已知条件易证∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切线；（2）证明△BEC∽△BCA，根据相似三角形的性质可得BE BCBC BA=，即BC2＝BE•BA，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，代入可得122＝2x•3x，解得x＝，即可得AE＝．【详解】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：∠BEC ＝90°，∵在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BEC ＝∠BCA ， ∴△BEC ∽△BCA ， ∴BE BCBC BA= ， ∴BC 2＝BE•BA，∵AE ：EB ＝1：2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ，BA ＝3x ， ∵BC ＝12， ∴122＝2x•3x，解得：x ＝，即AE ＝． 【点睛】本题考查了切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 23．（1）④；（2）y ＝－x 2＋4．（3）0＜m ＜4． 【解析】 【分析】（1）①②的横坐标和A 、B 的横坐标相同，③这个点与A 、B 共线，故选④； （2）利用待定系数法求得即可；（3）若对称轴是直线x=2，则m 是最大值，求得A 、B 、C 共线时m 的值，即可求得m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵①②的横坐标和A 、B 的横坐标相同， 设经过直线AB 的解析式为y=kx+b ，203k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩解得12k y =⎧⎨=⎩∴y=x+2，把x=2代入得，y=4， ③这个点与A 、B 共线， 故点C 的坐标可以是④， 故答案为④；（2）设二次函数的解析式为y=a （x+2）（x-2）， 代入（1，3）得3=-3a ， ∴a=-1，∴该二次函数的表达式为y=-x 2+4；（3）由题意可知，二次函数的图象开口向下，若对称轴是直线x=2，则m 是最大值， 由（1）可知m ＜4， ∴m 的取值范围是0＜m ＜4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）3.61（2）见解析（3）2.5或5.0或3.5【解析】【分析】（1）画图、测量可得；（2）依据表中的数据，描点、连线即可得；（3）由题意得出△CDF是等腰三角形时BE的长度即为y1与y2交点的横坐标，或当y1=5, 或y2=5时的横坐标,据此可得答案．【详解】解：（1）补全表格如下：3.61（2）函数图象如下：（3）结合图2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，若：DF=CF，即y1=y2时， BE=x=2.5；当DF=5，即y1=5时，BE=x=5.0，当CF=5，即y2=5时，BE=x=3.5，故当△CDF为等腰三角形时，BE长为2.5或5.0或3.5.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握函数思想的运用及函数图象的画法、数形结合思想的运用．25．（1）BC （2）详见解析【解析】【分析】（1）延长AH、BC相交于点M，可证明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E是OA的中点，根据“三线合一”可得BE的长度、BE⊥OA，根据勾股定理求出BM的长，而BC=12BM；（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可证BD=OB+OD=AB+AE．【详解】解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBAMH MC CH∴==MA MB AB∵CH＝2MH MC21∴===MA MB42∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DOH＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴==BE在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2222∴+=10BMBM∴=∴=BC（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质．这道题的关键是证明点E是OA的中点、BM=2BC．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A．互相平分B．相等C．互相垂直D．平分一组对角2．将抛物线y＝3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后抛物线的函数表达式是( )A．y＝3(x+1)2+4 B．y＝3(x﹣1)2+4C．y＝3(x+1)2﹣4 D．y＝3(x﹣1)2﹣43．在一个不透明的口袋里装有2个红球，1个黄球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（）A．12B．13C．14D．164．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（）A.60B.30C.240D.1205．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC=6，BD=10，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D6．如图所示物体的俯视图是( )A．B．C．D．7．下列计算结果等于4的是( )A．|(﹣9)+(+5)| B．|(+9)﹣(﹣5)| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|8．对于一组数据： 4, 3,6, 4, 8,下列说法错误的是（）A．众数是4 B．平均数是5 C．众数等于中位数D．中位数是59．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.10．已知抛物线2(0)y ax bx c b a =++>>与x 轴只有一个交点，以下四个结论：①抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x 的方程220ax bx c +++=有实数根；③0a b c ++>；④b ac-的最大值为1.其中结论正确的为（ ） A.①②③B.③④C.①③D.①③④11．如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53︒，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为（精确到0.1m ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）（ ）A ．