具有饱和感染率的随机SIR传染病模型的性质分析

∂ d ∂ 1 d ∂2 T , , L= g x t g x t + ∑ f i ( x, t ) + ∑ ( ) ( ) i , j ∂x ∂x ∂t i 1 = ∂xi 2 i , j 1 = i j
(
)
(4)
将 L 作用到函数 V ( x, t ) ∈ C 2,1 R d × [t0 , ∞ ] ; R+ 上，则
2 1
Received: May 15th, 2014; revised: Jun. 18th, 2014; accepted: Jun. 25th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
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M β ( t ) 0.1( sint + 1.5 ) ), 0<= : max β ( t ) (i.e.= β L : min β ( t ) ≤ β ( t ) ≤ β = t ∈R t ∈R
具有饱和感染率的随机 SIR 传染病模型的性质分析
研究了如下随机系统的渐近性质：
β (t ) S (t ) I (t ) dS ( t ) =− A µS S ( t ) − 1 + α S ( t ) + α I ( t ) dt + σ 1 S ( t ) dB1 ( t ) , 1 2 β (t ) S (t ) I (t ) = − ( µ I + α + γ ) I ( t ) dt + σ 2 I ( t ) dB2 ( t ) , dI ( t ) 1 + α1 S ( t ) + α 2 I ( t ) (γ I ( t ) − µ R R ( t ) ) dt + σ 3 R ( t ) dB3 ( t ) . dR ( t ) =
dx ( t ) = f ( x ( t ) , t ) dt + g ( x ( t ) , t ) d B ( t ) , t ≥ t 0 .
设 V ( x, t ) 为定义在 C 2,1 R d × [t0 , ∞ ] ; R+ 上的函数，对 x 至少二阶连续可微和对 t 至少一阶连续可微。 算子 L 定义为
2 可以看出，模型(3)满足局部 Lipschitz 条件，由文献[12]可知，对任意给定的初值 x0 ∈ R+ ，方程存在
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具有饱和感染率的随机 SIR 传染病模型的性质分析
A , 0, 0 的渐近性质 3. 随机系统(3)关于点 E0 = µS
A 容易看出，点 E0 = , 0, 0 是确定性系统(2)无病平衡点，但不是相应随机系统(3)的无病平衡点。 µ S 在传染病动力性的研究当中，无病平衡点的稳定性表明了系统中的传染病终究会灭绝，对研究系统中种 A 群与疾病的发展规律有重要的作用。本节研究随机系统(3)关于点 E0 = , 0, 0 的渐近性质。 µS
Qualitative Analysis of a Stochastic SIR Epidemic Model with Saturated Incidence Rates
Yang Tan1, Zijun Guo2
Tongren Polytechnic College, Tongren Institute of Applied Mathematics, South-China Agricultural University, Guangzhou Email: 553129685@
关键词
传染病模型，饱和感染率，高斯白噪声，稳定分布
1. 引言
用数学建模的方法研究传染病的传播有助于描述传染病的发展和预测其变化趋势，为人们制定有效 的预防策略提供了理论依据。现实中，很多传染病的传播效率常常受到时间上的波动，如麻疹、水痘等 的疾病的感染率随着季节性的周期变化而变化[1]。因此，传染病数学模型中引入周期因素更能精确揭示 疾病传播的规律。 文献[2]研究了一类具有常数出生率的 SIR 传染病模型， 并证明了模型周期解的存在性。 文献[3]研究了一类非自治 SIR 传染病模型周期解。 然而在现实情况中， 生物种群的发展(疾病病菌的传播)不可避免地受到环境随机因素的干扰， 并且这 样的干扰在很多情况下不能被忽略，对某些实际过程的分析有必要从通常的确定性观点转到随机的观点 [4]。文献[5]建立了一类随机 SIR 模型及具有分布时滞的模型，假设模型中的感染率系数 β 受到白噪声的 干扰： β → β + dW ( t ) ，W ( t ) 表示维纳过程，得出了系统稳定的条件。文献[6]研究了文献[5]的模型，得 出了保证平衡点稳定性更好的条件。文献[7]建立了 HIV 内部病毒感染 CD4 受体细胞的随机动力模型， 得到了易感细胞具有稳定分布和感染细胞与病毒灭绝的充分条件。文献[8]研究了一类捕食者带有疾病的 随机食饵-捕食者模型，得到了随机系统围绕确定性系统的地方病平衡点具有稳定分布的充分条件。文献 [9]提出了如下具有饱和感染率的时滞 SIR 模型：
