食品安全问题数学建模

摘要随着人们对生活质量的追求和安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点。

本文在此背景下通过建立数学模型来研究影响食品质量因素等问题。

具体如下：对于问题一，我们首先将主要食品分为蔬菜、肉类、面制品，饮品四大类，并将微生物、添加剂、重金属定为影响食品质量的因素三大因子。

利用归纳统一法对该市数据进行统计分析，并运用数据拟合法，建立了影响各主要食品领域的因素与时间关系的模型，分析matlab软件绘制出的图形，得出2010、2011、2012三年该市的食品质量发展趋势。

对于问题二，在问题一主要食品分类的基础上，我们将影响食品质量的因素分为食品产地、食品销售地点、季节、保质期四大类，运用层次分析法对问题进行定量分析，建立影响食品质量的模型。

通过比较每种因素对食品安全的权重，运用一致性检验的方法，确定各种因素与食品质量的关系。

从结果来看，食品产地是影响食品质量的最大因素。

对于问题三，我们运用多层次划分法建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型，在已求得的权重基础上，进一步建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，保证检测针对性与较少投入的同时，尽可能检测出有问题的食品及生产企业。

针对上述两个模型建立了目标函数分析模型，给出了详细的目标函数方法。

关键词：层次分析法多层次划分法抽样模型基于权重的检测模型一问题重述随着人们生活水平越来越好，人们越来越重视食品的食品的质量，“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。

随着人们对生活质量的追求和安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个主题。

城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。

另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。

深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。

根据2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽检数据，确定如何抽检效果最好，在保证好效果的前提下，尽可能的节省时间和费用？根据实际情况，建立数学模型来讨论些列问题：（1）如何评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势；（2）从这些数据中能否找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等；（3）能否改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作怎样的调整？二问题的分析食品安全与人们身体健康密切相关，我们经过讨论分析后，认为本题属于数理统计与优化类问题，如何分析食品质量的变化趋势以及确定最优抽检模型是解题的关键。

问题一的分析通过阅读深圳市三年的食品质量的数据，为了更好的分析食品领域微生物、重金属、添加剂的含量随时间的变化趋势，把食品领域分为了蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类，采用归纳统一法对每类食品在微生物，重金属，添加剂中的合格率进行了数据的统计。

在研究方法上，采用数据拟合法建立影响各主要食品领域的因素与时间的模型，并利用matlab软件绘制出各类食品质量的变化曲线，通过观察、分析曲线得出2010、2011、2012三年深圳市各类食品微生物、重金属、添加剂含量的变化趋势。

问题二的分析对于第二问我们采用了多层次问题分析法（AHP），在问题一主要食品分类的基础上，将影响食品安全的因素分为：食品产地、食品销售地、季节、保质期四大类。

运用层次分析法统计分析各类影响指标的数值特征，再对其进行归一化处理，求得每一类特征对食品安全质量的权重，对比权重的大小从而反映食品质量安全状况。

问题三的分析在第二问的基础上，将这一问的具体模型分为抽样模型和检测模型，对于抽样模型，建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，根据各类所占的权重按适当的比例抽取。

其次按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，建立了基于权重的检测模型，将检测模型分成了四个环节（原材料的使用，生产加工，运输与存储，流通与销售），通过各个环节及其内部影响因素的权重来进行检测的次数分配，这样可以用较少的投入来检测出有问题的食品和企业。

三、模型假设1.假设食品能且仅能分为四大类，其他没有被分的食物对食品安全性所造成的影响忽略不计。

2.假设影响食品安全性的因素能且仅能分为三大类，其他没有被分类的因素对食品安全性所造成的影响忽略不计。

3.假设模型求解过程中所用的数据都是合理的。

4.假设所有食品生产厂商的信誉度均相同。

5.假设检测不同环节、不同因素的成本和工时相同。

6.假设同一类食品每次抽检的项目数相同。

7.假设抽检的最大费用有限制。

四、符号说明ij a ：准则层两个因数i C 和j C 对目标层的影响程度之比；..I C ：判断矩阵一致性标准；ij c :方案层两个因素i a 和j a 对准则层的影响程度之比；n W W W W ......,,21：权重向量；max λ：最大特征值；..I R ：平均随机一致性指标；m ： 判断因子m ，m =1表示因素对生产环节有影响，m =0表示无影响； i w ：第i 各因素在食品安全中所占的权重；i R ：i R 表示第i 环节在食品安全中所占的权重；ij a ：表示第j 各因素在第i 各环节所占的权重；L ：抽样系统中总的生产批次；i L ：第i 层生产批次数；t ：每次每项抽检的平均时间；ξ：每个抽检批次的检查项目；p ：每次每项抽检的平均费用；i N :第i 个环节抽查的次数；ij N :表示第i 个环节第j 个因素因素抽查的次数。

五、模型的建立与求解（一）问题一的模型建立与求解为了得到深圳市近三年的主要食品领域的安全情况变化趋势，通过分析深圳市2010,2011,2012三年的食品安全数据，结合质量检查局抽查食品的种类种类和我国居民饮食结构特点，将我们日常生活食品分为蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类。

