抛物线的翻折
例1、已知抛物线y＝－2x2＋8x－8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的表达式是______，若继续上下平移，使它与直线y＝2x－4相交于(0，a)，则a＝______，平移后，所得抛物线的表达式是______；
例2抛物线y＝ax2＋bx＋c如图8－5所示．
图8－5
①它关于y轴对称的抛物线的表达式为____________；
②它关于x轴对称的抛物线的表达式为____________；
③它关于直线x＝4对称的抛物线的表达式为____________；
④它关于直线y＝－2对称的抛物线的表达式为____________．
1. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a +-， 求此抛物线的表达式式；
（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若
1tan tan 4
POB POC ∠=∠，求点P 的坐标。
2．已知：抛物线 221)2)y a x a a =--- 与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），且x 1 < 1 < x 2 .
（1）求A 、B 两点的坐标(用a 表示)；
（2）设抛物线得顶点为C , 求△ABC 的面积；
（3）若a 是整数, 求抛物线的表达式.
3．已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC
的面积为12．
（1）①填空：二次函数图象的对称轴为 ；
②求二次函数的解析式；。
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
确定抛物线y=ax2+bx+c平移、翻折、
(3) 将抛物线C3沿y轴翻折，所得抛物线C4的 解析式是 . (4) 将抛物线C4绕原点旋转180o，所得抛物线 C5的解析式是 . (5) 将抛物线C5绕它的顶点旋转180o，所得抛不变. 要抓顶点的平移或其它关键 点的平移，这是由于函数图象的平移是整体 的平移，每个点都做相同的变换．在解题时， 一定分清移动谁，不妨画草图.
2. 翻折：要抓顶点的变化及其它关键点的变 化 规律： 抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线 解析式是y= -ax2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线 解析式是y= ax2-bx+c
3. 绕某一定点旋转180°：要抓顶点的变化， a取相反数. 规律： 抛物线y=a(xh)2+k绕顶点旋转 180°后的解析式为y= -a(xh)2+k 抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的 抛物线解析式是y= -ax2+bx-c
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
抛物线的解析式的三种形式
抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。
在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。
利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。
例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。
（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。
解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。
分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。
解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。
点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。
但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。
两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。
当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。
例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。
分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。
在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。
仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。
解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。
二次函数几何变换
注意问题：
1.是否可取等号问题 2.解析式是否发生变化 3.是否考虑全面
练1.二次函数 y = x2 + bx + c 的顶点坐标为M（1，-4）.
（1）求二次函数的解析式 （2）将二次函数的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答： 当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围
△△△ >0 =0 <0 21无 个个交 交交点 点点
3 与非平行于坐标轴的直线交点
y
y=kx+b
x
基础练习
(1)判断直线y x 1
y 与x抛2 物3x线 1
交点情况？
如果有交点，请求y 出交x 点1 坐标。 解：联立 y x2 3x 1
x2 2x 0
得
△ =4 >0
所以有两个交点，交点坐标为（0，1）和（2，-1）
平移后的抛物线与 直线联立，根据判 别式来进行确定。
n=0
解题思路：
1 列出平移后的函数 解析式。 y=4x+6+n B(-1-n,0) C(3-n,0)
二次函数 几何变换与交点问题
新东方初中数学组 张志安
平移 旋转 翻折
一 平移
抛物线平移问题
例1.将抛物线 y = 2x2 + 4x - 3 向右平移3个单位， 再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
方法一：顶点平移
y = 2x2 + 4x - 3 = 2(x +1)2 - 5
顶点坐标为（－1，－5）
y 2x2 - 4x - 2
练1：
第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题
二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。
3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题：1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．w W w .x K b 1.c o M点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．答案：。
将抛物线翻折问题2015年
将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示。
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E。
