考研高数总复习导数概念
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
导数知识点总结考研
导数知识点总结考研一、导数的定义导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何上，一个函数在某一点处的导数可以理解为这个函数在该点处的切线斜率。
在代数上，函数f(x)在点x=a处的导数可以用极限来表示，即f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a)如果这个极限存在，那么函数f(x)在点x=a处是可导的，其导数即为f'(a)。
如果导数存在，那么函数在该点处是光滑的，即函数在该点处的变化率是连续的。
二、导数的计算1. 基本导数法则- 常数导数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
- 幂函数导数法则：如果f(x) = x^n，其中n为自然数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数导数法则：如果f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数导数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = 1/(x *ln(a))。
2. 导数的四则运算- 和差法则：如果f(x) = g(x) + h(x) (或f(x) = g(x) - h(x))，那么f'(x) = g'(x) + h'(x) (或f'(x)= g'(x) - h'(x))。
- 积法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
- 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，那么f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2。
3. 链式法则如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
考研高数总复习隐函数导数
例6.求心形线 1 sin在点 处的法线方程
3
解.利用直角坐标与极坐标的关系，有：
x cos (1 sin ) cos
y
sin
(1
sin
)
sin
dy [(1 sin ) cos ]' sin 2 cos dx [(1 sin ) cos ]' cos 2 sin
将 代入以上各式。
y x2 y2 x
3 3 1.
(,) 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点. 22
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数
y 2x (x y) ln(x y)
解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln(x y) (x y) 1 y ' x y
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
设 (cos y)x (sin x)y , 其中sin x 0, cos y 0 求y '
解：两边分别求对数：ln(cos y)x ln(sin x)y x ln(cos y) y ln(sin x)
分别求导：x sin y y ' ln(cos y) y 'ln(sin x) y cos x
cos y
sin x
得：y ' ln cos y y cot x x tan y ln sin x
考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第二章上课资料
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。
记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。
右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。
【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。
考研高等数学导数部分的重点
考研高等数学导数部分的重点考研高等数学导数部分的重点在考研的时候，高数中导数的出题比例较大，考生应着重。
店铺为大家精心准备了考研高等数学导数部分的要点，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学导数部分的考点第一，理解并牢记导数定义。
导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：1)在某点的领域范围内。
2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。
3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。
4)掌握导数定义的不同书写形式。
第二，导数定义相关计算。
这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。
第三，导数、可微与连续的关系。
函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。
这也常常应用在做题中。
第四，导数的计算。
导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。
要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。
2)求导法则。
求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的`复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。
考研导数知识点总结
一、导数的定义与概念1.1 导数的定义在数学中，函数的导数是描述函数变化速率的概念。
给定函数y=f(x)，在点x处的导数可以用极限表示：\[ f'(x)=\lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{\Delta x} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，也可以记作y'或dy/dx。
1.2 几何意义导数的几何意义是函数的切线斜率。
在函数图像上，给定点P(x, f(x))，函数在该点的切线斜率即为函数在该点的导数值。
1.3 导数的符号表示导数可以表示为函数y=f(x)关于自变量x的一阶偏导数：\[ f'(x)=\frac{{dy}}{{dx}} \]二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算方法导数的基本计算方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数、常见函数的和、积、商的导数等。
通过这些法则，可以求解各种函数的导数值。
2.2 链式法则对于复合函数，可以使用链式法则求导。
链式法则描述了复合函数求导的方法，对于函数y=f(g(x))，其导数可以表示为：\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} \]其中，u=g(x)。
2.3 隐函数求导对于隐函数y=f(x)和g(x)=c，若y=f(g(x))，则可以使用隐函数求导的方法计算导数。
2.4 参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以使用参数方程求导的方法计算导数。
3.1 常数函数的导数对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。
3.2 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3.3 指数函数和对数函数的导数指数函数y=a^x（a>0，且a≠1）和对数函数y=log_a x（a>0，且a≠1）的导数分别为f'(x)=a^x \cdot ln a和f'(x)=\frac{1}{x \cdot ln a}。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
研究生数学导数知识点总结
研究生数学导数知识点总结1.导数的概念导数是微积分的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点的变化率。
更具体的说，导数表示了函数在该点附近的局部变化情况，即函数的斜率或变化速率。
导数的定义是函数在某一点的极限，表示函数在该点的切线斜率。
2.导数的计算导数的计算方法有很多种，其中最基本的方法是使用极限的定义来求导。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以写成dy/dx或者y'。
导数的计算方法包括基本的导数公式、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数等。
3.导数的性质导数有很多重要的性质，其中包括导数的线性性质、导数的乘积法则、导数的商法则、导数的链式法则等。
这些性质对于导数的计算和应用非常重要，其中最重要的是链式法则，它描述了复合函数的导数计算方法。
4.导数的应用导数在数学和物理等领域有着广泛的应用，其中包括函数的极值问题、函数的图像研究、曲线的切线问题、函数的凹凸性分析、微分方程的求解等。
导数还在物理学中被用来描述物体的运动情况，如速度和加速度的概念。
5.高阶导数导数不仅仅限于一阶导数，还可以求得函数的高阶导数。
高阶导数描述了函数变化率的更加详细的信息，它包括二阶导数、三阶导数等。
高阶导数在函数的曲线研究和物理学中有着重要的应用。
6.反函数与反常导数反函数是一个很重要的概念，它指的是对于给定的函数f(x)，存在一个函数g(x)使得g(f(x))=x。
对于反函数的导数计算和性质研究有着很重要的意义。
反常导数是指在某些点上导数不存在或者无穷大的情况，这种情况的研究对于函数的极限与连续性有着很重要的关系。
7.导数的近似计算在实际应用中，导数的计算有时候比较困难，或者需要花费大量的计算时间。
因此，人们发明了一些近似计算导数的方法，其中最常见的是泰勒级数展开法和微分逼近法。
这些方法使得导数的计算更加方便和实用。
8.总结导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，具有很多重要的应用。
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即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
x 0
y
lim[
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如, x2,
f (x) x,
(loga
x)
1 x
loga
e
1 x
1. ln a
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
总成本平均变化率 C f (x0 x) f (x0 )
x
x
平均变化率的极限：lim C lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x
x0
x
表示产量为x0时的边际成本。
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
t0
t t
y
2如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x .
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
4
h0
h
lim cos( x
h0
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
大家好
第二章 导数与微 分
2.1 导数的概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s s s0 t t t0
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim s(t) s(t0 ) tt0 t t0
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
其它形式
f ( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f () . x x0
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f (x x) f (x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
h) 2
sin h
h 2
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x3 的导数.
解 (x3) lim (x h)3 x3
h0
h
lim[3x2 3xh h2 ] 3x2 h0
更一般的有： (xn ) nxn1.
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线 y f (x)
在点M (x0, f (x0 ))处的
切线的斜率,即
o
y f (x)
T
M
x0
x
f (x0 ) tan, (为切线与x轴正向的夹角)
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
( f (x 0 ) 0).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
x 0, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点.
练习：讨论函数f
(
x)
x
sin
1 x
,
x
0 在x
0处的连续性和可导性。
0, x 0
函数f (x)在x0点连续：
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim
xx0
f (x)
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
如果函数f (x)在点x0处连续，但
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
极限不存在，f (x)在点x0处不可导.
为方便起见，称之为无穷大（含
正无穷大和负无穷大），也就是说：
f (x)在点x0处有无穷导数。
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
lim f (x0 x) f (x0 ) 存在
函数f (x)在x0点可导： x0
x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 )
x0