其中，蔬菜里包含：菜肴、豆制品、白菜、菜酱、黄瓜、萝卜、冬瓜等。

肉中包含：鸡、鸭、鱼、牛肉、猪肉、各类水产品、生肉熟肉等。

饮品中含有各种饮料（可乐、雪碧、七喜之类等）、矿泉水、酒类、乳制品、自制饮料、豆浆等。

面制品中包含面包、馒头、面条、月饼、糕点、饼干、速冻米面等。

在食品中，微生物、重金属、添加剂是无处不在，它们的作用是保证食品的质量和特性，适量的添加可以增加食品的美味，但是过量的使用有可能增加了食品的保质期或食物的变质，所以就重点抽查了这三个因子对食品的质量影响情况，我们以每个月为单位运用归纳统一法求解微生物，重金属，添加剂分别在四大类食品（蔬菜，肉类，面制品，饮品）中的合格率，以数据拟合法为基本原理运用matlab 软件把X 轴做为年份，Y 轴为合格率的百分比，数据拟合主要是考虑到观测数据受随机观测误差的影响，进而寻求整体误差最小、能较好反映观测数据的近似函数()x f y =，此时并不要求所得到的近似函数()x f y =满足：()i i x f y = ， ,1,0=i …,n在数据拟合的基本方法中，我们采用最小二乘拟合法对离散数据进行曲线拟合，即已知一组二维数据（i i y x ,），i =,2,1…，n ，寻求一个函数()x f y =，使()x f 在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合最好。

基本思路是，令：++=)()()(2211x r a x r a x f …)(x r a m m +其中(){}m k k x r 1=（m <n )是一组事先选定的线性无关的函数，{}mk k a 1=是一组待定系数。

寻求{}m k k a 1=使得i y 与()i x f 的距离i d （,2,1=i …，n ）的平方和最小，这种准则称为最小二乘准则。

其求系数{}mk k a 1=的方法称为最小二乘拟合方法。

以下为利用matble 软件实现的图像：（1）从图中可以看出，微生物在这三年的合格率高达95%以上，且平稳趋于上升趋；重金属曲线虽然有先上升后下降的趋势，但是抽查的合格率在90%以上；添加剂的合格呈现逐年下降的趋势。

从这些趋势中我们可以看出，人们为了得到更多更新鲜的蔬菜，往往在蔬菜的生长过程中过多的使用化肥，除草剂，使重金属的含量有超标的趋势别是硝酸按等含硝酸根的化肥会造成原料中的硝酸盐、亚硝酸盐的含量明显偏高，对人体具有潜在的致癌性；在运输存储和销售的过程中，人们使用添加剂的种类和次数增加了很多，这样可以增加保质期，保证蔬菜的新鲜程度。

政府在化肥使用中的管制没有相应的细节规定，南北方之间的蔬菜类化肥使用是有差距的，又如大棚类的反季节蔬菜的种植时化肥喷药的多少，在反季节的蔬菜都可能导致了重金属的含量的偏高。

（2）根据上图我们可以看出肉类中的微生物呈现先下降后上升的趋势，肉类中的添加剂和重金属有下降的趋势但是抽检的合格率都保持在94%以上。

虽然最近几年肉类食品频频出现各种传染病，最严重的是禽流感，使人们谈禽色变，这是饲养人员在喂养过程中过量的使用添加剂，激素来催进动物的生长，灯光日夜照射，加快鸡的生长速度，一般一周左右便可长成成年鸡。

鸡的生长环境恶劣，滋生各种微生物。

部分动物可能受到感染，但是饲养人员为了利益仍然将其卖出，这就导致了部分肉类食品的质量下降。

城市生活污水的随意排放到江河湖泊中，这导致了河水质量的下降，鱼类受到重金属，化学添加剂成分的影响，也降低了肉类食品的质量。

肉类食品的安全关键在于其生长环节及生长的环境，流通销售环节使用添加剂保持新鲜程度，这种影响并不是影响肉类质量的重要因素。

3）从图中可以得到，微生物的含量呈现先下降后上升又略降的趋势，添加剂和重金属都是先下降后上升的趋势，而后两者的合格率基本保持在95%以上。

饮品类的合格率虽然较高，但是这类食品的生产环节是影响它质量的关键因素，其后才是他的保质期，饮品类的生产不可能不放添加剂，某些牛奶的生产就是依靠的微生物的培养，例如酸奶。

牛奶中最近的“三氯氰胺”事件以及几年前的三鹿奶粉事件闹的沸沸扬扬，引起了人们对饮品质量的不满，这些使政府质量监督局加大了对饮品届的监督管理，才使得饮品最近几年的合格率比较高。

（4）面制品的中微生物和添加剂抽检质量合格率呈现先下降后上升的趋势，而重金属的合格率呈现上升且趋于平稳的趋势。

且面制品抽检的合格率基本都能达到90%以上。

面制品的合格率较高是因为中国是农业大国，面食自古以来就很受到重视，人们的面制品的制作工艺形式各种各样，但是随着机械化程度的增高，人们为了降低价格在采购原材料时会采用劣等的制品（例如南京冠生园月饼事件）。