8.5米B ．9米C ．9.5米D ．10米12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，直线l 从点D 出发，沿射线DA 方向以每秒1个单位的速度平移运动，至直线经过B 点时停止运动．若直线l ∥AC ，与DA （或AB ）交于点M ，与DC （或CB ）交于点N ．设直线l 运动时间为t （秒），△DMN 的面积为y ，则y 关于t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A 坐标为（4，0），过A 作AA 1⊥OB ，垂足为点A 1；过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ，垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴，垂足为点A 4…；这样一直作下去，则A 2019坐标为_____．14．计算)22的结果是________.15．若x=2是关于x 的方程2x+3m ﹣1=0的解，则m 的值等于_________ 。
2019届初三数学中考复习 锐角三角函数和解直角三角形 专项训练 含答案
2019届初三数学中考复习 锐角三角函数和解直角三角形 专项训练1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．csinA ＝aB ．bcosB ＝cC ．atanA ＝bD ．ctanB ＝b2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( )A.12B.22C.32D.333. 如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )．A ．20(3＋1)米/秒B ．20(3－1)米/秒C ．200米/秒D ．300米/秒 4. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.h tan αD ．h ·cos α 5. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( )A ．3.5sin29°米B ．3.5cos29°米C ．3.5tan29°米 D. 3.5cos29°米6. 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )A ．153海里B ．30海里C ．45海里D ．303海里7. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为20 m ，DE 的长为10 m ，则树AB 的高度是( )A．20 3 m B．30 m C．30 3 m D．40 m8. 如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米9. 计算（tan60°）2－4tan60°＋4＋22cos45°tan60°－tan45°＝____.10. 计算sin60°cos30°－tan45°的值是____．11. 计算2cos30°－22sin60°·cos45°＝____．12. 计算4cos30°sin60°＋(－2)－1－( 2 017－2 016)0＝____．13. 计算sin260°＋cos60°－tan45°＝____．14. (π－2 017)0＋(sin60°)－1－|tan30°－3|＋38的计算结果为____． 15. 2(2cos45°－sin60°)＋244的计算结果为____． 16. |－2|＋2sin30°－(－3)2＋(tan45°)－1的计算结果为____． 17. (13)－1－2 0170＋|－43|－tan60°的计算结果为__________.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，若CD ＝3，BD ＝26，sin ∠DBC ＝33，求对角线AC 的长．19. 在△ABC 中，∠C ＝150°，AC ＝4，tanB ＝18. (1)求BC 的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)．20. 如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离(B ，F ，C 在一条直线上)．(1) 求教学楼AB 的高度；(2) 学校要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin 22°≈38，cos 22°≈1516，tan 22°≈25)参考答案：1---8 AAABA BBA 9. 3 10. 0 11. 0 12. 32 13. 14 14. 3 15. 2 16. 1 17. 2＋3318. 解：如图，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则∠E ＝90°.∵sin ∠DBC ＝33，BD ＝26，∴DE ＝2 2.∵CD ＝3，∴CE ＝1，BE ＝4，∴BC ＝3，∴BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是菱形，连结AC 交BD 于O 点，则AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝6，∴OC ＝BC 2－BO 2＝3，∴AC ＝2 3.19. 解：(1) 如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.在Rt △ADC 中，AC ＝4，∵∠ACB ＝150°，∴∠ACD ＝30°，∴AD ＝12AC ＝2，CD ＝AC·cos 30°＝4×32＝2 3.在Rt △ABD 中，tan B ＝AD BD ＝2BD ＝18，∴BD ＝16，∴BC ＝BD －CD ＝16－2 3.(2) 如图，在BC 边上取一点M ，使得CM ＝AC ，连结AM.∵∠ACB ＝150°，∴∠AMC ＝∠MAC ＝15°，∴tan 15°＝tan ∠AMD ＝AD MD ＝24＋23＝12＋3≈0.3.20. 解：(1) 如图，过点E 作EM ⊥AB ，垂足为点M.设AB 为x.在Rt △ABF 中，∠AFB ＝45°，∴BF ＝AB ＝x ，∴BC ＝BF ＋FC ＝x ＋13.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝22°，AM ＝AB －BM ＝AB －CE ＝x －2，∴tan 22°＝AM ME ＝x －2x ＋13＝25，∴x ＝12.即教学楼的高度为12米．(2) 由(1)可得，ME ＝BC ＝x ＋13＝12＋13＝25.在Rt △AME 中，cos 22°＝MEAE ，∴AE ＝MEcos 22°≈27，即A ，E 之间的距离约为27米．。
初三中考复习 解直角三角形 专题复习训练题 含答案
