2020年山东省潍坊市高三二模数学试题(含答案和解析)
山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)数学试题(解析版)
山东省潍坊市2020届高三模拟（二模)数学试题一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【答案】C【解析】集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ． 2．若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+，又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C .4．以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为（ ）A ．()2214x y -+= B ．()2214x y ++= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=【答案】D【解析】抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1，准线方程为1y =-，圆与E 的准线相切，则2r，故圆方程为：()2214x y +-=.故选：D.5．设函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，则不等式f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0的解集为( ) A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，13） C ．（13，+∞） D ．（1，+∞）【答案】D【解析】由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94 B ．95C ．96D ．98【答案】B【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，则有19n +m ＝1349，则m ＝1349﹣19n ，所以90≤1349﹣19n ≤100，解得14565661919n ≤≤，因为年龄为整数，所以n ＝66，则m ＝1349﹣19×66＝95.故选：B 7．在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( )A B C D 【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，设球心为O ，则O 为AD 的中点，∴AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝1，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，OB ＝OC ＝OD 22=，BO ⊥AD ，BO ⊥OC ， ∴BO ⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：V B ﹣ACD1112222332ACDS BO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：y ＝±b x a，则点F （c ，0），A （c ，bca ），设点B （x 0，0bx a -），∵BF ∥OA ，∴OA BF k k =，即00bx b a a x c-=-，解得：x 02c =，所以(,)22c bc B a -，∴322c bc AB a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，22c bc OB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，又∵0AB OB ⋅=，∴2222344c b c a-+=0，即a 2＝3b 2．∵c 2＝a 2+b 2，∴a 2＝3（c 2﹣a 2），即3c 2＝4a 2，所以离心率e 233c a ==．故选：A ． 二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（ ）A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 【答案】BCD【解析】由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确． 故选：BCD10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b->- B ．11b aa b -<- C ．ln()0b a -> D ．()()ccab ba> 【答案】BD【解析】由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<，而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ） A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数 B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2【答案】AC【解析】由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确； ()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误． 故选：AC ．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //l B ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 【答案】BD【解析】若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确． 故选：BD ． 三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F ，且12,F F 与水平夹角均为45︒，12102N F F ==，则物体的重力大小为_________N .【答案】20【解析】由题意知12||=|F +F |G .12,FF 的夹角为2π.所以2222121122||||||+2||||cos+||2G F F F F F F π=+=.所以2||200+0+200=400G =.所以||20G =. 14．已知5024sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tanα＝_____． 【答案】3【解析】5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sinππαα-=--=，∴2235310sin sin[()][sin()cos()]4444ππππαααα=-+=-+-=⨯=，(0,)2πα∈，∴210cos1sinαα=-=，∴sintan3cosααα==．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【解析】由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．16．已知函数()3212311lnx xf xx x x≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____．【答案】﹣4 （0，14）【解析】当[1x∈，]e时，()f x lnx=，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln==，当[1x∈-，1)时，32()231f x x x=-+，则2()660f x x x'=-=时，1x=（舍)或0，且有()f x在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，因为()()123141f f-=--+=-<，故函数()f x在[1-，]e上的最小值为4-；令()t f x=，()0g x=即2t t a-=-，作出函数()y f x=的图象，如图所示：直线y t=与函数()y f x=的图象最多只有三个交点，所以01t<<，即说明方程2t t a-=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t=-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值． 【解析】（1）4B π=，23,3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得223sin 22sin 3a Bb A ===．（2）23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当b c =取“=”；ABC ∆∴面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）令1n =，得()1132321a b =+-=，所以11b =，令2n =，得211223(43)27a b a b +=+-⨯=，所以226a b =，又23b =，所以22a =， 设数列{}n a 的公比为q ， 则212a q a ==，所以12n n a ；（2）当2n ≥时，11122113[2(1)3]2n n n a b a b a b n ---+++=+--①又3311223(23)2n n n a b a b a b b n a +++=+-，②②–①113(23)23(25)2(21)2nn n n n a b n n n --⎡⎤=+--+-=-⎣⎦， 因为12n na ，所以21nb n =-，1n =时也成立，所以21n b n =-.111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 所以111111[(1)()()]23352121n T n n ==-+-++--+ 111111[(1)()]23213521n n =+++-+++-+ 11(1)22121nn n =-=++. 