§3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换(原型变换)
IIR数字滤波器的频率变换
IIR数字滤波器可以分为低通、高 通、带通和带阻滤波器，根据其 频率响应特性进行划分。
滤波器参数
01
02
03
截止频率
滤波器的频率响应在截止 频率处下降到指定的分贝 数。
阶数
滤波器的系统函数中极点 数量，决定了滤波器的动 态特性。
阻带衰减
阻带内最小衰减量，影响 滤波器的噪声抑制能力展，未来研究可以针对特定领域的信号处理需求，开发具有定制化功能 的IIR数字滤波器，以满足不同领域的实际需求。同时，还需要关注滤波器在实际应用中的可靠性和稳 定性，提高其在实际应用中的表现。
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总结词
通过频率变换，低通滤波器能够滤除信号中的高频噪声，保留低频信号。
详细描述
在频率变换过程中，低通滤波器的传递函数会发生变化，使得信号中的高频成 分被滤除，而低频成分得以保留。这种滤波器在信号处理中广泛应用于降噪和 提取有用信号。
实例二：高通滤波器频率变换
总结词
高通滤波器通过频率变换能够滤除信号中的低频噪声，保留高频信号。
详细描述
在频率变换过程中，高通滤波器的传递函数发生变化，使得信号中的低频成分被 滤除，而高频成分得以保留。这种滤波器在信号处理中广泛应用于提取高频特征 和消除背景噪声。
实例三：带通滤波器频率变换
总结词
带通滤波器通过频率变换能够选择性地 保留某一频段的信号，滤除其他频段噪 声。
VS
详细描述
在频率变换过程中，带通滤波器的传递函 数会发生变化，使得某一特定频段的信号 得以通过，而其他频段的噪声被滤除。这 种滤波器在信号处理中广泛应用于频带选 择和信号分离。
04
IIR数字滤波器的频率变换
滤波器频率响应
(完整word版)《数字信号处理》课程教学大纲
课程编号15102308《数字信号处理》教学大纲Digital Signal Processing一、课程基本信息二、本课程的性质、目的和任务《数字信号处理》课程是信息工程本科专业必修课，它是在学生学完了高等数学、概率论、线性代数、复变函数、信号与系统等课程后，进一步为学习专业知识打基础的课程。
本课程将通过讲课、练习使学生建立“数字信号处理”的基本概念，掌握数字信号处理基本分析方法和分析工具，为从事通信、信息或信号处理等方面的研究工作打下基础。
三、教学基本要求1、通过对本课程的教学，使学生系统地掌握数字信号处理的基本原理和基本分析方法，能建立基本的数字信号处理模型。
2、要求学生学会运用数字信号处理的两个主要工具：快速傅立叶变换（FFT）与数字滤波器，为后续数字技术方面课程的学习打下理论基础。
3、学生应具有初步的算法分析和运用MA TLAB编程的能力。
四、本课程与其他课程的联系与分工本课程的基础课程为《高等数学》、《概率论》、《线性代数》、《复变函数》、《信号与系统》等课程，同时又为《图像处理与模式识别》等课程的学习打下基础。
五、教学方法与手段教师讲授和学生自学相结合，讲练结合，采用多媒体教学手段为主，重点难点辅以板书。
六、考核方式与成绩评定办法本课程采用平时作业、期末考试综合评定的方法。
其中平时作业成绩占40%，期末考试成绩占60%。
七、使用教材及参考书目【使用教材】吴镇扬编，《数字信号处理》，高等教育出版社，2004年9月第一版。
【参考书目】1、姚天任,江太辉编，《数字信号处理》（第二版），华中科技大学出版社，2000年版。
2、程佩青著，《数字信号处理教程》（第二版），清华大学出版社出版，2001年版。
3、丁玉美,高西全编著，《数字信号处理》，西安电子科技大学出版社，2001年版。
4、胡广书编，《数字信号处理——理论、算法与实现》，清华大学出版社，2004年版。
5、Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer，《Digital Signal Processing》，Prentice-Hall Inc, 1975.八、课程结构和学时分配九、教学内容绪论（1学时）【教学目标】1. 了解：什么是数字信号处理，与传统的模拟技术相比存在哪些特点。
数字信号处理题库(附答案)
