第七讲 机器人动力学
机器人运动学与动力学分析
机器人运动学与动力学分析引言：机器人技术是当今世界的热门话题之一。
从生产领域到服务领域，机器人的应用越来越广泛。
而要实现机器人的精确控制和高效运动，机器人运动学与动力学分析是必不可少的基础工作。
本文将介绍机器人运动学与动力学分析的概念、方法和应用，并探讨其在现代机器人技术中的重要性。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析是研究机器人运动的位置、速度和加速度等基本特性的过程。
运动学分析主要考虑的是机器人的几何特征和相对运动关系，旨在通过建立数学模型来描述机器人的运动路径和姿态。
运动学分析通常可以分为正逆解两个方面。
1. 正解正解是指根据机器人关节位置和机构参数等已知信息，计算出机器人末端执行器的位置和姿态。
正解问题可以通过利用坐标变换和关节运动学链式法则来求解。
一般而言，机器人的正解问题是一个多解问题，因为机器人通常有多个位置和姿态可以实现。
2. 逆解逆解是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出机器人关节位置和机构参数等未知信息。
逆解问题通常比正解问题更为复杂，因为存在多个解或者无解的情况。
解决逆解问题可以采用迭代法、几何法或者数值优化方法。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析是研究机器人运动的力学特性和运动控制的基本原理的过程。
动力学分析主要考虑机器人的力学平衡、力学约束和运动方程等问题，旨在实现机器人的动态建模和控制。
1. 动态建模动态建模是研究机器人在外力作用下的力学平衡和运动约束的数学描述。
通过建立机器人的运动方程，可以分析机器人的惯性特性、静力学特性和动力学特性。
机器人的动态建模是复杂的，需要考虑关节惯性、关节力矩、摩擦因素等多个因素。
2. 控制策略机器人动力学分析的另一个重要应用是运动控制。
根据机器人的动态模型，可以设计控制策略来实现机器人的精确运动。
常见的控制方法包括PID控制、模糊控制、自适应控制等。
通过合理选择控制策略和调节参数，可以实现机器人的平滑运动和高精度定位。
三、机器人运动学与动力学分析的应用机器人运动学与动力学分析在现代机器人技术中具有重要的应用价值。
机器人的运动学和动力学模型
机器人的运动学和动力学模型机器人的运动学和动力学是研究机器人运动和力学性质的重要内容。
运动学是研究机器人姿态、位移和速度之间关系的学科，动力学则是研究机器人运动过程中力的产生和作用的学科。
机器人的运动学和动力学模型可以帮助我们理解机器人的运动方式和受力情况，进而指导机器人的控制算法设计和路径规划。
一、机器人运动学模型机器人运动学模型是描述机器人运动方式和位置关系的数学表达。
机器人的运动状态可以用关节角度或末端执行器的位姿来表示。
机器人的运动学模型分为正运动学和逆运动学两种。
1. 正运动学模型正运动学模型是通过机器人关节角度或末端执行器的位姿来确定机器人的位置。
对于串联机器人，可以使用连续旋转和平移变换矩阵来描述机械臂的位置关系。
对于并联机器人，由于存在并联关节，正运动学模型比较复杂，通常需要使用迭代方法求解。
正运动学模型的求解可以通过以下几个步骤：(1) 坐标系建立：确定机器人的基坐标系和各个关节的局部坐标系。
(2) 运动方程描述：根据机器人的结构和连杆长度等参数，建立各个关节的运动方程。
(3) 正运动学求解：根据关节的角度输入，通过迭代计算，求解机器人的末端执行器的位姿。
正运动学模型的求解可以用于机器人路径规划和目标定位。
2. 逆运动学模型逆运动学模型是通过机器人末端执行器的位姿来确定机器人的关节角度。
逆运动学问题在机器人的路径规划和目标定位等任务中起着重要作用。
逆运动学求解的难点在于解的存在性和唯一性。
由于机器人的复杂结构，可能存在多个关节角度组合可以满足末端执行器的位姿要求。
解决逆运动学问题的方法有解析法和数值法两种。
解析法通常是通过代数或几何方法，直接求解关节角度，但是解析法只适用于简单的机器人结构和运动方式。
数值法是通过迭代计算的方式，根据当前位置不断改变关节角度，直到满足末端执行器的位姿要求。
数值法可以用于复杂的机器人结构和运动方式，但是求解时间较长。
二、机器人动力学模型机器人动力学模型是描述机器人运动时受到的力和力矩的模型。
机器人学第七章(机器人动力学的凯恩方法)
第七章 机器人动力学的凯恩方法7.1 引言机器人动力学凯恩方程方法是建立在凯恩动力学方程基础上的，因而本章首先介绍凯恩动力学方程。
7.1.1 质点系的凯恩动力学方程设一质点系具有n 个质点，该质点系的动力学普遍方程为()[]01=⋅-∑=ni i i i ir a m fδ （7-1）式中 i f ——作用于第i 质点主动力矢量；i m ——质点i 的质量；i a ——质点i 的加速度矢量；i r ——质点i 在参考坐标系中的位置矢量；i r δ——质点i 的微分位移；“·”——数量积符号。
设质点系为完全系，即它具有l 个自由度和l 个广义坐标，则()t q q q r r li i (21)= （7-2）式中 i q ――广义坐标；t ——时间变量； 质点i 的线速度为j lj q i j l j j i i i q v q q r dt r v j ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂=1.1 式中j i j i q i qvq r v j ∂∂=∂∂=. （7-3）凯恩（kane ）定义,j i q i j v v q =∂∂为质点I 相对于广义速度的偏速度。
微分i r δ可表示为j lj q i j lj j ii q v q q r r j δδδ∑∑===∂∂=1.1 （7-4）将（7-4）代入（7-1）式，得(), 110j ll i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑ 交换求和符号，得(), 110j ln i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑因为j q 是独立变量，故(), 10j nii i i q j fm a v =-⋅=∑ j=1,2,．．．，l （7-5） 或, , 110j j nnii q i i i q j i fv m a v ==⋅-⋅=∑∑这就是质点系的凯恩动力学方程(Kane Dynamics Equation ),可以改写为', 1', 101,2,,_______j j j j nj i i q i n j i i i q i F j l F f v F m a v F ==⎫⎪+==⋅⋅⋅⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⋅⋅∑∑广义主动力广义惯性力 （7-6）7.1.2 刚体的凯恩动力学方程如图7-1所示将刚体看成是由n 个质点组成的。