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析 【解析】（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ． 证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面F AC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩，取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1），平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ，则cosθ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥P A ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cosθ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cosθ21m n m n⋅==⋅ ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 【解析】（1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减． a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex +1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x ﹣ex +1，F ′（x ）＝e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x-=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。
山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．12【答案】D 【解析】 【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数. 【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x +=，故6x =； 乙的平均数为78828089919397887y +++++++=，解得6y =，所以12x y +=. 故选：D. 【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（ ） A 51- B ．32C ．212-D ．23【答案】D 【解析】 【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解 【详解】根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223rr =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D 【解析】 【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π2323V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯⨯=163,故该几何体的体积1243π1633V V V =+=+.故选:D. 【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i ==第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.5．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.6．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B.本题考查复数的代数运算，属于基础题. 7．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C 【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.8．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9 B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B 【解析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】由于ba=b = 又122PF PF -=且22PFc a ≥-=， 故选：B. 【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题. 9．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D 【解析】 【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题 故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题． 10．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） AB ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos B ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.11．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有22623321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.12．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ）A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题含解析
山东省潍坊市2019-2020学年高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足约束条件2211x yy xy kx+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B．53C．2 D．73【答案】B【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111Bk k⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121kCk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z能取到最大值，则1k>，当12k<≤时，x在点B处取得最大值，即2221211k k⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k=；当2k>时，z在点C 处取得最大值，即421222121kk k-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k=（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2．30x y m-+=过双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若||||FA FO=（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A．2B．31C5D51【答案】B【解析】【分析】【详解】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||AE =，所以双曲线C 的离心率为1e =.故选B ．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ） A ．6π或56π B ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案.【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π． 故选：D【点睛】 本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )A ．1或1-B ．25或25-C ．1或25-D ．1-或25 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，3344m m -∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ．【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可． 5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】 【分析】 由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π， 所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=， 故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故选：B.本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.6．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9- 【答案】D【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212x y +„，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-.故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．由101x x +>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12ln ln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．8．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试(二)数学试题(解析版)
2020届山东省潍坊市临朐县高三综合模拟考试（二）数学试题一、单选题 1．设13iz i-=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】 1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-Q ， ∴1255z i =+，∴在复平面内z 对应的点的坐标为1(5，2)5，位于第一象限．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2．曲线()ln 1y ax =+在点()0,0处的切线过点()4,8，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C【解析】求得函数(1)y ln ax =+的导数，可得切线的斜率，运用直线的两点的斜率公式，可得所求值． 【详解】(1)y ln ax =+的导数为1ay ax '=+， 可得曲线在0x =处的切线的斜率为a ， 由切线经过(4,8)可得80240a -==-， 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 【考点】平均变化率.4．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D【解析】容易得出2233311()()1,132log π<<>，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】由题得2203333111()()()1,log 31322log π<<=>=；c b a ∴>>．故选：D ． 【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5．已知向量(),1m a =-u r ，()21,3n b =-r ()0,0a b >>，若//m n u r r ，则21a b+的最小值为（ ）A ．12B ．8+C ．15D ．10+【答案】B【解析】由//m n r r可得321a b +=，然后根据2121()(32)a b a b a b+=++，利用基本不等式可得结果． 【详解】Q (,1)m a =-r，(21n b =-r，3)(0a >，0)b >，//m n r r，3210a b ∴+-=，即321a b +=，∴2121()(32)a b a b a b +=++ 438b aa b =++8+…8=+，当且仅当43b a a b =，即36a -=，14b =时取等号，∴21a b+的最小值为：8+ 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6．若sin cos 11cos 24ααα=-，()tan 2αβ-=，则()tan 2βα-=（ ）A ．43B ．43- C ．3 D ．-3【答案】A【解析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan 2α=，tan()2βα-=-，可得tan(2)tan[()]βαβαα-=--的值．【详解】 由题得2sin cos sin cos cos 11cos22sin 2sin 4αααααααα===-，tan 2α∴=．tan tan tan()21tan an αβαβαβ--==+Q ，tan 0β∴=，tan()tan()2βααβ-=--=-，则tan()tan 224tan(2)tan[()]1tan()tan 1223βααβαβααβαα-----=--===+--⨯，故选：A ． 【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．已知二面角l αβ--为60︒，点A α∈，点B β∈，异面直线AB 与l 所成的角为60︒，4AB =.若A 到βB 到α的距离为（ ）A ．B CD ．3【答案】A【解析】如图所示，过A 点作AC β⊥，垂足C ，过点C 作CE l ⊥，垂足为点E ，连接CE ．可得60AEC ∠=︒，2AE =．过A 点在α内作l 的平行线，过B 点作BF l ⊥，垂足为点F ，过F 点在α内作AE 的平行线与l 的平行线交于点D ，可得四边形ADFE 为矩形，2DF =．60BAD ∠=︒，AD DB ⊥．可得BD =60BFD ∠=︒，在BFD ∆中，设BF x =，利用余弦定理可得x ．进而得出222BD DF BF +=，可得BD α⊥．即得B 到α的距离.【详解】 如图所示，过A 点作AC β⊥，垂足C ，过点C 作CE l ⊥，垂足为点E ，连接CE ． 则AE l ⊥，60AEC ∴∠=︒．又AC =2AE ∴=．过A 点在α内作l 的平行线，过B 点作BF l ⊥，垂足为点F ． 过F 点在α内作AE 的平行线与l 的平行线交于点D ，则四边形ADFE 为矩形，2DF ∴=．且BFD ∠为异面直线AB 与l 所成的角， ∴60BAD ∠=︒，AD DB ⊥．4AB =Q ，BD ∴=，60BFD ∠=︒，在BFD ∆中，设BF x =，由余弦定理可得：222(23)222cos60x x =+-⨯⨯︒， 可得：2280x x --=，解得4x =．222BD DF BF ∴+=，BD DF ∴⊥，BD α∴⊥．B ∴到α的距离为23．故选：A ．【点睛】本题考查了空间位置关系、线面、面面垂直的判定和性质定理、矩形的性质、直角三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种【答案】D【解析】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，分类讨论1、4同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，因为1、2、3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1、4同色与不同色这两种情况.①若1、4同色，则区域1、4有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有43224⨯⨯=种涂色方法；②若1、4不同色，则区域1有4种选择，区域4有3种选择，区域2有2种选择，区域3只有1种选择，此时共有432124⨯⨯⨯=种涂色方法.故不同的着色方法种数为242448+=.故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占1 4C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】ABD【解析】根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故B 正确；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.10．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是（ ） A ．512πB ．712π C ．34π D ．1112π【答案】AB【解析】对()f x 化简，根据值域为1[2-，1]4，求出定义域，作差判断即可．【详解】1()sin sin()34f x x x π=+-g11sin (sin )24x x x =-11(1cos2)244x x =--112cos2)22x x =- 1sin(2)26x π=-，值域为1[2-，1]4，sin(2)[16x π-∈-，1]2，所以72[266x k πππ-∈-，2]6k ππ+， 故[2x k ππ∈-，]6k ππ+，k Z ∈， 2()623k k πππππ+--=， 所以n m -最大为23π， 故选：AB ． 【点睛】本题主要考查三角函数化简、二倍角公式，考查三角函数的定义域和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 11．下列有关说法正确的是（ ）A ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20； B ．