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）；（2）①令，得：，则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），∴A（-1-m，0），B（1-m，0），同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0），当时，如图①，，∴，当时，如图②，，，∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点；②存在，理由：连接AN、NE、EM、MA，依题意可得：，即M，N关于原点O对称，∴，∵，∴A，E关于原点O对称，∴，∴四边形ANEM为平行四边形要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足，即，∴，∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形。
（2014•兰州一模）如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4）；将抛物线y1沿y轴翻折得到抛物线y2且交x轴于点C．（1）求直线AB与抛物线y1的表达式；（2）求抛物线y2的表达式；（3）点P是直线BC上方的抛物线y2上的动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于Q，以PQ为边作正方形PQMN；设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PQ的长，并求出当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；（4）在满足第（3）问的前提下，当m=1时，若点E是抛物线y1上的动点，点F是直线AB上的动点，是否存在点F，使得以PQ为边，点P、Q、E、F顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，解：（1）∵已知抛物线y1=-x24）．∴b=-3，k=1．-3x+4；AB：y=x+4；∴y1=-x2+bx+c（a≤O）与抛物线y2关于y轴对称，A（-4，0），（2）∵抛物线y1=-x2∴C（4，0），a=-1．+nx+c（a≤O），由于y2过点C（4，0），设y2=-x2∴-16+4n+4=0，+3x+4（a≤O）；解得：n=3，∴y2=-x2（3）∵直线BC：y=kx+b过点C（4，0），B（0，4），∴直线BC的解析式为y=-x+4，设点p（m，-m2+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），∴PQ=（-m2+3m+4）-（-m+4）=-m2+4m，∴正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）2+16（0＜m＜4），∴当m=2时，周长最长；（4）存在，理由如下：，y Q=3，当m=1时，yP=6=6-3=3，∴P（1，6），Q（1，3），PQ=yP-y Q以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．设点E（n，-n2-3n+4），F（n，n+4）（n≤0），∴EF=（-n2-3n+4）-（n+4），∴-n2-4n=3，∴n=-1或-3，-1，3），F2（-3，1），∴F1（以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．∴EF=（n+4）-（-n2-3n+4）=n2+4n，∴n2+4n=3，∴n=-2-√7或-2+√7（舍去）．-2-√7，2-√7），∴F3（即：存在点F使得以点P、Q、E、F为顶点的平行四边形：F1（-1，3），F2（-3，1），F3（-2-√7，2-√7）．。
抛物线知识点归纳总结
积
• 利用抛物线的对称性，简化体积计算过程
抛物线面积与体积问题的实际应用
抛物线面积与体积在几何问题中的应用
• 描述圆锥曲线、圆等几何图形的面积和体积问题
• 描述抛物线与椭圆、双曲线等二次曲线的面积和体积问题
抛物线面积与体积在物理问题中的应用
• 描述物体的抛物线运动轨迹的面积和体积问题
• 描述物体的抛物线形变问题的面积和体积问题
• 标准方程y = ax^2 + bx + c决定了抛物线图像的形状、
• 一般方程为Ax^2 + Bx + Cy + D = 0，其中A、B、C、
开口方向、顶点坐标等
D为常数，A≠0
• 根据抛物线图像的特征，可以反推出标准方程
• 一般方程可以转化为标准方程，进而确定抛物线图像
03
抛物线的方程求解与应用
kx
抛物线的切线绘制方法与技巧
抛物线的切线绘制方法
抛物线的切线绘制技巧
• 确定抛物线上需要绘制切线的点
• 利用抛物线的对称性，简化切线绘制过程
• 利用切线方程，计算切线的斜率和截距
• 结合图像，判断抛物线的形状和开口方向，辅助切线绘
• 绘制切线，使其通过指定点和切线方程
制
抛物线切线问题的实际应用
• 对抛物线方程进行化简，得到标准方程或一般方程
• 变形后的抛物线方程仍保持原有性质，但图像发生改变
• 化简后的抛物线方程便于求解和应用
04
抛物线的极值与最值问题
抛物线的极值点与最值点求解
抛物线的极值点
抛物线的最值点
• 抛物线在顶点处取得极值，即顶点为极值点
• 抛物线在顶点处取得最值，即顶点为最值点
2023学年二轮复习解答题专题三十七：抛物线上翻折问题的探究(解析版)
2023学年二轮复习解答题专题三十七：抛物线上翻折问题的探究典例分析例1 （2022衡阳中考） 如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC V 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2212y x x x =-++-££ （2）2b =或3b =（3）存在，()1,0或ö÷÷ø或()1+【解析】【分析】（1）先求出点A 、B 、C 坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形性质分∠CNM =90°和∠NCM =90°讨论求解即可．【小问1详解】的解：由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，∴()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-，∴对应函数关系式为()()12y x x =-+-=22x x -++()12x -££．【小问2详解】解：联立方程组22y x b y x x =-+ìí=-++î，整理，得：2220x x b -+-=，由△=4-4（b-2）=0得：b =3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b =2或b =3时，直线y x b =-+与图象W 有三个交点；【小问3详解】解：存在．如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 与C 关于直线x = 12 对称，∴点N 的横坐标为1，∴()1,0P ；如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，由222x x --=，解得1x =2x =（舍），∴N ，所以P ö÷÷ø；如图3，当90NCM Ð=°时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式为2y x =+，联立方程组：222y x y x x =+ìí=--î，解得11x =+21x =-（舍），∴N 的横坐标为1+，所以()1P +，因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或ö÷÷ø或()1+．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．专题过关1. （2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线23y ax bx =+-经过点()6,0B 和点()4,3D -与x 轴另一个交点A ．