机器人动力学
机器人动力学
机器人动力学是一门包含机器人控制、力学、运动学等多个专业的交叉学科，其目的在于研究复杂的机械系统和机器人的运动行为和控制方法。
机器人动力学的研究方向涉及机器人的：机械学、运动学、控制学、信息学、人机交互、现代制造技术等。
这种复合学科专门用于分析、模拟和控制机器人、机床以及其他机械系统的运动行为。
机器人动力学的基本内容简述如下：
首先，它涉及机器人的运动学理论和控制理论，包括机器人体系结构，构型及其各部分之间的相互作用，如关节、驱动器和传感器等。
其次，它还包括机器人机械动力学理论，涉及机器人的运动特性，比如建模、仿真和控制，同时也涉及力学的本质、特性和应用，以及计算力学在机器人动力学中的应用。
最后，它也涉及信息学，指的是研究机器人行为的算法、传感器和感知、人机交互以及数据挖掘和处理。
机器人动力学应用于工业机器人、生产机械、软件和控制系统等多个领域，主要帮助提高机器人和机械设备的性能，从而提高工业生产效率、节省能源以及降低生产成本。
在精密加工领域尤其具有重要作用，比如机器视觉、机器雕刻和抛光，甚至是金属精加工等，在这些领域都能够发挥机器人动力学的优势。
另外，机器人动力学也可以应用于服务机器人、家用机器人，以及智能制造等行业。
现在，家用机器人如洗地机器人、清洁机器人等已经广泛应用，可以节省家庭劳动力；而在智能制造和服务机器人方面，它也有着广泛的应用，可以有效解决行业内的生产管理、库存管
理、仓储管理和技术支撑等问题。
未来，机器人动力学将继续发展壮大，有望成为一门具有世界水平的学科。
在未来，机器人动力学将继续发挥重要作用，将推动机器人和机器技术发展，为未来工业化生产提供必要的技术支持。
机器人动力学教育课件
第六章 机器人动力学
例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
加上负载的 r操作机
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N
r
M
m2
r1
m1
o
操作机的物理学模型
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第六章 机器人动力学
6.3.2 建立拉格朗日函数
N
r
M
m2
（1）求动能T
先对 m 1 求 T1
显然
x1 r1 cos y1 r1 sin
求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
动力学方 程f 的(一,般形, 式)： F g (r,r , r )
式中 ,F,,r分别表示力矩、力、角位移和线位移
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的机 械系统，其Lagrange方程应为
d dt q T i q Ti q Vi q D i Fqi
其中，q i 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； F q i 为作用在系统上的广义力；
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
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第六章 机器人动力学
机器人学中的动力学
机器人学中的动力学机器人学是研究制造、设计和运动控制机器人的学科，广泛应用于工业、医疗保健、国防、探险等领域。
机器人学中的动力学是机器人运动学的重要分支，掌握机器人运动学对于设计、控制机器人运动具有重要意义。
动力学的概念机器人学中的动力学是研究机器人运动的力学学科。
它主要关注如何对机器人的运动进行描述和控制。
机器人动力学包括机器人运动学和机器人力学的研究。
机器人运动学研究机器人的位置和位姿，而机器人力学研究机器人的力学特性和力学运动方程。
机器人学中的动力学主要涉及以下几个方面：- 机器人的运动轨迹和速度规划- 机器人的动力学建模和仿真- 机器人的力学特性和控制机器人的运动轨迹和速度规划机器人的运动轨迹和速度规划是机器人动力学的基本问题。
机器人的运动轨迹是机器人在空间中的运动路径，可以用各种运动学和动力学方法进行描述。
机器人的速度规划通常是在已知机器人的运动轨迹的条件下，确定机器人的运动速度以及加速度和减速度的大小和方向。
机器人的运动轨迹和速度规划在机器人控制中占据着重要的地位。
机器人的控制主要目的是使机器人完成特定的任务，如在制造车间中装配零件等。
在完成这些任务时，机器人需要根据任务的要求确定运动轨迹和速度规划，这样才能在短时间内完成高效的操作。
机器人的动力学建模和仿真机器人的动力学建模是机器人学中难点之一。
一个好的机器人动力学模型必须考虑机器人本身的特性和运动机理。
机器人的动力学模型可以用数学公式或者计算机模拟的方法进行描述。
此外，机器人的动力学模型需要考虑机器人的各种运动方式，如旋转、直线运动等。
机器人的仿真是指利用计算机模拟机器人运动状态和行为的过程。
机器人的仿真可以对机器人的运动轨迹、速度规划和控制逻辑进行模拟和测试，从而为机器人的设计和使用提供依据。
机器人仿真是一种低成本、高效率的机器人研究方法。
机器人的力学特性和控制机器人的力学特性和控制主要研究机器人在行动中的力学特性和控制方法。
机器人的力学特性包括机器人的质量、惯性、摩擦和发热等。
机器人动力学PPT课件
表示E成k (q：, q)
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
13
3．机器人系统势能
设连杆i的势能为 ，Ep连i 杆i的质心在O坐标系中的位置矢 量为 ，重pc力i 加速度矢量在坐标系中为g，则：