事件A B U 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3μ=，7D ξ=；D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =. 【答案】CD【解析】由二项式定理得：51(2)2x y -的展开式中含23x y 项的二项式系数为35C ，即可判断A ；由对立事件与互斥事件的概念，进行判断B ；由正态分布的特点，即可判断C ；由条件概率的公式()(|)()P AB P A B P B =，计算即可判断D . 【详解】对于A ，由二项式定理得：51(2)2x y -的展开式中含23x y 项的二项式系数为3510C =，故A 错误；对于B ，事件A B U 为必然事件，若A ，B 互斥，则事件A 、B 是互为对立事件；若A ，B 不互斥，则事件A 、B 不是互为对立事件，故B 错误对于C ，设随机变量ξ服从正态分布(,7)N μ，若(2)(4)P P ξξ<=>，则曲线关于3x =对称，则μ与D ξ的值分别为3μ=，7D ξ=．故C 正确．对于D ，设事件A = “4个人去的景点不相同”，事件B = “甲独自去一个景点”，则P （A ）44!4=，P （B ）344327464==g ，443!3()432P AB ⨯==，则()2(|)()9P AB P A B P B ==，故D 正确； 故选：CD ． 【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题．12．已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） A ．010x e<< B ．01x e>C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AC【解析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,可判断C ，D.【详解】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,0,()x f x '→→-∞Q ,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<,即C 正确,D不正确. 故答案为:AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.三、填空题13．已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，，2a}，且A∩B ＝A ∪B ，则a ＝________．【答案】0或【解析】根据A∩B ＝A ∪B ，可得A ＝B ，然后作分类讨论，讨论时注意要满足集合的三要素即可. 主要考虑集合中的元素是否满足互异性 【详解】因为A∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则应有或解或或又a ＝0，b ＝0时，不满足元素的互异性，故舍去，所以a 的值为0或. 【点睛】本题考查集合的三要素，难点在于互异性的判断，属于简单题.14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率是______. 【答案】0.21【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以3:1获胜的概率是：0.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.21P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：0.21． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、双空题15．已知双曲线C 过点(2且渐近线方程是3y x =，则双曲线C 的方程为________，又若点()0,4N ，F 为双曲线C 的右焦点，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为______.【答案】2213x y -= 4523+【解析】由渐近线的方程设双曲线的方程，又过定点可得参数的值即求出双曲线的方程；三角形FMN 的周长NF MF MN ++，到右焦点的距离由双曲线的性质可得转化为到左焦点的距离，当F '，N ，M 三点共线时周长最小，求出最小值． 【详解】由渐近线的方程设双曲线的方程为：223x y λ-=，由双曲线C 过点(3,2)可得：923λ-=，即1λ=，所以双曲线的方程为：2213x y -=；设左焦点(2,0)F '-，右焦点(2,0)FFMN ∆周长为22223NF MF MN NF MN a MF NF NF a NF ''++=+++++=+…，当且仅当F '，N ，M 三点共线时取等号，而222425NF =+=，所以FMN ∆周长的最小值为：4523+，故答案分别为：2213x y -=，4523+．【点睛】本题主要考查双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．五、解答题16．如图．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝3π，则棱锥P －AOB 的外接球的体积是____【答案】43π 【解析】根据三角形ABP 和三角形AOP 为直角三角形，判断出棱锥P AOB -外接球的直径为PA ，进而计算出球的半径以及体积. 【详解】由于PB ⊥底面ABCD ，所以三角形ABP 是直角三角形.由于底面ABCD 是菱形，故AO BO ⊥，又AO PB ⊥，所以AO ⊥面PBO ，所以三角形AOP 是直角三角形.由此判断出棱锥P AOB -外接球的直径为PA .由于π1,3PB APB =∠=，所以2PA =,故外接球的半径为1，体积为34π4π133⨯=. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，考查几何体外接球球心位置的判断，属于基础题.17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在 ①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-； ②sinsin 2B Cb a B +=； ③()cos23cos 1A B C -+=；这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求A 的大小；（2）若ABC ∆的面积3S =5b =，求sin sin B C 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）无论选哪种，3A π=（2）5sin sin 7B C =【解析】（1）选①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解A ；（2）结合（1）及三角形的面积公式可求c ，进而可求a ，结合正弦定理即可求解． 【详解】选择①：（1）由正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，由余弦定理得1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π=.（2）由面积公式1sin 2S bc A ==4c =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-得221a =， 由正弦定理得2sin a R A=，()2228R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =，25sin sin 47bc B C R ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22log na n n cb =+，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，2nn b =；（2）2122232n n n nT +-+=+【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，列式解得0d =（舍去）或2d =，进而得21n a n =-；再由数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-，得1n n n b S S -=-=2n ()2n ≥，且12b =，进而得2n n b =；（2）由（1）得212n n c n -=+，利用分组求数列{}n c 的前n 项和n T 即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-.当1n =时，12b =，当2n ≥时，()112222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=⨯-=．验：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =． （2）由（1）得，2122log 2n an n n c b n -==++， ()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++L ()35212222(123)n n -=+++++++++L L()214(1)142n n n -+=+-2122232n n n+-+=+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==150EDC o ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD . （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）277【解析】试题分析： （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB 的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果.