初三中考复习解直角三角形专题复习训练题含答案2019 初三中考复习解直角三角形专题复习训练题1. 如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，则AC边上的高BD的长是( )A．4 B．8 C．2 3 D．4 32. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A．2a B．22a C.3a D．43 3a3. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为( )A.12B．55C.1010D．2554．直线y＝3x－3与x轴所成的锐角为x，则tan x＝______. 5．计算：cos230°－2sin60°－tan30°＋tan245°＝_______.6．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝13，求sin A、cos A、tan A的值．7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝23，AB＝6，求BC的长．8. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米．求河的宽度．(结果保留根号)9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．10. 如图在△ABC中，AB＝1，AC＝2，sinB＝24，求BC的长．5. 346. 解：过点D 作DE ⊥CD 交BC 于点E ，在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，设DE ＝x ，则CD ＝3x.又∵DE ⊥AC ，∴DE ∥AC ，∵AD ＝BD ＝12AB ，∴DE ＝12AC ，∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，AC ＝2x ，CD ＝3x ，∴AD ＝13x ，∴sinA ＝31313，cosA ＝21313，tanA ＝32.7. 解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°sinA＝BC AB ＝23，∵AB ＝6，∴BC ＝4. 8. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝DC ，设AD ＝DC ＝xm ，则tan30°＝x x ＋100＝33，解得：x ＝50(3＋1)，答：河的宽度为50(3＋1)m.9. (1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC, ∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DBF ＝∠DAC, ∴△ACD ∽△BFD ； (2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90° ∴ADBD ＝1, ∴AD ＝BD, ∵△ACD ∽△BFD, ∴AC BF ＝ADBD＝1, ∴BF ＝AC ＝3. 10. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，Rt △ABD 中，sinB ＝AD AB ＝24，∴AD ＝24，BD ＝AB 2－AD 2＝1－18＝144.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝2－18＝304.∴BC ＝BD ＋CD ＝13＋304.11. 解：∵在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米，∴BC ＝2.3m ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°，∴tan70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824，解得：AD≈4.2，答：像体AD 的高度约为4.2m.12. 解：∵BN ∥ED ，∴∠NBD ＝∠BDE ＝37°，∵AE ⊥DE ，∴∠E ＝90°，∴BE ＝DE·tan∠BDE≈18.75(cm)，如图，过C 作AE 的垂线，垂足为F ，∵∠FCA ＝∠CAM ＝45°，∴AF ＝FC ＝25cm ，∵CD ∥AE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD ＝EF ，∵AE ＝AB ＋EB ＝35.75(cm)，∴CD ＝EF ＝AE －AF≈10.8(cm)，答：线段BE 的长约等于18.8cm ，线段CD 的长约等于10.8cm.13. 解：根据题意，得△ABE 和△BDC 是直角三角形，∴∠3＝∠4＝90°，∵∠A ＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°.∴tan ∠1＝tanA ＝13.在Rt △BCD 中，tan ∠1＝CD BD ，设CD ＝x ，则BD ＝3x ，∴x 2＋(3x)2＝(5)2，∴x ＝22，BD ＝3x ＝322.答：BD 的长为322米．14. 解：(a)由入射角等于反射角，得△AOB ∽△COD ，∴AB CD ＝OB OD ，即AB 1.7＝63.4，∴AB ＝3(m)； (b)由同一时刻物高与影长成正比，得AB BE ＝CD DF ，即AB 1.8＝10.6，∴AB ＝3(m)； (c)由光的直线传播，得△CEF ∽△CAB ，△CFG ∽△CBD ，∴EF AB ＝CFCB ＝FG BD ，∴0.2AB ＝0.69，∴AB ＝3(m)． 15. 解：(1)如图，过点D 作DE ⊥AB ，过点B 作BF ⊥CD ，∵∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°，∴△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，∴∠CBF ＝45°，在四边形ABCD中，∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°，∴∠DBF＝30°，∵AD＝2，∴由勾股定理得AE＝DE＝ 2.∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴在Rt△BDE中，BD＝2DE＝2 2.由勾股定理得BE＝ 6.∴AB＝2＋6；(2)设DE＝x，则AE＝x，BD＝2x，∴DF＝12BD＝x，由勾股定理得BE＝3x，BF＝BD2－DF2＝2x2－x2＝3x，∴CF＝3x，∵AB＝AE＋BE＝x＋3x，CD ＝DF＋CF＝x＋3x，AB＋CD＝(2＋23)x＝23＋2，∴x＝1，∴AB＝(3＋1)x ＝3＋1.。
初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专题综合训练题含答案