Epi mi gT pci
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：
？简述用拉格朗日方法建立 机器人动力学方程的步骤。
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29
dt q q q
16
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯 量矩阵为：
Ixx1 0 0
1 I1
0
I yy1
i
0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2
0
I yy2
i
0 0 Izz2
4
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最 优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根 据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小 进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和 路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要 以机器人动力学模型为基础。
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
机器人 (7)
机器人动力学的研究有
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法
拉格朗日(Langrange)法
高斯(Gauss)法
凯恩(Kane)法
罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。
角度设定法
“角度设定法”就是 采用相对参考坐标系或相对运动坐标系作三次连续转动来规
定姿态的方法，。
手部位姿可用一个6维列矢量来表示
X [ px py pz x y z ]T
φx、 φy、 φz表 示绕x、y、z轴的
转角。
4
设q为广义关节变量 q [q1 q2 ... qn ]T
x x(q1,q2,..., qn ) x(q)
τ
τ
2
M
τ n
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功原理则可得广 义关节力矩τ与机器人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ=JTF 式中： JT为n*6阶机器人力雅可比矩阵。 机器人力雅克比是机器人速度雅可比J的转置矩阵。是机 器人静力计算的基础。
23
• 机器人静力计算的两类问题
– (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，求相应的满足 静力平衡条件的关节驱动力矩τ。
–运动学方程x=x(q)可以看成是由关节空间向操作空 间的映射；
–而运动学反解则是由其映像求其关节空间的原像。
6
二.机器人的雅可比矩阵
机器人的雅可比矩阵揭示了操作空间与关节空间的映射关系。 雅可比矩阵不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系， 也表示两者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力 矩及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的 方法。
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L
1
(m1
m2
)l121
m
2
l
2 2
(1
2 )
m2l1l2
cos
2
(21
2 )
d
dt
L1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2 cos2
1 (m2l22
m2l1l2 cos2 )2
2m2l1l2 sin212 m2l1l2 sin22
L 1
(m1
m2 )gl1 sin1
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4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能：
从而连杆l2的动能为：
T2
1 2
m2l1212
1 2
m2l22 (12
212 22 )
m2l1l2
cos2 (12 12 )
势能为：
U2 m2 gl1 cos 1 m2 gl2 cos(1 2 )
θ2
m2
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4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能：
连杆l1的动能为：T1 连杆l1的势能为：U1
1 2
m1l1212
m1gl1 cos
1
对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直
角坐标系中的位置表达式：
x2 l1 sin1 l2 sin(1 2 )
（3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格 朗日函数L=T-U；
（4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求 得机器人的动力学方程。
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4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个
连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集 中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速
第四章 机器人动力学
数学模型：