试题解析:（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =，又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====， 取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1113,0,0,,1,0,,2,0,0,0,2222D B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴13,1,44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()13331,1,0,,1,,24DB PB BM u u u r u u u r u u u u r ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭，设(),,n x y z =r为平面PBD 的法向量，则·0{·0n DB n PB ==u u u r r u u u r r，即0{1022x y x y z +=+-=， 取3x =，则(3,3,n =-r为平面PBD 的一个法向量，∵·cos ,7n BM n BM n BM〈〉===-u u u u r r u u u u r ru u u u r r ，则直线BM 与平面PDB. 点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．20．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）24(0)y x x =>；（2）1y x =-+或1y x =-.【解析】(1)1(0)x x -=>化简得答案.(2)有抛物线过交点的弦长公式有12||+2=8x x AB =+，然后设出直线方程与抛物线方程联立求出12x x +代入12||+2=8x x AB =+，可计算出k ，得到直线方程. 【详解】(1)设点(,)P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(,)P x y1(0)x x =>．化简得曲线C 的方程为24(0)y x x =>．(2)由题意得，直线l 的方程为(1)y k x =-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 因为216160k ∆=+>，故212224k x x k++=， 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-或1k =． 因此直线l 的方程为1y x =-+或1y x =-． 【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.21．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算【解析】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案． 【详解】解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列为 0 1 2 34 5 6（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：7000 9000 11000 13000 15000（元）.选择延保二，所需费用元的分布列为：10000 1100012000（元）.∵，∴该医院选择延保方案二较合算. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题．22．设a R ∈，函数()ln f x a x x =-. （1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，关于x 的方程()22x f x x b -=+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）求证：当2n ≥，*n N ∈时22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）[)0,e （2）5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭（3）见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，确定满足条件的a 的范围即可；（2）令2()3g x x x lnx b =-++，1([2x ∈，2])，结合二次函数的性质以及函数的单调性求出b 的范围即可；（3）根据1x >时，1lnx x <-，令*211(2,)x n n N n=+∈…，累加即可证明． 【详解】（1）①若0a <时，则()'10af x x=-<，()f x 是区间()0,∞+上的减函数， ∵()110f =-<，111a a f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而10a<，则101a e <<，即1110aa f e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()110a f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，函数()f x 在区间()0,∞+有唯一零点；②若0a =，()f x x =-，在区间()0,∞+无零点； ③若0a >，令()'0f x =，得x a =，在区间()0,a 上，()'0f x >，函数()f x 是增函数； 在区间(),a +∞上，()'0f x <，函数()f x 是减函数；故在区间()0,∞+上，()f x 的最大值为()ln f a a a a =-，由于()f x 无零点， 则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e .（2）由题意，1a =时()22x f x x b -=+为2ln 2x x x x b -+=+，∴23ln 0x x x b -++=，设()()23ln 0g x x x x b x =-++>，则()()()22111231'23x x x x g x x x x x---+=-+==， 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦变化时，()'g x ，()g x 的变化情况如下表：∵方程()22f x x x b +=+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实数根，∴()()1021020g g g ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩，∴5ln 204202ln 20b b b ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，∴5ln 224b +≤<，即5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. （3）由（1）可知当1a =时，()()1f x f ≤即ln 1x x ≤-， ∴当1x >时，ln 1x x <-， 令()*2112,x n n N n=+≥∈时， 222222111111ln 1+ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111122311n n n <++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⨯⨯⨯++， 即222111ln 11+1123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，第 21 页 共 21 页 ∴22211111+123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题含答案
16.已知函数
f
x
ln x,
2
x3
3x
2
A.甲是律师，乙是医生，丙是记者
B.甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.甲是医生，乙是律师，丙是记者
D.甲是记者，乙是医生，丙是律师
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为
A. x 12 y2 4
B. x 2 y 12 4
C. x 12 y2 4
潍坊市高考模拟考试
数学
2020．5 本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
0, 0 的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂
直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐近
线上，且 BF/OA，若 AB OB 0 ，则双曲线 C 的离心率为
23
A.