2019 初三数学中考复习锐角三角函数和解直角三角形专题综合训练题1. 在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AB ＝5，BC＝3，则 tanA 的值是 ( A )3434A. 4B.3C.5D.52.在正方形网格中，△ABC 的地点以以下图，则 cosB 的值为 ( B )A.1B.2C.3D.3 22233.如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ( D )2551A．2B.5 C. 5 D.24．以以下图，一个斜坡长 130 m，坡顶离水平川面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平川面夹角的正切值等于( C )1312513A. 15B.13C.12D.1245．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， sinA＝5，AC＝6 cm，则 BC 的长度为 ( C )A ．6 cm B． 7 cm C．8 cm D．9 cm6．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，抵达位于灯塔P 的北偏东 30°方向上的 B 处，这时， B 处与灯塔 P 的距离为 ( B )A ．60 3 n mile B．60 2 n mileC．30 3 n mile D．30 2 n mile7．如图，小明为了丈量一凉亭的高度AB( 顶端 A 到水平川面 BD 的距离 )，在凉亭的旁边搁置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶 DE(DE＝BC＝ 0.5 米， A，B，C 三点共线 )，把一面镜子水平搁置在平台上的点G 处，测得 CG＝15 米，此后沿直线 CG 退后到点 E 处，这时恰幸亏镜子里看到凉亭的顶端A，测得 EG＝3 米，小明身高 1.6 米，求凉亭的高度AB 约为 ( A )A ．8.5 米B．9 米C．9.5 米D．10 米8．如图，小王在长江边某眺望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°，若 DE＝3 米， CE＝2 米， CE 平行于江面 AB ，迎水坡 BC 的坡度 i＝1∶0.75，坡长 BC＝10 米，则此时 AB 的长约为 ( A)(参照数据：sin40°≈ 0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈ 0.84)A ．5.1 米B．6.3 米C．7.1 米D．9.2 米159. 如图， Rt△ABC 中，∠ C＝90°， BC＝15，tanA＝8，则 AB ＝__17__．1（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝__75°10．已知α，β均为锐角，且知足 |sinα－|＋2__．11．如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 订交于点 E，连接 AC，BD ，若 AC＝2，则 tanD＝ __2 2__．12．以以下图，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭抵达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40 km，仰角是 30°，n 秒后，火箭抵达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上涨的高度是 __(20 3－20)__km.13．如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度向沿南偏东 20°方向匀速航行，在B 处观察灯塔 A 位于南偏东 50°方向上，轮船航行 40 分钟抵达C 处，在 C40 3处观察灯塔 A 位于北偏东 10°方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 __3__海里．14．如图是耸立在高速公路边水平川面上的交通警告牌，经丈量获得以下数据：AM ＝4 米， AB ＝8 米，∠ MAD ＝45°，∠ MBC ＝30°，则警告牌的高CD 为__2.9__米． (结果精准到 0.1 米，参照数据：2≈1.41， 3≈1.73)15．如图，海中有一小岛A，它四周 8 海里内有暗礁，渔船追踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行12 海里抵达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上．假如渔船不改变航线连续向东航行，有没有触礁的危险？解：如图，过 A 作 AC⊥BD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠ CAB ＝60°，∴∠ BAD ＝60°－ 30°＝ 30°，∠ ABD ＝90°－60°＝30°，∴∠ ABD ＝∠BAD ，∴ BD ＝AD ＝12 海里．∵∠ CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD＝21AD ＝6 海里，由勾股定理得 AC＝122－62＝ 6 3≈ 10.923＞8，即渔船连续向正东方向行驶，没有触礁的危险．16．我国踊跃组织抢险队赴地震灾区参加抢险工作，如图，某探测队在地面 A ，B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象．已知探测线与地面的夹角分别是25°和 60°，且 AB ＝4 米，求该生命迹象所在的地点 C 的深度 (结果精准到1米，参照数据： sin25°≈ 0.4，cos25°≈ 0.9，tan25°≈ 0.5，3≈ 1.7)．解：过点 C 作 CD⊥AB ，交 AB 延伸线于 D.设 CD 长为 x 米，在 Rt△ACD 中，AD ＝CD＝ 2x 米．tan25°CD3在 Rt△BCD 中， BD＝tan60°＝3 x 米．3度为 3米．17．如图，某校讲课楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为 12 米，坡角α为 60°，依据相关部门的规定，∠α≤ 39°时，才能防范滑坡危险，学校为了除去安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的状况下，学校最少要把坡顶D 向后水平挪动多少米才能保证讲课楼的安全？ (结果取整数 )(参照数据：sin39°≈0.63，cos39°≈ 0.78，tan39°≈ 0.81， 2≈ 1.41， 3≈ 1.73， 5≈2.24)解：假定点 D 移到 D′的地点时，恰巧∠α＝39°，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点D′作 D′ E⊥′AC 于点 E′∵.CD＝12 米，∠ DCE＝60°，∴ DE＝CD·sin60°＝12×3＝613(米)，CE＝CD·cos60°＝ 12×＝ 6(米)．∵DE⊥AC ， D′E′⊥22AC ，DD ′∥ CE′，∴四边形 DEE′ D是′矩形，∴ DE＝D′ E＝′6 3米．∵∠ D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′ 6 3tan39°≈0.81≈ 12.8(米)，∴ EE′＝ CE′－ CE＝ 12.8－6＝6.8 ≈米7( )．答：学校最少要把坡顶 D 向后水平挪动 7 米才能保证讲课楼的安全．。