抛物线与y 轴交于点C ，作直线AD ．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD 的函数表达式．（2）点E 是直线AD 下方抛物线上一点，连接BE 交AD 于点F ，连接BD ，DE ，BDF V 面积记为1S ，DEF V 的面积记为2S ，当122S S =时，求点E 的坐标；（3）点G 为抛物线的顶点，将抛物线图象中x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为1C ，点C 的对应点C ¢，点G 的对应点G ¢，将曲线1C ，沿y轴向下平的移n 个单位长度（06n <<）．曲线1C 与直线BC 的公共点中，选两个公共点作点P 和点Q ，若四边形C G QP ¢¢是平行四边形，直接写出P 的坐标．【答案】（1）①2134y x x =--；②112y x =-- （2）（2，-4） （3）1æççè【解析】【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E 作EG ⊥x 轴交AD 于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴交AD 于点H ，设点21,34E m m m æö--ç÷èø，则点1,12G m m æö--ç÷èø， 可得211242EG m m =-++，然后根据△EFG ∽△BFH ，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为()21244y x =--+，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为()21244y x n =--+-，平移后抛物线剩下部分的解析式为()21244y x n =---，分别求出直线BC 和直线C G ¢¢的解析式为，可得BC ∥C ′G ′，再根据平行四边形的性质可得点12,22Q s s æö+-ç÷èø，然后分三种情况讨论：当点P ，Q 均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P 在向上翻折部分平移后的图象上，点Q 在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P 在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q 在向上翻折部分平移后的图象上时，即可求解．【小问1详解】解：①把点()6,0B 和点()4,3D -代入得：3663016433a b a b +-=ìí+-=-î，解得：141a b ì=ïíï=-î，∴抛物线解析式为2134y x x =--；②令y =0，则21304x x --=，解得：122,6x x =-=，∴点A （-2，0），设直线AD 的解析式为()10y kx b k =+¹，∴把点()4,3D -和点A （-2，0）代入得：114320k b k b +=-ìí-+=î，解得：1121k b ì=-ïíï=-î，∴直线AD 的解析式为112y x =--；【小问2详解】解：如图，过点E 作EG ⊥x 轴交AD 于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴交AD 于点H ，当x =6时，16142y =-´-=-，∴点H （6，-4），即BH =4，设点21,34E m m m æö--ç÷èø，则点1,12G m m æö--ç÷èø， ∴2211111322442EG m m m m m æöæö=-----=-++ç÷ç÷èøèø，∵BDF V 的面积记为1S ，DEF V 的面积记为2S ，且122S S =，∴BF =2EF ，∵EG ⊥x ，BH ⊥x 轴，∴△EFG ∽△BFH，∴12EG EF BH BF ==，∴211214242m m -++=，解得：2m =或0（舍去），∴点E 的坐标为（2，-4）；【小问3详解】解：()221132444y x x x =--=--，∴点G 的坐标为（2，-4），当x =0时，y =-3，即点C （0，-3），∴点()()0,3,2,4C G ¢¢，∴向上翻折部分的图象解析式为()21244y x =--+，∴向上翻折部分平移后的函数解析式为()21244y x n =--+-，平移后抛物线剩下部分的解析式为()21244y x n =---，设直线BC 的解析式为()2220y k x b k =+¹，把点B （6，0），C （0，-3）代入得：222603k b b +=ìí=-î，解得：22123k b ì=ïíï=-î，∴直线BC 的解析式为132y x =-，同理直线C G ¢¢的解析式为132y x =+，∴BC ∥C ′G ′，设点P 的坐标为1,32s s æö-ç÷èø，∵点()()0,3,2,4C G ¢¢，∴点 C ′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G ′，∵四边形C G QP ¢¢是平行四边形，∴点12,22Q s s æö+-ç÷èø，当点P ，Q 均在向上翻折部分平移后的图象上时，()()22112434211224242s n s s n s ì--+-=-ïïíï-+-+-=-ïî，解得：06s n =ìí=î（不合题意，舍去），当点P 在向上翻折部分平移后的图象上，点Q 在平移后抛物线剩下部分的图象上时，()()22112434211224242s n s s n s ì--+-=-ïïíï+---=-ïî，解得：10s n ì=+ïí=ïî或10s n ì=ïí=ïî，当点P 在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q 在向上翻折部分平移后的图象上时，()()22112434211224242s n s s n s ì---=-ïïíï-+-+-=-ïî，解得：s n ì=ïí=ïî或1s n ì=ïí=ïî （不合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为1æççè．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2. （2022西宁中考）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ^轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE ，求BCE V 的面积；（3）拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE Ð=Ð？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）2（3）存在，()2,3或()4,5-【解析】【分析】（1）先根据翻折得到E 点坐标，然后结合()3,0A ()1,0D 运用待定系数法求解即可；（2）先确定点B 的坐标，然后确定直线AB 的解析式，进而确定4AE =、3OB =、2CD =，最后根据BCE ABE ACE S S S =-△△△结合三角形的面积公式即可解答；（3）先说明Rt AOB V 是等腰直角三角形，设点P 坐标为()2,23m m m -++，然后分点P 在x 轴上方和下方两种情况分别解答即可．【小问1详解】解：∵ACD △沿CD 所在直线翻折，点A 落在点E 处()3,0A ()1,0D ∴()1,0E -把A ，E 两点坐标代入23y ax bx =++得933030a b a b ++=ìí-+=î，解得12a b =-ìí=î的∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：∵抛物线2y x 2x 3=-++与y 轴交于点B∴令0x =时，3y =∴()0,3B 设直线AB 的解析式为()0y kx b k =+¹把A ，B 两点坐标代入得303k b b +=ìí=î解得13k b =-ìí=î∴直线AB 的解析式为3y x =-+；∴点C 在直线AB 上CD x ^轴于点()1,0D 当1x =时132y =-+=∴()1,2C ∴()3,0A ()0,3B ()1,2C ()1,0E -∴4AE =，3OB =，2CD =∴114342222BCE ABE ACE S S S =-=´´-´´=△△△∴BCE V 的面积是2．