函数的定义域与值域

函 数

一、函数定义

1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

答案：B

二、函数求值

1．已知f (x )＝3x 3＋2x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )＝________. 解析：∵f (x )＝3x 3＋2x ＋1，

∴f (a )＋f (－a )＝3a 3＋2a ＋1＋3(－a )3＋2×(－a )＋1＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝0.

2．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2

解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2. 当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，

3．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．

则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1，∴f (g (1))＝1.

当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1

2

三、函数定义域

（1）一般函数的定义域求解

1．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析：由题意知，x 2－x >0，即x <0或x >1.则函数定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，选C. 2．(2017·贵阳监测)函数y ＝1－x 2

2x 2－3x －2

的定义域为( )

A ．(－∞，1]

B ．[－1,1]

C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤

－12，1

解析：选D 由函数y ＝1－x

2

2x 2－3x －2得⎩⎨

⎧

1－x 2

≥0，2x 2－3x －2≠0，

解得⎩

⎨⎧

－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－1

2，

即－1≤x ≤1且x ≠－12， 所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪

⎝ ⎛⎦⎥⎤

－12，1，故选D. 3．函数f (x )＝

1－|x －1|

a x －1

(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．

解析：由⎩⎨⎧

1－|x －1|≥0，

a x

－1≠0

⇒⎩⎨

⎧

0≤x ≤2，x ≠0

⇒0＜x ≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]．

4．函数f (x )＝ln ⎝

⎛

⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )

A ．(－1,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1]

D ．[1，＋∞)

解析：选B

由条件知⎩⎪⎨⎪⎧

1＋1x

>0，x ≠0，

1－x 2

≥0.

即⎩⎨⎧

x <－1或x >0，

x ≠0，－1≤x ≤1.

则x ∈(0,1]．

5．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( )

A ．(6，＋∞)

B ．(－3,6)

C ．(－3，＋∞)

D ．[－3,6) 解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎨

⎧

x ＋3≥0，

6－x >0，

解得－3≤x <6.

（2）抽象函数的定义域的求解

1．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，

∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．

2．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f 3x x －1的定义域是( )

A.⎣⎢

⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3] D ．[0,1)∪(1,9] 解析：选B 由⎩⎨

⎧

0≤3x ≤3，x －1≠0

可得0≤x <1，选B.

3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝

f x ＋1

x －1

的定义域是( )

A ．[0,2 016]

B ．[0,1)∪(1,2 016]

C ．(1,2 017]

D ．[－1,1)∪(1,2 016] 解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 017]，可知1≤t ≤2 017.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 017，解得0≤x ≤2 016，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 016]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎨

⎧

0≤x ≤2 016，

x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2

016.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 016]．

抽象函数的定义域求解:

若函数f (x )定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； 若函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．