【中考专题】天津市和平区 2019年中考数学 解直角三角形 解答题 专题复习 15题(含答案)
2019年中考数学解直角三角形解答题专题复习1.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）2. “低碳环保，你我同行”．近几年，各大城市的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）4.如图,已知长江路西段与黄河路的夹角为150°,长江路东段与淮河路的夹角为135°，黄河路全长AC=20km,从A地道B地必须先走黄河路经C点后再走淮河路才能到达,城市道路改造后，直接打通长江路（即修建AB路段）．问：打通长江路后从A地道B地可少走多少路程？（参考数据：≈1.4，≈1.7）5.如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（结果保留两位有效数字．）6.为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山顶D的仰角为60°（如图①）.（1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）；（2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？7.如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）8.小玲家在某24层楼的顶楼，对面新造了一幢28米高的图书馆，小玲在楼顶A处看图书馆楼顶B处和楼底C处的俯角分别是45°，60°．请问：（1）两楼的间距是多少米？（精确到1m）（2）小玲家的这幢住宅楼的平均层高是多少米？（精确到0.1m）（参考了数据：≈1.73，≈1.41）9.某校数学兴趣小组想测量大报恩塔的高度．如图，成员小明利用测角仪在B处测得塔顶的仰角α=63.5°，然后沿着正对该塔的方向前进了13.1m到达E处，再次测得塔顶的仰角β=71.6°．测角仪BD的高度为1.4m，那么该塔AC的高度是多少？（参考数据：sin63.5°≈0.90，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.30，tan71.6°≈3.00）10.某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30°，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45°，已知测交仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度．（≈1.732，精确到0.1米）11.某商场门前的台阶截面如图中阴影部分所示，已知台阶有四级小台阶且每一级小台阶高度相等，台阶高度EF为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D，C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）12.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）13.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22°）14.如图，已知斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）15.某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）答案1.解：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，AE=CE=x在Rt△BCE中：∠CBE=30°，BE=CE=x，∴x=x+50解之得：x=25+25≈68.30．答：河宽为68.30米．2.3.4.解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=20km，则CD=10km，AD=10km，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，CD=10km，故BD=10km，BC=10km，则AC+BC﹣AB=20+10﹣10﹣10≈7（km），答：打通长江路后从A地道B地可少走7km的路程．5.解答：解：在直角三角形DCF中，∵CD=5.4m，∠DCF=30°，∴sin∠DCF==，∴DF=2.7，∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DCF，∵AD=BC=2，∴cos∠ADE===，∴DE= ，∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米．6.解：7.8.9.解：延长DF交AC于点G，设AG=xm．由题意知：DF=13.1 m，DB=FE=GC=1.4 m．在Rt△ADG中，tan∠ADG=，∴DG==≈，在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==≈，∵DF=DG﹣FG，∴﹣=13.1，解得x=78.6，∴AG=78.6 m，∵AC=AG+GC，∴AC=78.6+1.4=80（m）．答：该塔AC的高度约80m．10.11.12.解：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，∴AB==≈7m，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．答：从A地跑到D地的路程约为47m．13.解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AM:ME，则5(x-2)=2(x+25)，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=ME:AE．∴ME=AEcos22°，即A、E之间的距离约为48m14.解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴AH:PH=5：12，设AH=5km，则PH=12km，由勾股定理，得AP=13km．∴13k=26m．解得k=2．∴AH=10m．答：坡顶A到地面PQ 的距离为10m．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．在Rt△ABC中，tan76°=BC:AC，即x:(x-14)≈4.0，解得x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．15.。