3
B. 2
C. 3
D.2
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
D. x2 y 12 4
1
5. 设 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f x ex cos x ， 则 不 等 式 f 2x 1 f x 2 0 的解集为
A. ,1
山东省潍坊市 2020届高三下学期综合模拟考试(二)数学试卷
数学试题（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i3iz -=+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．曲线ln(1)y ax =+在点00（，）处的切线过点48（，），则a = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 4,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D．c b a >>5．已知向量()()()21,1,21,30,0,//,m a n b a b m n a b=-=->>+u r r u r r 若则的最小值为A ．12B ．8+C ．15D ．10+6．若()()sin cos 1,tan 2tan 21cos 24αααββαα=-=-=-，则 A ．43 B ．43- C ．3 D ．3-7．已知二面角l αβ--为60o，点A α∈,点B β∈,异面直线AB 与l 所成的角为60o，=4AB .若A 到β,则B 到α的距离为A ．23B ．3C ．6D ．38．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市12月1日～20日AQJ 指数变化趋势下列叙述正确的是A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是 A ．512π B ．712π C ．34πD ．1112π11.下列有关说法正确的是A ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20；B ．事件A B U 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==;D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =. 12．已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点,以下几个结论中正确的是A ．01x e >B ．010x e<< C ．00()20f x x +< D ．00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知集合2{,,2},{2,,2}A a b B b a ==，且,A B A B =I U 则a = .14．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是_______ __．15．已知双曲线C 过点)(23，且渐近线方程是,33x y ±=则双曲线C 的方程为 ，又若点)(,4,0N F 为双曲线C 的右焦点，M 是双曲线C 的左支上一点，则FMN ∆周长的最小值为 .16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB=1，3APB BAD π∠=∠=，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，在 ① (a +b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC;② b sin2B C+=a sinB; ③ cos2A-3cos(B+C)=1；这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b =5，求sinBsinC 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-2≤x≤3}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为集合B，则A∩B=（）A. [-2，1]B. [-2，1）C. [1，3]D. （1，3]2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，则=（）A. iB. -iC. 1D. -13.已知等差数列{a n}的前5项和为15，a6=6，则a2019=（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20204.已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p是（）A. ∀x∈R，x2≤0B. ∃x∈R，x2＞0C. ∃x∈R，x2＜0D. ∃x∈R，x2≤05.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A. y=2x-x2-1B. y=2x sinxC. D.8.函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象（）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平穆个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到9.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．BP=2PA，则=（）A. B. C. D. 110.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（）A. 6πB. 12πC. 32πD. 48π11.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=2x-1，g（x）=（a∈R），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A. （-∞，）B. （，+∞）C. （-∞，）∪[1，2]D. （1，]∪[，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为______．14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为______．15.设数列{a n}满足a1•2a2•3a3•…•na n=2n，则a n=______．16.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y=f（x），则f（2019）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，．（1）求cos∠BAC；（2）若∠D=45o，∠BAD=90°，求CD．18.如图，四棱锥M—ABCD中，MB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB＝MB，E、F分别为MA、MC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面MAD；(2)若求三棱锥E－ABF的体积．19.某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如表：质量指标检测分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，IOO]甲班组生产的产品件71840296数乙班组生产的产品件81240328数（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？甲班组乙班组合计合格品次品合计（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82820.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|+|BF|=4，M（0，3）．（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明k⋅k'为定值；（2）求△ABM面积的最大值．21.已知函数f（x）=xe x-a ln x（无理数e=2.718…）．（1）若f（x）在（0，1）单调递减，求实数a的取值范围：（2）当a=-1时，设g（x）=x（f（x）-xe x）-x3+x2-b，若函数g（x）存在零点，求实数b的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．23.已知函数f（x）=|ax-2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）-tx≤2成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x＜1}；∴A∩B=[-2，1）．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，∴z2=-1+i，∴==．故选：B．3.答案：C解析：解：等差数列{a n}的前5项和为15，即15===5a3，所以a3=3，又因为a6=6，所以a6-a3=3d=3，所以d=1，所以a2019=a3+（2019-3）×d=3+2016=2019．故选：C．由前5项和为15，可以得到a3=3，又知道a6=6，故可求a1和d，进而得到a2019．本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选：D．欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5.答案：C解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，则阴影部分的面积S=2×1=2，则大正方形的面积S=4×4=16，则阴影部分的概率P==，故选：C．根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×12×=．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．7.答案：D解析：解：根据函数定义域为R，可知C不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，当x→∞时，函数值趋向于-∞，故A不符合，对于D：y=（x2-2x）e x，当y=0时，解得x=0或x=2，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时，y→0，故D符合．