【小问3详解】解：存在，理由如下：∵()3,0A ，()0,3B ∴3OA OB ==在Rt AOB V 中OA OB=∴Rt AOB V 是等腰直角三角形∵点P 在抛物线上∴设点P 的坐标为()2,23m m m -++①当点P 在x 轴上方时记为1P ，过1P 作1PM x ^轴于点M 在1Rt EMP △中∵145PEA Ð=°∴1EM PM =即2123m m m +=-++解得12m =21m =-（舍去）当2m =时2233m m -++=∴()12,3P ②当点P 在x 轴下方时记为2P ，过2P 作2P N x ^轴于点N在2Rt ENP △中∴245P EN Ð=°∴2EN P N=∴()2123m m m +=--++解得14m =21m =-（舍去）当4m =时2235m m -++=-∴()24,5P -综上，符合条件的P 点坐标是()2,3或()4,5-．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．3. （2022柳州中考）已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于点C （0，5）．（1）求b ，c ，m 的值；（2）如图1，点D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D 在第一象限内，过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，垂足为点F ，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标；（3）如图2，点M 是抛物线的顶点，将△MBC 沿BC 翻折得到△NBC ，NB 与y 轴交于点Q ，在对称轴上找一点P ，使得△PQB 是以QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）b =4，c =5， m=5（2）当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P 的坐标为（2，233），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c 即可，再令y =0，再解方程求解m 即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），则E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），证明四边形DEFG 是矩形，而224,45,DE x DF x x =-=-++ 可得四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，证明△MCH ≌△NCK （AAS ），再求解N （﹣4，3），求解直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ 可得50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），再利用勾股定理表示2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø 再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，105b c c ì--+=ï\í=ïî ，解得：4,5b c ì=ïí=ïî∴这个抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣1，∴B （5，0），∴m ＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），∵DE x ∥轴，∴E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），∵过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，∴四边形DEFG 是矩形，∴224,45,DE x DF x x =-=-++∴四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，∴当x ＝3时，四边形DEFG 的周长最大，∴当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∥轴，∴CH x∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴43,50m n m n ì-+=ïí+=ïî 解得：13,53m n ì=-ïïíï=ïî∴直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ ∴50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），∴2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，BP 2＝PQ 2+BQ 2，∴22106125925,399p p p +=-+++ 解得：23,3p = ∴232,,3P æöç÷ç÷èø②当∠QBP ＝90°时，P ′Q 2＝BP ′2+BQ 2，∴22106125925,399p p p -+=+++ 解得：9,p =-∴点P ′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P 的坐标为232,3æöç÷ç÷èø或()2,9P -．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．4. （2022成都中考） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =-¹与抛物线2y x =-相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 关于y 轴的对称点为B ¢．（1）当2k =时，求A ，B 两点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ¢，BB ¢，若B AB ¢V 的面积与OAB V 的面积相等，求k 的值；（3）试探究直线'AB 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为()3,9--，点B 的坐标为()1,1-（2 （3）是，()0,3【解析】【分析】(1)解方程组223y x y x=-ìí=-î，整理得到2230x x +-=，解方程即可得到答案．(2)分k ＜0和k ＞0，两种情形求解．(3) 设直线A B ¢的解析式为y =px +q ，根据题意求得p ，q 的值，结合方程组的意义，确定与y 轴的交点即可．【小问1详解】根据题意，得223y x y x =-ìí=-î，整理得到2230x x +-=，解方程，得123,1x x =-=，当x =-3时，y =-9；当x =1时，y = -1；∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为（-3，-9），点B 的坐标为（1，-1）．