A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关
3、某系统 则该系统（ A ）。
A.线性时变 B.线性非时变 C.非线性非时变 D.非线性时变
4.因果稳定系统的系统函数 的收敛域是（ D ）。
A. B. C. D.
5. 的周期（ A ）。
A.4 B.3 C.2 D.1
49.在不考虑（ A ），同一种数字滤波器的不同结构是等效的。
A.拓扑结构 B.量化效应 C.粗心大意 D.经济效益
50.研究数字滤波器实现的方法用（ A ）最为直接。
A.微分方程 B.差分方程 C.系统函数 D.信号流图
51.下面的几种网络结构中，（ A ）不是IIR滤波器的基本网络结构。
A.频率采样型 B.用的延迟单元较少
30.IIR滤波器一般具有线性相频特性。（ N ）
31.IIR滤波器只能根据模拟滤波器来设计。（ N ）
32.双线性变换法适用于所有类型（低通、高通、带通、带阻）的滤波器设计。（ Y ）
33.全通网络总是一阶的。（ N ）
34.三种模拟低通滤波器若过渡带特性相同，选用椭圆滤波器的阶数最高。（N ）
35.脉冲响应不变法适用于所有类型（低通、高通、带通、带阻）的滤波器设计。（
10.关于序列 的 ，下列说法正确的是（ C ）。
A.非周期连续函数 B.非周期离散函数
C.周期连续函数，周期为 D.周期离散函数，周期为
11.以下序列中（ D ）的周期为5。
A. B.
C. D.
12. ，该序列是（ A ）。
A.非周期序列 B.周期 C.周期 D.周期
以上为离散时间信号与系统部分的习题
D.一个N阶IIR子系统和一个M阶的FIR子系统的并联
§3．3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）
b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率
c 2f cT 0.5
2 c c tg T 2 T
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 s / c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2( s / c ) 2 ( s / c )3 并将 c 2 / T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。
j 点映射到
z e z s
j o
e z 1( z 1)
j o
z
2
2 z cos o 1 z 2 1
当
z e j 时
e j 2 2e j cos o 1 e j e j 2 cos o s j 2 e 1 e j e j
T ctg 2 2
如图
1.0
T ctg 2 2
0 映射到 即 z 1 映射到 0 即 z 1
0
1.0
图1 高通变换频率关系
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相 对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模 拟低通变为数字高通,如图2。
H ( Z ) H a ( s)
s
2 1 z 1
T 1 z 1
1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 2 1 z 1 2 1 z 1 1 z 1
原型变换
模拟原型
模拟低通、高通 带通、带阻
原型变换
映射变换
模拟滤波器与数字滤波器的Matlab转换
%IIR滤波器设计%首先确定%通带和阻带截止频率Wp Ws rad/s此截至频率对应下面的最大衰减与最小衰减，不要与三分贝点弄混了%通带最大衰减与阻带最小衰减Rp Rs dB%现在设计通带截止频率10HZ通带最大衰减2dB阻带截止频率20HZ阻带最小衰减12dB的%模拟滤波器然后将其转化为一个数字滤波器%转化分为两种方法%1.脉冲响应不变该法设计出的滤波器幅频特性更接近于模拟滤波器%2.双线性法抗混叠性能更好fp=10;fs=20;Rp=2;Rs=12;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')%注意此时为模拟滤波器fn=Wn/(2*pi);[z0,p0,k0]=buttap(N);%注意此时是归一化的buttord%相当于去归一化以Wn做因子进行扩展z0=Wn*z0;%零点p0=Wn*p0;%极点k0=Wn^N*k0;%增益b=real(poly(z0));b=b*k0;a=real(poly(p0));%a为直接分母系数，b为直接分子系数[H,w]=freqs(b,a);%系统频率特性f=w./(2*pi);figure(1)subplot(311)plot(f,20*log10(abs(H)/max(abs(H))));title('幅频特性曲线');xlabel('f:HZ');ylabel('abs(H)/max(abs(H)');grid%脉冲响应不变法%数字频率转化即为模拟频率在折叠频率内的归一化%通带和阻带截止频率Wp Ws rad/s%Wn为3dB截止频率d1Wp=Wp/100;d1Ws=Ws/100;w1n=Wn/100;%脉冲响应不变[bz,az]=impinvar(b,a,100);%a为直接分母系数，b为直接分子系数这应该是程序员最关心的参数了哈哈哈[zz,pz,kz]=residuez(bz,az);[Hz,wz]=freqz(bz,az);subplot(312);plot((wz./2*pi),20*log10(abs(Hz)/max(abs(Hz))));grid%双线性变换抗混叠性能更好%Wn为3dB截止频率d2Wp=atan(Wp/(2*100));d2Ws=atan(Ws/(2*100));w2n=atan(Wn/(2*100));%双线性变换[bz1,az1]=bilinear(b,a,100);[zz1,pz1,kz1]=residuez(bz1,az1);[Hz1,wz1]=freqz(bz1,az1);subplot(313);plot((wz1./2*pi),20*log10(abs(Hz1)/max(abs(Hz1))));grid。
数字信号模拟频率变换
模拟频率变换
只讨论取 +号情况
模拟频率变换
3. 原型低通到带通的变换
w
w 0.5(w B (w B)2 4w 2 )
wp1
w2 p1
wp1wp
2
(wp2 wp1)wp1
1
0
w
s2
w p2
w
wp2
w2 p2
wp1wp2
10 0.1As 1
N
log
10
( 10
0.1
Ap
) 1
3.28
2 log10 (ws / wp )
取N=4
wc
ws
(100.1As 1)1/ 2N
5.033 105
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap1dB, As 40dB
解： (2) 设计BW型原型低通滤波器
模拟带通滤波器的设计
MATLAB实现 [numt,dent] = lp2bp(num,den,W0,B)
模拟频率变换
例: 试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器
wp1=6 rad/s, wp2=8 rad/s, ws1=4 rad/s, ws2=11 rad/s,
Ap1 dB, As 32dB。
Ap1 dB, As 32dB。
解： (3) 设计BW型原型低通滤波器 N=4，wc=1.3211