故选：D．根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.答案：D解析：解：把函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位，可得y=2sin （2x+）的图象；再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：D．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.答案：C解析：解：在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP=2PA，可得=，所以=（）=×1×1×cos60°=．故选：C．利用向量关系，求出，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边形法则的应用，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：如图，四面体ABCD中，∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=90°，AB=BC=CD=2，可得BD=2，AD=2，AD中点O即为外接球球心，故球O半径为，其表面积为12π，故选：B．作出图形，易知最大斜边即为外接球直径，容易求解．此题考查了四面体外接球，难度不大．11.答案：A解析：解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12.答案：C解析：解：对任意x∈[1，+∞），则f（x）=2x-1≥20=1，即函数f（x1）的值域为[1，+∞），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），设函数g（x）的值域为A，则满足[1，+∞）⊆A，即可，当x＜0时，函数g（x）=x2+2a为减函数，则此时g（x）＞2a，当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-|a|，2+|a|]，①当2a＜1时，（红色曲线），即a＜时，满足条件[1，+∞）⊆A，②当a≥时，此时2a≥1，要使[1，+∞）⊆A成立，则此时当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-a，2+a]，此时满足（蓝色曲线），即，得1≤a≤2，综上a＜或1≤a≤2，故选：C．求出两个函数的值域，结合对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），等价为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．13.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，属于基础题．利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．【解答】解：由题可设椭圆方程，c为椭圆的半焦距，焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于，可得b=8，，即1-，解得a=10，故所求的椭圆方程为：．故答案为．14.答案：10解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：由可得A（2，-4）．化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x-．由图可知，当直线y=x-过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=2-2×（-4）=10．故答案为：10．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：∵a1•2a2•3a3•…•na n=2n，①，∴n≥2时，a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1②∴①÷②可得na n=2，∴a n=（n≥2）又a1=1也满足上式，∴数列{a n}的通项为a n=；故答案为：．根据题意，可得a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1，两者相除，可得数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，是基本知识的考查．16.答案：0解析：解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线AC=，则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）点，即f（0）=1，当x=1时，C位于（1，）点，即f（1）=，当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，则f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，故答案为：0根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，利用周期性进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===…5分（2）因为∠DAC=90°-∠BAC，所以sin∠DAC=cos∠BAC=，…7分所以在△ACD中，由正弦定理可得：，…9分可得：，解得：CD=5…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理即可计算得解cos∠BAC的值．（2）由已知可求sin∠DAC=cos∠BAC=，在△ACD中，由正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：∵MB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴MB⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AB⊂平面MAB，MB⊂平面MAB，AB∩MB=B，∴AD⊥平面MAB，又BE⊂平面MAB，∴AD⊥BE．∵AB=MB，E是MA的中点，∴BE⊥MA，又AD⊂平面MAD，MA⊂平面MAD，AD∩MA=A，∴BE⊥平面MAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面MAD．（2）由（1）知AD⊥平面MAB，又AD∥BC，∴BC⊥平面MAB，∵F是MC的中点，∴F到平面MAB的距离d=BC=，∵E是MA的中点，∴S△ABE===，∴V E-ABF=V F-ABE===．解析：（1）证明AD⊥平面MAB得出AD⊥BE，由AB=BM得出BE⊥MA，故BE⊥平面MAD，于是平面BEF⊥平面MAD；（2）根据V E-ABF=V F-ABE计算棱锥的体积．本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）根据表中数据，计算甲班组生产该产品的不合格率为=25%，乙班组生产该种产品的不合格率为=20%；（2）根据题意填写2×2列联表如下，甲班组乙班组合计合格品7580155次品252045合计100100200计算K2=≈0.717＜3.841，所以没有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关；（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，其中甲、乙班组抽取的产品中均含有1件次品，设甲的这4件产品分别为a、b、c、D，其中a、b、c为合格品，D为次品，从中任取2件，则所有可能的情况为ab、ac、aD、bc、bD、cd共6种，事件A包含3种，所以P（A）==；设5件乙班组产品分别为e、f、g、h、M，其中e、f、g、h为合格品，M为次品，从中随机抽取2件，基本事件为ef、eg、eh、eM、fg、fh、fM、gh、gM、hM共10种不同取法，事件B包含4种，所以P（B）==．由P（A）＞P（B）知，事件A发生的可能性大些．解析：（1）根据表中数据，分别计算甲、乙班组生产该种产品的不合格率；（2）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样原理，利用列举法分别求出事件A、事件B的概率，比较即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率应用问题，是中档题．20.答案：（1）证明：由抛物线C：x2=4y与直线：y=kx+b的方程组成方程组，消去y得，x2-4kx-4b=0，则△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知，x1+x2=4k，x1x2=-4b，由|AF|+|BF|=4，根据抛物线的定义知，（y1+1）+（y2+1）=4，即y1+y2=2，所以AB的中点坐标为T（2k，1），又M（0，3），所以直线MT的斜率为k'==-，所以k⋅k'=-1为定值；（2）解：由（1）知=-4x1x2=16（k2+b），|AB|=|x1-x2|=4，设点M到直线l的距离为d，则d=，由（1）知y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=4k2+2b=2，即2k2+b=1，即b=1-2k2，由△=16k2+16b＞0，得0＜k2＜1；所以S△ABM=×|AB|×d=×4×=4，令t=k2，0＜t＜1，f（t）=（1+t）2（1-t）=1+t-t2-t3，0＜t＜1，f′（t）=1-2t-3t2=（t+1）（-3t+1），0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）为增函数；＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）为减函数；所以当t=时，f（t）取得最大值为f（x）max=f（）=，所以△ABM面积的最大值为4=．解析：（1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，求出AB的中点坐标T以及直线MT的斜率，计算k⋅k'的值；（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点M到直线l的距离d，计算△ABM的面积，求出最大值即可．