【小问2详解】∵A ，B 是抛物线2y x =-图像上的点，设A （m ，2m -），B （n ，2n -），则B ¢（-n ，2n -），当k ＞0时，根据题意，得23y kx y x =-ìí=-î，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线y =kx -3与y 轴的交点为D ，则点D （0，-3）∴13()()22OAB S OD n m n m =-=´-g △，2211()2()22B AB B A S BB y y n n m ¢¢¢=-=´´-+g △，∴3()2n m ´-=2212()2n n m ´´-+=12()()2n m n m n ´´+-，∴3=2()n m n -´+=2nk ，∴2nk mn =-，的∵n ≠0，∴2m k =-，n k =，∴23k k -´=-，解得k k = 舍去)，故k 当k ＜0时，根据题意，得23y kx y x =-ìí=-î，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=的两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线y =kx -3与y 轴的交点为D ，则点D （0，-3）∴13()()22OAB S OD n m n m =-=´-g △，2211()2()22B AB A B S BB y y n n m ¢¢¢=-=´´-g △，∴3()2n m ´-=2212()2n n m ´´-=12()()2n m n n m ´´+-，∴3=2()n m n ´+=-2nk ，∴-2nk mn =-，∵n ≠0，∴2m k =，3n k =-，∴2(3)3k k ´-=-，解得k =或k (舍去)，故k =；综上所述，k 【小问3详解】直线A B ¢一定过定点（0，3）．理由如下：∵A ，B 是抛物线2y x =-图像上的点，∴设A （m ，2m -），B （n ，2n -），则B ¢（-n ，2n -），根据题意，得23y kx y x =-ìí=-î，整理得到230x kx +-=，∴m ，n 是230x kx +-=的两个根，∴3m n k mn +=-=-，，设直线A B ¢的解析式为y =px +q ，根据题意，得22m mp q n np q ì-=+í-=-+î，解得p n m q mn =-ìí=-î，∴直线A B ¢的解析式为y =（n -m ）x -mn ，∵mn =-3，∴-mn =3，∴直线A B ¢的解析式为y =（n -m ）x +3，故直线A B ¢一定过定点（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．5. （2022宿迁中考）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，顶点为C ，连接OC 、AC ，若点B 是线段OA 上一动点，连接BC ，将ABC V 沿BC 折叠后，点A 落在点A ¢的位置，线段A C ¢与x 轴交于点D ，且点D 与O 、A 点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：OCD A BD ¢△∽△；②求DB BA的最小值；（3）当8OCD A BD S S ¢=△△时，求直线A B ¢与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）2122y x x =-（2（3．【解析】【分析】（1）二次函数212y x bx c =++与x 轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，代入求得b ，c 的值，即可得到二次函数的表达式；（2）①由2122y x x =-＝21(2)22x --，得到顶点C 的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x ＝2，由抛物线的对称性可知OC ＝AC ，得到∠CAB ＝∠COD ，由折叠的性质得到△ABC ≌△A ¢BC ，得∠CAB ＝∠A ¢，AB ＝A ¢B ，进一步得到∠COD ＝∠A ¢，由对顶角相等得∠ODC ＝∠BD A ¢，证得结论；②由OCD A BD ¢△∽△，得到DB DB DC BA BA CO==¢，设点D 的坐标为（d ，0），由两点间距离公式得DC =，在0＜d ＜4的范围内，当d ＝2时，DC 2=，得到DC CO 的最小值，进一步得到DB BA的最小值；（3）由8OCD A BD S S ¢=△△和OCD A BD ¢△∽△得到OC A B ==¢，求得A ¢B ＝AB ＝1，进一步得到点B 的坐标是（3，0），设直线BC 的解析式为y ＝1k x ＋1b ，把点B （3，0），C （2，﹣2）代人求出直线BC 的解析式为y ＝2x －6，设点A ¢的坐标是（p ，q ），则线段A ¢A的中点为（42p +，2q ），由折叠的性质知点（42p +，2q ）在直线BC 上，求得q ＝2p －4，由两点间距离公式得A ¢B ＝1，解得p ＝2或p ＝125，求得点A ¢的坐标，设直线A B ¢的解析式为y ＝2k x ＋2b ，由待定系数法求得直线A B ¢的解析式为y ＝43-x ＋4，联立直线A B ¢和抛物线2122y x x =-，解方程组即可得到答案．【小问1详解】解：∵二次函数212y x bx c =++与x 轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，∴代入O (0，0)，A (4，0)得，0840c b c =ìí++=î，解得：20b c =-ìí=î，∴二次函数的表达式为2122y x x =-；【小问2详解】①证明：∵ 2122y x x =-＝21(2)22x --，∴顶点C 的坐标是（2，﹣2），抛物线2122y x x =-的对称轴为直线x ＝2，∵二次函数212y x bx c =++与x 轴交于O (0，0)，A (4，0)两点，∴由抛物线的对称性可知OC ＝AC ，∴∠CAB ＝∠COD ，∵ABC V 沿BC 折叠后，点A 落在点A ¢的位置，线段A C ¢与x 轴交于点D ，∴ △ABC ≌△A ¢BC ，∴∠CAB ＝∠A ¢，AB ＝A ¢B ，∴∠COD ＝∠A ¢，∵∠ODC ＝∠BD A ¢，∴OCD A BD ¢△∽△；②∵OCD A BD ¢△∽△，∴DB DB DC BA BA CO==¢，设点D 的坐标为（d ，0），由两点间距离公式得DC=∵点D 与O 、A 点不重合，∴0＜d ＜4，对于2DC ＝2(2)4d -+来说，∵ a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d ＝2时，2DC 的最小值是4，∴当d ＝2时，DC2=，由两点间距离公式得OC=，∴DC CO=，∴DB BA；【小问3详解】解：∵8OCD A BD S S ¢=△△，∴8OCD A BDS S ¢=△△，∵OCD A BD ¢△∽△，∴OC A B==¢，∵OC ＝，∴A ¢B ＝AB ＝1，∴点B 的坐标是（3，0），设直线BC 的解析式为y ＝1k x ＋1b ，把点B （3，0），C （2，﹣2）代人得11113022k b k b +=ìí+=-î，解得1126k b =ìí=-î，∴直线BC 的解析式为y ＝2x －6，设点A ¢的坐标是（p ，q ），∴线段A ¢A 的中点为（42p +，2q ），由折叠的性质知点（42p +，2q ）在直线BC 上，∴2q ＝2×42p +－6，解得q ＝2p －4，由两点间距离公式得A ¢B1==，整理得22(3)(24)p p -+-＝1，解得p ＝2或p ＝125，当p ＝2时，q ＝2p －4＝0，此时点A ¢（2，0），很显然不符合题意，当p ＝125时，q ＝2p －4＝45，此时点A ¢（125，45），符合题意，设直线A B ¢的解析式为y ＝2k x ＋2b ，把点B （3，0），A ¢（125，45）代人得，22223012455k b k b +=ìïí+=ïî，解得22434k b ì=-ïíï=î，∴直线A B ¢的解析式为y ＝43-x ＋4，联立直线A B ¢和抛物线2122y x x =-得到，2443122y x y x x ì=-+ïïíï=-ïî，解得11x y ìïïíï=ïî，22x y ìïïíï=ïî∴直线A B ¢．