材料力学第八章弯曲变形

h h 2 时, 强度最大 ; 3 时, 刚度最大。 b b
26
一般的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D
Wz1
当
D 3
32
max
4Q 1.33 m 3A
D12
4
a 2时, a R; ( D1 / 2)
Wz 2
a
z
bh2 ( R)3 1.18 Wz1 6 6
f qC f dPC
0
例４ 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 L1 L2 P A C f B x
f f1 f 2
x B f1 B f2 x L2 C P
=
L1 A
刚化AC段C
L2
P B
等价
+
L1
A
L2
刚化BC段
P
B
等价 A
L1
C
P L2
M
C
§8-5
梁的刚度校核
提高梁弯曲刚度的措施
x
f ( x ) M ( x) EI
f ( x) 0
即挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf ( x) M ( x)
6
§8-3
积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程：
EIf ( x) M ( x)
用积分法求弯曲变形（挠曲线方程） 1.微分方程的积分
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
A C
q 例２ 按叠加原理求A点转角和 B C点挠度。
a
P A
a
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
PA
A
q B
Pa f PC 4 EI
2
Pa3 6 EI
+
qa3 5qa4 qA f qC 3EI 24EI
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x) P( x L)
y
L
P x
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EIw" M ( x) P( L x)
1 EIw P( L x) 2 C1 2
应用位移边界条件求积分常数
y
1 2 EI (0) Pa C1 0 2 1 C1 Pa 2 ; 2
L
1 C2 Pa 3 6
C1 D1
C1a C2 D1a D2
(a ) (a )
f (a ) f (a ) f (a)
y
a L
P x
写出微分方程的积分并积分
P( x a ) EIw" 0
(0 x a) ( a x L)
1 3 P ( x a ) C1 x C2 EIw 6 D1 x D2
1 2 P ( x a ) C1 ' EIw 2 D1
（二）、采用变截面梁 最好是等强度梁，即
若为等强度矩形截面，则高为 6 M ( x) h( x ) x b[ ] Q Q [ ] h( x) 1.530 同时 max 1.5 b[ ] bh( x)
1
第八章
弯曲变形
§8–1 梁的挠度和转角 §8–2 挠曲线近似微分方程 §8–3 积分法求弯曲变形 §8–4 §8–5 叠加法求弯曲变形 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
* 简单静不定梁
2
§8－１ 梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
P
A C
q B
Pa PA 4 EI
2
f PC
Pa3 6 EI
a
P A
a
qa3 qA 3EI
f qC
5qa4 24EI
=
B
叠加
A PA qA
a2 (3P 4qa) 12EI
+
q B
A
fC
5qa4 Pa3 24EI 6 EI
例３ 按叠加原理求C点挠度。
……………………………
稳定性：
都与内力和截面性质有关。
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（一）、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 h
R
北宋李诫于1100年著« 营造法式 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著« 自然哲学与机械技术讲义 » 一书中指出:
矩形木梁的合理高宽比 为
f ( x)
P ( L x)3 3L2 x L3 6 EI


最大挠度及最大转角
PL2 max ( L) 2 EI
PL3 f max f ( L) 3EI
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a) (a x L)

+
D
B
2 P L P2 La 0.4 400 200 1 B ( ) 0.423104 (弧度) 16EI 3EI 2101880 16 3
2 3 2 P L a P a P a L 1 2 2 fC 5.19106 m 16EI 3EI 3EI
'
1 3 EIf (0) PL C2 0 6
1 2 EI (0) EI f (0) PL C1 0 2
1 EIw P ( L x) 3 C1 x C2 6
1 2 1 3 C1 PL ; C2 PL 2 6
y P L x
写出弹性曲线方程并画出曲线
例５ 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm， 杆的E=210GPa，工程规定C点的[f]=0.00001m,B点的]=0.001 弧度,试校核此杆的刚度。 L=400mm a=0.1m P A D B C
A
D
B
C
P2
200mm P1=1kN
=
P2=2kN
=
a B P2 P2 M
校核刚度
f max 5.19 106 m f 105 m
max 0.423 104 0.001
二、提高梁弯曲刚度的主要措施 强度：正应力： 剪应力：
Hale Waihona Puke M max Wz* QSz bIz
刚度：
M (X ) v" EI z
a
bh3 I z2 1.05I z1 12
max 1.5 m
27
当
D12
4

[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
时, D 1.67D1
D 3 Wz 3 (1- 0.84 ) 2.75Wz1 32
0.8D D
z
I z3
D 4
64
(10.84 )4.59I z1
wB 0
D 0
A
P
C
B
连续光滑条件：
wC左 wC右
C C
左 右
（集中力、集中力偶作用处， 截面变化处）
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
Wz 5 4.57Wz1
1.6a2
2a2 z
I z 5 9.55I z1
max 2.3 m (= Q A ) f
0.8a2 a2
工字形截面与框形截面类似。
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2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：
z
G

M ( x) max ( x) [ ] W ( x)
q0 C x 0.5L dx 0.5L b x
解：载荷无限分解如图
2bq0 dPq ( x)dx db L
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
(dP)b(3L2 4b 2 ) f dPC 48EI
f
叠加
q0b 2 (3L2 4b 2 ) db 24EIL
0.5 L 4 q0b 2 (3L2 4b 2 ) qL db 24EIL 240EI
(P 1, P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n)
f ( P,1 P2 Pn ) f1 ( P 1 ) f 2 (P 2 ) f n (P n)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg
dw dx
f ( x)
(1)
§8-2 y M>0
挠曲线近似微分方程
1 M z ( x) EI z
挠曲线曲率:

小变形
3 2

f ( x) 0
y
x
1


f ( x) (1 f ( x) 2 )

f ( x)
M<0
M z ( x) f ( x) EI z


(0 x a ) (a x L)
y

最大挠度及最大转角
a L
P x
Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EI