关节运动→位移、速度、加速度变化→ qi , qi , qi
关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi 动力学方程：
i f (qi , qi , qi ) ， i=1，…，n
正问题：已知qi , qi , q，i 求τi。
逆问题：已知τi ，求 qi ,。qi , qi
度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器
人的动力学方程。 解：① 选取连杆绕关节的转角
y 关节1
为变量θ1和θ2 ，则系统的广义
x
坐标就可以选为 qi (i ，1,2即)
q1 1, q2 2
② 转动关节对应的是力矩，
θ1 关节2 m1
所以广义力就选为 Fi (i ，1,2) 即 F1 M1 , F。2 M2
第四章 机器人动力学
4.1 动力学模型 4.2 牛顿——欧拉方程法
习题
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第四章 机器人动力学
动力学研究的问题： 机器人各个关节的运动与关节
需要的驱动力（矩）之间的关系。
正问题：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。
逆问题：已知关节驱动力（矩）， 求关节运动。
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—L—拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它
被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。
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4.1 动力学模型 2、拉格朗日方程法
对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉 格朗日动力学方程：
（1）选取完全并独立的广义坐标； qi q1, q2 , , qn; （2）选定广义力； Fi F1, F2 , , Fn;
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4.1 动力学模型 1、力学分析 2、拉格朗日方程法 3、动力学模型
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4.1 动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。
当负载为一重物时：
m1=mg(l1+l2) m2=mgl2
τ3=mg
关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
f2=mg
关节需要的驱动力（矩）：
τ3=mg
m3g f3=mg
mg
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4.1 动力学模型
1、力学分析
（2）动力学分析
机器人各个关节处于运动状态。
当负载为一重物时：
1 ,1
m1
2 ,2
m2
d3 , d3
τ3
m3
关节承受的力和力矩：
l1 τ1
f1
关节需要的驱动力（矩）：
l2 τ2
f2
m(l1 l2 )1
f3
m(l1 l2 )12
mg md3 2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型 2、拉格朗日方程法
拉格朗日方程的一般形式为：
Fi
d dt
qLi
L qi
i 1,2, , n
式中，Fi——广义力，它可以是力，也可以是力矩； q i——系统选定的广义坐标； qi——广义坐标对时间的一阶导数，即速度；
l1 τ1=0 f1=mg
l2 τ2=mgl2
f2=mg
f3=mg
mg
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4.1 动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析
机器人各个关节处于静止状态。
考虑杆件自重时：
m1=mg(l1+l2) m2=mgl2
m1g
m2g
关节承受的力和力矩：
l1 τ1=0
l2 τ2=mgl2
f1=mg
m2 gl2
sin(1
2)
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4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 再将拉格朗日函数对 2和 2进行微分，即：
L
2
m2l22
(1
2 )
m2l1l2
cos
21
d dt
L2
(m2l22
m2l1l2
cos
2
)1
m2
l222
m2l1l2
sin
212
L
2
m2 gl2 sin(1
2)
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：
M1
(m1
m2
)l12
m2
l
2 2
2m2l1l2
cos 2
1
(m2
l
2 2
m2l1l2
y2
l1
cos1
Байду номын сангаас
l2
cos(1
2)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y2
l1 l1
cos 11 sin1 l2
l2 cos(1 sin(1 2
2 )(1 2 ) )(1 2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22 (12 212 22 ) 2l1l2 cos 2 (12 12 )
则可构造出拉格朗日函数为：
L
1 2
(m1
m2 )l1212
1 2
m2l22 (12
212 22 )
m2l1l2
cos2 (12 12 )
(m1 m2 )gl1 cos1 m2 gl2 cos(1 2 )
2020年4月1日星期三
4.1 动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 先将拉格朗日函数对 1和1进行微分，即：