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．6. （2022邵阳中考） 如图，已知直线y =2x +2与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，点C (3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE 的顶点O 为直角坐标系原点，顶点P 在线段OC 上，顶点E 在y 轴正半轴上，若△AOB 与△DPC 全等，求点P 的坐标．（3）在条件（2）下，点Q 是线段CD 上的动点（点Q 不与点D 重合），将△PQD 沿PQ 所在的直线翻折得到△PQD '，连接CD '，求线段CD '长度的最小值．【答案】（1）该抛物线的表达式为y =23-x 2+43x +2； （2）点P 的坐标为(1，0)或(2，0)；（3）线段CD '长度的最小值为1．【解析】【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，点A(-1，0)，点B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得9302a b ca b cc-+=ìï++=íï=î，解得23432abcì=-ïïï=íï=ïïî，∴该抛物线的表达式为y=23-x2+43x+2；【小问2详解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分两种情况：①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴点P的坐标为(1，0)；②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2，∴正方形OPDE的边长为2，∴点P的坐标为(2，0)；综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)；【小问3详解】解：①点P的坐标为(1，0)时，∵△PQD '与△PQD 关于PQ 对称，∴PD '=PD ，∴点D '在以点P 为圆心，1为半径的圆上运动，当P 、D '、C 三点共线时，线段CD '长度取得最小值，最小值为2-1=1；②点P 的坐标为(2，0)时，∵△PQD '与△PQD 关于PQ 对称，∴PD '=PD ，∴点D '在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、D '三点共线时，线段CD '长度取得最小值，最小值为2-1=1；综上，线段CD '长度的最小值为1．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论．7. （2022武威中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线()()134y x x a =+-与x 轴交于A ，()4,0B 两点，点C 在y 轴上，且OC OB =，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE x ^轴，且1AE =时，求DP 的长；（3）连接BD ．①如图2，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG V ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；②如图3，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．【答案】（1）211344y x x =-- （2）176（3）①420,39G æö--ç÷èø；【解析】【分析】（1）把点B 代入抛物线关系式，求出a 的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线()()1344y x x =+-可求出点A 的坐标，点C 的坐标，根据1AE =，利用三角函数，求出DE 的长，再求出点E 的坐标，根据点P 与点E 的横坐标相同，得出点P 的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P 的纵坐标，即可得出EP 的值，最后求出DP 的值即可；（3）①连接DG 交AB 于点M ，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，求出()4tan 33MG MD AM CAO a ==×Ð=-，得出点()4,33G a a éù--êúëû，将其代入抛物线关系式，列出关于a 的方程，解方程，求出a 的值，即可得出G 的坐标；②在AB 下方作EAQ DCB Ð=Ð且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，证明AEQ CDB @△△，得出EQ BD =，说明当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ^，垂足为H ，先证明∠CAH =45°，算出AC 长度，即可求出CH 、AH ，得出HQ ，最后根据勾股定理求出CQ 的长度即可得出结果．【小问1详解】解：∵()4,0B 在抛物线()()134y x x a =+-上，∴()()143404a +-=，解得4a =，∴()()1344y x x =+-，即211344y x x =--；【小问2详解】在()()1344y x x =+-中，令0y =，得13x =-，24x =，∴()30A -,，3OA =，∵4OC OB ==，∴()0,4C ，∵1AE =，∴44tan 133OC DE AE CAO AE OA =×Ð=×=´=，312OE OA AE =-=-=，∴()2,0E -，∵DE x ^轴，∴2P D E x x x ===-，∴()()13232442P y =-+--=-，∴32PE =，∴4317326DP DE PE =+=+=．【小问3详解】①连接DG 交AB 于点M ，如图1所示：∵BCD △与BFG V 关于x 轴对称，∴DG AB ^，DM GM =，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，()4tan 33MG MD AM CAO a ==×Ð=-，∴()4,33G a a éù--êúëû，∵点()4,33G a a éù--êúëû在抛物线()()1344y x x =+-上，∴()()()1434343a a a -+--=-，解得13a =（舍去），243a =，∴420,39G æö--ç÷èø；②在AB 下方作EAQ DCB Ð=Ð且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，如图2所示：∵AE CD =，∴()SAS AEQ CDB @△△，∴EQ BD =，∴当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ^，垂足为H ，∵OC OB ^，4OC OB ==，∴45CBA Ð=°，BC =∵18018045CAH CAB EAQ CAB DCB CBA Ð=°-Ð-Ð=°-Ð-Ð=Ð=°，5AC ===，AH CH AC ===HQ AH AQ AH BC =+=+=+=，∴==，即BD CE +．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ BD =，得出当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，是解题的关键．8.（2021锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +1分别与x 轴、y 轴交于点A ，C ，经过点C 的抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x +1的另一个交点为点D ，点D 的横坐标为6．