本题考查了直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题．21.答案：解：（1）f′（x）=（x+1）e x-=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，则h′（x）=（x2+3x+1）e x．当x∈（0，1）时，x2+3x+1＞0．h′（x）＞0在x∈（0，1）单调递增．∴h（x）＜h（1）=2e．故a≥2e．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．u′（x）=-1=．可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．因此ln x≤x-1，∴b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．当x=1时取等号．∴实数b的最大值为0．解析：（1）f′（x）=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，利用倒导数研究其单调性即可得出．（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．利用研究其单调性即可证明结论．可得b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθ-ρcosθ+4=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0．将曲线C的参数方程为（α为参数）消去参数α，得曲线C的普通方程为；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），则P（，），∴点P到直线l的距离d==．∴当时，点M到直线l的距离的最大值为．解析：（1）由直线l的极坐标方程为，得ρsinθ-ρcosθ+4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线l的直角坐标方程．直接将曲线C的参数方程消去参数α，可得曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），化点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），利用中点坐标公式求得P（，），再由点到直线的距离公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：（1）由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4，即-2≤ax≤6，当a＞0时，-≤x≤，所以，解得a=1；当a＜0时，≤x≤-，所以，无解，所以实数a的值为1（2）由已知g（x）=f（x）+f（x+3）=|x+1|+|x-2|=，不等式g（x）-tx≤2，即g（x）≤tx+2，由题意知y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出对应图象：由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，又因为k EM=-1，k FM=，所以t≤-1，或t，即t∈（-∞，-1]∪[，+∞）．解析：（1）解f（x）≤4得解集与已知解集相等可列方程解得；（2）问题转化为y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出图象，根据斜率可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
山东省潍坊市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．2．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.3．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.4．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈，当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 6．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1P1(1)3p - 2313p 则当p 在(,)34内增大时，（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 8．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程． 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 11．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=【答案】C 【解析】 【分析】判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =±或y =.A 选项渐近线为3y x =±，B 选项渐近线为y =，C 选项渐近线为12y x =±，D 选项渐近线为y =.所以双曲线C 的方程不可能为221312y x -=.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 12．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C 【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2020年高考模拟 数学试题含答案纯word版(2020.2)
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19.（12分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： .
20．（12分）某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．
16.已知函数 ，
①若 ，则不等式 的解集为__________；
②若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入 占比
净利润占比
则下列判断中正确的是
A.该公司2019年度冰箱类电器营销亏损
B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供
D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低
A.甲B.乙C.丙D.丁
7.若 ， ， ，满足 ， ， ，则
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为
山东省潍坊市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
山东省潍坊市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.2．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C．D．【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 ①利用p ∧q 真假表来判断，②考虑内角为90o ，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断. 【详解】若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90o 时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为B A ⊆，所以x B ∈⇒x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 4．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A 【解析】 【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BCsin sin =︒︒，1222BC=，∴62BC =故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.5．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. 6．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.7．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心， 因为AC DB =u u u r u u u r，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.8．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.9．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈Q ，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 10．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.11．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．23D ．43【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积. 【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =.∴该几何体的体积为1232232V =⨯=本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 12．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5 B ．2.5C ．3.5D ．4.5【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，3.24.87.520m ∴+++=．解得 4.5m = 故选：D 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。