得到如下模型：
β S (t ) I (t ) σ 2 S (t ) I (t ) dB2 ( t ) , dS ( t ) =− A µS S ( t ) − dt − σ 1 S ( t ) dB1 ( t ) − 1 + α1 S ( t ) + α 2 I ( t ) 1 + α1 S ( t ) + α 2 I ( t ) β (t ) S (t ) I (t ) σ 2 S (t ) I (t ) = − ( µ I + α + γ ) I ( t ) dt + dB2 ( t ) − σ 3 I ( t ) dB3 ( t ) , dI ( t ) 1 + α1 S ( t ) + α 2 I ( t ) 1 + α1 S ( t ) + α 2 I ( t ) (γ I ( t ) − µ R R ( t ) ) dt − σ 4 R ( t ) dB4 ( t ) . dR ( t ) =
1 T LV = Vt ( x, t ) + Vx ( x, t ) f ( x, t ) + trace g ( x, t ) Vxx ( x, t ) g ( x, t ) . 2
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
2. 随机模型(3)的解的存在、唯一性
唯一的局部正解 x ( t ) ， t ∈ [ 0,τ e ) ，其中 τ e 是爆炸时。事实上，可用文献[4]的方法证明模型(3)的该局部解 是全局的。
(2)
本文假设种群之间的部分作用系数受到随机因素的干扰，在模型(1)的基础上，令时滞 τ = 0 ，考虑不 同于模型(2)且更全面的随机干扰因素：
µ S → µ S + σ 1dB1 ( t ) , β → β + σ 2 dB2 ( t ) ,
µ I → µ I + σ 3 dB3 ( t ) , µ R → µ R + σ 4 dB4 ( t ) ,
i = 1, 2,3, 4 为相互独立的标准布朗运动。其他系数与模型(1)中一致，各系数均非负。
(3)
σ i ，i = 1, 2,3, 4 为白噪声的干扰强度，Bi ( t ) ， 其中，µ S 、µ I 、µ R 分别为 S ( t ) 、I ( t ) 、R ( t ) 的自然死亡率，
本文中， ( Ω, F , P ) 表示具有滤子 {F t }t ≥ 0 的完备概率空间，且满足通常的条件(如 {F t }t ≥ 0 右连续且 F0 包 含所有的零测度集)。对于 d 维的随机微分方程[11]
Abstract
A stochastically mathematical model of a stochastic SIR epidemic model with saturated incidence rates is proposed and analyzed, setting that all the death rate and incident rate are similarly perturbed by an independent Gaussian white noise. First the paper shows that the infective population and recovered individuals will tend to zero exponentially almost surely under some additional condition. In addition, a sufficient condition for the stationary distribution around the endemic infection equilibrium state of the corresponding deterministic model is derived and the solution is ergodic.
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具有饱和感染率的随机 SIR 传染病模型的性质分析
收稿日期：2014年5月15日；修回日期：2014年6月18日；录用日期：2014年6月25日
摘
要
建立了一类具有饱和感染率的随机SIR模型， 假设易感者、 感染者及移出者三群体的自然死亡率和疾病感 染率分别受到相互独立的高斯白噪声干扰。首先证明了在一定的条件下，感染者与移出者种群将依指数 趋于灭绝。再就是相应确定性系统的地方病平衡点存在时，得到了该随机系统围绕该点具有稳定的分布 且该分布是遍历的充分条件。