HL (s)
[(s
/wc )2
0.7654 s
/ wc
1 1][(s
/wc )2
1.8478s
/ wc
第三章 IIR滤波器设计方法.ppt
u的单位圆内部必须对应于z 的单位圆内部。 3）G(z -1) 必须是全通函数。 为使两个函数的频率响应满足一定的变换要求，z 平面的
单位圆应映射到 u 平面的单位圆上，若以 e jθ 和 e jω 分别表 示u平面和z 平面的单位圆，则由上式为
波器为
Ha
(s)
1
1
s
解 首先确定上下边界频率
T 2f
fs
1 2f1 / fs 2 105/ 1000 0.21
2 2f2 / fs 2 95/ 1000 0.19
求中心频率
coso
sin(0.21 0.19 ) sin0.21 sin0.19
解：确定数字频域的上下边带的角频率
1 2f1 / f s 0.55 2 2f 2 / f s 0.45 3 2f 3 / f s 0.6
T 2f
fs
求中心频率：
cos0
sin0.45 0.55
sin 0.45 sin 0.55
0.9695(z2 1.6188z 1) z2 1.5695z 0.9390
17
3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的 频率变换
前面讨论由模拟低通滤波器原型来设计各种数字滤波器 的方法，该设计方法同样也可直接在数字域上进行。
数字低通滤波器 原型函数Hp(z)
变换
各种数字滤 波器的H(z)
2
0.6 0.2
cos(
)
a
2
0.6 0.2
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
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模拟原型
模拟低通、高通 带通、带阻
原型变换
映射变换
数字低通、高 通带通、带阻
也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一 定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种 数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
4.4.1 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1 ）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2 ）由变换关系将 {ωk} 映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数）
1 1.571 1.571 0.5541 Z 1 H (Z ) 1 1 2 T 1 0.2079 Z 1 0.1905 Z 0.2079 Z
可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 C 有关，即只与fc和fs的相 对值 f c / f s 有关，而与采样频率fs无直接关系。
N
极点
Si
并将 c c / T 代入，得：
H (Z )
C / T
1 e
c
Z
1
(c / 3T )e j / 6 1 e
c (1 j 3 ) / 2
Z
1
(c / 3T )e j / 6 1 e c (1 j
3)f cT 0.5 代入，计算得：
例1 设采样周期 T 250s( f s 4khz) ,设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
§4．4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的 频率变换（原型变换）
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特 沃兹滤波器 ,切比雪夫滤波器 , 椭圆滤波器等 , 每种滤波器都有自 己的一套准确的计算公式，因此在模拟滤波器的设计中，只要 掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各 种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效 的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波 器的设计，具体过程如下：
H ( Z ) H a ( s)
s
2 1 z 1
T 1 z 1
1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 2 1 z 1 2 1 z 1 1 z 1
A 1 c , s1 c ; A 2 c /
3e j / 6
s2 c (1 j 3) / 2; A3 c / 3e j / 6 , s3 c (1 j 3) / 2
将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数：
Ai H (Z ) SiT 1 Z i 1 1 e
b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率
c 2f cT 0.5
2 c 2 c tg T 2 T
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 s / c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2( s / c ) 2 ( s / c )3 并将 c 2 / T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。
1 Ha ( s ) 1 2s 2s 2 s 3
以 s / c 代替其归一化频率，得：
1 H a ( s) 1 2(s / c ) 2(s / c ) 2 (s / c )3
得到巴特沃兹多项式的系数，之后 以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha (s)。 将 c 2fc 代入，就完成了模拟 滤波器的设计，但为简化运算，减小误 差积累， fc数值放到数字滤波变换后代 入。
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3e j / 6 c / 3e j / 6 Ha(s) s c s c(1 j 3) / 2 s c(1 j 3) / 2
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有
例如，f s 4kHz, fc 1kHz 与 f s 40kHz, fc 10kHz 的 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得： 1.571 1.571 0.5541 z 1 H (Z ) 1 1 0.2079z 1 0.1905z 1 0.2079z 2
1 3
2 3
1 z 1 z 1 z 1 z
1 3
1 3
1 3
1
3 z
2
1 z 21 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 41 z 1 z 1 z 1 z 1 2 z z 2 2 z 1 z 2 2 z 1 2 z 1 z 1 1 z 1 z 1 z 2 3 z