（1）求抛物线的表达式．（2）M 为抛物线上的动点．①N 为x 轴上一点，当四边形CDMN 为平行四边形时，求点M 的坐标；②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M 的横坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；模型思想．【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或．【分析】（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；（2）①因为直线BD′与坐标轴平行，所以BD′∥x轴和BD′∥y轴分类讨论，以BD′∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DBD′，又∠AOB＝∠D′BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当BD′∥y轴，用同样的方法解决．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则，①∴，∴A点坐标为（，0），令x＝6，则y＝，∴D点坐标为（），将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝；（2）①设N（n，0），∵四边形CDMN为平行四边形，∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），∵点M在抛物线上，∴，∴n2+9n﹣4＝0，∴，∴点M的坐标为（，）或（，）；②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，分别过A，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，在直角△ADQ中，AQ＝6+＝，DQ＝，∴tan∠DAQ＝＝，∴cos∠DAQ＝，∵∠BAH＝∠DAQ，∴cos∠BAH＝，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠DBM＝∠D′BM，∵BD′∥x轴，∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM，∴AB＝AO＝，∴，∴AH＝，∴OH＝AH+AO＝令x＝﹣，则y＝＝，∴B点坐标为（﹣，﹣），设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，联立，解得，，∴点M的横坐标为3或，第二种情况，如图2，当BD′∥y轴时，设BD′交x轴于H，∴∠COB＝∠OBH，∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB，∴CB＝CO＝1，过C作CE⊥BH于E，∴CE∥x轴，∴∠BCE＝∠CAO，∵tan∠CAO＝＝，∴cos∠CAO＝，∴cos∠BCE＝＝，∴CE＝＝，∴＝，∵CE⊥BH，BH⊥x轴，∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°，∴四边形CEHO为矩形，∴EH＝CO＝1，CE＝OH＝，∴BH＝BE+EH＝，∴点B的坐标为（），∴直线OB的解析式为y＝2x，联立，化简得，x211x+4＝0，∴，∵点M在直线CD下方，∴x＜6，∴x＝，∴点M的横坐标为，即点M的横坐标为3或或．9.（2021呼伦贝尔中考）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数的应用；推理能力．【答案】（1）；（2）存在点F（3，5）或（，）；（3）当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，KQ的最大值为，KQ的最小值为．【分析】（1）先把点B代入直线的解析式，求出m的值，再把点A和点B代入抛物线的解析式，即可求出抛物线的解析式；（2）先设出F的坐标，然后分A为直角顶点和C为直角顶点两种情况，利用等腰直角三角形得性质即可求出点F的坐标；（3）先设出点C的坐标，再设出点F的坐标，然后表示出三角形CEF的周长，求出周长取最大值时点C和F的坐标即可，折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），∴m＝4+2，解得m＝6，∴B（4，6），把点A和B代入抛物线的解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，设F（n，n+2），直线AB与x轴交与M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交与点N，则N（0，2），∵FC∥y轴，∴C（n，2n2﹣8n+6），∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2），∴OM＝ON＝2，∴∠ONM＝45°，∵FC∥y轴，∴∠AFC＝∠ONM＝45°，若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，过点A作AD⊥FC于点D，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AF＝AC，∴DF＝DC，∴AD＝FC，∵n＝，化简得：2n2﹣7n+3＝0，解得：n1＝3，（与A重合舍去），∴F（3，5），（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，在Rt△FAC中，∵∠AFC＝45°，∴AC＝CF，∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，化简得：4n2﹣16n+7＝0，解得：，（舍去），∴F（，），综上所述：存在点F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形；（3）设F（c，c+2），∵FC∥y轴，∴C（c，2c2﹣8c+6），在Rt△FEC中，∵∠AFC＝45∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，∴当CF最大时，△FEC的周长最大，∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，又∵﹣2＜0，∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，∵CF＝，由（1）知点K的坐标为（3，0），∴KF＝，∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．10．（2021镇江中考）（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB 上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 ．③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）①根据要求作出图形即可．②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M 作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．【解答】解（1）由题意得：，解之得：a＝，b＝，c＝2，∴y＝+，∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，∴D（﹣4，﹣）．（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M 作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵MN∥AB，∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，由，解得，∴M（，），由．解得，∴N（，），∴Q（（，），∵QJ⊥CD，QT⊥MH，∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，∴QJ＝QT，∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，∴△PJQ≌△MTQ（AAS），∴PQ＝MQ，∵∠PQM＝90°，∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴＝，故选项D正确，B，C错误，∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，∴折痕与AB垂直，故选项A正确，故答案为：A，D．③设P（﹣4，m）．∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），把Q的坐标代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m＝或﹣（舍弃），∴Q（2，），根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，）．11．（2021无锡中考）（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB ＝∠CFE＝45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E （m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，可得EF＝；（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，∴B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图：在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，∴＝，解得m＝或m＝0（舍去），∴EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴EF＝，综上所述，EF＝或．（3）连接NE，如图：∵点N、F关于直线EC对称，∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，∵EF∥y轴，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠FCE＝∠CEF，∴CF＝EF＝CN，由（2）知：设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，∴CN＝CF＝m＝3﹣2，∴N（0，3+1）．12.（2021聊城中考）如图，抛物线y＝ax2＋32x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点。
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转阅读思考类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换．抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变．解与此相关问题的关键是：确定变换前后顶点坐标及开口方向．问题解决例1 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线则平移前抛物线的解析式为_____________．例2 有3个二次函数，甲：丙：．则下列叙述中正确的是（ ）．A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合例3 如图，抛物线E ：y =x 2+4x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点。
抛物线E 关于y轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点．（1）求F 的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由；，（3）若将抛物线E 的解析式改为，试探索问题（2）．例 4 对于任意两个二次函数，当时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”（“□□□”填写相应三个点的字母）． ,422x x y +-=;1:;122+-=-=x y x y 乙122-+=x x y c bx ax y ++=2)0(,212222211211=/++=++=a a c x b x a y c x b x a y 21|||a a =)0,1(),0,1(,B A ABM -∆（1）若已知M （0，1），△ABM ≌△ABN （图1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线；（2）在图2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．①若已知M （0，n ），求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式．②若已知M （m ，n ），当m ，n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由．例5 已知二次函数的图象是c 1（1）求c 1关于R （1，0）成中心对称的图象c 1的函数解析式；（2）设曲线c 1 、c 2与y 轴的交点分别为A ，B ，当AB =18时，求a 的值．数学冲浪1． 抛物线如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________．2．已知抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y =x 2，则b 与c 的值分别为_____________．3．如图，将抛物线沿x 轴翻转到虚线的位置，那么，所得到的抛物线的解析式为（ ）．A 、B 、C 、D 、4．作抛物线c 1关于x 轴对称的抛物线c 2，再将抛物线c 2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线c 的函数解析式是y =2（x +1）2-1，则抛物线c 1所对应的函数解析式是（ ）．A 、B 、1442-++=a ax ax y c bx x y ++=2αc bx x y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++-=2c bx ax y +--=2c bx ax y ---=2c bx ax y -+-=22)1(22-+-=x y 2)1(22++-=x yC 、D 、5．已知抛物线，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得 到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线的解析式；（2）若直线与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围；（3）若将已知的抛物线解析式改为，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移个单位长度，试探索问题（2）．6．如图，已知抛物线如：．y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点．（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．2)1(22---=x y 2)1(22+--=x y 142+-=x x y m y =)0,0(2<>++=b a c bx ax y ab-。